培優(yōu)沖刺02二次函數(shù)與幾何的綜合

°機(jī)題型大集合

1、二次函數(shù)與特殊四變形的綜合

2、二次函數(shù)與最值的綜合

3、二次函數(shù)與相似的綜合

4、二次函數(shù)與新定義的綜合

題型一：二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合

此類問題都是在拋物線的基礎(chǔ)之上與平行四邊形、特殊平行四邊形結(jié)合，考察特殊平行四邊形的性質(zhì)

或者存在性問題；做題時需要將二者的性質(zhì)結(jié)合思考，共同應(yīng)用。

【中考真題練】

1.（2023?揚州）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知點A在y軸正半軸上.

（1）如果四個點（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1,1）中恰有三個點在二次函數(shù)y=o?（。為常

數(shù)，且aWO）的圖象上.

①。=;

②如圖1,已知菱形ABCO的頂點從C、。在該二次函數(shù)的圖象上，且軸，求菱形的邊長；

③如圖2,已知正方形4BCO的頂點仄。在該二次函數(shù)的圖象上，點8、。在），軸的同側(cè)，且點B在點

D的左側(cè)，設(shè)點8、。的橫坐標(biāo)分別為〃?、小試探究〃-加是否為定值.如果是，求出這個值；如果不

是，請說明理由.

（2）已知正方形ABC。的頂點8、。在二次函數(shù)（〃為常數(shù)，且“＞（））的圖象上，點8在點。

的左側(cè)，設(shè)點8、。的橫坐標(biāo)分別為小、人直接寫出小、〃滿足的等量關(guān)系式.

2.（2023?棗莊）如圖，拋物線y=-Y+法+c經(jīng)過4（-1,0；,C（0,3）兩點，并交x軸于另一點B,

點M是拋物線的頂點，直線AM與），軸交于點。.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）若點”是x軸上一動點，分別連接M”，DH,求MH+D〃的最小值；

（3）若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點。，使得以。，M,P,Q為頂點的四邊形是

平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

3.（2023?濟(jì)寧）如圖，直線y=?x+4交x軸于點&交y軸于點C,對稱軸為的拋物線經(jīng)過bC

兩點，交x軸負(fù)半軸于點A，P為拋物線上一動點，點P的橫坐標(biāo)為〃?，過點。作x軸的平行線交拋物

線于另一點M，作x軸的垂線PM垂足為N,直線MN交），軸于點。.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若0<m<2,當(dāng)，“為何值時，四邊形CDNP是平行四邊形？

2

（3）若1n<工，設(shè)直線MN交直線"C于點'是否存在這樣的/〃值，使用N=2M《？若存在，求出此

2

備用圖

【中考模擬練】

1.（2024?新沂市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)）uad+bx-3的圖象交x軸于4（7,0）、

B(3,0)兩點，交)，軸于點C,點尸在線段。8上，過點尸作尸。_Lx軸，交拋物線于點0,交直線BC

于點E.

(1)a=,b=；

(2)在點P運動過程中，若ACDE是直角三角形，求點尸的坐標(biāo)；

(3)在)，軸上是否存在點尸，使得以點C、。、E、尸為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點尸

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

題型二：二次函數(shù)與最值的綜合

g艮

1、二次函數(shù)本身可以轉(zhuǎn)化成頂點式求最值；

2二拋物線上不規(guī)則三角形求面積最大值常用：水平寬X鉛垂高士2二來計算

【市若真題練】

1.(2023?荊州)已知：y關(guān)于X的函數(shù)y=(a-2)/+(a+1)x+b.

(I)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點，且。=4力，則。的值是；

(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個公共點A(-2,0),B(4,0),并與動直線/：x

=〃？(0</?<4)交于點尸，連接以，PB,PC,BC,其中外交)，軸于點。，交BC于點E.設(shè)APBE

的面枳為Si,△。?！甑拿娣e為52.

①當(dāng)點尸為拋物線頂點時，求APBC的面積；

②探究直線/在運動過程中，Si-S2是否存在最大值？若存在，求出這個最大值：若不存在，說明理由.

2.（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ad+取+2過點（1,3）,且交工軸于點A（-1,

0）,B兩點,交y軸于點C.

（I）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點P是直線BC上方拋物線上的一動點，過點P作PZXLSC十點。，過點尸作），軸的平行線交直

線BC于點、E,求周長的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

（3）在（2）中周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線C8方向平移“個單位長度，點M

為平移后的拋物線的對稱軸上一點.在平面內(nèi)確定一點N,使得以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱

形，寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

【中考模擬練】

I.（2024?東平縣一模）如圖，右平面直角坐標(biāo)系中，點A、。在r軸上，點C、D在），軸上，JIOR=OC

=3,OA=OD=\,拋物線），=/+法+c（〃W0）經(jīng)過A、B、C三點，直線AD與拋物線交于另一點M.

