專題2-2費馬點與加權費馬點詳細總結

知識點梳理

【常規(guī)費馬點】

【加權費馬點】

題型一普通費馬點最值問題

題型二加權費馬點·單系數(shù)型

題型三加權費馬點·多系數(shù)型

知識點梳理

【常規(guī)費馬點】

【問題提出】如圖ABC所有的內角都小于120度，在ABC內部有一點P，連接PA、PB、PC，

當PA＋PB＋PC的△值最小時，求此時∠APB與∠APC的△度數(shù).

【問題處理】如圖1，將ACP繞著點C順時針旋轉60度得到A’CP’，則ACP≌A’CP’，CP＝CP’，AP＝A’P’，

又∵∠PCP’＝60°，∴△PCP’是等邊三角形，∴PP’＝PC，△∴PA＋PB△＋PC＝△P’A’＋PB＋PP’，

△

如圖2，當且僅當點B、P、P’、A’共線時，PA＋PB＋PC最小，最小值為A’B，此時∠BPC＝∠APC＝∠APB＝

120°

【問題歸納】如費馬點就是到三角形的三個頂點的距離之和最小的點．費馬點結論：

1對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點，所以三角形的費馬點也叫三

角形的等角中心；

2對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內角的頂點．

【如何作費馬點】如圖3，連接AA’，我們發(fā)現(xiàn)ACA’為等邊三角形，點P在A’B上，同理，我們可以得到等邊

BAB’，點P也在CB’上，因此，我們可以以A△BC三角形任意兩邊為邊向外構造等邊三角形，相應連線的交

△點即為費馬點。（最大角小于120°時）△

【例1】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內一點，求PA+PB+PC的最小值．

【答案】62

2

【分析】如圖，以AC為邊構造等邊△ACD，連接BD，BD的長即為PA+PB+PC的最小值．至于點P的位

置？這不重要！

如何求BD？考慮到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，過點D作DH⊥BA交BA的延長線于H點，根

據(jù)勾股定理，BD2BH2DH2即可得出結果．

【練習1】如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME

的最小值為______．

【分析】依然構造60°旋轉，將三條折線段轉化為一條直線段．

分別以AD、AM為邊構造等邊△ADF、等邊△AMG，連接FG，

易證△AMD≌△AGF，∴MD=GF

∴ME+MA+MD=ME+EG+GF

過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值．

【加權費馬點】

如果所求最值中三條線段的系數(shù)有不為1的情況，我們把這類問題歸為加權費馬點問題，解決方法類似，也

是通過旋轉進行線段轉化，只不過要根據(jù)系數(shù)的情況選擇不同的旋轉或放縮方法。

【類型一單系數(shù)類】

當只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

一種是旋轉特殊角度：2對應旋轉90°，3對應旋轉120°

另一種是旋轉放縮，對應三角形三邊之比

【例3】在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為三角形ABC內部一點，求AP＋BP＋2PC的最小值

【簡析】本題有2種解題策略，旋轉特殊角和旋轉放縮

【策略一：旋轉特殊角】如圖1，APC繞點C逆時針旋轉90°，易知P’P＝2PC，A’B即為所求

△

方法一：如圖2，B，P，P’，A’共線時取最小，此時∠BPC＝∠APC＝135°，易知BP＝A’P’＝22，

PC＝CH－PH＝232，∴PP’＝2622，PB＋PP’＋A’P’＝2622

方法二：作AH⊥BC于H，易知∠A’CH＝30°，∴AH＝2，CH＝23BH423，由勾股可得A’B＝

2622

【策略二：旋轉放縮】可按如下方法去旋轉放縮（方法不唯一）

如圖4，將三角形BPC繞點B旋轉45°，再擴大為原來的2倍，得到△BP'C'

則AP＋BP＋2PCAP＋PP'P'CAC'

