專題37軸對(duì)稱.平移、旋轉(zhuǎn)【十二大題型】

?題型梳理

【題型1軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別】.......................................................1

【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】...................................................3

【題型3與兒何圖形有關(guān)的折疊問題】.............................................................4

【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】...............................................................6

【題型5利用軸對(duì)稱求最值】......................................................................7

【題型6根據(jù)中心對(duì)?稱的性質(zhì)求面積、長度、角度】.................................................9

【題型7與軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題】..............................................10

【題型8用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱作圖】..................................................11

【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之線段問題】.........................................................13

【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之面積問題】........................................................15

【題型11旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之角度問題】........................................................18

【題型12利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案】...........................................19

【知識(shí)點(diǎn)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)】

1.平移

(1)定義：把一個(gè)圖形沿著某一直線方向移動(dòng),這種圖形的平行移動(dòng)，簡稱為平移.

(2)平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等;對(duì)應(yīng)角相等;對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行(或在同一條直線上)

且相等.

(3)坐標(biāo)的平移：點(diǎn)(x,y)向右平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)?好a,y);

點(diǎn)Uy)向左平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)?七a,y);

點(diǎn)(x,y)向上平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)?x,;

點(diǎn)(x,力向下平移a個(gè)單位長度后的坐標(biāo)變?yōu)?*,W.

2.軸對(duì)稱

(1)軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合,那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)

于這條直線成軸對(duì)稱.這條直線叫做對(duì)稱軸,折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).

(2)軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠互相重合,這個(gè)圖形叫做軸

對(duì)稱圖形.這條直線叫做它的對(duì)稱軸.

(3)軸對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形.

經(jīng)過線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.

如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是任何?對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.軸對(duì)稱圖形的

對(duì)稱軸,是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

(4)線段垂直平分線的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上.

(5)坐標(biāo)與軸對(duì)稱：點(diǎn)(乂y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,-y);

點(diǎn)(乂力關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-乂力；

3.旋轉(zhuǎn)

(1)旋轉(zhuǎn)

定義：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn).點(diǎn)。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)

的用叫做旋枝角.如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過旋技變?yōu)辄c(diǎn)P',那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③旋

轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

(2)中心對(duì)稱

定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩人圖形關(guān)于這

個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱.這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心.這兩個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心的時(shí)稱

點(diǎn).

中心對(duì)稱的性質(zhì)：①中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形,對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分;

②中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

(3)中心對(duì)稱圖形

定義：如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形.這個(gè)點(diǎn)叫

做它的對(duì)稱中心.

(4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí),它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為Pf(-x-y).

【題型1軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別】

【例1】(2023?廣東東莞?一模)如所示圖形中，既是軸對(duì)稱圖形,又是中心對(duì)稱圖形的是()

【變式1-1]（2023?安徽合肥-?？家荒＃┤绻粋€(gè)圖形繞著一人點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)72度才能與它本身重合，則下

列說法正確的是（）

.A.這個(gè)圖形一定是中心對(duì)稱圖形.

B.這個(gè)圖形既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形.

C.這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)216度后能與它本身重合.

D.這個(gè)圖形既不是中心對(duì)稱圖形,也不是軸對(duì)稱圖形.

【變式1-2]2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如所示的四個(gè)交通標(biāo)志圖中，為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是（）

.A.AAA

【變式1-3]（2023?山東青島?統(tǒng)考三模）下列圖形c中，既是中心對(duì)稱圖形乂是軸對(duì)稱圖形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題】

[例2]（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考二模）如圖，在4BDE中，匕BDE=90°,BD=4&,點(diǎn)〃的坐標(biāo)是

（4NZ5,0）,tanzBDO=將A8DE旋轉(zhuǎn)到△48c的位置，點(diǎn)。在8。上,則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（）

A.（2x/5,yV5）B.（3V5,1V5）C.常a2伺D.（蔡若卷伺

A

B,F

A.325/3cm2B.8V3cm2C.8ncm2D.+3n）cm2

【變式3-3］（2023?河南周口?校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題

操作一：如圖（1）,正方形紙片ABC。，點(diǎn)E是邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)S,C重合）任意一點(diǎn)，沿AE折疊△力8￡到4

4FE,如圖⑵所示;

操作二：將圖（2）沿過點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)G落在力E上,得到折痕MN,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)記為H,如圖

⑶所示；

操作三：將紙片展平，連接BM,如圖（4）所示.

