2024-2025學(xué)年四川省廣安市高二下學(xué)期第一次月考（3月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若是等差數(shù)列，且，，則（）A.39 B.20 C.19.5 D.33【正確答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出，，可得公差，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)?，且是等差?shù)列，所以，所以，因?yàn)?，且是等差?shù)列，所以，所以，所以公差，所以.故選：D本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知正項(xiàng)等比數(shù)列，若，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（）A. B.15 C.20 D.25【正確答案】D【分析】利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出．【詳解】，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，為正項(xiàng)等比數(shù)列，．故選：D3.在等比數(shù)列中，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且已知前項(xiàng)和，所以可求通項(xiàng)，進(jìn)而可求，仍然是等比數(shù)列，再利用求前項(xiàng)和公式解出結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，解得，，所以是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，則，那么，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以根據(jù)前項(xiàng)和公式得.故選.4.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，則=A.3 B. C. D.【正確答案】D【詳解】分析：先根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義將極限化成在的導(dǎo)數(shù)定義形式，再代入求結(jié)果.詳解：,選D.點(diǎn)睛：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為,形式多樣，注意實(shí)質(zhì).5.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由函數(shù)的圖象可知單調(diào)性，再根據(jù)圖象切線斜率的變化可判斷的單調(diào)性，從而得出結(jié)果.【詳解】解：由函數(shù)的圖像可知：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，又在各點(diǎn)處的切線的斜率越來(lái)越大且為正，所以，即.故選：A6.等比數(shù)列中，首項(xiàng)，則數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列的條件是公比滿足（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可表示出；分別在和的情況下進(jìn)行分析得到結(jié)果.【詳解】由題意得：，，嚴(yán)格遞增數(shù)列，，又，；當(dāng)，即時(shí)，只需恒成立，；當(dāng)，即時(shí)，，不合題意；綜上所述：公比滿足.故選：C.7.已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得到，進(jìn)而利用累加法可求得結(jié)果．【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，