補充：也可以按圖5方式旋轉

【練習2】在△ABC中，AC＝3，BC＝23，P為三角形ABC內部一點，求AP＋BP＋3PC的最小值

Rt

【策略一：旋轉特殊角】如圖1，APC繞點C逆時針旋轉120°，則有PP’＝3PC，

AP＋BP＋PC＝AP'＋BP＋PP'A△'B27

【策略二：旋轉放縮】如圖2，APC繞點A逆時針旋轉30°，再擴大為原來的3倍，

△

則AP＋BP＋3PCPP'＋BPP'C'BC'，計算略

【類型二多系數(shù)類】

其實當三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉

中心呢？我們總結了以下方法：

1.將最小系數(shù)提到括號外；

2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；

3.最大系數(shù)確定旋轉中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數(shù)不為1的兩條線段所

在的三角形。

【例3】如圖，在△ABC中，ACB60，BC3，AC4，在△ABC內部有一點P，連接PA，PB，PC，

1331

則（1）PAPBPC的最小值為________；（2）PAPBPC的最小值為________

2222

11

【簡答】（1）將最小系數(shù)提到括號外，得到(PA3PB2PC)

22

中間大小系數(shù)為3，故放大倍數(shù)為3倍，最大系數(shù)在PC前面，故以點C為旋轉中心，旋轉△PBC．

如圖1，將△PBC繞點C逆時針旋轉90°，并放大為3倍，B'P'3BP，PP'2PC．

11179

PA3PB2PCPAPP'P'B'AB'．

2222

11

（2）將最小系數(shù)提到括號外，得到(3PAPB2PC)，

22

如圖2，將△APB繞點C逆時針旋轉90°，并放大為3倍，A'P'3AP，PP'2PC．

111

(3PAPB2PC)A'P'BPPP'A'B93

222

【練習3】如圖，在△ABC中，ACB60，BC33，AC6，在△ABC內部有一點P，連接PA，PB，PC，

則2PAPB5PC的最小值為________．

【簡答】將△PAC繞點C順時針旋轉90°并放大2倍，得到△PAC，PA2PA，PP5PC

2PAPB5PCAPPPPBAB，AC2AC12，A'CB9060150，

13

AHAC6，CHAC63，BH93，由勾股定理可得AB331，

22

2PAPB5PC的最小值為331.

題型一普通費馬點最值問題

1．（2021濱州）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，點P是△ABC內一點，則

PA＋PB＋PC的最小值為_________．

B

P

CA

【答案】7

【解析】將△ABP繞點A順時針旋轉60°到△AB′P′，連接P′P，B′C．

B'

P'

B

P

CA

則AB′＝AB＝2，PB＝P′B′，∠BAB′＝60°，PA＝P′A，∠PAP′＝60°，

∴△P′PA是等邊三角形，∴PA＝P′P．

∵∠BAC＝30°，∴∠B′AC＝90°，

3

∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB＝3，

2

∴B′C＝AC2BA2＝7．

∵PA＋PB＋PC＝P′P＋P′B′＋PC≥B′C，

∴PA＋PB＋PC的最小值為7．

2．問題背景：如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，DE與BC交于點P，可推出結論：PA

＋PC＝PE．

問題解決：如圖2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝42，點O是△MNG內一點，則點O到△

MNG三個頂點的距離和的最小值是______．

【解析】過點H作HQ⊥NM交NM延長線于Q點，根據(jù)∠NMG＝75°，∠GMH＝60°，可得∠HMQ＝45°，

∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ＝HQ＝4，∴NH＝

NQ2HQ210016229

4．如圖，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝2，P是△ABC內一點，求PA＋PB＋PC的最小值．

