第十一章三角形（五大壓軸題專練）【題型一三角形中高線的綜合問(wèn)題】1.已知：點(diǎn)，，，，過(guò)點(diǎn)Ｃ是作y軸的垂線m，垂足為C．

(1)如圖1，連接、，求的面積；(2)如圖2，延長(zhǎng)BA交直線m交于點(diǎn)D，在CD上存在點(diǎn)P，使，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)請(qǐng)?jiān)趥溆脠D中畫(huà)圖探究：若點(diǎn)P是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)M，連接,當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Ｍ的坐標(biāo)．2．“等面積法”是解決三角形內(nèi)部線段長(zhǎng)度的常用方法．如圖1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在題干的基礎(chǔ)上，①如圖2，點(diǎn)為上一點(diǎn)，作，，設(shè)，，求證：；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，猜想、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜想；(2)如圖4，在中，，，，若點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，求的最小值．3．在平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)，，且a，b滿足，將線段向上平移k個(gè)單位得到線段．

(1)直接寫(xiě)出______，______；(2)如圖1，點(diǎn)E為線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F為線段上任意一點(diǎn)，．點(diǎn)G為線段與線段之間一點(diǎn)，連接，．且，，求的度數(shù)；(3)如圖2，若，過(guò)點(diǎn)C作直線軸，點(diǎn)M為直線l上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交l于K；①用面積法求K點(diǎn)坐標(biāo)；②若的面積為10，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【題型二三角形中中線的綜合問(wèn)題】1.【問(wèn)題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級(jí)下冊(cè)上有這樣一道題：如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．又因?yàn)楦呦嗤?，于是．?jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在上．①若是的中線，求證：；②若，則______．【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長(zhǎng)四邊形的各邊，使得點(diǎn)、、、分別為、、、的中點(diǎn)，依次連結(jié)、、、得四邊形．①求證：；②若，則______．2．基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．如圖1，是邊上的中線，則．理由：因?yàn)槭沁吷系闹芯€，所以．又因?yàn)?，，所以．所以三角形中線等分三角形的面積．基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，的面積為a．(1)如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)D，使，連接．若的面積為，則（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)E，使，，連接．若的面積為，則（用含a的代數(shù)式表示）；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使，連接，，得到（如圖4）．若陰影部分的面積為，則（用含a的代數(shù)式表示）；拓展應(yīng)用：(4)如圖5，點(diǎn)D是的邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，且的面積為，則的面積為（用含a的代數(shù)式表示），并寫(xiě)出理由．3．閱讀與理解：三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，是中邊上的中線，則．理由：，，即：等底同高的三角形面積相等．操作與探索在如圖2至圖4中，的面積為．(1)如圖2，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，使，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長(zhǎng)的邊到點(diǎn)，延長(zhǎng)邊到點(diǎn)，使，，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示），并寫(xiě)出理由；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接，，得到（如圖．若陰影部分的面積為，則___________；（用含的代數(shù)式表示）拓展與應(yīng)用：(4)如圖5，已知四邊形的面積是，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)O，求圖中陰影部分的面積？【題型三三角形中角平分線的綜合問(wèn)題】1.已知，，點(diǎn)C是直線，下方一點(diǎn)，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，分別平分和，所在的直線相交于點(diǎn)H，若，求的度數(shù)；（用含的式子表示）(3)如圖3，若，分和兩部分，且，，直線，相交于點(diǎn)H，則____________．（用含n和的式子表示）2．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）兩點(diǎn)，并且a，b滿足．(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出a，b的值；(2)如圖1，BC⊥x軸于點(diǎn)C，AB交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)F（m，n）在線段AB上，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求m與n滿足的關(guān)系式；(3)如圖2，若CF，BE分別是△ABC的高與角平分線，BE交CF于點(diǎn)G，CH平分∠ECG，交BE于點(diǎn)H，求證：CH⊥BE．【題型四三角形內(nèi)角和與外角和的綜合問(wèn)題】1.在中，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．

(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，．①若，則______°；②試寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；③當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；④若，請(qǐng)說(shuō)明；(2)如圖2，交于點(diǎn)，，直接寫(xiě)出、與之間的數(shù)量關(guān)系．2．（1）如圖①所示，中，點(diǎn)是和的平分線的交點(diǎn)，若，則_____________（用表示）；不用說(shuō)明理由，直接填空．如圖②所示，，，若，則____________（用表示），不用說(shuō)明理由，直接填空．

（2）如圖③所示，，，若，則___________（用表示），填空并說(shuō)明理由．3．已知點(diǎn)在射線上，．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，垂足為，交于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的探究結(jié)論，并說(shuō)明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的度數(shù)．4．在中，，平分，點(diǎn)F為射線上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且于點(diǎn)D．

(1)如圖1，如果點(diǎn)F在線段上，且，，則______．(2)如果點(diǎn)F在的外部，分別作出和的角平分線，交于點(diǎn)K，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形，探究、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(3)如圖3，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，、分別平分和的外角，連接，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，且，求的度數(shù)．【題型五多邊形的內(nèi)角和與外角和綜合問(wèn)題】1.【感知】如圖1所示，在四邊形中，分別是邊的延長(zhǎng)線，我們把稱為四邊形的外角，若，則___________；【探究】如圖2所示，在四邊形中，分別是邊的延長(zhǎng)線，我們把稱為四邊形的外角，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【應(yīng)用】如圖3所示，分別是四邊形的外角的平分線，若，則的度數(shù)為_(kāi)__________．

2．觀察圖形，按要求完成：(1)在四邊形中，，．

①如圖，若，則=________；②如圖，若的平分線交于點(diǎn)、且，則________；③如圖，若和的平分線相交于點(diǎn)，則________；(2)如圖，當(dāng)時(shí)，若和的平分線交于點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明與之間的數(shù)量關(guān)系．3．動(dòng)手操作，探究：探究一：三角形的一個(gè)內(nèi)角與另兩個(gè)內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？(1)已知：如圖，在中，分別平分和，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(2)探究二：若將改為任意四邊形呢？已知：如圖，在四邊形中，分別平分和，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究與的數(shù)量關(guān)系；（寫(xiě)出說(shuō)理過(guò)程）(3)探究三：若將上題中的四邊形改為六邊形（圖（3））呢？請(qǐng)直接寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系：.4．如圖1，我們分別研究過(guò)三角形中兩內(nèi)角平分線所成的、兩外角平分