北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案（完整版）全冊(cè)教學(xué)設(shè)計(jì)

第一章

1等腰三角形

第1課時(shí)三角形的全等和等腰三角形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

1.了解作為證明基礎(chǔ)的8條公理的內(nèi)容.

2.使學(xué)生經(jīng)歷“探索一一發(fā)現(xiàn)一一猜想一一證明”的過(guò)程，學(xué)會(huì)用綜合法證明等腰三

角形的有關(guān)性質(zhì)定理.

3.讓學(xué)生學(xué)會(huì)分析幾何證明即的思路，并掌握證明的基本步驟和書(shū)寫(xiě)格式.

4.經(jīng)歷作輔助線的證明過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)，培養(yǎng)主動(dòng)探究的習(xí)慣，

體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

等腰三角形的性質(zhì)及推論.

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及推論解決相關(guān)問(wèn)題及證明的書(shū)寫(xiě)格式.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[5〃〃力閱讀】

閱讀教材P2?P3的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3如力反饋】

1.兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等.

2.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等.

3.等腰三角形的兩底角相等，簡(jiǎn)述為：等邊對(duì)等角.

4.等腰三角形“三線合一”：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線

互相重合.

5.如圖，已知N1=N2,則不一定能使△力即且△力切的條件是！B）

A.BD=CD

B.AB=AC

C.

D.NBAD=4CAD

6.如圖，△ABC^XCDA、那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（D）

A.N1=N2B.AC=CA

C.NP=N8D.AC=BC

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖,AB=AC=AD,若NBAD=80°,則NBCD=（）

C.140°D.160°

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）由邊相等可以得到什么？這與NBCD有什么關(guān)系？

【分析丁??NBAD=80°,???NB+NBCD+ND=360°—NBAD=280°.又?.?AB=AC=AD,

AZB=ZACB,ZACD=ZD,/.ZBCD=ZACB+ZACD=280°4-2=140°.

【答案】C

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）求角的度數(shù)時(shí)，需根據(jù)實(shí)際情況分析：（1）在等腰

三角形中，要考慮三角形內(nèi)角和定理；（2）有平行線時(shí)，要考慮平行線的性質(zhì)：兩直線平行,

同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；（3）兩條相交直線中，對(duì)頂角相等，互為鄰補(bǔ)角

的兩角之和等于180°.

【例2】等腰三角形的一個(gè)角等于30°,求它其余兩角的度數(shù).

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）等腰三角形的角有什么特征？已知角是頂角還是底角？

【解答】分情況討論：

當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，頂角度數(shù)為180。-2X30°=120°；

當(dāng)頂角為30°時(shí)，底角度數(shù)為（180°-30°）4-2=75°.

綜上，該等腰三角形其余兩角的度數(shù)為30°,120°或75°,75°.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）己知的一個(gè)銳角可以是等腰三角形的頂角，也可以

是底角；一個(gè)鈍角只能是等腰三角形的頂角.分類(lèi)討論是正確解答本題的關(guān)鍵.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.至少有兩邊相等的三角形是（B）

A.等邊三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.銳角三角形

2.在AABC中，若AB=AC,ZA=44°,則NB=68度.

3.已知等腰三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是3和6,則它的周長(zhǎng)等于15.

4.如圖所示，已知AB=AC,FD_LBC于點(diǎn)D,DEJ_AB于點(diǎn)E,若NAFD=145°,則NEDF

=55度.A

HXXD€.

5.如圖所示，點(diǎn)D是AABC內(nèi)一點(diǎn)，AB=AC,/1=N2.求證：AD平分NBAC.

A

程

證明：VZ1=Z2,ABD=DC.VAB=AC,AD=AD,AAADB^AADC,AZBAD=ZCAD,

即AD平分NBAC.

活動(dòng)3拓展延伸（學(xué)生對(duì)學(xué)）

【例3】如圖，在AABC中，已知AB=AC,NBAC和NACB的平分線相交于點(diǎn)D,ZADC

=125°.求NACB和NBAC的度數(shù).

【互動(dòng)探索】根據(jù)等腰三角形“三線合一”可得AEJJ3C-求出NCDE-根據(jù)“直角三角

形兩銳角互余”求出NDCE一根據(jù)角平分線的定義求出NACB一根據(jù)“等腰三角形兩底角相等”

列式求出NBAC.

【解答】'??AB=AC,AE平分NBAC,AAE1BC.VZADC=125°,AZCDE=180°-N

ADC=55°,.\ZDCE=90o-NCDE=35°.又?.?CD平分NACB,/.ZACB=2ZDCE=70°

AB=AC,???NB=NACB=70°,.\ZBAC=180°-（ZB+ZACB）=40".