【解析】如圖1，以AD為邊構造等邊ACD，連接BD，BD的長即為PA＋PB＋PC的最小值．

考慮到ABC和ACD都是特殊的三角形，所以構造特殊直角三角形

△

如圖2，過點D作DH⊥BA交BA的延長線于H點，根據(jù)勾股定理，222

△△BDBHDH=6+2

圖1圖2

5．已知，在ABC中，∠ACB＝30°，AC＝4，AB＝7(CBCA)點P是ABC內一動點，則PA＋PB＋PC

的最小值△為________△

原圖圖1

【解析】如圖1，將APC逆時針旋轉30°，得AP’C’，BC’即PA＋PB＋PC最小值，考慮到∠

BCA＝30°，∴∠△BCC’＝90°，作AH⊥BC，△可得BC＝33，∴BC’＝43

6．如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋

ME的最小值為______．

【解析】如圖1，依然構造60°旋轉，將三條折線段轉化為一條直線段．分別以AD、AM為邊構造等邊ADF、

等邊AMG，連接FG，易證AMD≌△AGF，∴MD＝GF∴ME＋MA＋MD＝ME＋EG＋GF

△

如圖2，過F作FH⊥BC交BC于H點，線段FH的長即為所求的最小值．FG＝4＋

△△23

7．A、B、C、D四個城市恰好為一個邊長為2a正方形的四個頂點，要建立一個公路系統(tǒng)使得每兩個城市之

間都有公路相通，并使整個公路系統(tǒng)的總長度（AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ）最小，則應當如何修建？最小

長度是多少？

【解析】如圖1，ABP繞點B逆時針旋轉60°，得到A’P’B；同樣，將DCQ繞點C順時針旋轉60°，得到

D’CQ’，連結A’A、D’D，則ABA’、DCD’均為等邊三角形，連結PP’、QQ’，則BPP’，

△△△

QCQ’均為等邊三角形，AP＋BP＋PQ＋DQ＋CQ＝A’P’＋PP’＋PQ＋QQ’＋DQ’

△△△△

△

如圖2，當點A’，P’，P，Q，Q’，D’共線時，整個公路系統(tǒng)的總長取到最小值，為線段A’D’的長，此時點P，

Q在A’D’上，最小值為．

223a

2023·隨州中考真題

8．1643年，法國數(shù)學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平

面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學家和物理學家托里拆利給出了分析和證明，

該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個頂點）

當ABC的三個內角均小于120時，

如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉60得到APC，連接PP，

由PCPC，PCP60，可知△PCP為①三角形，故PPPC，又PAPA，故

PAPBPCPAPBPPAB，

由②可知，當B，P，P，A在同一條直線上時，PAPBPC取最小值，如圖2，最小值為AB，此時

的P點為該三角形的“費馬點”，且有APCBPCAPB③；

已知當ABC有一個內角大于或等于120時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若BAC120，

則該三角形的“費馬點”為④點．

(2)如圖4，在ABC中，三個內角均小于120，且AC3，BC4，ACB30，已知點P為ABC的“費

馬點”，求PAPBPC的值；

(3)如圖5，設村莊A，B，C的連線構成一個三角形，且已知AC4km，BC23km，ACB60．現(xiàn)欲

建一中轉站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站P到村莊A，B，C的鋪設成本分別為a

元/km，a元/km，2a元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元．（結果

用含a的式子表示）

【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③120；④．

(2)5

A

(3)213a

【解題思路】（1）根據(jù)旋轉的性質和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結論；

（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞，點C順時針旋轉60得到APC，即可得出可知當B，P，P，A在同