根據(jù)以上操作，回答下列問題：

①B,M,N三點(diǎn)一（填“在"或〃不在"）一條直線上；

②RE和8N的位置關(guān)系是數(shù)顯關(guān)系是」

③如圖（5）,連接4V,改變點(diǎn)E在BC上的位置,_（填“存在"或“不存在”）點(diǎn)瓦使4V平分乙。力￡

⑵遷移探究

蘇鈕同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片48CD,AB=4,BC=6,按照（1）中的方式操作,得到圖⑹或圖（7）.請(qǐng)

完成下列探究:

①當(dāng)點(diǎn)N在上時(shí)，如圖(6),8E和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由;

②當(dāng)DN的長為1時(shí)，請(qǐng)直接寫出BE的長.

【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問題】

【例4】(2023?廣西貴港?統(tǒng)考三模)拋物線、=-3/+六+，與/軸交于/1、4兩點(diǎn)，且點(diǎn)力在點(diǎn)8的左

側(cè)，與y軸交于點(diǎn)G點(diǎn)。(3,2)為拋物線上一點(diǎn)，且直線CDIIx軸，點(diǎn)”是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式與/、8兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)￡的縱坐標(biāo)為0,且以A,E,D,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

(3)過點(diǎn)也作直線CD的垂線,垂足為N,若將CMN沿CM翻折，點(diǎn),V的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N，,則是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)N'

則恰好落在*軸上?若存在,求出此時(shí)點(diǎn)V的坐標(biāo);若不存在,說明段理由.

【變式4-1](2023?山東棗莊-?？寄M預(yù)測)已知：如圖，拋物線y=-x2+bx+。經(jīng)過原點(diǎn)0,它的對(duì)稱

軸為直線》=2,動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)4出發(fā),在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng),設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)

間為￡秒,連接OP并延長交拋物線于點(diǎn)&連接0力,AB.

(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)當(dāng)三點(diǎn)40,8構(gòu)成以為。8為斜邊的直角三角形時(shí),求t的值；

(3)將4沿直線尸8折疊后,那么點(diǎn)4的對(duì)稱點(diǎn)為能否恰好落在坐標(biāo)軸上?若能，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件

的t的值;若不能，請(qǐng)說明理由.

【變式4-2](2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ix2-；%-4與x軸交于4B兩點(diǎn)、(點(diǎn)8在點(diǎn)A的右側(cè)),與v軸交于點(diǎn)

4L

C.將4力8。沿BC所在的直線折疊,得到△D8C,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D.

（備用圖）

⑴求點(diǎn)48,。的坐標(biāo).

（2）求直線8D的函數(shù)表達(dá)式.

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NPC8=4A8C?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【變式4-3]（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）如圖①,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線F1:y=x2+bx4-c經(jīng)過

點(diǎn)第1,0）和點(diǎn)8（3,0）,與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過點(diǎn)A的直線/與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)〃,與拋物線人交于點(diǎn)￡且

OD=OA.

⑵如圖②,點(diǎn)尸是拋物線K上位于x軸下方的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP、EP,CP與直線/交于點(diǎn)。，設(shè)

ECQ的面積為Si和S2,求名的最大值;

$2

（3）如圖③,將拋物線&沿直線x=m翻折得到拋物線尸2,且直線:與拋物線尸2有且只有一個(gè)交點(diǎn),求/〃的

值.

【題型5利用軸對(duì)稱求最值】

[例5]（2023?遼寧盤錦-統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形48CZ）是矩形,AB=同,AD=4或，點(diǎn)尸是邊AD上

一點(diǎn)（不與點(diǎn)4〃重合），連接P8,PC.點(diǎn)分別是PB,PC的中點(diǎn)，連接MM力M,DN,點(diǎn)￡在邊力。

匕MEWDN,則為M+ME的最小值是（)

A.2\/3B.3C.3A/2D.4A/2

[變式5-1]（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知，等邊△ABC中，AB=6,將4/18C沿AC翻折，得到

△ADC,連接X",交AC于。點(diǎn)，￡點(diǎn)在。〃上，且〃X=20%/是山的中點(diǎn)，一是4C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則一PE\

的最大值為.

