專題11設(shè)元的技巧

閱讀與思考

應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和方法解決實際問題是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要目的之一．應(yīng)用題聯(lián)系實際，反映現(xiàn)實生活

中的數(shù)量關(guān)系，通過解應(yīng)用題可以培養(yǎng)運用數(shù)學(xué)知識去分析和解決問題的能力．

列方程解應(yīng)用題，一般有審題、設(shè)元、布列方程、解方程、作答等幾個步驟．恰當(dāng)?shù)卦O(shè)元是列方

程解應(yīng)用題的關(guān)鍵步驟之一，常見的設(shè)元技巧有：

1．直接設(shè)元

題目要求什么量，就設(shè)什么量為未知數(shù)，或有幾個要求的量，而設(shè)其中的某一個量為未知數(shù)．

2．間接設(shè)元

即所沒的不是所求的，適當(dāng)?shù)剡x擇與題目要求的未知數(shù)有關(guān)的某個量為未知數(shù)，則易找出符合題

意的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程．

3．輔助設(shè)元

有些應(yīng)用題中隱含一些未知的常量，這些量對于求解無直接聯(lián)系，但如果不指明這些量的存在，

則難求其解，因而需把這些未知的常量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助思考，這就是輔助設(shè)元．

4．整體設(shè)元

有些應(yīng)用題未知量太多而已知關(guān)系又少，如果在未知數(shù)的某一部分存在一個整體關(guān)系，可設(shè)這

一部分為一個未知數(shù)，這樣就減少了設(shè)元的個數(shù)，這就是整體設(shè)元．

例題與求解

【例1】某編輯用0~9這10個數(shù)字給一本書的各頁標(biāo)上頁碼，若共寫了636個數(shù)字，則該書有

____頁.

解題思路：依題意可知該書頁碼的數(shù)字組成有三種：一個數(shù)字、兩個數(shù)字、三個數(shù)字.一共有

636個數(shù)字，可設(shè)直接未知數(shù)，列方程求解．

找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的一個相等關(guān)系是列方程解應(yīng)用題又一關(guān)鍵．尋找相等關(guān)系常用

方法有：

①從關(guān)鍵詞中尋找相等關(guān)系；

②利用基本公式尋找相等關(guān)系；

③利用不變量尋找相等關(guān)系；

④對一種“量”，從不同的角度進行表述（即計算兩次），形成一種相等關(guān)系．

行程問題、工程問題、勞力分配問題、濃度問題、數(shù)字問題等是列方程解應(yīng)用題的基本類型，

此外，還有趣味問題（如年齡、時鐘等）、經(jīng)濟問題（如銀行存款、銷售利潤等），盡管形式多變，但是

解題實質(zhì)未變，需要我們用數(shù)學(xué)觀點，理清數(shù)量關(guān)系，恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)，準(zhǔn)確列方程．

【例2】某服裝廠生產(chǎn)某種定型冬裝，9月份銷售冬裝的利潤（每件冬裝的利潤＝出廠價一成

本）是出廠價的25%，10月份將每件冬裝的出廠價調(diào)低10%（每件冬裝的成本不變），銷售件數(shù)比9月

份增加80%，那么該廠10月份銷售這種冬裝的利潤總額比9月份的利潤總額增長()。

A.2%B．8%C.40.0%D．62%

（江蘇省競賽試題）

解題思路：設(shè)出與總額相關(guān)的量：出廠價、銷售件數(shù)．

解決以實際生活為情景的應(yīng)用題時，需要具備一定的優(yōu)化意識和估算決策能力.

【例3】某音樂廳決定月初在暑假期間舉辦學(xué)生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，其

2

中團體票占總票數(shù)的，若提前購票，則給予不同程度的優(yōu)惠，在五月份內(nèi)，團體票每張12元，共售

3

3

出團體票數(shù)的；零售票每張16元，共售出零售票數(shù)的一半，如果在六月份內(nèi)，團體票按每張16元出

5

售，并計劃在六月份內(nèi)售出全部余票，那么零售票應(yīng)按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持

平？

（北京市東城區(qū)中考試題）

解題思路：票款與票數(shù)、票價有關(guān)，故既要用字母表示六月份零售價，又要用字母表示總票數(shù)．

與商品利潤相關(guān)的基本知識：

利潤

①利潤率＝×100%；

進貨價

②利潤＝售出價一進貨價；

③售出價＝利潤＋進貨價＝進貸價×(1＋利潤率)．

【例4】為了加強公民的節(jié)水意識，合理利用水資源，某市采用價格調(diào)控的手段達到節(jié)水的目的，

該市自來水收費價格見價目表．

價目表

每月用水量單價

不超過6m3的部分2元/m3

超過3m3不超出10m3的部分4元/m3

超出10m3的部分8元/m3

注：水費按月結(jié)算．

若某居民1月份用水8m3，則應(yīng)收水費2×6＋4×(8－6)＝20（元）．

(1)若該戶居民2月份用水12.5m3，則應(yīng)收水費______元．

(2)若該戶居民3，4月份共用水15m3（4月份用水量超過3月份），共交水費44元，則該居民3，4

月份各用水多少立方米？

（江蘇省揚州市中考試題）

解題思路：第(1)問須分段計費；第(2)問設(shè)3月份用水量為xm3，則4月份用水量為(15x)m3，分

兩種情況進行討論．

【例5】A，B，C三個微型機器人圍繞一個圓形軌道高速運動，它們順時針同時同地出發(fā)后，

A在2秒鐘時追上B，2.5秒鐘時追上C，當(dāng)C追上B時，C和B的運動路程之比是3：2，問第1分鐘

時，A圍繞這個圓形軌道運動了多少圈？

（“華羅庚金杯”競賽試題）

解題思路：要充分運用問題中的等量關(guān)系，需設(shè)出A，B，C三個微型機器人的速度、圓形軌

道長等多個未知數(shù)．

【例6】有一片牧場，草每天都在勻速地生長（即草每天增長的量相等），如果放牧24頭牛，

則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草.設(shè)每頭牛每天吃草的量是相等的，問：

(1)如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？

(2)要使牧草永遠吃不完，至多放牧幾頭牛？

（全國數(shù)學(xué)通訊賽試題）

解題思路：此題可采取設(shè)定多個間接未知數(shù)的解決方法.

