廣東省汕頭市潮陽(yáng)區(qū)2024—2025學(xué)年度下九年級(jí)第一次模擬考數(shù)學(xué)試題本試卷共五大題，滿(mǎn)分120分，時(shí)間120分鐘．一、選擇題（每小題3分，共30分）1.由開(kāi)發(fā)的人工智能助手在全球范圍內(nèi)掀起了一股熱潮，據(jù)國(guó)內(nèi)產(chǎn)品榜統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，這款推理型AI聊天機(jī)器人在上線(xiàn)僅20天后，其日活躍用戶(hù)數(shù)達(dá)22150000．將數(shù)據(jù)22150000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.2.下列計(jì)算正確的是（）A. B. C. D.3.小華想了解某地某天的天氣情況，在某氣象網(wǎng)站查詢(xún)到該地這天的最低氣溫為，最高氣溫為，則該地這天的最高氣溫與最低氣溫的差為（）A. B. C. D.4.要說(shuō)明命題“兩個(gè)數(shù)相加，和一定大于其中一個(gè)加數(shù)”是假命題，能夠作為反例的是（）A. B. C. D.5.如圖，菱形中，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)E，若，則（）A. B. C. D.6.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流（單位：A）與電阻（單位：）是反比例函數(shù)關(guān)系．下列反映電流與電阻之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為，把縮小，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A. B.C.或 D.或8.如圖，大正方形面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積是（

）A B. C. D.9.正方形內(nèi)接于，P劣弧上任意一點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.10.如圖所示，將形狀和大小完全相同“”按一定規(guī)律擺成下列圖形．第1幅圖中“”的個(gè)數(shù)為3，第2幅圖中“”的個(gè)數(shù)為8，第3幅圖中“”的個(gè)數(shù)為15，…，以此類(lèi)推，第7幅圖中“”的個(gè)數(shù)為（）A.35 B.48 C.56 D.63二、填空題（每小題3分，共15分）11.已知，則________．12.若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍是________．13.不等式組整數(shù)解的和為_(kāi)_______．14.如圖，，兩點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．若將橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)，則線(xiàn)段，及反比例函數(shù)圖象上，兩點(diǎn)之間的部分圍成的區(qū)域（不含邊界）中，整點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)________．15.如圖，D是中上中點(diǎn)，連接，是的中線(xiàn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與交于點(diǎn)，則________．三、解答題（每小題7分，共21分）16.計(jì)算：．17.先化簡(jiǎn)，再?gòu)模?，1四個(gè)數(shù)字中選擇一個(gè)你喜歡的數(shù)代入上式求值．18.如圖，四邊形是矩形，連接．（1）實(shí)踐操作∶利用尺規(guī)作的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)M．(要求∶尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母)（2）猜想證明：在所作的圖中，猜想線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．四、解答題（每小題9分，共27分）19.如圖，是的直徑，C為外一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)，交線(xiàn)段于點(diǎn)E，．（1）求證：．（2）判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．20.中秋節(jié)是我國(guó)的傳統(tǒng)節(jié)日．月餅是中秋節(jié)的一種美食之一，月餅寓意著團(tuán)圓和完美．“豆沙餅”是某地的特色月餅，深受當(dāng)?shù)厝藗兊南矏?ài)．某商店在中秋節(jié)來(lái)臨之前，去當(dāng)?shù)氐挠褙堬灱矣嗁?gòu)普通豆沙月餅和蛋黃豆沙月餅兩種進(jìn)行試銷(xiāo)．已知蛋黃豆沙月餅的單價(jià)是普通豆沙餅單價(jià)的倍，用元購(gòu)進(jìn)蛋黃豆沙餅的數(shù)量比用元購(gòu)進(jìn)普通豆沙月餅的數(shù)量多個(gè)．（1）普通豆沙月餅和蛋黃豆沙月餅的單價(jià)分別是多少？（2）若某商店把蛋黃豆沙月餅以元銷(xiāo)售時(shí)，那么半個(gè)月可以售出個(gè)．根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，把這個(gè)蛋黃豆沙月餅的單價(jià)每提高元，銷(xiāo)量會(huì)相應(yīng)減少個(gè)．將售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使半個(gè)月獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？21.