【變式5-2]（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）如圖，菱形48C。的邊長為10,tan>4=/點(diǎn)必為邊AD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)且不與點(diǎn)力和點(diǎn)〃重合，點(diǎn)力關(guān)于直線8M的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)點(diǎn)A'為線段C4的中點(diǎn),連接DN,則線段DN長

度的最小值是.

【變式5-3]（2023?浙江?統(tǒng)考二模）如圖,在正方形A8CD中，點(diǎn)石為邊8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)8關(guān)于AE的對(duì)

稱點(diǎn)8',連接并延長交4E延長線于點(diǎn)F,連接8夕,BF.

(1)求證：BF=B'F.

（2）求乙B夕。的度數(shù).

（3）若力B=2,在點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)過程中，求點(diǎn)尸到BC距離的最大值.

【題型6根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長度、角度】

【例6】（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,△N8C的頂點(diǎn)小C分別是直線y=-聲+

4與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)8（-2,0）,點(diǎn)D是邊AC上的一點(diǎn),DE1BC,垂足為E,點(diǎn)尸在力B邊上,且D、F兩點(diǎn)關(guān)于y

軸上某點(diǎn)成中心對(duì)稱，連接〃產(chǎn)、七戶.線段以.長度的最小值為.

八

【變式6-11（2023?山西朔州?統(tǒng)考一模）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，有7個(gè)半徑為1的小圓拼在一起,下

面一行的4個(gè)小圓都與4軸相切，上面一行的3個(gè)小圓都在下一行右邊3個(gè)小圓的正上方，且福鄰兩個(gè)小圓

只有一個(gè)公共點(diǎn)，從左往右數(shù),，軸過第2列兩個(gè)小圓的圓心，點(diǎn)P是第3列兩個(gè)小圓的公共點(diǎn).若過點(diǎn)P有

一條直線平分這7個(gè)小圓的面積，則該直線的函數(shù)表達(dá)式是.

【變式6-2］（2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模）如圖，矩形48CD中，48=6,AD=3.￡為邊48上一動(dòng)點(diǎn)，連接

DE.作”交矩形48CD的邊于點(diǎn)片垂足為G.

（備用圖）

(1)求證：LAFB=￡DEA;

(2)若CF=1,求AE的長；

(3)點(diǎn)。為矩形力BCD的對(duì)稱中心，探究0G的取值范圍.

【變式6-3](2023?吉林長春?統(tǒng)考一模)如圖，在中，乙8AC=90。，AB=15,AC=20,動(dòng)點(diǎn)、P從點(diǎn)、

月出發(fā),在線段BC上以每秒5個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng),連接4P.將44PB沿直線4P翻折得到4

APB'.

⑴求BC的長；

⑵當(dāng)四邊形4BPB'為中心對(duì)稱圖形時(shí)，求￡的值;

(3)當(dāng)點(diǎn)力在BC下方時(shí),連接BB'、C8',求此時(shí)△CB夕面積的最大值;

(4)當(dāng)直線/夕與△4BC一邊垂直時(shí)，直接寫出E的值.

【題型7與軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)有關(guān)的規(guī)律探究問題】

【例7】(2023?河南商丘?統(tǒng)考三模)如圖，平面直角坐標(biāo)系中,4(1,1),F(O,3),以為邊在AB右側(cè)作正方

形ABC。.第一次操作：將正方形a3co繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到正方形41B1G5；第二次操作：將正方形

繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到正方形……則第2c23次操作得到正方形力202382023Q023D2023

C.(4,-2)D.(2,-4)

【變式7-1](2023?重慶南岸?二模)如圖，Rta48iG的斜邊在直線y=6%-V5上，點(diǎn)B]在x軸

上,G點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0).先將△AiBiG沿較長直角邊4G翻折得到△4B2G，再將△A/2G沿斜邊4%翻折得

到44。2c2,再將△沿較短直角邊02c2翻折得到4^2。2c2；…；按此規(guī)律，點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.（15,5百）B.（15,6⑹C.（17,5⑹D.（17,6百）

【變式7-2］（2023?河北保定?三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=%的圖象為直線1,作點(diǎn)4（1,0）關(guān)