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，有

兩種類(lèi)型：一是求邊長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)時(shí)應(yīng)利用等腰三角形底邊上的中線與其他兩線互相重合；二

是求角度的大小，求角度時(shí)，應(yīng)利用等腰三角形的頂角平分線或底邊上的高與其他兩線互相

重合.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

1.兩三角形全等的判定：AAS.ASA.SSS、SAS.

性質(zhì)定理：等邊對(duì)等角

2.等腰三角形

三線合一

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)!

第2課時(shí)等邊三角形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

1.進(jìn)一步學(xué)習(xí)等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，了解等腰三角形兩底角的平分線（兩腰上的高、

中線）的性質(zhì).

2.學(xué)習(xí)等邊三角形的性質(zhì)，并能夠運(yùn)用其解決問(wèn)題.

3.把等腰二角形與等邊二角形的性質(zhì)進(jìn)行比較.體會(huì)等腰二角形和等邊二角形的相同

之處和不同之處.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì).

【教學(xué)難點(diǎn)】

等腰三角形、等邊三角形的相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

【5min閱讀】

閱讀教材?P6的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

（3卬力7反饋】

1.等腰三角形兩個(gè)底角的平分線相等；等腰三角形兩腰上的高杓等；等腰三角形兩腰

上的中線相等.

2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.

3.一個(gè)等腰非等邊三角形中，它的角平分線、中線及高線的條數(shù)共為（重合的算一

條）（B）

A.9B.7

C.6D.5

4.等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于（B）

A.頂角B.頂角的一半

C.頂角的2倍D.底角的一半

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖，在AABC中，AB=AC,CDJ_AB于點(diǎn)D,BEJ_AC于點(diǎn)E,求證：DE〃BC.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）要證DE//BC,需證/ADE=NABC,從而結(jié)合已知條件考

慮證△BEC04CDB即可.

【證明】?.?AB=AC,,??NABC=NACB.又?.?CDJ_AB于點(diǎn)D,BE_LAC于點(diǎn)E,，NAEB=N

ADC=90°,AZABE=ZACD,AZABC-ZABE=ZACB-ZACD,AZEBC=ZDCB.2EABEC

ZBEC=ZCDB,

和4CDB中，V5ZEBC=ZDCB,/.ABEC^ACDB,ABD=CE,.\AB-BD=AC-CE,

BC=CB,

即AD=AE,??.NADE=NAED.又TNA是aADE和AABC的頂角，/.ZADE=ZABC,ADE/ZBC.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的中線相

等，兩腰上的高相等.

【例2】如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點(diǎn)，I）是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)BE、

DE.若NABE=40°,BE=DE,求NCED的度數(shù).

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）由AABC是等邊三角形可以得到哪些結(jié)論？如何利用這些

結(jié)論求NCED?

【解答】:△ABC是等邊三角形，.??NABC=NACB=60°.VZABE=40°,/.ZEBC=

ZABC-ZABE=20°.VBE=DE,AZD=ZEBC=20°,AZCED=ZACB-ZD=40°.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）等邊三角形是特殊的三角形，它的三個(gè)內(nèi)角都是

60°,這個(gè)性質(zhì)常常應(yīng)用在求三角形角度的問(wèn)題上，所以必須熟練掌握.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.如圖，在四邊形ABCD中,AC、BD為對(duì)角線,AB=BC=AC=B1）,則/ADC的大小為（D）

A.120°B.135°

C.145°D.1500

BPC

第2題

2.如圖所示，Z\ABC為等邊三角形，AQ=PQ,PR=PS,PR_LAB于點(diǎn)R,PS_LAC于點(diǎn)S,

則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（A）

①點(diǎn)P在NBAC的平分線上；②AS=AR；③QP〃AR；?ABRP^ACSP.

A.全部正確B.僅①和②正確

。.僅②和③正確D.僅①和③正確

3.已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在直線的夾角為40°,則此等腰三角

形的頂角為50°或130。.

4.如圖所示，已知l〃m,等邊三角形ABC的頂點(diǎn)B在直線m上，邊BC與直線m所夾

銳角為20。，求Na的度數(shù).

解：如題圖，過(guò)點(diǎn)C作CE〃直線m.Al/ZmZ/CE,AZACE=Za,ZBCE=Z

CBF=20°.在等邊三角形ABC中，ZACB=60°,AZa+ZCBF=ZACB=60°,/.Za=

40°.