一條直線上時，PAPBPC取最小值，最小值為AB，在根據(jù)ACB30可證明

ACAACPBCPPCP90，由勾股定理求AB即可，

（3）由總的鋪設成本a(PAPB2PC)，通過將△APC繞，點C順時針旋轉90得到APC，得到等

腰直角PPC，得到2PCPP，即可得出當B，P，P，A在同一條直線上時，PAPBPP取最小值，

即PAPB2PC取最小值為AB，然后根據(jù)已知和旋轉性質求出AB即可．

【詳解】（1）解：∵PCPC，PCP60，

∴△PCP為等邊三角形；

∴PPPC，PPCPPC60，

又PAPA，故PAPBPCPAPBPPAB，

由兩點之間線段最短可知，當B，P，P，A在同一條直線上時，PAPBPC取最小值，

最小值為AB，此時的P點為該三角形的“費馬點”，

∴BPCPPC180，APCPPC180，

∴BPC120，APC120，

又∵APCAPC，

∴APCAPC120，

∴APB360APCBPC120，

∴APCBPCAPB120；

∵BAC120，

∴BCAC，BCAB，

∴BCABACAB，BCACABAC，

∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最?。?/p>

又∵已知當ABC有一個內角大于或等于120時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．

∴該三角形的“費馬點”為點A，

故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③120；④A．

（2）將△APC繞，點C順時針旋轉60得到APC，連接PP，

由（1）可知當B，P，P，A在同一條直線上時，PAPBPC取最小值，最小值為AB，

∵ACPACP，

∴ACPBCPACPBCPACB30，

又∵PCP60

∴BCAACPBCPPCP90，

由旋轉性質可知：ACAC3，

∴ABBC2AC242325，

∴PAPBPC最小值為5，

（3）∵總的鋪設成本PAaPBaPC2aa(PAPB2PC)

∴當PAPB2PC最小時，總的鋪設成本最低，

將△APC繞，點C順時針旋轉90得到APC，連接PP，AB

由旋轉性質可知：PCPC，PCPACA90，PAPA，ACAC4km，

∴PP2PC，

∴PAPB2PCPAPBPP，

當B，P，P，A在同一條直線上時，PAPBPP取最小值，即PAPB2PC取最小值為AB，

過點A作AHBC，垂足為H，

∵ACB60，ACA90，

∴ACH30，

1

∴AHAC2km，

2

∴HCAC2AH2422223(km)，

∴BHBCCH2323=43(km)，

∴ABAH2BH2(43)222213(km)

PAPB2PC的最小值為213km

總的鋪設成本PAaPBaPC2aa(PAPB2PC)=213a（元）

廣東省江門市一模

9．如圖，在ABC中，BAC90,AB5,AC23，點P為ABC內部一點，則點P到ABC三個頂點

之和的最小值是．

【答案】67

【分析】將ABP繞著點A順時針旋轉60，得到△AEH，連接EP，CH，過點C作CNAH，交HA的

延長線于N，由旋轉的性質可得BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，易得

△AEP是等邊三角形，可得AEAPEP，進而得到APBPPCEPEHPC，當點H、E、P、C共

線時，APBPPC有最小值HC，再求出CN和HN的長度，由勾股定理可求解．

【詳解】解：將ABP繞著點A順時針旋轉60，得到△AEH，連接EP，CH，過點C作CNAH，交HA

的延長線于N，

∴BAPHAE，AEAP，AHAB5，BAH60，BPHE，

∴HABEAP60，

∴△AEP是等邊三角形，

∴AEAPEP，

∴APBPPCEPEHPC，

∴當點H、E、P、C共線時，APBPPC有最小值HC．

∵NAC180BAHBAC180609030，AC23，

1

∴CNAC3，

2

22

∴ANAC2CN22333，

∴HNAHAN538．

2

在Rt△CNH中，CHHN2CN282367，

即點P到ABC三個頂點之和的最小值是67

武漢中考

10．問題背景：如圖1，將△ABC繞點A逆時針旋轉60°得到△ADE，DE與BC交于點P，可推出結論：

PA+PC=PE．

問題解決：如圖2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=42，點O是△MNG內一點，則點O到△MNG