（I）求這條拋物線的解析式；

（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點M使得△ANC的周長最小，若存在，請求出點N的坐標(biāo)，若不

存在，請說明理由；

（3）點￡是直線4W上一■動點，點尸為拋物線上直線AM下方一動點，￡P(guān)〃y軸，當(dāng)線段PE的長度最

大時，請求出點石的坐標(biāo)和面積的最大值.

題型三：二次函數(shù)與相似的綜合

【中考真題練】

1.（2023?樂至縣）如圖，直線y4x+3與X軸、），軸分別交于48兩點，拋物線y=-^x2+bx+c經(jīng)過A、

B兩點.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點。是拋物線在第二象限內(nèi)的點，過點。作x軸的平行線與直線A8交于點C,求。C的長的最大

值；

（3）點Q是線段人。上的動點，點P是拋物線在第一象限內(nèi)的動點，連結(jié)PQ交），軸于點M是否存在

點P,使aAB。與△BQN相似，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

備用圖

2.（2023?朝陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線尸-工與x軸分別交于點4（-2,0）,B

2

（4,0）,與），軸交于點。，連接BC.

（1）求拋物線的解析式；

(2)如圖1,點尸是笫一象限內(nèi)拋物線上的一個動點，過點P作直線/_Lx軸于點M0),交BC

于點N,連接CM,PB,PC.△PC8的面積記為Si,△8CM的面積記為S2,當(dāng)Si=S2時.求機(jī)的值;

(3)在(2)的條件下，點。在拋物線上，直線MQ與直線EC交于點，，當(dāng)與相似時，

請直接寫出點。的坐標(biāo).

備用圖

【中考模擬練】

1.(2024?東莞市一模)已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點。為坐標(biāo)原點，直線y=-x+3與x軸交于點B,

(1)如圖】，求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點。為直線上方拋物線上一動點，連接AC、CD,設(shè)直線交線段AO于點E,△

Si1

CQE的面積為Si,△4CE的面積為S2.當(dāng)，二工時，求點。的坐標(biāo)；

S22

(3)在(2)的條件下，且點。的橫坐標(biāo)小于2,是否在數(shù)軸上存在一點P,使得以A、C。為頂點的

三角形與△BC。相似，如果存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

題型四：二次函數(shù)與新定義的綜合

【中考真題練】

1.(2023?南通)定義：平面直角坐標(biāo)系xOy中，點、P(a,b),點、Q(c,d),若c=ka,d=?kb,其

中左為常數(shù)，且2H0,則稱點。是點。的'”級變換點”.例如，點(-4,6)是點(2,3)的“-2

級變換點”.

（1）函數(shù)），=-2的圖象上是否存在點（1,2）的“&級變換點”？若存在，求出A的值；若不存在，

x

說明理由；

（2）動點A（/,1/-2）與其'“級變換點”B分別在直線h,/2上，在八，/2上分別取點（"P,戶），

2

（加2,丫2）.若kW?2,求證：產(chǎn)?”22；

（3）關(guān)于x的二次函數(shù)）=//-4以-5〃（x20）的圖象上恰有兩個點，這兩個點的“1級變換點”都在

在線y=?/5上，求〃的取值范圍.

2.（2023?鄂州）某數(shù)學(xué)興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究）=aP（〃>0）型拋物線圖象.發(fā)現(xiàn)：如圖1