5.如圖，AABC為正三角形，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是邊CA上任意一點(diǎn)，且

BM=CN,BN與AM相交于點(diǎn)Q,求NBQM的度數(shù).

RM

解：:△ABC為正三角形，???NABC=NC=NBAC=60°,AB=BC在△AMB和△BNC中，

AB=BC,

V*ZABM=ZC,/.AAMB^ABNC,/.ZBAM=ZCBN,AZBQM=ZABQ+ZBAM=ZABQ

BM=CN,

+ZCBN=ZABC=60°.

活動(dòng)3拓展延伸（學(xué)生對(duì)學(xué)）

【例3】如圖，已知等邊aABC中，D是AC的中點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=

CD,DM±BC,垂足為M,求證：BM=EM.

A

【互動(dòng)探索】要證BM=EM,由題意證△BDMgZXEDM即可.

【證明】連結(jié)BD.???在等邊aABC中，D是AC的中點(diǎn)，???NABC=NACB=60°,???NDBC

=|ZABC=3O°.VCE=CD,AZCDE=ZE.VZACB=ZCDE+ZE,Z.ZE=30o,AZDBC

=NE=30°.VDM±BC,:,ZDMB=ZDME=900.在△DMB和△DME中，?:

ZDMB=ZDME,

，ZDBM=ZE,/.△DMB^ADME,.\BM=EM.

.DM=DM,

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）證明線段相等可以利用三角形全等得到.此外，要

明確等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性質(zhì)完全適合等邊三角形.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

1.等腰三角形兩底角的平分線相等，等腰三角形兩腰上的高相等；等腰三角形兩腰上

的中線相等.

2.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°.

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

第3課時(shí)等腰三角形的判定與反證法

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

1.理解等腰三角形的判定定理，并會(huì)運(yùn)用其進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明.

2.了解反證法的基本證明思路，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握等腰三角形的判定定理.

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用反證法進(jìn)行證明.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[5min閱讀】

閱讀教材/B?P9的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

（3加〃反饋】

1.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，簡(jiǎn)述為：等角對(duì)等邊.

2.先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、基本事實(shí)、已有定理或已知條件相

矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立，這種證明方法稱(chēng)為反證法.

3.用反證法證明命題“一個(gè)三角形的三個(gè)外角中，至多有一個(gè)銳角”的第一步是假設(shè)

三角形的三個(gè)外角中，有兩個(gè)銳角.

4.如圖所示，在△力%中，ZJ=36°,AB=AC,勿是△力回的角平分線.若在邊力8

上截取BE=BC,連結(jié)龐；則圖中等腰三角形共有（D）

A

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖，在aABC中，ZACB=90°,CD是AB邊上的高，AE是NBAC的平分線,

AE與CD交于點(diǎn)F,求證：4CEF是等腰三角形.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）要證ACEF是等腰三角形，結(jié)合已知條件考慮證明CE=CF

即可.

【證明】?.?在AABC中，ZACB=90°,AZB4-ZBAC=90°.;CD是AB邊上的高，:.

NACD+ZBAC=90°,:.ZB=ZACD.VAE是NBAC的平分線，:.ZBAE=ZEAC.又tZB+

ZBAE=ZAEC,ZACD+ZEAC=ZCFE,/.ZCEF=ZCFE,ACE=CF,AACEF是等腰三角

形.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）“等角對(duì)等邊”是判定等腰三角形的重要依據(jù)，是

先有角相等再有邊相等，只限于在同一個(gè)三角形中，若在兩個(gè)不同的三角形中，此結(jié)論不一

定成立.

【例2】求證：AABC中不能有兩個(gè)鈍角.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）用反證法證明時(shí)，假設(shè)什么？

【證明】假設(shè)AABC中能有兩個(gè)鈍角，不妨設(shè)NAV90°,ZB>90°,ZC>90°,

所以NA+NB+NC>180°,

這與三角形的內(nèi)角和為180°矛盾，所以假設(shè)不成立，

因此原命題正確，即AABC中不能有兩個(gè)鈍角.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）反證法的步驟：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出

發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立.在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論反面的所

有可能的情況.如果只有一種，那么否定一種就可以了；如果有多種情況，則必須一一否定.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.用反證法證明命題"三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°"時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)

三角形中（C）

A.有一個(gè)內(nèi)角大于60°

B.有一個(gè)內(nèi)角小于60。

C.每一個(gè)內(nèi)角都大于60°

D.每一個(gè)內(nèi)角都小于60°

2.在等腰梯形力靦中，4ABe=24ACB,BD平■分/ABC,BC,則圖中的等腰三角

形有（D）

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

3.如圖，在4X3的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B分別在格點(diǎn)上，在圖中確定格點(diǎn)C,則以A、

B、C為頂點(diǎn)的等腰三角形有3個(gè).

