江蘇省吳江平望中學2025屆高考數(shù)學試題沖刺卷（一）考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若復數(shù)（）在復平面內(nèi)的對應點在直線上，則等于()A． B． C． D．2．若變量，滿足，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．103．在中，為邊上的中點，且，則（）A． B． C． D．4．定義在R上的函數(shù)，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，且存在，使得.則下列不等式不一定成立的是（）A． B．C． D．5．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家和物理學家，他和高斯、牛頓并列被稱為世界三大數(shù)學家.據(jù)說，他自己覺得最為滿意的一個數(shù)學發(fā)現(xiàn)就是“圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，并且球的表面積也是圓柱表面積的三分之二”.他特別喜歡這個結論，要求后人在他的墓碑上刻著一個圓柱容器里放了一個球，如圖，該球頂天立地，四周碰邊，表面積為的圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則該球的體積為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，若總有恒成立.記的最小值為，則的最大值為（）A．1 B． C． D．7．拋物線的準線與軸的交點為點，過點作直線與拋物線交于、兩點，使得是的中點，則直線的斜率為（）A． B． C．1 D．8．已知正項等比數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．9．如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，BC，的中點，M為棱AD的中點，設P，Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點，滿足平面EFG，，則的最小值為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B． C． D．11．下列命題中，真命題的個數(shù)為（）①命題“若，則”的否命題；②命題“若，則或”；③命題“若，則直線與直線平行”的逆命題.A．0 B．1 C．2 D．312．已知雙曲線(a>0，b>0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是（）A． B．(1,2), C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設為數(shù)列的前項和，若，，且，，則________．14．在中，，，，則________，的面積為________．15．若函數(shù)的圖像與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是,,,則實數(shù)的值為________．16．已知數(shù)列的前項和且，設，則的值等于_______________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線：（為參數(shù)，），曲線：（為參數(shù)）.若曲線和相切.（1）在以為極點，軸非負半軸為極軸的極坐標系中，求曲線的普通方程；（2）若點，為曲線上兩動點，且滿足，求面積的最大值.20．（12分）已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）已知，若對任意的，總存在，使得成立，求的取值范圍.21．（12分）如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.（1）求證:平面平面;（2）在線段上是否存在點,使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請說明理由.22．（10分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，．（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（2）若，問函數(shù)有無極值點？若有，請求出極值點的個數(shù)；若沒有，請說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由題意得，可求得，再根據(jù)共軛復數(shù)的定義可得選項.【詳解】由題意得，解得，所以，所以，故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的幾何表示和共軛復數(shù)的定義，屬于基礎題.2、D【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求解最大值即可．【詳解】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：如圖點坐標分別為，目標函數(shù)的幾何意義為，可行域內(nèi)點與坐標原點的距離的平方，由圖可知到原點的距離最大，故.故選：D【點睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．3、A【解析】

由為邊上的中點，表示出，然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解：為邊上的中點，，故選：A【點睛】在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎題.4、D【解析】

根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性對選項逐個判斷即可．【詳解】由條件可得函數(shù)關于直線對稱；在，上單調(diào)遞增，且在時使得；又，，所以選項成立；，比離對稱軸遠，可得，選項成立；，，可知比離對稱軸遠，選項成立；，符號不定，，無法比較大小，不一定成立．故選：．【點睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5、C【解析】

設球的半徑為R，根據(jù)組合體的關系，圓柱的表面積為，解得球的半徑，再代入球的體積公式求解.【詳解】設球的半徑為R，根據(jù)題意圓柱的表面積為，解得，所以該球的體積為.故選：C【點睛】本題主要考查組合體的表面積和體積，還考查了對數(shù)學史了解，屬于基礎題.6、C【解析】

根據(jù)總有恒成立可構造函數(shù),求導后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡可得,求得,再換元求導分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設,則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當時,,在上單調(diào)遞減,當時,,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡得.故,令,可令,故,當時,,在遞減；當時,,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選：C【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進而求導構造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.7、B【解析】

設點、，設直線的方程為，由題意得出，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結合可求得的值，由此可得出直線的斜率.【詳解】由題意可知點，設點、，設直線的方程為，由于點是的中點，則，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立得，整理得，由韋達定理得，得，，解得，因此，直線的斜率為.故選：B.【點睛】本題考查直線斜率的求解，考查直線與拋物線的綜合問題，涉及韋達定理設而不求法的應用，考查運算求解能力，屬于中等題.8、D【解析】

