概率論重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)日期：}演講人：目錄概率論基本概念古典概型與幾何概型條件概率與獨(dú)立性隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征大數(shù)定律與中心極限定理概率論基本概念01對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀測與記錄，具有可重復(fù)性。隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果。樣本點(diǎn)01020304在一定條件下，并不總是發(fā)生，也不總是不發(fā)生的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合。樣本空間隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)所有可能結(jié)果的集合。樣本空間的定義樣本空間與基本事件樣本空間中的單個(gè)元素，即不能再分解為更簡單的隨機(jī)事件。基本事件由兩個(gè)或更多基本事件組成的事件。復(fù)合事件在一定條件下一定會(huì)發(fā)生的事件，概率為1。必然事件事件的關(guān)系與運(yùn)算事件的包含關(guān)系如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A。事件的并兩個(gè)或兩個(gè)以上事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率。事件的交兩個(gè)或兩個(gè)以上事件同時(shí)發(fā)生的概率。事件的差事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的概率。概率的定義與性質(zhì)在大量重復(fù)試驗(yàn)下，事件發(fā)生的相對(duì)頻率。概率的統(tǒng)計(jì)定義事件發(fā)生的次數(shù)與所有可能事件次數(shù)之比。概率的古典定義非負(fù)性、規(guī)范性、可加性。概率的性質(zhì)古典概型與幾何概型02古典概型也叫傳統(tǒng)概率，其定義是由法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯提出的。如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)所包含的單位事件是有限的，且每個(gè)單位事件發(fā)生的可能性均相等，則這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)叫做拉普拉斯試驗(yàn)，這種條件下的概率模型就叫古典概型。古典概型的定義在古典概型中，事件A發(fā)生的概率P(A)等于事件A包含的基本事件數(shù)與總的基本事件數(shù)之比，即P(A)=事件A包含的基本事件數(shù)/總的基本事件數(shù)。計(jì)算公式古典概型及其計(jì)算公式排列與組合的應(yīng)用組合的定義從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素并考慮其組合方式，叫做從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的組合。排列與組合在古典概型中的應(yīng)用在古典概型中，常常需要計(jì)算基本事件數(shù)，這時(shí)候就需要用到排列與組合的知識(shí)。例如，從n個(gè)不同元素中取m個(gè)元素的所有排列數(shù)或組合數(shù)就是基本事件數(shù)。排列的定義從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素按一定順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列。030201幾何概型的定義幾何概型是一種概率模型，在這個(gè)模型下，隨機(jī)試驗(yàn)所有可能的結(jié)果是無限的，并且每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的概率是相同的。幾何概型的計(jì)算方法幾何概型的計(jì)算方法主要分為“無限化”和“等可能”兩步。首先確定試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是無限多的，然后分析每個(gè)基本結(jié)果發(fā)生的可能性是否相等。如果相等，則可以使用幾何概型進(jìn)行計(jì)算。幾何概型的定義與計(jì)算方法典型例題解析例題2從1到100中隨機(jī)選取一個(gè)整數(shù)，問這個(gè)整數(shù)能被3整除的概率是多少？例題1一個(gè)盒子里有10個(gè)紅球和10個(gè)白球，每次從中取一個(gè)球，取后放回，連續(xù)取三次，問三次都取到紅球的概率是多少？條件概率與獨(dú)立性03條件概率是指事件A在另外一個(gè)事件B已經(jīng)發(fā)生條件下的發(fā)生概率，表示為P(A|B)。條件概率定義條件概率具有概率的所有性質(zhì)，包括取值范圍在0到1之間、和為1等。條件概率性質(zhì)條件概率可以通過聯(lián)合概率計(jì)算得到，即P(A|B)=P(A,B)/P(B)。條件概率與聯(lián)合概率的關(guān)系條件概率的定義與性質(zhì)010203乘法公式乘法公式是計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率的公式，即P(A,B)=P(A|B)P(B)。全概率公式貝葉斯公式乘法公式、全概率公式和貝葉斯公式全概率公式是將一個(gè)復(fù)雜事件分解為多個(gè)簡單事件，并計(jì)算這些簡單事件的概率之和的公式，即P(A)=∑P(A|Bi)P(Bi)。貝葉斯公式是通過條件概率和乘法公式推導(dǎo)出來的，用于計(jì)算反向條件概率的公式，即P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/P(A)。事件的獨(dú)立性概念及判定方法獨(dú)立性的重要性獨(dú)立性是概率論中的重要概念，它簡化了概率的計(jì)算，并有助于理解復(fù)雜事件的本質(zhì)。獨(dú)立性判定方法如果P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)，則可以判斷A和B是相互獨(dú)立的。