，

，

，且，

，

故選：A．8.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，列出不等式，解不等式即可.【詳解】數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，可知當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，即或，解得；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增恒成立，且，即；解得，所以若數(shù)列單調(diào)遞增數(shù)列，則，故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BC【分析】直接利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)逐一求解得答案.【詳解】對(duì)于A,，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC.10.古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來(lái)研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀诺男螤?，把數(shù)分成許多類(lèi)，如圖1，圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，3，6，10，…稱為三角形數(shù)，如圖2，圖形中黑色小點(diǎn)個(gè)數(shù)：1，4，9，16，…稱為正方形數(shù)，記三角形數(shù)為數(shù)列，正方形數(shù)為數(shù)列，則（）A. B. C. D.【正確答案】ACD【分析】利用觀察歸納法，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，再逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】依題意，，，AD正確；，，B錯(cuò)誤；，，C正確.故選：ACD11.下列說(shuō)法正確的是（）A.若為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，…仍為等差數(shù)列B.若為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則，，，仍為等比數(shù)列C.若為等差數(shù)列，，，則前項(xiàng)和有最大值D.若數(shù)列滿足，則【正確答案】ACD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，可判定A正確；當(dāng)時(shí)，取，得到，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；化簡(jiǎn)得到，利用裂項(xiàng)法，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，，，可得，所以，，，?gòu)成等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B中，設(shè)數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)，此時(shí)不成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)，時(shí)，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，此時(shí)所有正數(shù)項(xiàng)和為的最大值，故C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以或，則，所以，所以.因?yàn)椋?，可得，所以，故D正確.故選：ACD方法點(diǎn)睛：由，得到，進(jìn)而得出，結(jié)合“裂項(xiàng)法”求解是解答本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的最小值為_(kāi)__________．【正確答案】28【分析】由已知可得求出等差數(shù)列基本量，并寫(xiě)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，利用基本不等式及易知當(dāng)或5時(shí)目標(biāo)式有最小值，寫(xiě)出最小值即可.【詳解】由題設(shè)，，可得，即，∴，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故當(dāng)或5時(shí)，的最小值為.故13.法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中給出一個(gè)定理：如果函數(shù)滿足如下條件：（1）在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；（2）在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù)．則在區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，其中稱為“拉格朗日中值”．函數(shù)在區(qū)間上的“拉格朗日中值”______．【正確答案】##【分析】由拉格朗日中值定理求得，求得的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算可得在區(qū)間,上的拉格朗日中值．【詳解】由拉格朗日中值定理可得,即有，由，，可得，解得，故．14.已知數(shù)列滿足，則最接近的整數(shù)為_(kāi)__________.【正確答案】4【分析】令，將原遞推化簡(jiǎn)為可得是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.進(jìn)而得到，再根據(jù)的范圍確定的范圍即可【詳解】令，則且，原遞推即為，整理后即為，由得，即，故是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列.所以.所以，另一方面，，所以，綜上所述，，所以與之最接近的整數(shù)為4.故4四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列前n項(xiàng)和，滿足．（1）證明是等比數(shù)列；（2）數(shù)列，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）由得，.從而得到是等比數(shù)列.（2）將代入并化簡(jiǎn)得，裂項(xiàng)相消即可.【小問(wèn)1詳解】由得：，，所以，即，，當(dāng)時(shí)，，則，所以是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則，故，.所以.16.記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）由的關(guān)系求的通項(xiàng)公式；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.【小問(wèn)2詳解】由題知，所以，，兩式相減得所以17.已知函數(shù).（1）求曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1，-2)處的切線方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(2，2)作曲線y=f(x)的切線，求此切線的方程.【正確答案】（1）；（2）與.【分析】（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)即為在點(diǎn)P(1，-2)處的切線斜率，代入點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)則可求出切線方程；（2）根據(jù)函數(shù)方程設(shè)出切點(diǎn)，求得在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，代入點(diǎn)斜式方程，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)P(2，2)，將點(diǎn)代入直線方程，可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出切線方程.【詳解】解：（1）由題意可知，則在處的切線斜率，則在點(diǎn)P(1，-2)處的切線方程為：，即切線方程為.（2）因?yàn)椋栽O(shè)切點(diǎn)為，斜率為則所求切線方程為：①因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(2，2)，所以有解得：或代入①化簡(jiǎn)可得切線方程為：或.方法點(diǎn)睛：（1）求切線方程分為在點(diǎn)處的切線和過(guò)點(diǎn)處的切線，在點(diǎn)處的切線，直接求導(dǎo)得到切線的斜率，代入點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)即可；（2）過(guò)點(diǎn)處的切線，需設(shè)切點(diǎn)，求出在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，然后寫(xiě)出點(diǎn)斜式方程，將所過(guò)的點(diǎn)代入直線方程，求解，然后重新代入化簡(jiǎn)可求出直線方程.18.王先生今年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房貸款80萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)住房，按復(fù)利計(jì)算，并從貸款后的次月初開(kāi)始還貸，分10年還清．銀行給王先生提供了兩種還貸方式：①等額本金：在還款期內(nèi)把本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余本金在該月所產(chǎn)生的利息；②等額本息：在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款(包括本金和利息)．（1）若王先生采取等額本金的還貸方式，已知第一個(gè)還貸月應(yīng)還10333元，最后一個(gè)還貸月應(yīng)還6667元，試計(jì)算王先生該筆貸款的總利息；（2）若王先生采取等額本息的還貸方式，貸款月利率為0.3％，銀行規(guī)定每月還貸額不得超過(guò)家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入為17000元，試判斷王先生該筆貸款能否獲批(不考慮其他因素)．參考數(shù)據(jù)【正確答案】（1）元（2）能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）每月還款金額構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，求和得到總金額，減去本金得到利息.（2）設(shè)王先生每月還款為元，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)得到方程，解得答案.【小問(wèn)1詳解】每月還款金額構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)為，表示數(shù)列前項(xiàng)和，則，，故，故總利息為：(元).【小問(wèn)2詳解】設(shè)王先生每月還款為元，則，即，解得，，故貸款能夠獲批.19.記是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的的最小值；（3）求數(shù)列的前項(xiàng)的和．【正確答案】（1）（2）4