2024年霞山區(qū)崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考數(shù)學(xué)一模試卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1.下列實(shí)數(shù)中，無理數(shù)是（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查的是無理數(shù)，熟知無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：A．是有理數(shù)，不符合題意；B．0是有理數(shù)，不符合題意；C．是有理數(shù)，不符合題意；D．是無理數(shù)，符合題意，故選：D．2.我國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數(shù)字21500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A.2.15×107 B.0.215×108 C.2.15×106 D.21.5×106【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，解題關(guān)鍵是要正確確定a和n的值．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值時(shí)，n是負(fù)數(shù)．據(jù)此即可獲得答案．【詳解】解：．故選：A．3.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方運(yùn)算法則，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】解：A、，故A不正確，不符合題意；B、，故B正確，符合題意；C、，故C不正確，不符合題意；D、，故D不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方運(yùn)算法則，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用．4.不等式組的解集是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式x-2＜0，得：x＜2，解不等式x+3≥0，得：x≥-3，則不等式組的解集為-3≤x＜2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．5.如圖，A、B、C、D是上四點(diǎn)，且點(diǎn)D是的中點(diǎn)，交于E，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等弧所對的圓心角相等以及圓周角定理，得．再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得．【詳解】解：連接，是弧的中點(diǎn)，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理及其推論以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握圓周角定理及其推論是解決本題的關(guān)鍵．6.在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)（單位：）與它的受力面積（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系，平平記錄了幾次測量所得的數(shù)據(jù)，由于疏忽，其中有一次記錄的數(shù)據(jù)有誤，觀察表格，有誤的那一次是（）第1次第2次第3次第4次…受力面積0.10.20.30.4…壓強(qiáng)1000500300250…A.第1次 B.第2次 C.第3次 D.第4次【答案】C【解析】【分析】求出每一次測量所得的數(shù)據(jù)的反比例函數(shù)系數(shù)進(jìn)行比較即可．【詳解】解：∵，∴第3次記錄的數(shù)據(jù)有誤，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為3，將放大，則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】本題考查了位似圖形與坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．【詳解】解：∵，以點(diǎn)O為位似中心，相似比為3，將放大，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故選：C．8.經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，分別與軸、軸交于點(diǎn)、點(diǎn)，點(diǎn)是位于第一象限部分上的一點(diǎn)，如圖，若點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、圓周角、勾股定理、求余弦等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．連接，首先解得的長度，由“同弧或等弧所對的圓周角相等”以及“直徑所對的圓周角為直角”可得，即可獲得答案．【詳解】解：連接，如下圖，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，，∴．故選：B．9.如圖，頂角A為120°的等腰△ABC中，底邊BC為，DE垂直平分AB于點(diǎn)D，則AE的長為()A.2 B.2＋ C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C=30°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BE=AE，即可得到結(jié)論．【詳解】∵AB=AC，∠A=120°，

