專(zhuān)題16等腰三角形的性質(zhì)

閱讀與思考

等腰三角形是一類(lèi)特殊三角形，具有特殊的性質(zhì)，這些性質(zhì)為角度的計(jì)算、線段相等、直線位置關(guān)

系的證明等問(wèn)題提供了新的理論依據(jù)．因此，在解與等腰三角形相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，除了要運(yùn)用全等三角形

知識(shí)方法外，又不能囿于全等三角形，應(yīng)善于利用等腰三角形的性質(zhì)探求新的解題途徑，應(yīng)熟悉以下基

本圖形、基本結(jié)論．

1800∠A

⑴圖1中，A18002B，∠B∠C，∠DAC2∠B2∠C．

2

⑵圖2中，只要下述四個(gè)條件：

①ABAC；②∠1∠2；③CDDB；④AD⊥BC中任意兩個(gè)成立，就可以推出其余兩個(gè)成

立．

D

AA

12

BCBDC

圖

1圖2

例題與求解

【例1】如圖，在△ABC中，D在AC上，E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE，

則∠A=___________．

（五城市聯(lián)賽試題）

解題思路：圖中有很多相關(guān)的角，用∠A的代數(shù)式表示這些角，建立關(guān)于∠A的等式．

A

D

E

BC

【例2】如圖，在△ABC中，已知∠BAC=900，AB=AC，D為AC中點(diǎn)，AE⊥BD于E，延長(zhǎng)AE交

BC于F，求證：∠ADB=∠CDF．

（安徽省競(jìng)賽試題）

解題思路：∠ADB與∠CDF對(duì)應(yīng)的三角形不全等，因此，需構(gòu)造全等三角形，而在等腰三角形中，

作頂角的平分線或底邊上的高(中線)是一條常用的輔助線．

A

ED

B

FC

【例3】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線于E，

1

又AE=BD，求證：BD是∠ABC的角平分線．

2

（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：∠ABC的角平分線與AE邊上的高重合，故應(yīng)作輔助線補(bǔ)全圖形，構(gòu)造全等三角形、等

腰三角形．

A

ED

CB

【例4】如圖，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=440，M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，使∠MCA=300，∠MAC=160，

求∠BMC度數(shù)．

（北京市競(jìng)賽試題）

B

M

AC

解題思路：作等腰△ABC的對(duì)稱(chēng)軸(如圖1)，通過(guò)計(jì)算，證明全等三角形，又440+160=600；可以AB

為一邊，向點(diǎn)C所在的一側(cè)作等邊△ABN，連結(jié)CN，MN(如圖2)；或以AC為一邊，向點(diǎn)B所在的一

側(cè)作等邊△ACN，連結(jié)BN(如圖3)．

BN

B

OB

M

ADCM

AC

圖M

1AC

N

圖3

圖2

【例5】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=1200的等腰三角形，以D

為頂點(diǎn)作一個(gè)600角，角的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN，形成一個(gè)三角形．求證：△AMN

的周長(zhǎng)等于2．

（天津市競(jìng)賽試題）

解題思路：欲證△AMN的周長(zhǎng)等于2，只需證明MN=BM+CN，考慮用補(bǔ)短法證明．

A

N

M

BC

D

【例6】如圖，△ABC中，∠ABC=460，D是BC邊上一點(diǎn)，DC=AB，∠DAB=210，試確定∠CAD

的度數(shù)．

（北京市競(jìng)賽試題）

解題思路：解本題的關(guān)鍵是利用DC=AB這一條件．

A

BDC

能力訓(xùn)練

A級(jí)

1．如果等腰三角形一腰上的高另一腰的夾角為450，那么這個(gè)等腰三角形的底角為_(kāi)____________．

2．如圖，已知∠A=150，AB=BC=CD=DE=EF，則∠FEM=_____________．

3．如圖，在等邊△ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)P、Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于點(diǎn)O，則

∠BOQ=____________.

4．如圖，在△ABC中，∠BCA=900，∠BAC=600，BC=4，在CA的延長(zhǎng)線取點(diǎn)D，使AD=AB，則

D，B兩點(diǎn)之間的距離是____________．

A

B

OP

EM

C

AN

BDF

BQCDAC

(第2題)(第3題)(第4題)

5．如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）

1

A．900-∠AB．900-∠A

2

1

C．1800-∠AD．450-∠A

2

6．如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=AE，BC=BF，則∠ECF=（）

A．600B．450

C．300D．不確定

（安徽省競(jìng)賽試題）

A

F

E

CB

第5題圖第6題圖

7．△ABC的一個(gè)內(nèi)角的大小是400，且∠A=∠B，那么∠C的外角的大小是（）

A．1400B．800或1000C．1000或1400D．800或1400

(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)

1111

8．三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，則三角形一定是（）

abcabc

A．等邊三角形B．以a為底邊的等腰三角形

C．以c為底邊的等腰三角形D．等腰三角形

（北京市競(jìng)賽試題）

9．如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E分別是腰AB，AC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且BD=CE，連結(jié)DE交

BC于G，求證：DG=EG．

（湖北省競(jìng)賽試題）

A

D

G

BC

E

1

10．如圖，在△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE，求證：CE=BD．

2

（江蘇省競(jìng)賽試題）

A

E

D

BC

11．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=900，D為AB邊中點(diǎn)，∠EDF=900，將∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，

它的兩邊分別交AC，BC(或它們的延長(zhǎng)線)于E、F，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE⊥AC于E時(shí)(如圖1)，

1

易證：S△DEF+S△CEF=S△ABC，當(dāng)∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到DE和AC不垂直時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，

2

上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)

出你的猜想，不需證明．

（牡丹江市中考試題）

A

AA

D

EDD

F

EB

CBCB

FFC

圖1圖2圖3

12．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=800，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠OBC=100，∠OCA=200，

求∠BAO的度數(shù)．

（天津市競(jìng)賽試題）

B級(jí)

1．如圖，在△ABC中，∠ABC=1000，AM=AN，CN=CP，則∠MNP=_________．

A

C

A

NE

PF

ABB

MPCBMNC

(第1題)(第2題)(第3題)

2．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=900，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE，PF

1

分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下4個(gè)結(jié)論：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S

2

△ABC；④EF=AP．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與A，B重合)．上述結(jié)論正確的是

____________．

（蘇州市中考試題）

3．如圖，在△ABC中，AB=BC，M，N為BC邊上兩點(diǎn)，并且∠BAM=∠CAN，MN=AN，則∠MAC

的度數(shù)是____________．

4．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC與∠ACB的平分線相交于D，∠ADC=1300，那么∠CAB

的大小是（）

A．800B．500C．400D．200

A

M

AC

D

E

D

B

DCAB

BC

第題

(第4題)(第5題)(6)

5．如圖，在△ABC中，∠BAC=1200，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，則∠C的大小是（）

A．200B．250C．300D．450

6．如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=900，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC

1

交AC的延長(zhǎng)線于M，連CD，下列四個(gè)結(jié)論：①∠ADC=450；②BD=AE；③AC+CE=AB；④

2

AB-BC=2MC．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

7．如圖，已知△ABC為等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D，延長(zhǎng)BA至E，并且使AE=BD，連結(jié)CE、DE，

求證：CE=DE．

E

A

B

CD

8．如圖，△ABC中，已知∠C=600，AC＞BC，又△ABC′、△A′BC、△AB′C都是△ABC外的等邊

三角形，而點(diǎn)D在AC上，且BC=DC．

⑴證明：△C′BD≌△B′DC；

⑵證明：△AC′D≌△DB′A；

⑶