三個頂點的距離和的最小值是______．

【答案】229

【分析】本題的問題背景實際上是提示了解題思路，構造60°的旋轉，當然如果已經(jīng)了解了費馬點問題，

直接來解決就好了！

如圖，以MG為邊作等邊△MGH，連接NH，則NH的值即為所求的點O到△MNG三個頂點的距離和的最

小值．（此處不再證明）

過點H作HQ⊥NM交NM延長線于Q點，

根據(jù)∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，

∴△MHQ是等腰直角三角形，

∴MQ=HQ=4，

∴NH=NQ2HQ210016229．

2023·四川宜賓·中考真題

11．如圖，拋物線yax2bxc經(jīng)過點A3,0，頂點為M1,m，且拋物線與y軸的交點B在0，2和

0，3之間（不含端點），則下列結論：

①當3x1時，y0；

333

②當ABM的面積為時，a；

22

③當ABM為直角三角形時，在AOB內存在唯一點P，使得PAPOPB的值最小，最小值的平方為

1893．

其中正確的結論是．（填寫所有正確結論的序號）

【答案】①②

【解題思路】根據(jù)條件可求拋物線與x軸的另一交點坐標，結合圖象即可判斷①；設拋物線為

yax1x3，即可求出點M的坐標，根據(jù)割補法求面積，判斷②；分三種情況討論，然后以點O為

旋轉中心，將AOB順時針旋轉60至AOA'，連接AA'，PP'，A'B，得到PAPOPBP'A+PP'PBA'B，

判斷③．

【詳解】解：∵拋物線yax2bxc經(jīng)過點A3,0，頂點為M1,m，

∴對稱軸x=1，

∴拋物線與x軸的另一交點坐標為1,0，

由圖象可得：當3x1時，y0；

∴①正確，符合題意；

∵拋物線與x軸的另一交點坐標為1,0，

∴設拋物線為yax1x3，

當x=1時，y4a，當x=0時，y3a，

∴M1,4a，B0,3a，

如圖所示，過點M作平行于y軸的直線l，過點A作AEl，過點B作BNl，

133

∴SVSVSVMFAO=，

ABMAMFBMF22

設直線AB的解析式為yk'xb'，

3k+b0

把B0,3a，A3,0代入得：，

b3a

ka

解得：，

b3a

∴直線AB的解析式為yax3a，

當x=1是，y2a，

∴F1,2a，

∴MF2a，

133

∴2a3=，

22

3

解得：a，故②正確；

2

∵點B是拋物線與y軸的交點，

∴當x0時，y3a，

∴B0,3a，

∵ABM為直角三角形，

當AMB90時，

∴AM2BM2AB2，

222222

∵AM=24a416a2，BM=1a1a2，AB=33a99a2，

∴416a21a299a2，整理得：8a24，

22

解得：a或（舍）

22

32

∴B0,，

2

當ABM90時，

∴AB2BM2AM2，

∴416a299a21a2，整理得：6a26

解得：a1或1（舍）

∴B0,3，

當MAB90時，

∴AB2AM2BM2，

∴416a21a299a2，無解；

以點O為旋轉中心，將AOB順時針旋轉60至AOA'，連接AA'，PP'，A'B，如圖所示，

則AOA'，POP'為等邊三角形，

∴OP=PP'，APAP'，

∴PAPOPBPA+PPPBAB，

∵AOA'為等邊三角形，A3,0

3

333

∴x'=，y'=tan60=，

A2A22

驏

'琪333

∴A琪,，

桫琪22

32

當B0,時，

2

驏2驏2

'2琪3琪33325496

∵AB=琪+琪+=+，

桫琪2桫琪2242

當B0,3時，

驏2驏2

'2琪3琪33

AB=琪+琪+3=18+93，此時不符合題意，故③錯誤；

桫琪2桫琪2

故答案為：①②．

一題四問，從特殊到一般

12．背景資料：在已知ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是

法國數(shù)學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖

1，當ABC三個內角均小于120°時，費馬點P在ABC內部，當APBAPCCPB120時，則

PAPBPC取得最小值．

(1)如圖2，等邊ABC內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求APB的度數(shù)，為

了解決本題，我們可以將ABP繞頂點A旋轉到△ACP處，此時ACP≌ABP這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出APB_______；

知識生成：怎樣找三個內角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與ABC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點．請同學們探索以下問

題．

(2)如圖3，ABC三個內角均小于120°，在ABC外側作等邊三角形ABB，連接CB，求證：CB過ABC

的費馬點．

(3)如圖4，在RTABC中，C90，AC1，ABC30，點P為ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，

求PAPBPC的值．

(4)如圖5，在正方形ABCD中，點E為內部任意一點，連接AE、BE、CE，且邊長AB2；求AEBECE

的最小值．

【答案】(1)150°；(2)見詳解；(3)7；(4)62．

【分析】（1）根據(jù)旋轉性質得出ABP≌△ACP，得出∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