所示，該類型圖象上任意一點P到定點尸（0,A）的距離P凡始終等于它到定直線/：），=?，的距

4a4a

離PN（該結(jié)論不需要證明）.他們稱：定點〃為圖象的焦點，定直線/為圖象的準(zhǔn)線，），=■工叫做拋

4a

物線的準(zhǔn)線方程.準(zhǔn)線/與），軸的交點為H.其中原點。為"/的中點,.例如.拋物線

（1）請分別直接寫出拋物線），=[1的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程：,：

【技能訓(xùn)練】

（2）如圖2,已知拋物線），=上/上一點P（加，.yo）（刈>0）到焦點尸的距離是它到x軸距離的3倍，

4

求點P的坐標(biāo)；

【能力提升】

（3）如圖3,已知拋物線的焦點為凡準(zhǔn)線方程為/.直線機(jī)：_），="!?3交），軸于點C,拋物

42

線上動點P到X軸的距離為"，到直線"7的距離為由，請直接寫出力+心的最小值；

【拓展延伸】

該興趣小組繼續(xù)探究還發(fā)現(xiàn)：若將拋物線），=o?（a>0）平移至），=〃（A-A）2+k（4>0）.拋物線y=

a（x-h）2+k（a>0）內(nèi)有一定點F（h,k+_L）,直線/過點M（/?,k-」-）且與x軸平行.當(dāng)動點

4a4a

P在該拋物線上運動時，點P到直線/的距離PP1始終等于點尸到點尸的距離（該結(jié)論不需要證明）.例

如：拋物線y=2（x-1）2+3二的動點P到點尸（I,25）的距離等于點P到直線/：），=段的距離.

88

請閱讀上面的材料，探究下題：

（4）如圖4,點。（-1,3）是第二象限內(nèi)一定點，點。是拋物線1上一動點.當(dāng)PO+PQ

2,4

取最小值時，請求出△POD的面積.

【中考模擬練】

1.（2024?新吳區(qū)一模）如圖，已知拋物線＞=/+樂（《*（））頂點的縱坐標(biāo)為-4,且與x軸交于點A（4,

。）.作出該拋物線位于X軸下方的圖象關(guān)于X軸對稱的圖象，位于X軸上方的圖象保持不變，就得到），

=|/+以|的圖象，直線＞，="（々＞0）與），=|ad+加的圖象交于0、8、C三點.

（1）求〃、的值；

（2）新定義：點M（Xm,加）與點N（X”，），〃）的“折線距離”為p（M,N）=際-詞+|加-yn\.已知

p（O,B）=p（8,C）.

①求女的值；

②以點8為圓心、08長為半徑的03交NAOC的平分線于點。（異于點。），交x軸點E（異于點。），

求p（D,E）的值.

2.（2024?寶安區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有如下定義：若某圖形W上的所有點都在一個矩形的內(nèi)部

或邊界上（該矩形的一條邊平吁于x軸），這些矩形中面積最小的矩形叫圖形W的“美好矩形”.

例如：如圖1,已知△A5C,矩形AOE尸，AO〃x軸，點8在。￡上，點C■在￡尸上，則矩形AO底尸為△

ABC的美好矩形.

（I）如圖2,矩形ABCD是函數(shù).y=2x（-IWXWI）圖象的美好矩形，求出矩形48C。的面積：

（2）如圖3,點A的坐標(biāo)為（1,4），點8是函數(shù)丫=1（乂＞0）圖象上一點，且橫坐標(biāo)為〃?，若函數(shù)

x

圖象在A、8之間的圖形的美好矩形面積為9,求〃?的值；

（3）對于實數(shù)。，當(dāng)a＜x（a+JE時，函數(shù)y=二巨x2+bx圖象的美好矩形恰好是面積為3,且一邊在

3

工軸上的正方形，請直接寫出〃的值.

圖1圖2圖3備用圖

培優(yōu)沖刺二次函數(shù)與幾何的綜合解析

題型大集合

1、二次函數(shù)與特殊四變形的綜合

2、二次函數(shù)與最值的綜合

3、二次函數(shù)與相似的綜合

4、二次函數(shù)與新定義的綜合

零建強(qiáng)大提出

題型一：二次函數(shù)與特殊四邊形的綜合

此類問題都是在拋物線的基礎(chǔ)之上與平行四邊形、特殊平行四邊形結(jié)合，考察特殊平行四邊形的性質(zhì)

或者存在性問題；做題時需要將二者的性質(zhì)結(jié)合思考，共同應(yīng)用。

【中考真題練】

1.（2023?揚州）在平面直角坐標(biāo)系xQv中，已知點A在,，軸正半軸上.

（1）如果四個點（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1,1）中恰有三個點在二次函數(shù)）uav2（。為常

數(shù)，且aHO）的圖象上.

①。=1;

②如圖1,己知菱形A8CO的頂點8、C、。在該二次函數(shù)的圖象上，且AQ_L），軸，求菱形的邊長；

③如圖2,已知正方形4BCO的頂點仄。在該二次函數(shù)的圖象上，點8、7）在），軸的同側(cè)，且點B在點

D的左側(cè)，設(shè)點B、。的橫坐標(biāo)分別為〃?、〃，試探究〃-巾是否為定值.如果是，求出這個值；如果不

是，請說明理由.