4.用反證法證明等腰三角形的底角必為銳角.

證明：不妨設(shè)等腰三角形aABC中，NA為頂角，則分情況證明.①設(shè)/B、NC都是直

角，則NB+NC=180°,故NA+NB+NC=180°+NA>180°,這與三角形內(nèi)角和等于

180°矛盾；②設(shè)NB、ZC都是鈍角，則NB+NC>180°,故/A+NB+NC>180°,這

與三角形內(nèi)角和等于180°矛盾.綜上所述，假設(shè)①②錯(cuò)誤，所以NB、NC只能為銳角，即

等腰三角形的底角必為銳角.

5.如圖所示，D為AABC的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DFJ_AC,垂足為點(diǎn)F,交

BC于點(diǎn)E,且BD=BE,求證：ZXABC是等腰三角形.

證明：VDF1AC,/.ZDFA=ZEFC=90°,，NA+ND=90°,ZC+Z1=9O°,AZ

A+ZD=ZC+Z1.VBD=BE,AZ2=ZD.VZ1=Z2,AZ1=ZD,AZA+ZD=ZC+

ND,/.ZA=ZC,/.AB=BC,...△ABC是等腰三角形.

活動(dòng)3拓展延伸（學(xué)生對(duì)學(xué)）

【例3】如圖，在aABC中，AB=AC,點(diǎn)D、E、F分別在AB、BC、AC邊上，且BE=CF,

BD=CE.

（1）求證：4DEF是等腰三角形；

（2）當(dāng)NA=50°時(shí)，求NDEF的度數(shù).

【互動(dòng)探索】（1）根據(jù)“等邊對(duì)等角”可得/B=NC,從而利用“邊角邊”證明4BDE

^△CEF,進(jìn)而根據(jù)“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等"可得DE=EF,即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)“全

等三角形對(duì)應(yīng)角相等”可得NBDE=NCEF,從而得到NBED+NCEF=NBED+NBDE,再利用

三角形的外角定理求出NB=NDEF,進(jìn)而求出NDEF.

BD=CE,

【解答】（1）證明：VAB=AC,AZB=ZC.ffiABDE^UACEFZB=ZC,:.

_BE=CF,

△BDE^ACEF,ADE=EF,六Z^DEF是等腰三角形.

（2）VABDE^ACEF,AZBDE=NCEF,NBED+NCEF=ZBED4-ZBDE.VNB+NBDE

=NDEF+NCEF,AZB=ZDEF.VZA=50°,AB=AC,AZB=1x（180°一NA）=65°,

.,.ZDEF=65°.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）等腰三角形提供了很多相等的線段和相等的角，判

定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

1.等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）.

2.反證法的步驟：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾：（3）假設(shè)不成立，則

結(jié)論成立.

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

第4課時(shí)

等邊三角形的判定及含30°角的直角三角形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

1.理解等邊三角形的判定定理及其證明，理解含有30°角的直角三角形性質(zhì)及其證明，

并能利用這些定理解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題.

2.經(jīng)歷運(yùn)用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展

抽象思維.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

等邊三角形判定定理的發(fā)現(xiàn)與證明.

【教學(xué)難點(diǎn)】

理解并掌握含30°角直角三角形的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用其解決有關(guān)問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[5min閱讀】

閱讀教材n0?P12的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

【3〃〃力反饋】

1.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形：有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角

形.

2.在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

3.等邊三角形中，兩條中線所夾的鈍角的度數(shù)為（A）

A.120°B.1300

C.150°D.160°

4.下列三角形：①有兩個(gè)角等于60°；②有一個(gè)角等于60°的等腰三角形；③三個(gè)外

角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取??個(gè)外角）都相等的三角形;④一腰.上的中線也是這條腰上的高的等腰三

角形.其中是等邊三角形的有（D）

A.??@B.①②④

C.??D.①②③?

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】已知a、b、c是aABC的三邊，且滿足關(guān)系式a?+c2=2ab+2bc—2b2,試說(shuō)明

△ABC是等邊三角形.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）證明4ABC是等邊三角形應(yīng)從哪些角度考慮？（邊、角）.結(jié)

合已知條件，本題應(yīng)從邊的角度考慮證明AABC是等邊三角形.