能力訓(xùn)練

A組

1．光明中學(xué)七年級一、二、三班，向希望學(xué)校共捐書385本，一班與二班捐書的本數(shù)之比為4：3，

一班與三班捐書的本數(shù)之比為6：7，那么二班捐書______本．

（北京市“迎春杯”競賽試題）

2．一個六位數(shù)1abcde的3倍等于abcde1，則這個六位數(shù)為________．

（黑龍江省競賽試題）

3．某種電器產(chǎn)品，每件若以原定價的9.5折銷售，可獲利150元，若以原定價的7.5折銷售，則虧

損50元．該種商品每件的進價為________元．

（“希望杯”競賽試題）

4.某出租汽車的車費是這樣計算的：路程在4公里以內(nèi)（含4公里）為10.40元；達到4公里以后，

每增加1公里加1.60元；達到15公里后，每增加1公里加2.40元．增加不足1公里時按四舍五人計算．則

乘坐15公里該種出租車應(yīng)交車費____元．某乘客乘坐該種出租車交了車費95.20元，則這個乘客乘該出

租車行駛的路程為________公里．（精確到兩位小數(shù)）

（“希望杯”邀請賽試題）

5．甲、乙兩種茶葉，以x:y（重量比）相混合制成一種混合茶，甲種茶葉的價格每千克50元，乙

種茶葉的價格每千克40元，現(xiàn)在甲種茶葉的價格上調(diào)了10%，乙種茶葉的價格下調(diào)了10%，但混合茶

的價格不變，則x:y等于().

A．1:1B．5:4C．4:5D.5:6

（北京市競賽試題）

6．某城市按以下規(guī)定收取每月煤氣費：用煤氣如果不超過60立方米．按每立方米0.8元收費；如

果超過60立方米，超過部分接每立方米1.2元收費．已知某用戶4月份的煤氣費平均每立方米0.88元，

那么，4月份這用戶應(yīng)交煤氣費()．

A．60元B．66元C．75元D.78元

（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

7．植樹節(jié)時，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹15棵；如果只由男同學(xué)

完成，每人應(yīng)植樹()棵．

A.9B．10C．12D．14

（四川省競賽試題）

8．某服裝商販同時賣出兩套服裝，每套均賣168元，以成本計算，其中一套盈利20%，另一套虧

本20%，則這次出售中商販()．

A．不賺不賠B．賺37.2元C．賺14元D．賠14元

9．從兩塊重量分別為6千克和4千克且含銀的百分數(shù)不同的合金上切下重量相等的兩塊，把所切

下的每塊分別和另一塊切剩的合金放在一起，熔煉后，兩塊合金的含銀的百分數(shù)相同，求所切下的合金

的重量是多少？

10.陳老師為學(xué)校購買運動會的獎品后，回學(xué)校向后勤處王老師交賬說：“我買了兩種書，共105本，

單價分別為8元和12元，買書前我領(lǐng)了1500元，現(xiàn)在還余418元，”王老師算了一下，說：“你肯定弄

錯了．”

(1)王老師為什么說他弄錯了？試用方程的知識加以解釋；

(2)陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現(xiàn)的確弄錯了，因為他還買了一個筆記本，但筆記本的單價已模糊

不清，只能辨認出應(yīng)是小于10的整數(shù)，筆記本的單價可能為多少元？

（四川省資陽市中考試題）

B級

1．一幢樓房內(nèi)住有6家住戶，分別姓趙、錢、孫、李、周、吳，這幢樓住戶共訂有A，B，C，D，

E，F(xiàn)六種報紙，每戶至少訂了一種報紙，已知趙、錢、孫、李、周分別訂了其中2，2，4，3,5種報紙．而

A，B，C，D，E五種報紙在這幢樓里分別有1，4，2，2，2家訂戶，那么吳姓住戶訂有____種報紙，

報紙F在這幢樓里有____家訂戶．

（“祖沖之杯”邀請賽試題）

2．某人購買鋼筆和圓珠筆各若干支，鋼筆的價格是圓珠筆價格的2倍，付款時，發(fā)現(xiàn)所買兩種筆

的數(shù)量是顛倒了，因此，比計劃支出增加了50%，則此人原計劃購買鋼筆與圓珠筆數(shù)量的比為_______.

（天津市競賽試題）

3．為使某項工程提前20天完成任務(wù)，需將原定工作效率提高25%，則原計劃完成這項工程需要

_______天．

（“希望杯”邀請賽試題）

4．右邊算式中，每個漢字代表1個數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，已知“神”－o，那么被乘

數(shù)是________________.

神舟十號飛天

神

飛天神舟五號

5．一艘輪船從A港到B港順?biāo)叫?，?小時，從B港到A港逆水需8小時，若在靜水條件下，

從A港到B港需()小時．

161

A．7B．7C．6D．6

272

（五城市聯(lián)賽試題）

6．某商品連續(xù)兩次提價10%，又提價5%，要恢復(fù)原價，至少應(yīng)降價