由，可求出等比數(shù)列的通項公式，進而可知當時，；當時，，從而可知的最小值為，求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當時，；當時，，則的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.9、C【解析】

把截面畫完整，可得在上，由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得的最小值．【詳解】如圖，分別取的中點，連接，易證共面，即平面為截面，連接，由中位線定理可得，平面，平面，則平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．正方體中平面，從而有，∴，∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓（圓在正方形內(nèi)的部分）上，顯然關于直線的對稱點為，，當且僅當共線時取等號，∴所求最小值為．故選：C．【點睛】本題考查空間距離的最小值問題，解題時作出正方體的完整截面求出點軌跡是第一個難點，第二個難點是求出點軌跡，第三個難點是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值．10、D【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關系式、二倍角公式和輔助角公式化簡表達式，再根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)區(qū)間，由此確定正確選項.【詳解】因為，由單調(diào)遞增，則（），解得（），當時，D選項正確.C選項是遞減區(qū)間，A，B選項中有部分增區(qū)間部分減區(qū)間.故選：D【點睛】本小題考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結合思想，應用意識.11、C【解析】

否命題與逆命題是等價命題，寫出①的逆命題，舉反例排除；原命題與逆否命題是等價命題，寫出②的逆否命題后，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗證正確；寫出③的逆命題判，利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若，則”，令，可知該命題為假命題，故否命題也為假命題；②的逆否命題為“若且，則”，該命題為真命題，故②為真命題；③的逆命題為“若直線與直線平行，則”，該命題為真命題.故選：C.【點睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路：(1)判斷一個命題的真假時，首先要弄清命題的結構，即它的條件和結論分別是什么，然后聯(lián)系其他相關的知識進行判斷．(2)當一個命題改寫成“若，則”的形式之后，判斷這個命題真假的方法：①若由“”經(jīng)過邏輯推理，得出“”，則可判定“若，則”是真命題；②判定“若，則”是假命題，只需舉一反例即可．12、A【解析】

若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率．根據(jù)這個結論可以求出雙曲線離心率的取值范圍．【詳解】已知雙曲線的右焦點為，若過點且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，，離心率，，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用，解題時要注意挖掘隱含條件．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題可得，解得，所以，，上述兩式相減可得，即，因為，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以．14、【解析】

利用余弦定理可求得的值，進而可得出的值，最后利用三角形的面積公式可得出的面積.【詳解】由余弦定理得，則，因此，的面積為.故答案為：；.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形，同時也考查了三角形面積的計算，考查計算能力，屬于基礎題.15、4【解析】

由題可分析函數(shù)與的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為,即,進而求解即可【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期,解得故答案為：4【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應用,考查求正弦型函數(shù)中的16、7【解析】

根據(jù)題意，當時，，可得，進而得數(shù)列為等比數(shù)列，再計算可得，進而可得結論.【詳解】由題意，當時，，又，解得，當時，由，所以，，即，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，又，，所以，.故答案為：.【點睛】本題考查了數(shù)列遞推關系、函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，計算得是解決本題的關鍵，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，，.【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在、之間的學生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算的值，結合參考臨界值表可得到結論；（2）從該校高一學生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率.由題意，求出分布列，根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在之間的學生人數(shù)為，在之間的學生人數(shù)為，所以低于60分的學生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又，所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關.（2）易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為.依題意知，所以（），所以的分布列為0123P所以期望，方差.【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.18、見解析【解析】

（1）因為，，成等差數(shù)列，所以，由余弦定理可得，因為，所以，即，所以．（2）若B為直角，則，，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時平方，可得，所以（*）．又，所以，，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角．19、（1）；（2）【解析】

（1）消去參數(shù)，將圓的參數(shù)方程，轉化為普通方程，再由圓心到直線的距離等于半徑，可求得圓的普通方程，最后利用求得圓的極坐標方程.（2）利用圓的參數(shù)方程以及輔助角公式，由此求得的面積的表達式，再由三角函數(shù)最值的求法，求得三角形面積的最大值.【詳解】（1）由題意得：，：因為曲線和相切，所以，即：；（2）設，所以所以當時，面積最大值為【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程轉化為普通方程，考查直角坐標方程轉化為極坐標方程，考查利用參數(shù)的方法求三角形面積的最值，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】

（1）由,可求出的值,進而可求得的解析式;（2）分別求得和的值域,再結合兩個函數(shù)的值域間的關系可求出的取值范圍.【詳解】（1）因為,所以,解得,故.（2）因為,所以,