【證明】原關(guān)系式整理，得a-+c'一2ab—2bc+2b2=0,

/.a2+b'_2ab+c'_2bc+bJ=0,

（a—b）2+（b—c）2=0,

.??a——b=0且b——c=0,BPa=bKb=c,

??a=b=c,

/.△ABC是等邊三角形.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）（1）幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零，那么每一個(gè)非負(fù)數(shù)都等

于零；（2）有兩邊相等的三角形是等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，等邊三

角形是特殊的等腰三角形.

【例2】如圖，在放AABC中，ZACB=90°,ZB=30°,CD是斜邊AB上的高，AD=3

cm,則AB的長(zhǎng)度是（）

C.9cmD.12cm

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考：）在芯ZkABC中，TCD是斜邊AB上的高，.?.NADC=90°,

.\ZACD=ZB=30°,，在以ZXACD中，AC=2AD=6cm,在aZ\ABC中，AB=2AC=12cm.

即AB的長(zhǎng)度是12cm.

【答案】D

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）運(yùn)用含30。角的直角三角形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)時(shí)，

要分清線段所在的直角三角形.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.若三角形中，三條中線都垂直于所對(duì)的邊，則此三角形是（D）

A.等腰三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（C）

A.等邊三角形是等腰三角形

B.一個(gè)外角的平分線平行于一邊的三角形是等腰三角形

C.有兩個(gè)內(nèi)角不相等的三角形不是等腰三角形

D.有兩個(gè)內(nèi)角分別是70°和40°的三角形是等腰三角形

3.%中,AB=AC,Z/1=ZG貝i]NQ600.

4.在△48C中，/B=NC=15。,AB=2cm,々?_L力夕交力的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃則喜的

長(zhǎng)度是1cm.

5.如圖所示，尸、0是△/!歐邊寬上的兩點(diǎn)，豆BP=PQ=QC=AP=AQ,求N劭C的度數(shù).

BpQC

解：???陽(yáng)=&=40,???△”0是等邊三角形，，//做=N/?，=NQJQ60°.???勿=陽(yáng),

:?NB=NPAB.又?：NB+NPAB=NAPQ=6。。,二N加=N*8=30°.同理，N3C=30°,

AZBAC=Z.BAP-\-ZPA（HZQAC=30°+60°+30°=120°.

活動(dòng)3拓展延伸（學(xué)生對(duì)學(xué)）

【例3】如圖，在△魏中，EB=ED,點(diǎn)、C在BD上,CE=CD,BELCE,力是位延長(zhǎng)線

上一點(diǎn)，力6=%試判斷△力比的形狀，并證明你的結(jié)論.

【互動(dòng)探索】出CE=CD,EB=ED,根據(jù)“等邊對(duì)等角”及三角形外角性質(zhì)，可得NCBE

出再由儲(chǔ)_1解根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得/反⑦=60°.又???力8=%從而得出

乙

△/比是等邊三角形.

【解答】△力比是等邊三角形.證明如下：

、：CE=CD,：.4CED=4D.

又?：4ECB=/CEZ/D,

：,Z.ECB=2^D.

,:BE=DE,:"CBE=/D,

:?/ECB=2/CBE,:./CBE*NECB.

■:BELCE,:"CEB=9。；

又■：ZECB+ZCBE+ZCEB=18Q。,

:./ECB+g/ECBS=189°,

???/月360°.

又??"8=優(yōu)，，△加。是等邊三角形.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）（1）已知一個(gè)三角形中兩邊相等，要證明這個(gè)三角

形是等邊三角形，有兩種方法：①證明另一邊也與這兩邊相等；②證明這個(gè)三角形中有一個(gè)

角等于60°.（2）已知一個(gè)三角形中有一個(gè)角等于60°,要證明這個(gè)三角形是等邊三角形，

有兩種方法：①證明另外兩個(gè)角也等于60°；②證明這個(gè)三角形中有兩邊相等.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

1.等邊三角形的判定定理：

[三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

1有一個(gè)角等于60。的等腰三角形是等邊三角形

2.含30°角的直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那

么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

2直角三角形

第1課時(shí)直角三角形的性質(zhì)與判定

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

1.掌握勾股定理及其逆定理，并能應(yīng)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題.

2.結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，明確原命題成立，其逆命

題不一定成立.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握直角三角形的性質(zhì)定理（勾股定理）及判定定理的證明方法.

