導(dǎo)數(shù)，定積分與數(shù)列不等式

導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式

1.由不等式InxWx—1可得：-^<ln(-+l)<-,neA^+.

n+1nn

例1.(2017全國(guó)3卷)已知函數(shù)/(%)=x-l-〃lnx.

(1)若/(%)20,求L的值;

(2)設(shè)加為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)“，(l+1)(l+^)---(l+^)<m,求加的最小值.

解析：(2)由(1)知當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，x-l-lnx>0,令x=l+5得ln(l+/)<《，

從而ln(l+L)+ln(l+[)+…+ln(l+5)<L+]+…+5=1—[<1.

故(1+5)(1+了~>-(1+5^)<6,而(1+])(1+^7)(1+>2,所以加的最小值為3.

練習(xí).已知函數(shù)/(x)=〃lnx+x2,其中々ER且〃。0.

(1)討論了⑶的單調(diào)性；

(2)當(dāng)々=1時(shí)，證明：f(x)<x2+x-l；

(3)求證：對(duì)任意的“cN*且”22,都有：++…[l+，]<e.(其中

e72.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

解析：(1)函數(shù)/⑺的定義域?yàn)?0，入)，八尤)=@+2x="二，

XX

①當(dāng)。>0時(shí)，(。)>0,所以73在(0,+◎上單調(diào)遞增；

②當(dāng)。<0時(shí),令八元)=0,解得x=『|,

當(dāng)0<x<J|時(shí)，a+2x2<0,所以尸。)<0,所以〃x)在0,上單調(diào)遞減，

[a

,0+2/>0,所以r(尤)>。，所以Ax)在-2-，+°°上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,+8)上調(diào)遞增;

Lj上單調(diào)遞減,

當(dāng)”0時(shí),函數(shù)/(X)在,+8上單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)々=1時(shí)，/(x)=lnx+x2,要證明/(x)<x2+x-l,

即證即lnx-x+l<0,

1—jr

設(shè)g(x)=ln%—%+l,貝！|/(%)=----,令g'(%)=0得，可得了=1,

當(dāng)無(wú)￡(0,1)時(shí)，g'(%)>0,當(dāng)%￡(1,+8)時(shí)，g'(x)v。.

所以g(%)Wg(l)=。，即Inx—x+IWO,故/(x)W/+%_1.

(3)由(2)可得InxK%-1,(當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)等號(hào)成立)，

令x=l+—〃=1,2,3,…，貝+—,

n<n)n

一1.1、」一1'」,1:1.1.111.1

I22JI32JIn2)2232n21x22x3(n-l)n

例2.已知函數(shù)/(x)=ln(l+尤)一M1+.龍).

1+X

(1)若時(shí)，/(x)^0,求X的最小值；

(2)設(shè)數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)4=1+L+」H—+—>證明：a2n-an+—>]n2.

3AZ

解析：(1)由條件得"0)=0,/(無(wú))=魚衛(wèi)二江.

(1+%)

1_9o

^r(x)=0,則x=0,x=-------.若4<0,則當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)>0,貝！1/(元)是增函數(shù)，

A

y(x)>/(o)=o不符合題意；

若own/，則當(dāng)o《<匕"時(shí)，/'(尤)>0,則〃無(wú))是增函數(shù)，/(x)>/(0)=0不符合題

2A

意；若人N3,則當(dāng)尤>0時(shí)，r(x)<0,則7(x)是減函數(shù)，/(x)可(0)=0符合題意；

綜上可知，彳的最小值時(shí)

2

(2)當(dāng)方>a>0時(shí)--~~-->--,BPlnZ?-lna<—(—+—)/?-?.

ln￡>-lnaQI2ab

ab

令a=n,b=n+\,貝！)ln(〃+l)-ln〃〈工(工d———)，所以ln(〃+l)-ln〃〈工(工d———)，

2nn+12nn+1

ln(n+2)-ln(n+l)<-(-^—+^—),ln(n+3)-ln(n+2)<-+^—)

2n+1〃+22n+2n+3

…，In2〃-ln(2〃-1)「(二一+工).將以上各不等式左右兩邊相加得：

22〃-12n

1122221

ln2n-lnw<-(-+——+------+-------+???+--------+—),

2nn+\n+2n+32n—l2n

日…c111211

2nn+\n+2n+32n—l4n

t.r112111c日n11c

故----+----+----+???+一+一>ln2,即-a+一>ln2.

n+1n+2n+32n4n4〃

二.定積分與不等式

1.定積分的定義：

一般地，設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間口上連續(xù)，用分點(diǎn)

a-x0<%1<x2<--<x(_l<xt<??■<xn-b

將區(qū)間[a,句分成“個(gè)小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為Ar(■=%-X,T),在每個(gè)小區(qū)間

[xw,引上任取一點(diǎn)呂(/=1,2,-??,?),作和式：

S”=￡/?)AX=￡/?)(X,—X,T).

i=li=l

如果Ax無(wú)限接近于0(亦即〃一轉(zhuǎn))時(shí)，上述和式S”無(wú)限趨近于常數(shù)S,那么稱該常

數(shù)S為函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,切上的定積分.記為：5=ff^x)dx.

Ja

2.定積分的幾何意義：當(dāng)/'(功之。時(shí)，由前述可知，定積分f/(x)dx在幾何上表示由曲

線y=/(x)，兩直線X=a,x=6與X軸所圍成的曲邊梯形的面積.

3.應(yīng)用實(shí)例.

例3.(第16屆女子奧林匹克)

求最大實(shí)數(shù)C,使得對(duì)任意正整數(shù)〃和滿足0=/＜玉＜々＜…＜%=1的數(shù)列{4},均

n

有-4-1)〉仁

k=l

ni1

分析：由積分定義可知，對(duì)函數(shù)/(%)=/,%2QX=—

k=l°3

〃n〃

解：3￡濕每-％)2Z(彘+xkxk-i+4-1)?--)=ZQi')=L故

k=lk=lk=l

?11

^jXk(Xk~Xk-\)2.，則《max=￡?

k=\JJ

111〃

當(dāng)。〉一時(shí)，設(shè)。=—+—,〃￡N，取々=一，攵=0,1,2,…〃，貝!|

33nn

_%1)=；+，+白

k=、32〃6〃

n111111

顯然，此時(shí)￡%；(%左一/_1)=—?-----F<—?—，綜上，c=—.

32non3n3

注.可以看到，做積分背景的序列不等式其放縮的關(guān)鍵就是構(gòu)造裂項(xiàng)相消的條件.

例4(2014陜西)設(shè)函數(shù)/(%)=ln(l+x),g(%)=4'(%),%2°，其中尸(%)是/(%)的

導(dǎo)函數(shù).

(1)gi(x)=g(x),g.+i(x)=g(g.(x)),“eN+，求g“(x)的表達(dá)式；

(2)若/(x)之a(chǎn)g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)〃eN+，比較g(l)+g(2)+…+g(")與〃—/(“)的大小，并加以證明.

解：由題設(shè)得，g(x)=」一(xNO)

1+x

(2)已知/(x)Nag(x)恒成立,即ln(l+x)N—L恒成立

1+X

、兒/、1人、/、八、e“、1ax+1-a

設(shè)"(X)=ln(l+X)---(%>0),貝！|夕(x)=-------------K~M

1+X1+X(1+X)(1+X)

當(dāng)〃<1時(shí)，(pr(x)>Q(僅當(dāng)x=0,a=l時(shí)等號(hào)成立)，所以以%)在［0,+8)上