獨(dú)立性定義如果兩個(gè)事件A和B的發(fā)生與否互不影響，則稱A和B是相互獨(dú)立的。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)。二項(xiàng)分布定義二項(xiàng)分布性質(zhì)二項(xiàng)分布具有期望E(X)=np和方差D(X)=np(1-p)等性質(zhì)，這些性質(zhì)在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中有廣泛應(yīng)用。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下重復(fù)進(jìn)行相互獨(dú)立的試驗(yàn)。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布隨機(jī)變量及其分布04隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量按其取值特點(diǎn)可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的概念及分類離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量的定義常見的離散型隨機(jī)變量分布離散型隨機(jī)變量是可數(shù)的、可以一一列出的隨機(jī)變量。分布律的定義分布律是描述離散型隨機(jī)變量取各個(gè)可能值的概率的表格或公式。二項(xiàng)分布、泊松分布等。常見的連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。連續(xù)型隨機(jī)變量的定義連續(xù)型隨機(jī)變量是取值連續(xù)不斷的隨機(jī)變量。概率密度函數(shù)的定義概率密度函數(shù)是描述連續(xù)型隨機(jī)變量取值概率的函數(shù)，其積分值等于隨機(jī)變量取某一區(qū)間的概率。連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)分布函數(shù)的定義分布函數(shù)是隨機(jī)變量取值小于或等于某個(gè)值的概率，即F(x)=P(X≤x)。分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)是單調(diào)不減函數(shù)，且滿足F(x)在正負(fù)無窮處分別為0和1。分布函數(shù)與概率密度函數(shù)的關(guān)系對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的數(shù)字特征05數(shù)學(xué)期望的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法線性性質(zhì)、加法性質(zhì)、乘法性質(zhì)等。數(shù)學(xué)期望性質(zhì)試驗(yàn)中每次可能結(jié)果的概率乘以其結(jié)果的總和。數(shù)學(xué)期望定義根據(jù)定義直接計(jì)算或利用性質(zhì)簡化計(jì)算。數(shù)學(xué)期望計(jì)算方法衡量隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望之間偏離程度的量。方差定義非負(fù)性、加法性質(zhì)、線性變換不變性等。方差性質(zhì)根據(jù)定義計(jì)算或利用公式進(jìn)行計(jì)算，如離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的方差計(jì)算。方差計(jì)算方法方差的定義、性質(zhì)和計(jì)算方法對(duì)稱性、線性變換性質(zhì)等。協(xié)方差性質(zhì)衡量兩個(gè)隨機(jī)變量之間線性關(guān)系密切程度的量。相關(guān)系數(shù)定義01020304反映兩個(gè)隨機(jī)變量協(xié)同變化程度的量。協(xié)方差定義正相關(guān)、負(fù)相關(guān)、不相關(guān)等，以及相關(guān)系數(shù)的取值范圍。相關(guān)系數(shù)意義協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念及意義矩的概念描述隨機(jī)變量分布形態(tài)的統(tǒng)計(jì)量，包括原點(diǎn)矩和中心矩。偏度性質(zhì)正值表示右偏，負(fù)值表示左偏。峰度定義衡量數(shù)據(jù)分布峰態(tài)的量，反映分布的尖峭程度。峰度性質(zhì)峰度大于3表示尖峭峰，小于3表示扁平峰。矩、偏度和峰度的概念01030504偏度定義衡量數(shù)據(jù)分布偏斜程度的量，反映分布的對(duì)稱性。02大數(shù)定律與中心極限定理06大數(shù)定律定義大數(shù)定律是概率論中討論隨機(jī)變量序列的算術(shù)平均值向隨機(jī)變量各數(shù)學(xué)期望的算術(shù)平均值收斂的定律。大數(shù)定律意義在重復(fù)試驗(yàn)中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)趨于無窮時(shí)，事件發(fā)生的頻率趨于事件的概率，為概率的頻率解釋提供了理論基礎(chǔ)。大數(shù)定律的概念及意義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變數(shù)取區(qū)間（0，∞）上的值，F(xiàn)(x)是它的分布函數(shù)，設(shè)Xα（α>0）的數(shù)學(xué)期望M(Xα)存在，a>0，則不等式表示X的取值與其數(shù)學(xué)期望的偏差超過a的概率有一個(gè)上界，這個(gè)上界與α和X的數(shù)學(xué)期望有關(guān)。切比雪夫不等式隨機(jī)變量序列依概率收斂于某個(gè)常數(shù)或隨機(jī)變量，意味著當(dāng)序列長度趨于無窮時(shí)，該序列與常數(shù)或隨機(jī)變量的偏差超過任意正數(shù)的概率趨于0。依概率收斂切比雪夫不等式和依概率收斂中心極限定理內(nèi)容：在一定條件下，大量獨(dú)立隨機(jī)變量的和近似服從正態(tài)分布。中心極限定理應(yīng)用近似計(jì)算某些隨機(jī)事件的概率。抽樣調(diào)查中，