∴∠B=∠C=30°，

∵DE垂直平分AB，

∴BE=AE，

∴∠B=∠BAE=30°，

∴∠EAC=90°，

∴AE=CE，

∴AE+CE=3AE=BC，

∴AE=．

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．10.如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿，向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E，F(xiàn)作直線l，過點(diǎn)A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、動(dòng)點(diǎn)軌跡、與圓有關(guān)的位置關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)確定G的軌跡是本題解題的關(guān)鍵．連接，交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可以得出的軌跡，從而求出的最大值．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴，∵，，在與中，，，，，共線，，是中點(diǎn)，∴在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓弧．∴的最大值為的長，即．故選：D．二．填空題（共5小題，滿分15分，每小題3分）11.若點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查點(diǎn)在平面直角系中的對稱，求不等式的解集，掌握平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)在第二象限，∴點(diǎn)，∴且，解得，，故答案為：．12.已知，，則的值為______．【答案】218【解析】【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式變形可得，，兩式相加并整理，即可獲得答案．【詳解】解：∵，∴①，∵，∴②，①+②得：，∴．故答案為：218．13.若不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了根據(jù)不等式組的解集情況求參數(shù)，先求出兩個(gè)不等式的解集，再根據(jù)不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解進(jìn)行求解即可．詳解】解：，解不等式①得，解不等式②得，∵不等式組只有兩個(gè)整數(shù)解，∴，故答案為：．14.如圖．已知，，是半圓的直徑，C是半圓弧的中點(diǎn)．若反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式、解直角三角形、勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．設(shè)半圓圓心為D，連接，過C作于G，交于E，首先解得的值，進(jìn)而可得，由三角函數(shù)的定義可得，，證明，利用三角形函數(shù)解得、的值，易得，然后利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：設(shè)半圓圓心為D，連接，過C作于G，交于E，如圖，∵，，∴，∴，，∴，，∵C為半圓的中點(diǎn)，∴，又，∴，中，，∴，解得，∴，∴，中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，把代入，得．故答案為：15.如圖，D是中上的中點(diǎn)，連接，是的中線，的延長線與交于點(diǎn)，則________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．作交于，求出即可得到答案．【詳解】解：作交于，，D是中上的中點(diǎn)，，，，，是的中線，，且，，，，，三．解答題（共8小題，滿分75分）16.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】此題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算．代入特殊角是三角函數(shù)值、利用零指數(shù)冪法則、求算術(shù)平方根的法則、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】【分析】原式利用分式的乘除法進(jìn)行化簡，然后合并可得到結(jié)果，最后代入數(shù)值計(jì)算解題．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．18.如圖，四邊形是矩形，連接．（1）實(shí)踐操作∶利用尺規(guī)作的平分線，交于點(diǎn)M．(要求∶尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)（2）猜想證明：在所作的圖中，猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】（1）見解析（2），證明見解析【解析】【分析】本題考查了基本作圖-角平分線，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作圖—角平分線作法，進(jìn)行作圖即可；（2）利用矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)得到，，，利用角平分線得到，則，即可證明猜想．【小問1詳解】解：如圖，即為所求，【小問2詳解】解：猜想，證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∵．∴，，∵，∴∵的平分線，交于點(diǎn)M．∴，∴，∴19.小明從家步行前往公園，已知點(diǎn)在點(diǎn)的正東方向，但是由于道路施工，小明先沿正北方向走了400米到達(dá)處，再從處沿北偏東方向行走400米到達(dá)處，從處沿正東方向走了300米到達(dá)處，在處休息了6分鐘，最終沿方向到達(dá)處，已知點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向．小明從家出發(fā)的同時(shí)，爺爺從家選擇另一路線步行前往處，已知點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向，且點(diǎn)在點(diǎn)的正南方向．（參考數(shù)據(jù)：）（1）求的長度（結(jié)果精確到1米）；（2）已知小明步行速度為80米/分鐘，爺爺步行速度為70米/分鐘，小明和爺爺始終保持勻速行駛，請計(jì)算說明小明和爺爺誰先到達(dá)公園？【答案】（1）1246米（2）小明先到達(dá)公園．【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定：（1）延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，先解得到，則由勾股定理可得，證明四邊形為矩形，得到，，進(jìn)一步證明，則（米），（2）先由勾股定理求出，則，可計(jì)算出，解，得到，則，求出，據(jù)此可得答案．【小問1詳解】解：延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)由題知，在中，，，∵，∴，∴四邊形為矩形，，在中，，，（米），答：的長度約為1246米．【小問2詳解】解：中，，在中，，，，，答：小明先到達(dá)公園．20.如圖，內(nèi)接于，過點(diǎn)作射線，使得，與的延長線交于點(diǎn)P，D是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．