（2）已知正方形A8CO的頂點從。在二次函數(shù)y=o?（〃為常數(shù)，且。＞0）的圖象上，點8在點。

的左側(cè)，設(shè)點8、。的橫坐標(biāo)分別為機(jī)、〃，直接寫出加、〃滿足的等量關(guān)系式.

【分析】（1）①在y=ad中，令x=。得y=0,即知（0,2）不在二次函數(shù)y=aF（a為常數(shù)，且aWO）

的圖象上，用待定系數(shù)法可得。=1：

②設(shè)8c交,，軸于見設(shè)菱形的邊長為2b可得B（-3尸），故AE="再定=近八D⑵,r+V3

/）,代入y=/得「即尸"，可解得尸返，故菱形的邊長為2近；

33

③過4作出LLy軸于人過。作?！闖_y軸于E,由點從。的橫坐標(biāo)分別為〃?、〃，可得4"=機(jī)，0F=

3DE=n,OE=n2,證明△八4△D4E（AAS）,WBF=AE,AF=DE,故"?=M-4/-m2,AF=

n,即可得〃■機(jī)=1；

（2）過8作/"!_），軸于F,過。作。E_Ly軸于E,由點從D的橫坐標(biāo)分別為機(jī)、“，知/M〃z,am2）,

D（〃，an2）,分三種情況：①當(dāng)8,。在），軸左側(cè)時，由AAB尸會△D4E（A4S）,可得-〃?=卬芾-4/

-an2,AF=-n,故〃?m=4；②當(dāng)8在），軸左側(cè)，。在y軸右側(cè)時，由△ABFgZX/ME（A4S）,有

a

-m=anr+AF-an2,AF=n,知/n+n=（）或③當(dāng)從。在），軸右側(cè)時，m=atf-AF-am2,

a

AF=〃，可得〃-〃?=」■.

a

【解答】解：（1）①在）=/中，令x=0得），=0,

A（0,0）在二次函數(shù)y=o?（〃為常數(shù)，且〃#0）的圖象上，（（），2）不在二次函數(shù)）=0?（。為常

數(shù)，且aWO）的圖象上，

???四個點（0,0）、（0,2）、（1,1）、（-1,1）中恰有三個點在二次函數(shù)y=a[（〃為常數(shù)，且a

WO）的圖象上，

???二次函數(shù)），=/（。為常數(shù)，且aWO）的圖象上的三個點是（0,0）,（1,1）,（-1,I）,

把（1,1）代入），=aP得：〃=],

故答案為：1；

②設(shè)8c交），軸于￡,如圖：

設(shè)菱形的邊長為2/,則A8=BC=CD=AD=23

???&。關(guān)于y軸對稱，

：.13E=CE=t,

；.B(-/,?),

???OE=F,

???心加2"=53

?,.OA=OE+AE=/2+V3/?

AD(2/,,

把。(2f,r+V3z)代入得：

r+V3r=4r,

解得，=退_或r=o(舍去)，

3

???菱形的邊長為會巨；

3

③〃-/〃是為定值，理由如下:

過8作軸于凡過D作。E_Ly軸于E,如圖:

0

,點8、。的橫坐標(biāo)分別為〃?、〃，

.13(〃］，汴),D(n,/),

.BF=m,OF=nr,DE=n,OE=fr,

?四邊形A4CO是正方形，

?/OAB=9()°,AD=AB,

.ZMB=90°-ZEAD=Z￡DA,

,ZAFB=ZDEA=90°,

.△ABF出XDAE(AAS),

.BF=AE,AF=DE,

.rn=/r-AF-"廣,AF=n,

?〃?=2〃-n-m2~,

?〃?+〃=(〃-，〃)(n+m),

?點8、。在)，軸的同側(cè)，

?/〃+〃#0，

n-m=I；

(2)過8作BFVy軸于F,過。作DELy軸于E,

.?點8、D的橫坐標(biāo)分別為mm

:.B(m>am)，D(n?an2)，

/.BF=-"，，OF=airr,DE=-〃，OE=aiV

同理可得△A6F0△DAK(AAS),

ABF=AE,AF=DE,

-in=ain~-AF-a，廣，AF=-n,

:.-m=am2+n-an2,

m+n=a{n-tn}(n+m),

\*〃?+〃W0,

n-z72=—：

a

②當(dāng)8在)，軸左側(cè)，。在)，軸右側(cè)時，如圖:

同理可得△AAFgADA石(AAS),

ABF=AE,AF=DE,

/.-m=anr+AF-an1,AF=n,

?99

??-m=am~+n-an~,

.,.fji+n=a(n+m)(〃?〃?),

.*./??+/?=0或〃?/〃=」■；

a

③當(dāng)8,。在)，軸右側(cè)時，如圖：

:.BF=ni,OF=an?,DE=n,OE=ai?',

同理可得△ABFgZXDAE（AAS）,

：.BF=AE,AF=DE,

.27

..m=an-AF-am?AF=n,

?。2

..m=an~-〃-am~f

:.ni+n=〃（〃+，〃）（〃-〃?）,

.*./7-ZM=—；

a

綜上所述，，〃、〃滿足的等量關(guān)系式為m+n=O或n-

a

2.（2023?棗莊）如圖，拋物線y=?了+分+。經(jīng)過A（-1,0：,。（0,3）兩點，并交x軸于另一點3,

點M是拋物線的頂點，直線A股與），軸交于點D.

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）若點開是x軸上一動點，分別連接DH,求MH+/汨的最小值；

（3）若點P是拋物線上一動點，問在對稱軸上是否存在點Q,使得以/）,M,P,。為頂點的四邊形是

平行四邊形？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得拋物線的表達(dá)式；

（2）利用待定系數(shù)法可得直線AM的解析式為y=2x+2,進(jìn)而可得。（。，2）,作點。關(guān)于x軸的對稱

點、D'（0,-2）,連接。M,D'H,MH+DH=MH+D'心D'M,即的最小值為。'M,

利用兩點間距離公式即可求得答案;

（3）分三種情況：當(dāng)。M、P。為對角線時，當(dāng)。P、為對角線時，當(dāng)。Q、PM為對角線時，根據(jù)

平行四邊形的對角線互相平分即對角線的中點重合,分別列方程組求解即可.

【解答】解：（1）???拋物線），=-/+版+c經(jīng)過A（-1,0),C(0,3)兩點,

.f-l-b+c=O

,Ic=3

解得:b=2

c=3

，該拋物線的表達(dá)式為y=-9+2x+3；

(2)???)，=-?+2A-+3=-(x-1)2+4,

???頂點M(1,4),

k+d=4

設(shè)直線4M的解析式為y=Ax+（7,則

_k+d=O

解得：k=2

d=2

???直線AM的解析式為y=2x+2,

當(dāng)工=0時，y=2,

：,D(0,2),

(0,-2),連接》M,D'H,如圖,

：.MH+DH=MH+D,H2。'M,即的最小值為O'M,

?"M=V(l-0)2+(4+2)2=V37?

,的最小值為技；

:?MH+DH

（3）對稱軸上存在點。，使得以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形.

由(2)得：D(0,2),M(1,4),

???點P是拋物線上一動點,

?，?設(shè)尸（m>-〃P+2，〃+3）,

???拋物線y=-/+2t+3的對稱軸為直線x=1,

???設(shè)Q（1,〃），

當(dāng)。M、尸Q為對角線時，QM、PQ的中點重合，

O+l=m+l

?；2c'

2+4=-m+2m+3+n

解得：（吁

ln=3

???Q（1,3）；

當(dāng)。尸、MQ為對角線時，DP、MQ的中點重合，

0+m=1+1

'

2-m2+2m+3=4+n

解得：卜=2,

In=l

???Q（1,1）；

當(dāng)。Q、PM為對角線時，DQ、PM的中點重合，

0+1=1+m

?12c'

2+n=4-m+2m+3

解得:（m=0,

n=5

:Q（1,5）；

綜上所述，對稱軸上存在點Q,使得以。，M,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形，點。的坐標(biāo)為（1,

3）或（1,1）或（1,5）.

3.（2023?濟(jì)寧）如圖，直線y=?x+4交x軸于點B,交），軸于點C,對稱軸為乂］的拋物線經(jīng)過從C

兩點，交X軸負(fù)半軸于點A，P為拋物線上一動點，點P的橫坐標(biāo)為〃7,過點。作X軸的平行線交拋物

線于另一點M,作x軸的垂線PN,垂足為N,直線MN交），軸于點Z）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若0<m<耳，當(dāng)機(jī)為何值時，四邊形CQNP是平行四邊形？

⑶若m〈多設(shè)直線MN交直線8c于點E，是否存在這樣的〃?值，使MN=2ME?若存在，求出此

時/〃的值；若不存在，請說明理由.

備用圖

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；

(2)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，通過求直線MN的函數(shù)解析式，列方程求解；

(3)根據(jù)MN=2ME,分E在MN內(nèi)部與外部兩種情況討論，從而利用一次函數(shù)圖象上點的特征計算求

解.