于直線，的對(duì)稱點(diǎn)“，將4向右平移2個(gè)單位得到點(diǎn)公；再作｛3關(guān)于直線，的對(duì)稱點(diǎn)4,將4向右平移2個(gè)單

位得到點(diǎn)小廠，則按此規(guī)律，所作出的點(diǎn)4015的坐標(biāo)為（)

A.(1007,1008)B.(1008,1006)C.(1006,1008)【).(1008,1007)

【變式7-3］（2023?河南周口?淮陽第一高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，菱形048。的位置如

圖所示,其中點(diǎn)8的坐標(biāo)為第1次將菱形0/8C繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍得到

菱形。力道傳］（即。4=2。8）,第2次將菱形。4&G繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍得到

菱形。力2々。2（即。4=2。/），第3次將菱形。必當(dāng)。2繞著點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9?！?，同時(shí)擴(kuò)大為原來的2倍得

金|］麥形。/I383C3（即0%=20%）…依次類推，則點(diǎn)B2025的坐標(biāo)為（）

仇

5075072005202520252025

A.(22025,22025)B,(2,2)C.(-2,2)D.(-2,-2)

【題型8用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱作圖】

【例8】（2023?安徽?模擬預(yù)測）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均

在格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上.

(1)將4/BC向右平移4個(gè)單位長度,再向下平移5個(gè)單位長度得到^^當(dāng)。1，畫出△//1的；

⑵將⑴中的△4當(dāng)6以為軸進(jìn)行翻折得到△&4G，畫出AAI為。].

【變式8-1](2023?陜西西安??？寄M預(yù)測)如圖，在直角坐標(biāo)系中，△48C的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

A(a,1),B(3,3),C(4,-1);△ABC經(jīng)過平移得到△AEU,其各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

4(-5,-3),夕(一3向，。'(-2,-5).

(1)觀察各對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的變化并填空：a的值為一,力的值為______；

⑵畫出△力BC及將△48C繞點(diǎn)月順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△DBE,點(diǎn)、。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,寫出點(diǎn)夕的坐標(biāo).

【變式8-2](2023?安徽-校聯(lián)考模擬預(yù)測)如圖是6x6的正方形網(wǎng)格，線段的端點(diǎn)4B都在格點(diǎn)(網(wǎng)格

線的交點(diǎn))上.

⑴將線段力8繞點(diǎn)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到對(duì)應(yīng)線段為81，畫出線段A8i;

⑵請(qǐng)僅用無刻度的直尺過點(diǎn)B作一條直線使得點(diǎn)A,&到/的距離相等.

【變式8-3](2023?黑龍江哈爾濱?統(tǒng)考三模)在如圖的方格紙口每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方

形,△/出。的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上(每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)).

(1)畫出△43C向下平移3個(gè)單位后的△4B1G；

(2)畫出△A8C關(guān)于點(diǎn)。的中心對(duì)稱圖形△482Q；

(3)連接GC2,請(qǐng)直接寫出加。2的長為___________.

【題型9旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之線段問題】

【例9】(2023?河南?統(tǒng)考中考真題)李老師善于通過合適的主攘整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)

系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣.下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計(jì)的問題，請(qǐng)你

解答.

⑴觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)M(4,0)的直線！IIy軸，作△4BC關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形△

&/C1，再分別作44181cl關(guān)于X軸和直線/對(duì)稱的圖形44282c2和44383c3,則44282c2可以看作是△48c

繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為______g力3/。3可以看作是△力8C向右平移得到的，平移距離為

個(gè)單位長度.

(2)探究遷移：如圖2,團(tuán)ABC。中工=a(0°<a<90°),P為直線48下方一點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于直線43的對(duì)稱

點(diǎn)%,再分別作點(diǎn)入關(guān)于直線4。和直線CD的對(duì)稱點(diǎn)P2和「3,連接”，期2,請(qǐng)僅就圖2的情形解決以下問題：

①若乙PAP?=/7,請(qǐng)判斷0與a的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若=m,求P,尸3兩點(diǎn)間的距離.

(3)拓展應(yīng)用:在(2)的條件下，若a=60°,AD=2?乙PAB=15。,連接P2P3?當(dāng)P2P3與團(tuán)48CD的邊平行時(shí),

請(qǐng)直接寫出4P的長.