根據(jù)ABC為等邊三角形，得出∠BAC=60°，可證APP′為等邊三角形，PP′=AP=3，∠AP′P=60°，根據(jù)勾股

定理逆定理22222，得出是直角三角形，∠，可求∠∠

△PPPC3425PC△PP′CPP′C=90°AP′C=APP+

∠即可；

PPC=60°+90°=150°△

（2）將APB逆時針旋轉60°，得到AB′P′，連結PP′，根據(jù)APB≌AB′P′，AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，

根據(jù)∠PAP′=∠BAB′=60°，APP′和ABB′均為等邊三角形，得出PP′=AP，根據(jù)PAPBPCPPPBPC，

△△△△

根據(jù)兩點之間線段最短得出點C，點P，點P′，點B′四點共線時，PAPBPC最小=CB′，點P在CB′上即可；

△△

（3）將APB逆時針旋轉60°，得到AP′B′，連結BB′，PP′，得出APB≌△AP′B′，可證APP′和ABB′均

為等邊三角形，得出PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，根據(jù)PAPBPCPPPBPC，可得點C，點P，

△△△△△

點P′，點B′四點共線時，PAPBPC最小=CB′，利用30°直角三角形性質得出AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理

BC=AB2AC222123，可求BB′=AB=2，根據(jù)∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，在RtCBB′

2

中，B′C=BC2BB23227即可；△

（4）將BCE逆時針旋轉60°得到CE′B′，連結EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，得出

BCE≌CE′B′，BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，可證ECE′與BCB′均為等邊三角形，得出EE′=EC，BB′=BC，

△△

∠B′BC=60°，AEBECEAEEEEB，得出點C，點E，點E′，點B′四點共線時，

△△△△

AEBECEAEEEEB最小=AB′，根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得出AB=BC=2，∠ABC=90°，可求

11

∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，根據(jù)30°直角三角形性質得出BF=BB21，勾股定

22

理BF=BB2BF222123，可求AF=AB+BF=2+3，再根據(jù)勾股定理

2

AB′=AF2BF2231262即可．

【詳解】（1）解：連結PP′，

∵ABP≌△ACP，

∴∠BAP=∠CAP′，∠APB=∠AP′C，AP=AP′=3，BP=CP′=4，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠BAC=60°

∴∠PAP′=∠PAC+∠CAP′=∠PAC+∠BAP=60°，

∴△APP′為等邊三角形，

,∴PP′=AP=3，∠AP′P=60°，

在P′PC中，PC=5，

22222，

PP△PC3425PC

∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C=90°，

∴∠AP′C=∠APP+∠PPC=60°+90°=150°，

∴∠APB=∠AP′C=150°，

故答案為150°；

（2）證明：將APB逆時針旋轉60°，得到AB′P′，連結PP′，

∵△APB≌AB′P′，

△△

∴AP=AP′，PB=PB′，AB=AB′，

△

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，

∴△APP′和ABB′均為等邊三角形，

∴PP′=AP，

△

∵PAPBPCPPPBPC，

∴點C，點P，點P′，點B′四點共線時，PAPBPC最小=CB′，

∴點P在CB′上，

∴CB過ABC的費馬點．

（3）解：將APB逆時針旋轉60°，得到AP′B′，連結BB′，PP′，

∴△APB≌△AP′B′，

△△

∴AP′=AP，AB′=AB，

∵∠PAP′=∠BAB′=60°，

∴△APP′和ABB′均為等邊三角形，

∴PP′=AP，BB′=AB，∠ABB′=60°，

△

∵PAPBPCPPPBPC

∴點C，點P，點P′，點B′四點共線時，PAPBPC最小=CB′，

∵C90，AC1，ABC30，

∴AB=2AC=2，根據(jù)勾股定理BC=AB2AC222123

∴BB′=AB=2，

∵∠CBB′=∠ABC+∠ABB′=30°+60°=90°，

2

∴在RtCBB′中，B′C=BC2BB23227

∴PA△PBPC最小=CB′=7；

（4）解：將BCE逆時針旋轉60°得到CE′B′，連結EE′，BB′，過點B′作B′F⊥AB，交AB延長線于F，

∴△BCE≌△CE′B′，

△△

∴BE=B′E′，CE=CE′，CB=CB′，

∵∠ECE′=∠BCB′=60°，

∴△ECE′與BCB′均為等邊三角形，

∴EE′=EC，BB′=BC，∠B′BC=60°，

△

∵AEBECEAEEEEB，

∴點C，點E，點E′，點B′四點共線時，AEBECEAEEEEB最小=AB′，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=2，∠ABC=90°，

