第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6+4i(1+i)2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在平行四邊形ABCD中，E是對(duì)角線AC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，則(

)A.BE=?13AB+23AD 3.若圓錐的軸截面(過圓錐軸的一個(gè)截面)是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則該圓錐的側(cè)面積為(

)A.π B.2π C.3π D.4π4.已知向量a，b滿足|a|=2，b=(1,3)，且a?b=4，則向量aA.55 B.255 5.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，則△ABC的面積為(

)A.1532 B.66 6.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部大于等于1，則|1z+1+i|的最小值為A.2 B.3 C.137.已知正四棱錐P—ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，高為3，則其內(nèi)切球半徑是(

)A.1 B.3?32 C.8.如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成θ角的兩條數(shù)軸，e1，e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量，若向量OP=xe1+ye2，則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量OP在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，則該坐標(biāo)系中A.(x1?x2)2+(y二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1，z2，則下列命題一定成立的有(

)A.若|z1+z2|=0，則z1?=?z2?10.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的是(

)A.若sinA>sinB，則A>B

B.若tanA+tanB+tanC>0，則△ABC是銳角三角形

C.若a=10，b=8，A=60°，則符合條件的△ABC有兩個(gè)

D.對(duì)任意△ABC，都有cosA+cosB>011.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.按照以下方式可構(gòu)造一個(gè)半正多面體：如圖1，在一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正方體中，B1E1=B1F1=B1G1=a，A1A.當(dāng)a=1時(shí)，該幾何體是一個(gè)半正多面體

B.若該幾何體是由正八邊形與正三角形圍成的半正多面體，則邊長(zhǎng)為4?22

C.若該幾何體是由正方形與正三角形圍成的半正多面體，則體積為1603三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且ab≠0，虛數(shù)z為方程ax2+bx+a=0的一個(gè)根，則|z|的值為______．13.如圖所示，A，B，C，D為空間四點(diǎn)，在△ABC中，AB=2，AC=BC=2，等邊三角形ADB以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，當(dāng)平面ADB⊥平面ABC時(shí)，CD=______．14.某同學(xué)在學(xué)習(xí)和探索三角形相關(guān)知識(shí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對(duì)的外接圓的三條圓弧(劣弧)沿著三角形的邊進(jìn)行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且此交點(diǎn)為該三角形的垂心(即三角形三條高線的交點(diǎn))如圖，已知銳角△ABC外接圓的半徑為4，且三條圓弧沿△ABC三邊翻折后交于點(diǎn)P.若AB=6，則cos∠PAC=______；若AC：AB：BC=6：5：4，則PA+PB+PC的值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，我國(guó)南海某處的一個(gè)海域上有四個(gè)小島，小島B與小島A、小島C相距都為5海里，與小島D相距為35海里.∠BAD為鈍角，且sinA=35．

(1)求小島A與小島D之間的距離；

(2)已知∠BCD與16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為4，D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：BC1//平面A117.(本小題15分)

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，且(ac?1)sinC=sin(A+2C)．

(1)求角B；

(2)若a=218.(本小題17分)

如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點(diǎn)．

(1)若cos∠CAB=13，當(dāng)k為何值時(shí)，AC+2AB與kAC?AB垂直？

(2)若G為△ABC的重心，直線l過點(diǎn)G交邊AB于點(diǎn)P，交邊AC于點(diǎn)Q，且AP=λAB,AQ=μ19.(本小題17分)

如圖1，由射線PA、PB、PC構(gòu)成的三面角P?ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A?PC?B的大小為θ，類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：cosγ=cosαcosβ+sinαsinβcosθ．

(1)如圖2，在三棱錐A?BCD中，△ABD為等腰直角三角形，∠BAD=90°，△BCD為等邊三角形，∠ABC=90°，求二面角A?BD?C平面角的正弦值；

(2)如圖3，在三棱錐A?BCD中，AH⊥平面BCD，AE⊥BD，連接HE，AB=4，∠ABD=45°，∠CBD=60°，∠ABC=90°，BC+BD=6，求三棱錐A?BCD體積的最大值；

(3)當(dāng)α、β、γ∈(0,π2)時(shí)，請(qǐng)?jiān)趫D1的基礎(chǔ)上，試證明三面角余弦定理．參考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.B

6.C

7.D

8.D

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.1

13.2

14.34

；2315.16.(1)證明：連接AC1交A1C于O，

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱長(zhǎng)均為4，

因此四邊形AA1C1C是正方形，所以O(shè)是AC1的中點(diǎn)，而D是AB的中點(diǎn)，

因此有OD//BC1，而OD?平面A1DC，BC1?平面A1DC，

所以BC1//平面A1DC；

(2)解：由(1)可知：OD//BC1，

因此異面直線A1D與BC1所成角為∠A117.18.19.解：(1)取BD的中點(diǎn)P，連接PA，PC，如圖所示，

則BD⊥PA，BD⊥PC，于是∠APC是二面角A?BD?C的平面角，

設(shè)AB=1，則AP=22,PC=62,AC=3，

由余弦定理得cos∠APC=AP2+PC2?AC22AP?PC=12+32?32×22×62=?33，

故sin∠APC=63．

(2)二面角A?BD?C的平面角的大小為θ，

利用三面角余弦定理得cos90°