【變式9-1](2023?河南周口?校聯(lián)考二模)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得4

4DE,連接CE、BD.根據(jù)條件填空：

①，4CE的度數(shù)為二

②若CE=2,則C2的值為

【類比探究】如圖2所示,在正方形48co中，點(diǎn)E在邊8c上，點(diǎn)尸在邊CD上,且滿足NEW=45°,BE=

1,DF=2,求正方形力BCO的邊長：

圖2

【拓展延伸】如圖3所示,在四邊形A8CD中,CD=CB/BAD+乙BCD=90。"。、BD為對(duì)角線,且滿足

AC=|CD,若AD=3,AB=4,請(qǐng)直接寫出8D的值.

圖3

【變式9-2](2023?北京房山?統(tǒng)考二模)如圖，484C=90°,AB=AC,點(diǎn)〃是BA延長線上一點(diǎn)，連接DC,

點(diǎn)0和點(diǎn)8關(guān)于直線DC對(duì)稱,連接8E交力C于點(diǎn)F,連接EC,ED,OF.

c

（1）依題意補(bǔ)全圖形,并求NOEC1的度數(shù)；

（2）用等式表示線段EC,E。和CF之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【變式9-3］（2023?山西忻州?校聯(lián)考模擬預(yù)測）綜合與實(shí)踐一一探究圖形旋轉(zhuǎn)中的問題，問題背景：在一

次綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，同學(xué)們以兩個(gè)菱形為對(duì)象,研究相似菱形旋轉(zhuǎn)中的數(shù)學(xué)問題.已知菱形4BCD?菱形

A'B'C'D',它們各自對(duì)角線的交點(diǎn)重合于點(diǎn)0,且AB=8,A'B'=2,ZB=LB'=60°,

圖1圖2圖3

觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1,若4夕||/&連接44z,DD\則4r與0。的數(shù)量關(guān)系是;

操作探究：（2）保持圖1中的菱形A8CD不動(dòng),將菱形A夕從圖1的位置開始繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)

角為a.

①當(dāng)0。VaV90。時(shí),得到圖2.此時(shí)（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立,請(qǐng)說明理由；

②小穎發(fā)現(xiàn),在菱形AB'C'D'繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖3位置時(shí),連接CC',ACr,4c判斷四邊形AACC'的形狀,

并說明理由；

③當(dāng)菱形NB'C'D'繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)至44,D'三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出此時(shí)線段4T的長.

【題型10旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之面積問題】

【例10】（2023?江蘇無錫?統(tǒng)考二模）如圖，將不是矩形的和1BCD繞點(diǎn)力旋轉(zhuǎn)得到團(tuán)481少.

D'

(1)當(dāng)點(diǎn)8'落在邊8c上，且8'L與邊。。相交于點(diǎn)后時(shí)，

①點(diǎn)D—上(填〃在"或“不在”)；

②如果點(diǎn)力、￡分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，求裝的值；

oC

(2)當(dāng)點(diǎn)夕落在對(duì)角線AC上,且夕C'經(jīng)過邊AD的中點(diǎn)也時(shí)，設(shè)黑=x,沁^=y，求y關(guān)于>的函數(shù)關(guān)系式，

BCS^ABCD

并寫出X的取值范圍.

【變式101](2023?吉林松原?統(tǒng)考二模)如圖，在RtA43C中，力。=8,乙4co=90。，右4=60。，點(diǎn)P從點(diǎn)4

出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)力、B重合時(shí)，作ZBPD=120°,邊PD交折

線AC-CB于點(diǎn)D,作點(diǎn)力關(guān)于直線PD的對(duì)稱點(diǎn)為E,連接EO、EP得到△PDE,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為￡(秒).

(1)直接寫出線段尸。的長(用含t的代數(shù)式表示);

(2)當(dāng)點(diǎn)E落在邊8C上時(shí),求t的值；

(3)設(shè)4PDE與△ABC重合部分圖形的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

(4)設(shè)M為4B的中點(diǎn),N為ED的中點(diǎn),連接MN,當(dāng)MN14c時(shí)，直接寫出t的值.

【變式10-2](2023?四川成都?模擬預(yù)測)如圖1,在ZMBC中，=90。,4B=BC=2,將線段4B繞點(diǎn)

8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段BD,旋轉(zhuǎn)角為a,連接CD.

