第二章推理與證明

反證法1.

什么是反證法?它的基本原理是什么?2.用反證法證明命題應(yīng)掌握什么要點(diǎn)?學(xué)習(xí)要點(diǎn)

問題1.

將9個(gè)球分別染成紅色或白色,同色的球至少有多少個(gè)?為什么?同色的球至少有5個(gè).原因是:則紅色球少于5個(gè),白色球也少于5個(gè),即紅色球最多4個(gè),白色球也最多4個(gè),假設(shè)同色的球少于5個(gè),這個(gè)結(jié)果與已知9個(gè)球矛盾.也就是結(jié)果推翻了已知條件,所以假設(shè)不成立,那么同色球至少有5個(gè)是正確的.兩種顏色的球之和最多8個(gè).

問題2.

如果兩個(gè)平面平行,在一個(gè)平面內(nèi)的直線是否平行另一個(gè)平面?為什么?abl

在一個(gè)平面內(nèi)的直線一定平行另一個(gè)平面.如圖,平面a//b,直線l

a.假設(shè)l

與b

不平行,l

又不在b

內(nèi),那么l

必與b

相交,設(shè)交點(diǎn)為P,由于l

a,則P

a,于是a

與b

就有公共點(diǎn)P,P這與已知的a//b

矛盾,所以假設(shè)是錯(cuò)誤的.

一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.反證法是間接證明的一種基本方法.用反證法證明命題時(shí):(1)假設(shè)命題不成立要作為條件應(yīng)用.(2)推證的結(jié)論不能與反證過程中已用的條件相矛盾.反證法其實(shí)就是對(duì)原命題的逆否命題的證明.

例4.

已知直線a,b

和平面a,如果a

a,b

a,且a//b,求證a//a.aab證明:因?yàn)閍//b,所以a,b

確定一個(gè)平面,設(shè)為b(如圖),b因?yàn)閍

a,b

a,所以b∩a=b.假設(shè)a

與a

不平行,而a

a,則a

與a

相交,設(shè)交點(diǎn)為P,則點(diǎn)P

是平面a

與b

的公共點(diǎn),P所以點(diǎn)P

必在交線b

上,則直線a與b

相交于P,這結(jié)論與a//b

矛盾,所以假設(shè)不成立,原命題得證.例5.

求證是無理數(shù).證明:假設(shè)不是無理數(shù),那么它就是有理數(shù),就可寫成分?jǐn)?shù)的形式,即(m,n是互質(zhì)的正整數(shù))得m2=2n2,于是得m

是偶數(shù),設(shè)m=2k,k

為正整數(shù),又得4k2=2n2,即2k2=n2,于是得n

也是偶數(shù),此結(jié)論與m,n

互質(zhì)矛盾,所以假設(shè)不成立,從而得是無理數(shù).練習(xí):(課本91頁)第1、2題.練習(xí):(課本91頁)

1.

證明:在△ABC中,若∠C是直角,則∠B一定是銳角.證明:假設(shè)∠B不是銳角,因?yàn)槿切沃械慕鞘钦?則∠B≥90,因?yàn)椤螩是直角,所以∠B+∠C≥180,則∠A+∠B+∠C>180,此結(jié)論與三角形內(nèi)角和為180

相矛盾,所以假設(shè)不成立,原命題得證.2.

求證:不可能成等差數(shù)列.證明:假設(shè)成等差數(shù)列,則得得得25=40,25=40顯然不成立,所以假設(shè)不成立,則原命題得證.【課時(shí)小結(jié)】1.

反證法

一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾,因此說明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.反證法是間接證明的一種基本方法.反證法就是對(duì)原命題的逆否命題的證明.【課時(shí)小結(jié)】2.

反證法的證明要點(diǎn)(1)假設(shè)命題不成立要作為條件應(yīng)用.(2)推證的結(jié)論不能與反證過程中已用的條件相矛盾.習(xí)題2.1A組第1、4題.1.

已知a0,證明x

的方程ax=b

有且只有一個(gè)根.證明:采用反證法.假設(shè)方程不止一個(gè)根,不妨設(shè)有兩不等根x1,x2,則ax1=b,ax2=b,①②①-②得a(x1-x2)=0,因?yàn)閤1

x2,所以只有a=0,這結(jié)論與已知a0矛盾,所以假設(shè)不成立,(1)因?yàn)閍0,所以一定有一根(2)證明只有一個(gè)根,原命題得證.習(xí)題2.2A組

4.

△ABC的三邊a,b,c

的倒數(shù)成等差數(shù)列,求證證明:假設(shè)不成