【解答】解：(1)在直線y=-x+4中，當(dāng)x=0時，y=4,當(dāng)y=0時，x=4,

???點B(4,0),點。(0,4),

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x')2+k，

乙

把點B(4,0),點C(0,4)代入可得：

a(4-y)2+k=0

a(O-1-)2+k=4

a=-l

解得：|25，

???拋物線的解析式為y=-(x￡)2號=-7+3戶4：

(2)由題意，P(〃?，-〃P+3用+4),

:.PN=-〃P+3〃?+4,

當(dāng)四邊形CDNP是平行四邊形時，PN=CD,

OD=-機(jī)，3〃?+4-4=?—36,

:?D(0,trr-3m)N(〃?，0),

2

設(shè)直線MN的解析式為y=klx+m-3ir>

把N("?,0)代入可得k?m+in2-3m=0,

解得：內(nèi)=3-〃7,

，直線MN的解析式為y=(3-〃?)x+nr-3m,

又???過點。作x軸的平行線交物物線于另?點且拋物線對稱軸為x旦

2

.*.M(3--〃？+3〃?+4),

:.(3-/〃)2+ZM2-3m=-〃上+3〃?+4,

解得加=史返1(不合題意，舍去)，加2=殳返1：

33

.??當(dāng)m為殳叵時，四邊形CDNP是平行四邊形；

3

(3)存在，理由如下：

:對稱軸為x=—?

2

設(shè)P點坐標(biāo)為(〃?，-/?/2+3/?+4),

???M點橫坐標(biāo)為:3x2-〃?=3-〃?，

2

:.N(，〃,0),M(3-m,-加2+36+4),

圖1

?：MN=2ME,即E是MN的中點，點￡在對稱軸x=W■匕

2

.E(旦—m2+3in+4)

一T2'

又點￡在直線8C：y=-.r+4,代入得：

1~2'

解得：加=&返?或&2屋(舍去)，

22

故此時m的值為_?Z返.

2

②如圖2,設(shè)E點坐標(biāo)為（〃，-〃+4）,N（次，0）,M（3-w,-/w2+3/n+4）,

，：MN=2ME,

/.0-（-m2+3m+4）=2（-nr+3m+4+n-4）①，

；?3-m-m=2（n-3+/n）②,

聯(lián)'工①②并解得：〃?=旦也紅（舍去）或免"I.,

66

綜上所述，加的值為主匹或也叵.

26

【中考模擬練】

1.（2024?新沂市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)尸or2+法-3的圖象交x軸于4（-1,0）、

B（3,0）兩點，交），軸于點C,點尸在線段03上，過點P作尸。_Lx軸，交拋物線于點。，交直線3C

于點￡

（1）a=1>b=-2；

（2）在點P運動過程中，若ACQE是直角三角形，求點P的坐標(biāo)；

（3）在），軸上是否存在點E使得以點C、D、E、少為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點廠

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（備用圖）

【分析】（1）由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，即可求解:

(2)當(dāng)NECD=90°,

由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點坐標(biāo)為：(1,-4),則直線CQ_LBC,即可求解；當(dāng)NCOE=90°

時，則點C、。關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即可求解；

(3)tinCE=DE,得到％=3-&,則?！?血\=3&-2=。-，即可求解.

【解答】解:(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為：)，=。(X-Xl)("X2),

則(x+1)(x-3)=a(.r-2x-3)=a)r+bx-3,

則a=I,

故拋物線的表達(dá)式為：y=7-2x-3,

即a=1,b=-2,

故答案為：1,-2：

(2)由拋物線的表達(dá)式知，點C(0,-3),

點8、C的坐標(biāo)的得，直線8c的表達(dá)式知：y=x-3,

當(dāng)/EC￡>=90°,

由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的頂點坐標(biāo)為：(I,-4),

則直線C。的表達(dá)式為：y=-x-3,

則直線CO_L8C,

即當(dāng)點。和拋物線的頂點重合時，△CDE是直角三角形，

即點P(1,0)；

當(dāng)/COE=90°時，

則點C、。關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

則點P(2,0)；

綜上，P(1,0)或(2,0)；

(3)存在，理由：

設(shè)點P(x,0),則點E(x,「3),點D(x,/-2L3),

則DE=x-3-，+2t+3=-』+3x,

①當(dāng)CE=ED=CF,

則CE=DE,

即-.d+3x=

解得：X=3-V2.

則CE=42X=342-2=CF,

則點F的坐標(biāo)為：(0,342-5)(舍去)或(0,-3V2-1).