∴∠FBB′=180°-∠ABC-∠CBB′=180°-90°-60°=30°，

∵B′F⊥AF，

11

∴BF=BB21，BF=BB2BF222123，

22

∴AF=AB+BF=2+3，

2

∴AB′=AF2BF2231262，

∴AEBECE最小=AB′=62．

題型二加權費馬點·單系數(shù)型

2023·武漢·慧泉中學校月考

3

13．如圖，Rt△ABC中，CAB30，BC，點P為ABC內一點，連接PA,PB,PC，則PCPB3PA

2

的最小值為.

3

【答案】13

2

【分析】作輔助線如詳解圖，根據(jù)等腰三角形的性質和勾股定理可求得DP3AP，于是所求

PCPB3PA的最小值轉化為求DEPDPB的最小值，根據(jù)兩點之間線段最短可得DEPDPB的最

小值即為線段EB的長，然后求出EB的長即可解決問題.

【詳解】解：將△ACP繞點A逆時針旋轉120，得到△AED，連接DP,EB，過點E作EFBA交BA的延

長線于點F，過點A作AMDP于點M，如圖，

則ADAP,DECP,DAP120,EAC120，

∵AMDP，

∴DMPM,ADMAPM30，

1

∴AMAP，

2

3

∴PMAP2AM2AP，

2

∴DP2PM3AP，

∴PCPB3PADEPDPBEB，即PCPB3PA的最小值為EB的長（當點E、D、P、B四點

共線時取最小值），

3

∵Rt△ABC中，CAB30，BC，

2

2

233

∴AB2BC3,AC33，

22

33

∴AEAC，

2

∵CAB30,EAC120，

∴EAF30，

1339

則在直角三角形AEF中，EFAE,AF3EF，

244

22

92133213

∴BF3，∴22

BEBFEF13

44442

西安市鐵一中二模

14．已知，如圖在ABC中，ACB30，BC5，AC6，在ABC內部有一點D，連接DA、DB、DC．則

DADB2DC的最小值是．

【答案】91．

【分析】把CDB順時針旋轉90°到CD′B′，過B′作B′E⊥AC，交AC延長于E，則CD=CD′，BD=B′D′，

51753

∠CDD′=∠C△D′D=45°，可求DD′=△2CD，在RtCEB′中，可求CE=，AE=，BE=，當點A、D、

222

D′、B′四點在一直線時，AB′最短，可求AB′=BD△+2CD+AD=91．

【詳解】解：把CDB順時針旋轉90°到CD′B′，過B′作B′E⊥AC，交AC延長于E，

則CD=CD′，BD=B′D′，∠CDD′=∠CD′D=45°，

△△

∴DD′=CD÷cos45°=2CD，

∵ACB30，BCB90，

∴BCE180ACBBCB180309060，

在RtCEB′中，

15

∴CE△=B′C·cos60°=5=，

22

517

∴AE=AC+CE=6+=，

22

353

∴BE=B′C·sin60°=5=，

22

當點A、D、D′、B′四點在一直線時，AB′最短，

2

2

∴221753364，

AB′最短=AEBE91

222

AB′=B′D′+D′D+AD=BD+2CD+AD=91．

故答案為：91．

2023·成都市郫都區(qū)中考二模

15．如圖，矩形ABCD中，AB2，BC3，點E是AB的中點，點F是BC邊上一動點．將ABEF沿著EF

翻折，使得點B落在點B'處，若點P是矩形內一動點，連接PB、PC、PD，則PB'2PCPD的最

小值為．

【答案】261

【分析】將△CDP繞點C順時針旋轉90得到CDP，連接PP，連接ED'，由等腰三角形CPP'得出

PP'2PC，再由折疊得出點B'的軌跡在點E為圓心，EB為半徑的圓周上，所以EB'PB'PP'P'D'的

最小值為ED'，即PB'2PCPD的最小值為ED'EB'，經(jīng)計算答出答案即可．

