第2講概率1/29考情分析2/29總綱目錄考點一

古典概率考點二幾何概型考點三概率與統(tǒng)計綜合問題3/29考點一

古典概型1.古典概型概率公式:P(A)=

=

.2.古典概型兩個特點:(1)試驗中全部可能出現(xiàn)基本事件只有有限

個;(2)每個基本事件出現(xiàn)可能性相等.4/29經(jīng)典例題(山東,16,12分)某旅游興趣者計劃從3個亞洲國家A1,A2,A3和3個歐

洲國家B1,B2,B3中選擇2個國家去旅游.(1)若從這6個國家中任選2個,求這2個國家都是亞洲國家概率;(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個,求這2個國家包含A1但不包

括B1概率.解析(1)由題意知,從6個國家中任選兩個國家,其一切可能結(jié)果組成

基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15個.所選兩個國家都是亞洲國家事件所包含基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3個,5/29則所求事件概率P=

=

.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選一個,其一切可能結(jié)果組成基

本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},

{A3,B3},共9個.包含A1但不包含B1事件所包含基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2個,則所求事件概率P=

.6/29求古典概型概率方法正確列舉出基本事件總數(shù)和待求事件包含基本事件數(shù).(1)對于較復(fù)雜題目,列出事件數(shù)時要正確分類,分類時應(yīng)不重不漏.(2)當(dāng)直接求解有困難時,可考慮求出所求事件對立事件概率.方法歸納7/29跟蹤集訓(xùn)1.(課標(biāo)全國Ⅱ,11,5分)從分別寫有1,2,3,4,55張卡片中隨機(jī)抽取1

張,放回后再隨機(jī)抽取1張,則抽得第一張卡片上數(shù)大于第二張卡片

上數(shù)概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

D畫出樹狀圖如圖:

可知全部基本事件共有25個,滿足題意基本事件有10個,故所求概

率P=

=

.故選D.8/292.定義“上升數(shù)”是一個數(shù)中右邊數(shù)字比左邊數(shù)字大自然數(shù)(如

123,568,2479等),任取一個兩位數(shù),這個兩位數(shù)為“上升數(shù)”概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B兩位數(shù)10,11,12,…,99共90個,其中十位數(shù)為1“上升數(shù)”

為12,13,…,19共8個,十位數(shù)為2“上升數(shù)”為23,24,…,29共7個,……,

十位數(shù)為8“上升數(shù)”為89,只有1個,則全部兩位數(shù)中“上升數(shù)”

共8+7+6+…+1=

=36個,則這個兩位數(shù)為“上升數(shù)”概率P=

=

,選B.9/29考點二

幾何概型1.幾何概型概率公式:P(A)=

.2.幾何概型應(yīng)滿足兩個條件:(1)試驗中全部可能出現(xiàn)結(jié)果(基本事件)

有沒有限多個.(2)每個基本事件出現(xiàn)可能性相等.10/29經(jīng)典例題(1)(課標(biāo)全國Ⅰ,4,5分)如圖,正方形ABCD內(nèi)圖形來自中國古

代太極圖.正方形內(nèi)切圓中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形中心

成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自黑色部分概率是

()

A.

B.

C.

D.

11/29(2)(江蘇,7,5分)記函數(shù)f(x)=

定義域為D.在區(qū)間[-4,5]上隨機(jī)取一個數(shù)x,則x∈D概率是

.(3)已知長方形ABCD中,AB=4,BC=1,M為AB中點,則在此長方形內(nèi)隨

機(jī)取一點P,P與M距離小于1概率為

.12/29解析(1)設(shè)正方形邊長為2,則正方形內(nèi)切圓半徑為1,其中黑色

部分和白色部分關(guān)于正方形中心對稱,則黑色部分面積為

,所以在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,此點取自黑色部分概率P=

=

,故選B.(2)由6+x-x2≥0,得-2≤x≤3,即D=[-2,3],∴P(x∈D)=

=

.(3)如圖,點P位于以M為圓心,1為半徑半圓內(nèi)部,由幾何概型概率公

式可得所求概率為

=

.答案(1)B(2)?(3)?13/29求解幾何概型概率應(yīng)把握兩點(1)當(dāng)組成試驗結(jié)果區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時,

應(yīng)考慮使用幾何概型概率公式求解.(2)尋找組成試驗全部結(jié)果區(qū)域和事件發(fā)生區(qū)域,有時需要設(shè)出

變量,在坐標(biāo)系中表示所需要區(qū)域.方法歸納14/29跟蹤集訓(xùn)1.(甘肅張掖第一次診療)在區(qū)間[0,π]上隨機(jī)取一個數(shù)θ,則使

≤

sinθ+

cosθ≤2成立概率為

.答案

解析由

≤

sinθ+

cosθ≤2,得

≤sin

≤1,結(jié)合θ∈[0,π],得θ∈

,∴使

≤

sinθ+

cosθ≤2成立概率為

=

.15/292.(云南第一次統(tǒng)考)若在區(qū)間[-4,4]內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)m,在區(qū)間[-2,3]

內(nèi)隨機(jī)取一個數(shù)n,則使得方程x2+2mx-n2+4=0有兩個不相等實數(shù)根

概率為

.16/29答案1-

解析∵方程x2+2mx-n2+4=0有兩個不相等實數(shù)根,∴Δ>0,即(2m)2-4(-n2+4)>0,m2+n2>4,總事件集合Ω={(m,n)|-4≤m≤4,-2≤n≤3},∴Ω所

表示平面區(qū)域(如圖中矩形)面積S=8×5=40,而滿足條件事件集

合是{(m,n)|m2+n2>4,-4≤m≤4,-2≤n≤3},∴圖中陰影部分面積S'=40-π

×22=40-4π,由幾何概型概率計算公式得所求事件概率P=

=

=1-

.