②當(dāng)FE=ED=CD=CF,

此時NC￡O=N8CO=45,NFEC=NCED=45(菱形的對角線平分菱形的角)，

/.NETO=90,

因此這個菱形正好是特殊的正方形.

，當(dāng)CO〃x軸(NCOE=9())時，即可滿足.

此時E(2,-1),

?：FE//CD,

:,F(0,-1),

綜上，點產(chǎn)的坐標(biāo)為：(0,7)或(0,-3A/2-1).

題型二：二次函數(shù)與最值的綜合

0?與0

1、二次函數(shù)本身可以轉(zhuǎn)化成頂點式求最值；

2、拋物線上不規(guī)則三角形求面積最大值，常用“水平寬X鉛垂高+2”來計算

【中考真題練】

1.(2023?荊州)已知：y關(guān)于x的函數(shù))，=(〃-2)/+(tz+1)x+b.

(I)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個公共點，且。=4〃，則。的值是?；?或-工；

4-

(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與x軸有兩個公共點A(-2,0),B(4,0),并與動直線/：x

=m(0</n<4)交于點P,連接以，PB,PC,BC,其中心交y軸于點。，交于點E.設(shè)APBE

的面積為Si,/XCOF的面積為52.

①當(dāng)點。為拋物線頂點時，求△P8C的面積；

②探究直線/在運動過程中，Si-S2是否存在最大值？若存在，求出這個最大值：若不存在，說明理由.

【分析】(1))，關(guān)于x的函數(shù)應(yīng)分一次函數(shù)與二次函數(shù)兩種情況，其中二次函數(shù)應(yīng)分為①與x軸有兩個

交點且一個交點為原點：②與x軸有一個交點，與y軸有一個交點兩種情況討論：

(2)①如圖，設(shè)直線/與BC交于點尸，待定系數(shù)法求得拋物線的解析式為_)，=-，+2x+8,當(dāng)工=()時,

y=8,得到C(0,8),P(1,9),求得直線8c的解析式為y=-2什8,得到尸(1,6),根據(jù)三角

形的面積公式即可得到結(jié)論：

②如圖，設(shè)直線x=m交x軸于H,由①得，0B=4,AO=2,A8=6,0C=8,A"=2+，〃，-nr+2m+S),

得到PH=?m2+2〃計8,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到。。=8-2〃?，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)①當(dāng)4-2=0時，即〃=2時，

y關(guān)于X的函數(shù)解析式為尸3入+工，

2

此時y=3x+1■與4軸的交點坐標(biāo)為(-《，0),

26

與)，軸的交點坐標(biāo)為(0,之)：

②當(dāng)a-2W0時，)，關(guān)于x的函數(shù)為二次函數(shù)，

???二次函數(shù)圖象拋物線與坐標(biāo)地有兩個交點，

???拋物線可能存在與x軸有兩個交點，其中一個交點為坐標(biāo)原點或與x軸有一個交點與y軸一個交點兩

種情況.

當(dāng)拋物線與x軸有兩個交點且一個為坐標(biāo)原點時，

由題意得b=0,此時a=0,拋物線為y=-2X2+X.

當(dāng)y=0時，?2?+%=0,

解得加=0，/2=工.

2

???其圖象與x軸的交點坐標(biāo)為(。，0)(-1,0).

2

當(dāng)拋物線與X軸有一個交點與y軸有一個交點時，

由題意得，y=(a-2)/+(q+i)x+〃所對應(yīng)的一元二次方程(a-2)/+(a+1).葉〃=0有兩個相等實

數(shù)根.

:.A=(?+1)2-4(a-2)X工=0,

4

解得〃=-1,

4

此時y="-.r+—x--,

4416

當(dāng)x=0時，y=-

16

???與y軸的交點坐標(biāo)為(0,,

16

當(dāng)y=0時，-9/+&廠,=0,

4416

解得41=X2=2，

6

???與x軸的交點坐標(biāo)為(工0),

6

綜上所述，若y關(guān)于x的函數(shù)y=(a-2)/+(a+1)x+8的圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點,〃可取的值為

2,0,,

4

故答案為：2或0或-3：

(2)①如圖，設(shè)直線/與9c交于點F,

根據(jù)題意得e+bXO,

l20a+b=28

解得卜;1,

lb=8

工拋物線的解析式為_y=-『+匕+8,

當(dāng)x=0時，y=8,

AC(0,8),

V,y=-?+Zr+8=-(x-I)?+9,點P為拋物線頂點，

:.P(1,9),

,：B(4,0),C(0,8),

???直線BC的解析式為y=-2J+8,

：.F(1,6),

:.PF=9-6=3,

???APBC的面積一卷08?尸尸一］"X4X3—6;