【詳解】解：將△CDP繞點C順時針旋轉90得到CDP'，

連接PP'，連接ED'，

則B，C，D'共線，PDP'D'，

CD'CDAB2，

PP'2PC，

點E是AB的中點，

11

EBAB21，

22

BD'BCCD'325，

ED'BE2D'B2

1252

26，

由△BEF折疊成B'EF，

EBEB'EA，

點B在以點E為圓心，EB為半徑的圓上，

EB'1，

兩點間線段最短，

ED'EB'PB'PP'P'D'，

即ED'EB'PB'2PCPD

261PB'2PCPD，

PB'2PCPD261，

則PB'2PCPD的最小值為261．

故答案為：261．

題型三加權費馬點·多系數(shù)型

15

16．在邊長為4的正△ABC中有一點P，連接PA、PB、PC，求（AP＋BP＋PC）2的最小值

22

【解析】如圖1，APC繞點C逆時針旋轉90°，取P’C，A’C的中點M，N

511

易知PM＝PC，△MN＝P’A’＝PA，

222

15

則AP＋BP＋PC＝MN＋BP＋PM≤BN，BN2＝20＋83即為所求

22

17．在等邊三角形ABC中，邊長為4，P為三角形ABC內部一點，求3AP＋4BP＋5PC的最小值

33

【解析】如圖1，APC繞點C逆時針旋轉90°，在P’C，A’C上取M，N，使CM＝CP’，CN＝CA’，

44

5△33

易知PM＝PC，MN＝P’A’＝PA，3AP＋4BP＋5PC＝4（MN＋BP＋PM）≤BN

444

成都七中育才學校月考

18．在ABC中，AB3，AC4，BAC的角平分線交BC于E，過C作射線AE的垂線，垂足為D，連

3PC4PD5PA

接BD，當S△S△取大值時，在ACD內部取點P，則的最小值是．

ACEBED4

【答案】29

【分析】延長CD交AB于點F，過點A作BC邊上的高AH，得出ADF≌ADC，則BF1，根據(jù)AD是

BE3

BAC的角平分線，得出，設S3S，則S4S，過點D分別作AF,AC的垂線，垂足為M,N，

EC4BDEEDC

1

得出SS，SS21S，則當S最大時，SS取得最大值，進而可得當

42ABC△ACE△BEDABC△ACE△BED

3

CAB90時，S取得最大值，則CAD45，延長BA至C，使得ACAC3，作PAPA，

ABC4

33PC4PD5PA

APAP，連接PP,CP，構造CAP∽CAP，可得PCPPPDCD，進而勾

44

股定理，即可求解．

【詳解】解：如圖所示，延長CD交AB于點F，過點A作BC邊上的高AH，

∵BAC的角平分線交BC于E，ADCF

∴FADCAD,ADCADF

又ADAD

∴ADF≌ADC，

∴AFAC4，DCDF

則BF1

∵AD是BAC的角平分線，設E到AB的距離為d，則E到AC的距離也為d，

11

BEAHABd

S

∴ABE22

S11

AECECAHACd

22

BE3

∴，

EC4

設SBDE3S，則SEDC4S

∵DCDF

∴SBDFSBDC7S，

過點D分別作AF,AC的垂線，垂足為M,N

27S

∴DMDN14S，

1

11

∴S314S21S,S414S28S

ABD2ADC2

∴SAECSADCSAEC28S4S24S，SABC2SADCSFBC228S27S42S

∴S△ACES△BED24S3S21S

1

∵SS

42ABC

∴當SABC最大時，S△ACES△BED取得最大值，

設AB邊上的高為CG

∴CGACsinCAB

1

∴SABACsinCAB

ABC2

∴當CAB90時，SABC取得最大值，

2

則CAD45，則△ADC是等腰直角三角形，則ADAC22，

2

33

如圖所示，延長BA至C，使得ACAC3，作PAPA，APAP，連接PP,CP

44

∴CAPCA