【教學(xué)難點(diǎn)】

運(yùn)用定理解決與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

[50力?閱讀】

閱讀教材P14?P16的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3加〃反饋】

（一）直角三角形的性質(zhì)與判定

1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余.反之，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

2.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

3.如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

4.下列四組線段中，能組成直角三角形的是（D）

A.a=Lb=2,c=3

B.a=2fb=3,c=4

C.a=2,b=4,c=5

D.a=3,b=4,c=5

5.如圖所示，在中，NQ90°,若b=5,c=13,則a=12；若a=8,b=6,

則c=10.

（二）命題與逆命題

1.在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么

這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題，其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題.

2.如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱(chēng)它們?yōu)榛ツ娑ɡ?

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖，在△力比'中，NACB=90：力8=13cm,%=5cn,切_1_力8于點(diǎn)〃求:

⑴四的長(zhǎng);

（2）△力比的面積；

⑶切的長(zhǎng).

BDA

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）觀察圖形與已知條件，利用勾股定理求力C的長(zhǎng)，利用三

角形的面積公式計(jì)算△力宛的面積，利用等面積法求⑦的長(zhǎng).

【解答】（1）???在△力比'中，/ACB=9G0,49=13cm,BC=3cm,：.AC=y]A^-BCi=

12cm.

（2）S^^ASC=BCB?AC=30cm\

⑶VSA.HX=^AC?BC=^CD*AB,

AC-BC60

：.CD=AB=l3cm.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）解此類(lèi)題時(shí)，一般是先利用勾股定理求出第三邊，

利用兩種方法表示出同一個(gè)直角三角形的面積，然后根據(jù)面積相等得出一個(gè)方程，再解這個(gè)

方程即可.

【例2】寫(xiě)出下列各命題的逆命題，并判斷其逆命題是真命題還是假命題.

（1）兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)；

（2）垂直于同一條直線的兩直線平行；

（3）相等的角是內(nèi)錯(cuò)角；

（4）有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）什么是逆命題？逆命題一定是真命題嗎？

【解答】（1）逆命題：同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.該逆命題是真命題.

（2）逆命題：如果兩條直線平行，那么這兩條直線垂直于同一條直線（在同一平面內(nèi)）.該

逆命題是真命題.

（3）逆命題：內(nèi)錯(cuò)角相等.該逆命題是假命題.

（4）逆命題：等邊三角形有一個(gè)角是60°.該逆命題是真命題.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）逆命題的條件是原命題的結(jié)論，逆命題的結(jié)論是原

命題的條件.

【例3】如圖，在正方形力比〃中，AE=EB,4T加,求證：CEIEF.

AFD

0

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）觀察圖形，要證應(yīng)能考慮證△。叨是直角三角形.結(jié)

合已知條件，可考慮利用勾股定理的逆定理進(jìn)行證明.

【證明】如題圖，連結(jié)用設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為4.???四邊形ABCD為正方形，：.AB=BC

=09=〃4=4.???點(diǎn)“為08中點(diǎn)，AF=^AD,:?AE=BE=2,AF=\tDF=3,工由勾股定理，

得屋=「+22=5,￡^=22+42=20,凡2=4?+32=25.???歐+%=〃，:.叢CFE是直鳧三

角形，且/儂-90°,即比L位

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）利用勾股定理的逆定理可以判斷一個(gè)三角形是否為

直角三角形，所以此定理也是判定垂直關(guān)系的一個(gè)主要方法.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.具備下列條件的△/均。中，不是直角三角形的是（D）

A.N4+N6=NC

B.N/-N8=NC

C.ZJ：/B：AC=\：2：3

D.NA=NB=3NC

2.如圖，正方形網(wǎng)格中有△48C,若小方格邊長(zhǎng)為1,則△?1%的形狀為(A)

C.鈍角三角形【).以上答案都不對(duì)

3.命題“全等三角形的周長(zhǎng)相等”的逆命題是周長(zhǎng)相等的三角形是全等三角形.

4.如圖所示，以i?fAABC的三條邊為邊長(zhǎng)分別向外作正方形，其面積分別為S1、S2、

S3,且Si=4,52=8,則Sa=12.

5.如圖，CD是應(yīng)△ABC斜邊上的高.

(1)求證：ZACD=ZB；

⑵若AC=3,BC=4,AB=5,則求CD的長(zhǎng).

(1)證明：CD是a△ABC斜邊上的高，AZACB=ZADC=90°,AZA+ZACD=ZA

+NB=90°,AZACD=ZB.