乙乙

②Si-52存在最大值,

理由：如圖，設(shè)直線交r軸于從

由①得，。8=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+m,P(川,-w2+2w+8),

:,PH=-〃P+2〃?+8,

OD//PH,

J△AO"

.AOOD

??,二',

AHPH

.2二OD

2+m-m2+2m+8

OD=S"2m,

2

*/5i-S2=SAPAB-SMOD-S/〃厲＜:=.6(―刑+2m+8)_2(8.2.)_4義8.=_3/n+8w=3-(in-―)2+

2223

16

3

,:-3<0,0<w<4,

???當(dāng)M=!時，S|?S2存在最大值，最大值為」3

33

2.（2023?重慶）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=or2+6+2過點（I,3），且交x軸于點八（-1,

（I）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點P是直線8C上方拋物線上的一動點，過點尸作PD18C于點。，過點尸作y軸的平行線交直

線BC于點、E,求周長的最大值及此時點P的坐標(biāo)；

（3）在（2）中△尸QE周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移爬個單位長度，點M

為平移后的拋物線的對稱軸上一點.在平面內(nèi)確定一點N,使得以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱

形，寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程.

【分析】（1）由待定系數(shù)法即可求解；

（2）由周長的最大值=尸七（1+sinNPED+cosNPED）,即可求解；

（3）當(dāng)4尸是對角線時，由中點坐標(biāo)公式和AM=AN,列出方程組即可求解；當(dāng)AM或AN是對角線時，

同理可解.

【解答】解：（1）由題意得“a+b+2=3,

（0=a-b+2

解得:

則拋物線的表達(dá)式為：尸--v2+—x+2；

22

(2)令y=-

解得：x=4或-1,即點8（4,0）,

???QE〃y軸，則NPEQ=N0C8,

則lan/PEO=lan/OC8=2,則sin/尸ED=3，cosZPED=-^

V5V5

由點8、C的坐標(biāo)得，直線8c的表達(dá)式為：y=--i.r+2,

乙

則PE=-AA—.r+2+X-2=-—（x-2）2+2^2,

2222

即PE的最大值為2,此時，點尸（2,3）,

則△POE周長的最大值=PE（1+sin/PED+cos/尸切）=（1+-^+-4=-）2石=也出^1_,

V5V55

即△尸。E周長的最大值為也如￡?,點P（2,3）；

5

（3）拋物線沿射線C4方向平移粕個單位長度，相當(dāng)于向右平移2個單位向下平移1個單位,

則平移后拋物線的對稱軸為匯=工，

2

設(shè)點M（工，〃?），點N（s,D,

2

由點A、尸的坐標(biāo)得，人尸=18,

當(dāng)AP是對角線時，由中點坐標(biāo)公式和AM=AN得:

3

4n7m-9

-1+2=S+T

9

3=m+t,解得：’2，

(y+l)2+m2=(s+1)2+t25

T

即點N的坐標(biāo)為：（?5，9）；

22

當(dāng)AM或AN是對角線時，由中點坐標(biāo)公式和AN=AP或AM=AP得:

_1

,3V7

解得：jt=±w-（不合題意的值已舍去），

,=3±<

乙

即點N的坐標(biāo)為：（［，+WZ）；

2-2

綜上，點N的坐標(biāo)為：（工，.迎）或（工，6巨）或（-S,9）.

222222

【中考模擬練】

1.（2024?東平縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點4、8在x軸上，點C、。在），軸上，且08=0。

=3,0A=0D=\,拋物線），=/+尿+c（aHO）經(jīng)過A、B、。三點，直線A。與拋物線交于另一點M.

（1）求這條拋物線的解析式;

（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點M使得△ANC的周長最小，若存在，請求出點N的坐標(biāo)，若不

存在，請說明理由；

（3）點￡是直線4M上一動點，點尸為拋物線上直線AM下方一動點，E尸〃y軸，當(dāng)線段PE的長度最

大時，請求出點石的坐標(biāo)和△AMP面積的最大值.

【分析】（1）由OB,0C,04,。。的長度可得出點A,B,C,。的坐標(biāo)，由點A,B,C的坐標(biāo)，利

用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式；

（2）利用配方法可求出拋物線的對稱軸，連接6C,交拋物線對稱軸于點N,此時AN+CN和最小，即

△4NC的周長最小，由點&C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，再利用一次函數(shù)圖

象上點的坐標(biāo)特征可