17/29考點三

概率與統(tǒng)計綜合問題在統(tǒng)計與概率綜合問題中,將對總體預(yù)計與概率進(jìn)行綜合,是

一類常見方式,將樣本進(jìn)行匯總,制成頻率分布直方圖與概率知識進(jìn)

行綜合命題也是一個經(jīng)?？疾榉绞?18/29經(jīng)典例題(北京,17,13分)某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評,依據(jù)男女

學(xué)生人數(shù)百分比,使用分層抽樣方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,統(tǒng)計他

們分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到以下頻

率分布直方圖:

19/29(1)從總體400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,預(yù)計其分?jǐn)?shù)小于70概率;(2)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40學(xué)生有5人,試預(yù)計總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)人數(shù);(3)已知樣本中有二分之一男生分?jǐn)?shù)大于70,且樣本中分?jǐn)?shù)大于70

男女生人數(shù)相等.試預(yù)計總體中男生和女生人數(shù)百分比.解析(1)依據(jù)頻率分布直方圖可知,樣本中分?jǐn)?shù)大于70頻率為(0.02+0.04)×10=0.6,所以樣本中分?jǐn)?shù)小于70頻率為1-0.6=0.4.所以從總體400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,其分?jǐn)?shù)小于70概率預(yù)計為

0.4.(2)依據(jù)題意,樣本中分?jǐn)?shù)大于50頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=20/290.9,分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)人數(shù)為100-100×0.9-5=5.所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)人數(shù)預(yù)計為400×

=20.(3)由題意可知,樣本中分?jǐn)?shù)大于70學(xué)生人數(shù)為(0.02+0.04)×10×100

=60,所以樣本中分?jǐn)?shù)大于70男生人數(shù)為60×

=30.所以樣本中男生人數(shù)為30×2=60,女生人數(shù)為100-60=40,男生和女生

人數(shù)百分比為60∶40=3∶2.所以依據(jù)分層抽樣原理,總體中男生和女生人數(shù)百分比預(yù)計為3∶2.21/29解答概率與統(tǒng)計綜合問題兩點注意(1)明確頻率與概率關(guān)系,頻率可近似替換概率.(2)這類問題中概率模型多是古典概型,在求解時,要明確基本事件

組成.方法歸納22/29跟蹤集訓(xùn)(課標(biāo)全國Ⅲ,18,12分)某超市計劃按月訂購一個酸奶,天天進(jìn)貨量

相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出酸奶降價處理,以每瓶2

元價格當(dāng)日全部處理完.依據(jù)往年銷售經(jīng)驗,天天需求量與當(dāng)日最高

氣溫(單位:℃)相關(guān).假如最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;假如最高氣

溫位于區(qū)間[20,25),需求量為300瓶;假如最高氣溫低于20,需求量為200

瓶.為了確定六月份訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天最高氣溫

數(shù)據(jù),得下面頻數(shù)分布表:最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天數(shù)21636257423/29以最高氣溫位于各區(qū)間頻率預(yù)計最高氣溫位于該區(qū)間概率.(1)預(yù)計六月份這種酸奶一天需求量不超出300瓶概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶

一天進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y全部可能值,并預(yù)計Y大于零概率.解析(1)這種酸奶一天需求量不超出300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于

25,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25頻率為

=0.6,所以這種酸奶一天需求量不超出300瓶概率預(yù)計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天進(jìn)貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6×450-4×450=900;若最高氣溫位于區(qū)間[20,25),則Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高氣溫低于20,則Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.24/29所以,Y全部可能值為900,300,-100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20,由表格數(shù)據(jù)知,最高氣溫不低于20

頻率為

=0.8,所以Y大于零概率預(yù)計值為0.8.25/291.(天津,3,5分)有5支彩筆(除顏色外無差異),顏色分別為紅、黃、

藍(lán)、綠、紫.從這5支彩筆中任取2支不一樣顏色彩筆,則取出2支彩筆

中含有紅色彩筆概率為

()A.

B.

C.

D.

隨堂檢測答案

C從5支彩筆中任取2支不一樣顏色彩筆,有以下10種情況:

(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),(黃,藍(lán)),(黃,綠),(黃,紫),(藍(lán),綠),(藍(lán),紫),(綠,

紫).其中含有紅色彩筆有4種情況:(紅,黃),(紅,藍(lán)),(紅,綠),(紅,紫),所以

所求事件概率P=

=

,故選C.26/292.某路口人行橫道信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn),紅燈連續(xù)時間為40

秒.若一名行人來到該路口碰到紅燈,則最少需要等候15秒才出現(xiàn)綠燈

概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B行人在紅燈亮起25秒內(nèi)抵達(dá)該路口,即滿足最少需要等

待15秒才出現(xiàn)綠燈,依據(jù)幾何概型概率公式知所求事件概率P=

=

,故選B.27/293.(廣西三市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=logax+lo

8(a>0,且a≠1),在集合

中任取一個數(shù)a,則f(3a+1)>f(2a)>0概率為

()A.

B.

C.

D.

答案

B∵3a+1>2a,f(3a+1)>f(2a),f(x)=logax-loga8,