(2)解：VAC=3,BC=4,AB=5,?CD='c?BC,/.CD=*B

LLAB33

活動(dòng)3拓展延伸(學(xué)生對(duì)學(xué))

【例4】如圖所示，在等腰直角三角形OAA1中，Z0AA!=90O,OA=1,以0人為直角邊

作等腰直角三角形0A也，以O(shè)A?為直角邊作等腰直角三角形OA2A3,…，則0An的長(zhǎng)度為.

【互動(dòng)探索】???△OAAi為等腰直角三角形，OA=1,???0Ai=，50A=qi??'△OA也為等腰

直角三角形，???042=4(^=2=(m)2.???△04次為等腰直角三角形，???0八3=*0八2=24=

(乖尸.〈△OAq為等腰直角三角形，???0人4=m0飽=4=(m)4,???，???0An=m()Ai=(m)n.

【答案】（乖尸

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定

理，熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

1.直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余；（2）直角三角形兩條直角邊的

平方和等于斜邊的平方（勾股定理）.

2.直角三角形的判定

有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形

?如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，

、那么這個(gè)三角形是直角三角形

3.逆命題：在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條

件，那么這兩個(gè)命題稱(chēng)為互逆命題，其中一個(gè)命題稱(chēng)為另一個(gè)命題的逆命題.

4.如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱(chēng)它們?yōu)榛ツ娑ɡ?

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

第2課時(shí)直角三角形全等的判斷

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

1.能夠證明直角三角形全等的“應(yīng)”定理，并能利用“應(yīng)”定理解決實(shí)際問(wèn)題.

2.進(jìn)一步掌握推理證明的方法，提升演繹推理能力和思維能力.

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

直角三角形全等的判定方法.

【教學(xué)難點(diǎn)】

直角三角形全等的判定的應(yīng)用.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

（5min閱讀】

閱讀教材n8?P20的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3加〃反饋】

1.證明三角形全等的方法有：AAS、ASA、SAS、SSS.

2.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等.這一定理可以簡(jiǎn)述為“斜邊、

直角邊”或“HL”.

3.如圖，ABAD=ABCD=W,AB=CB,可以證明△物作△的的理由是（A）

A.HLB.ASA

C.SASD.AAS

4.下列條件中能判定兩個(gè)直角三角形全等的有（D）

①有兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等；②有兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；③有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等;

④有一條直角邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；⑤有斜邊和一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等；⑥有兩條邊相等.

A.6個(gè)B.5個(gè)

C.4個(gè)D.3個(gè)

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖，已知NA=/D=90°,E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)0,且AB=

CD,BE=CF.求證：行△ABFgAYADCE.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）證明三角形全等的方法有哪些？已知兩邊對(duì)應(yīng)相等可以尋

找哪些條件證明三角形全等？

【證明】?；BE=CF,；.BE+EF=CF+EF,即BF=CE.丁NA=ND=90°,.?.△人8尸與4

BF=CE,

DCE都為直角三角形.在7?fAABF和??fADCE中，:，應(yīng)AABF絲應(yīng)△DCE（/〃）.

[AB=CD,

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）利用“比”判定三角形全等，首先要判定這兩個(gè)三

角形是直角三角形，然后找出對(duì)應(yīng)的斜邊和直角邊相等即可.

【例2】如圖，已知AD、AF分別是兩個(gè)鈍角AABC和4ABE的高，若AD=AF,AC=AE.

求證：BC=BE.

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）從圖中可以知道，要證BC=BE,可以從三角形全等入手.觀

察圖形判斷7?fAADC和/?tAAFE全等嗎？/?tAABD和/?fAABF呢？

【證明】；AD、AF分別是兩個(gè)鈍角AABC和4ABE的高，??.ND=/F=90°.在aZ\ADC

AC=AE,

和欣ZXAFE中，；，心△ADCg欣Z\AFE（比），???CD=EF.在^AABD和欣ZXABF

AD=AF,

[AB=AB,

中,Vj/.^△ABD^^AABF（^）,ABD=BF,ABD-CD=BF-EF,BPBC=BE.

AD=AF,

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）證明線段相等可通過(guò)證明三角形全等解決.直角三

角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件.

活動(dòng)2鞏固練習(xí)（學(xué)生獨(dú)學(xué)）

1.下列條件中能說(shuō)明兩個(gè)直角三角形全等的是（D）

A.銳角分別相等

B.一條直角邊分別相等

C.斜邊分別相等

D.兩直角邊分別相等

2.如圖所示，AB//EF//DC,/力比、=90。，AB=DC,那么圖中共有全等三角形（C）

3.在以ZkABC和服Z\DEF中，AB=DE,ZA=ZD=90°,再補(bǔ)充一個(gè)條件BC=EF（答

案不唯一），便可得放ZXABCg應(yīng)2XDEF.