圖1圖2圖3

（1）①若a=60°,則土CZM=°;

②若0<a<90°,求乙GM的度數(shù).

（2）如圖2,當(dāng)0<a<90。時(shí),過點(diǎn)B作BE1AD于點(diǎn)上CD與BE相交于點(diǎn)F,請(qǐng)?zhí)骄烤€段C尸與線段BE之間的

數(shù)量關(guān)系；

（3）當(dāng)0<aV360。時(shí)，作點(diǎn)A關(guān)于CD所在直線的對(duì)稱點(diǎn)4,當(dāng)點(diǎn),4'在線段BC所在的直線上時(shí)，求444。的

面積.

【變式10-3】（2023?江西?統(tǒng)考中考真題）問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)

問題：將足夠大的直角三角板P"（匕尸=90。上"=60。）的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心。處，并繞點(diǎn)0逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板PE尸與正方形48CZ）重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

圖一圖二圖三備用圖

（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)〃放在點(diǎn)。處,在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)。F與。8重合時(shí),重疊部分的面積

為__________；當(dāng)。/與8c垂直時(shí)，重疊部分的面積為；一般地,若正方形面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中,

重疊部分的面積品與S的關(guān)系為;

（2）類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)?'放在點(diǎn)。處,在旋轉(zhuǎn)過程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)MA：

①如圖2,當(dāng)8M=CN時(shí),試判斷重疊部分仆OMN的形狀,并說明理由；

②如圖3,當(dāng)CM=CN時(shí),求重疊部分四邊形OMOV的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；

⑶拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方形中心。處,該銳角記為NGOH（設(shè)NG。"=a）,將NGOH

繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),在旋轉(zhuǎn)過程中,NGOH的兩邊與正方形ABC。的邊所圍成的圖形的面積為S2,請(qǐng)直接寫出

S2的最小值與最大值（分別用含a的式子表示），

（參考數(shù)據(jù)：sinl5°=*一%cosl5。=亞史,tanl5。=2-V3）

44

【題型11旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱綜合題之角度問題】

【例11】(2023?貴州六盤水?一模)如圖,在Rt△IBC中,"=90。，點(diǎn)P為邊AB上異于力，8的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作

點(diǎn)力關(guān)于CP的對(duì)稱點(diǎn)A,連接AP,4C,交直線48于點(diǎn)Q.

(1)若4c=8,BC=6,CE是邊A8上的高線.

①求線段CE的長；

②當(dāng)"QH=90。時(shí)，求線段4Q的長；

(2)在乙力=35。的情況下，當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，直接寫出ZAC4的度數(shù).

【變式11-1】(2023?廣東廣州?二模)如圖，等腰Rt△ABC^,z.ABC=90°,BA=IC,將BC繞點(diǎn)8順時(shí)針旋

轉(zhuǎn)6(0<0<90°),得到BP,連結(jié)CP,過點(diǎn)A作力”1CP交CP的延長線于點(diǎn)//,連結(jié)力P,則NP4H的度數(shù)

()

A.30°B.45°C.60°D.隨若。的變化而變化

【變式11-2](2023?福建泉州?一模)如圖1,已知△力BC的內(nèi)角乙4以的平分線CO與它的一個(gè)外角乙E4C的

平分線力尸所在的直線交于點(diǎn)。.

(1)求證：乙B=2乙D;

(2)若作點(diǎn)。關(guān)于4c所在直線的對(duì)稱點(diǎn)ZT,并連接AD'、CD'.

①如圖2,當(dāng)48力。=90°時(shí)，求證：ADLAD1;

②如圖3,當(dāng)4。=8C時(shí),試探究4口4。與〃之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

【變式11-3](2023?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題)如圖1,在中,48=4。，點(diǎn)M,N分別為邊48,BC的中

點(diǎn)，連接MN.

初步嘗試：(DMN與AC的數(shù)量關(guān)系是,MN與4c的位置關(guān)系是_________.

特例研討：⑵如圖2,若484c=90。,BC=472,先將△BMN繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(0為銳角)，得到△BEF,當(dāng)

點(diǎn)4E,F在同一直線上時(shí),AE與BC相交于點(diǎn)D,連接

A

A