在學(xué)習(xí)了勾股定理后，小品對(duì)他家附近的一個(gè)公園里的音樂(lè)噴泉池產(chǎn)生了測(cè)量興趣，如圖，音樂(lè)噴泉池為四邊形，在連線(xiàn)上有一地方性標(biāo)志物，據(jù)了解，修建該噴泉池時(shí)要求，四邊形為人行觀賞步道，小品通過(guò)儀器測(cè)量得到，在的正西方，在的東北方向，且，在的正南方150米處，恰好又在的南偏東方向，由此他腦海里產(chǎn)生了以下數(shù)學(xué)問(wèn)題，請(qǐng)你幫他解決一下．（參考數(shù)據(jù)：，，，）（1）求、之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）小品和姐姐同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，沿著不同的方向到點(diǎn)匯合，其中小品沿著①：的方向步行，姐姐沿著②的方向步行，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明哪一條路更近？（結(jié)果精確到個(gè)位）五、解答題（第22題13分，第23題14分，共27分）22.【問(wèn)題情境】如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段（旋轉(zhuǎn)角小于），連接，、以為底邊在其上方作等腰三角形，使，連接．【嘗試探究】（1）如圖，當(dāng)時(shí)，易知；如圖，當(dāng)時(shí)，則與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____；（2）如圖，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖，當(dāng)且點(diǎn)，、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)若，，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．23.如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，．拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）若在拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)，使得是以為直角邊的直角三角形，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）以點(diǎn)為圓心，畫(huà)半徑為的圓，為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)求出的最小值．參考答案一、選擇題（每小題3分，共30分）1.選：B．2.選A3.選：D．4.選：．5.選：A．6.選：D．7.選D．8.選：C．9.選：C．10.選D．二、填空題（每小題3分，共15分）11.答案為：1812.答案為：．13.答案為：．14.答案為：和．15.答案為：三、解答題（每小題7分，共21分）16.解：．17.解：，，，，；根據(jù)分式有意義的條件，x不能為，0，當(dāng)時(shí)，原式．18.（1）解：如圖，即為所求，（2）解：猜想，證明：∵四邊形是矩形，∴，，，∵．∴，，∵，∴∵的平分線(xiàn)，交于點(diǎn)M．∴，∴，∴四、解答題（每小題9分，共27分）19.（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：與相切，理由如下：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴與相切．20.（1）解：設(shè)普通豆沙餅的單價(jià)是元，則蛋黃豆沙餅的單價(jià)是元，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的解且符合題意，∴（元），答：普通豆沙餅的單價(jià)是元，蛋黃豆沙餅的單價(jià)是元；（2）設(shè)售價(jià)定為元，利潤(rùn)為元，依題意，得：，∵∴二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，函數(shù)有最大值，∴當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為元，答：當(dāng)售價(jià)定為元時(shí)，才能使半個(gè)月獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元．21.（1）解：連接，由題意得，，米，在中，，由勾股定理得，即，解得，，∵，∴，∴米；（2）解：∵在的東北方向，∴，∵，∴，∴，由勾股定理得，∴，∴米，在中，，∴米，∵，∴路線(xiàn)②更近．五、解答題（第22題13分，第23題14分，共27分）22.解：（1）當(dāng)時(shí)，和是等腰直角三角形，，，，，，故答案為：；（2）．理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，同理可得：，，，，，；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，．．線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，．．是以為底邊的等腰三角形，，，．．．．，．設(shè)，則，，，．．，，，，，，，，．23.（1）解：∵拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，，∴，．∴將代入，得，解得，拋物線(xiàn)的解析式為；（2）解：存在點(diǎn)，理由如下：直線(xiàn)的解析式為，將代入得解得：∴直線(xiàn)的解析式為：∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，，∴，①當(dāng)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，∵，，二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為，∴，，軸，∴等腰直角三角形，，∵，∴，且，∴，∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，解得，直線(xiàn)的解析式為，解方程組，得或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；②∵，，∴∴∴是直角三角形