（1）判斷直線與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若，求證：．【答案】（1）直線與相切，見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查了切線的判定、圓周角、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵．（1）連接并延長，交于點(diǎn)F，連接，結(jié)合“直徑所對的圓周角為直角”以及“同弧或等弧所對的圓周角相等”可證明，進(jìn)而可得，即，即可證明結(jié)論；（2）首先證明，由相似三角形的性質(zhì)以及，可得；延長至點(diǎn)H，使，連接，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，易知，進(jìn)而可得，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，即可證明結(jié)論．【小問1詳解】解：直線與相切．證明：連接并延長，交于點(diǎn)F，連接，如圖，則為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴，即，∵為的直徑，∴直線與相切；【小問2詳解】證明：∵，∴，∴，∴．∵，∴，∴，延長至點(diǎn)H，使，連接，如圖，∵D是的中點(diǎn)∴在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．21.按要求解答（1）某市計(jì)劃修建一條隧道，已知隧道全長2000米，一工程隊(duì)在修了1400米后，加快了工作進(jìn)度，每天比原計(jì)劃多修5米，結(jié)果提前10天完成，求原計(jì)劃每天修多長？（2）隧道建成后的截面圖如圖所示，它可以抽象成如圖所示的拋物線．已知兩個(gè)車道寬度米，人行道地基，寬均為2米，拱高米．建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．①求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式（函數(shù)表達(dá)式用一般式表示）②已知人行道臺(tái)階，高均為0.3米，按照國家標(biāo)準(zhǔn)，人行道寬度不得低于1.25米，該隧道的人行道寬度設(shè)計(jì)是否達(dá)標(biāo)？請說明理由．（參考值：）．【答案】（1）原計(jì)劃每天修20米（2）①②人行道寬度設(shè)計(jì)達(dá)標(biāo)，理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)，正確求得函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)原計(jì)劃每天修x米，然后根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）①由題意可得，然后運(yùn)用待定系數(shù)法解答即可；②車的寬度為4米，令時(shí)求得，然后再減去0.5即可解答；③如圖：由高均為0.3米，則點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為0.3，令可解答點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為，然后求出的長度即可解答．【小問1詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天修x米，則根據(jù)題意可得：，解得：（舍去，不符合實(shí)際）或，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解．答：原計(jì)劃每天修20米；【小問2詳解】解：①根據(jù)題意可得：，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，由題意可得：，解得：，拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，②∵車的寬度為4米，車從正中通過，如圖：由高均為0.3米，則點(diǎn)G縱坐標(biāo)為0.3，令，則有：，解得：（舍棄負(fù)值），∴人行道臺(tái)階寬度為：，∴人行道寬度設(shè)計(jì)達(dá)標(biāo)．22.已知，中，，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E為直線上一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)G在直線上，（點(diǎn)G與點(diǎn)C不重合）．（1）如圖1，點(diǎn)F在邊上，連接．若，求的長；（2）如圖2，點(diǎn)E在線段上，連接，求證：；（3）連接，當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，直接寫出的值．【答案】（1）1（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）首先證明是等邊三角形，易得，結(jié)合可得，進(jìn)而可知，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可獲得答案；（2）延長至H，使，連接，設(shè)和交于Q，和交于點(diǎn)O，證明，易知，得，進(jìn)一步證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可證明結(jié)論；（3）不妨設(shè)，分點(diǎn)E在的延長線上和點(diǎn)E在上兩種情況，分別求解，即可獲得答案．【小問1詳解】解：∵線段繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】證明：如圖1，延長至H，使，連接，設(shè)和交于Q，和交于點(diǎn)O，∵，,∴，∴，∴，由（1）知：是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小問3詳解】解：不妨設(shè)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在的延長線上時(shí)，作于H，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，延長交于H，∴，∵，∴，由上可知：，∴，∴，∴，∴，∴，綜上所述：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．23.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)A坐標(biāo)．（1）求b，c的值；（2）如圖1，點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖2，在（2）的條件下，，點(diǎn)D在上，，交于點(diǎn)C，，點(diǎn)E在第二象限，連接，，連接，過點(diǎn)E作的垂線，交過點(diǎn)F且平行的直線于點(diǎn)G，連接交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作x軸的垂線，交的延長線于點(diǎn)B，交的延長線于點(diǎn)R，，連接并延長交拋物線于點(diǎn)N，，點(diǎn)T在內(nèi)，連接，，，交的延長線于點(diǎn)H，，求直線的解析式．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)題意易得，然后結(jié)合三角形面積公式，即可獲得答案；（3）作軸于J，連接，連接，作于W，作于，作軸于S，延長，交于Q，易得