4.如圖，AB=AD,ZABC=ZADC=90°,EF過(guò)點(diǎn)C,BE_LEF于點(diǎn)E,DF_LEF于點(diǎn)F,

BE=DF.求證：a△BCEga/XDCF.

證明：連結(jié)BD.???AB=AD,/.ZABD=ZADB.VZABC=ZADC=90°,AZCBD=ZCDB,

BC=DC,

ABC=DC.VBE±EF,DF±EF,/.ZE=ZF=9O0.在7?fABCE和^ADCF中，,乂

BE=DF,

A^ABCE>?fADCF（//L）.

活動(dòng)3拓展延伸（學(xué)生對(duì)學(xué)）

【例3】如圖，在欣ZXABC中，NC=90°,AC=20,BC=10,PQ=AB.點(diǎn)P、Q分別在

線段AC和過(guò)點(diǎn)A且垂直于AC的射線AM上運(yùn)動(dòng)，且點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

到什么位置時(shí)，才能使aABC與△APQ全等？

【互動(dòng)探索】本題要分情況討論：（□/△APQg??〃\CBA,此時(shí)AP=BC=10,可據(jù)此求

出點(diǎn)P的位置；（2）應(yīng)ZXQAPg應(yīng)Z\BCA,此時(shí)AP=AC,P、C重合，不合題意.

【解答】分情況討論：⑴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AP=BC時(shí)，在放AABC和服4QPA中，ZC=

ZQAP=90°,BC=AP,AB=PQ,，/ZXABC也以4QPA（血），即AP=BC=10；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)

動(dòng)到與點(diǎn)C重合時(shí)，AP=AC,不合題意.綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)A為10時(shí)，4ABC

與4APQ全等.

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）判定三角形全等的關(guān)鍵是找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，由于

本題沒(méi)有說(shuō)明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，因此要分類(lèi)討論，以免漏解.

環(huán)節(jié)3課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

（學(xué)生息結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）

直角三角形全等的判定定理：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)宜角三角形全等.這一

定理可以簡(jiǎn)述為“斜邊、直角邊”或“HL”.

練習(xí)設(shè)計(jì)

請(qǐng)完成本課時(shí)對(duì)應(yīng)練習(xí)！

3線段的垂直平分線

第1課時(shí)線段的垂直平分線

教學(xué)目標(biāo)

一、基本目標(biāo)

1.掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理，能夠利用這兩個(gè)定理解決一些問(wèn)題.

2.經(jīng)歷探索、猜測(cè)、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明能力，豐富對(duì)幾何圖形

的認(rèn)識(shí).

二、重難點(diǎn)目標(biāo)

【教學(xué)重點(diǎn)】

掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理.

【教學(xué)難點(diǎn)】

證明線段的垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理.

教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)1自學(xué)提綱，生成問(wèn)題

（5min閱讀】

閱讀教材？2?P23的內(nèi)容，完成下面練習(xí).

[3加〃反饋】

1.線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.

2.到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.

3.如圖所示，已知直線1W是線段力8的垂直平分線，垂足為〃，點(diǎn)尸是腑,上一點(diǎn)，若

45=10cm,則占9=5cm；若處=10cm,則加=10cm.

M

P

\DB

N

環(huán)節(jié)2合作探究，解決問(wèn)題

活動(dòng)1小組討論（師生互學(xué)）

【例1】如圖，在△力比'中，48=4C=20cm,應(yīng)垂直平分力8,垂足為￡,交AC于點(diǎn)、D,

若△胸的周長(zhǎng)為35cm,則用的長(zhǎng)為（）

A.5cmB.10cm

C.15cmD.17.5cm

【互動(dòng)探索】（引發(fā)學(xué)生思考）ZWBC的周長(zhǎng)等于哪些線段的和？利用線段的垂直平分線

的性質(zhì)可?以將4DBC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為哪些線段的和（差）關(guān)系？

【分析】由題意可知，ADBC的周長(zhǎng)=BC+BD+CD=35cm.丁DE垂直平分AB,二AD=

BD,.\BC+AD+CD=35cm,XVAC=AD+DC=20cm,/.BC=35-20=15（efl7）.

【答案】C

【互動(dòng)總結(jié)】（學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以實(shí)現(xiàn)線段之間的

相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長(zhǎng).

【例2】