2025屆福建省龍海二中高三3月（開學(xué)考）數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點(diǎn)．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．2．已知x，，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離4．已知雙曲線滿足以下條件：①雙曲線E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合；②雙曲線E與過點(diǎn)的冪函數(shù)的圖象交于點(diǎn)Q，且該冪函數(shù)在點(diǎn)Q處的切線過點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)．則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．5．已知集合，，則集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．36．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A．8 B． C． D．7．將函數(shù)圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為()A．或 B． C． D．或9．用1，2，3，4，5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位，數(shù)字1，3，5中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，則滿足條件的不同五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．60 C．72 D．12010．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若依次成等差數(shù)列，則（）A．依次成等差數(shù)列 B．依次成等差數(shù)列C．依次成等差數(shù)列 D．依次成等差數(shù)列11．已知命題：R，；命題：R，，則下列命題中為真命題的是（）A． B． C． D．12．如圖，在棱長為4的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為棱AB，BC，的中點(diǎn)，M為棱AD的中點(diǎn)，設(shè)P，Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足平面EFG，，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在直線上，過點(diǎn)P作圓C：的一條切線，切點(diǎn)為T.若，則的長是______.14．給出下列等式：，，，…請從中歸納出第個(gè)等式：______.15．過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值是______.16．如圖是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，，則的面積為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別是，已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和和通項(xiàng)滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面積的最大值．20．（12分）已知函數(shù)(mR)的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若函數(shù)存在極值，求m的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意mR，若關(guān)于x的不等式在(0，)上恒成立，求正整數(shù)k的取值集合．21．（12分）在中，角，，的對邊分別為，其中，.（1）求角的值；（2）若，，為邊上的任意一點(diǎn)，求的最小值.22．（10分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)且.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【解析】

準(zhǔn)確畫圖，由圖形對稱性得出P點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點(diǎn)，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點(diǎn)在圓上，，即．，故選A．【點(diǎn)睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時(shí)注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運(yùn)算繁瑣，準(zhǔn)確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點(diǎn)問題，需強(qiáng)化練習(xí)，才能在解決此類問題時(shí)事半功倍，信手拈來．2．D【解析】

，不能得到，成立也不能推出，即可得到答案.【詳解】因?yàn)閤，，當(dāng)時(shí)，不妨取，，故時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，不妨取，則不成立，綜上可知，“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件，必要條件的判定，屬于容易題.3．B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r4．B【解析】

由已知可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)為,可求得冪函數(shù)為,設(shè)出切點(diǎn)通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程的斜率,利用斜率相等列出方程,即可求出切點(diǎn)坐標(biāo),然后求解雙曲線的離心率．【詳解】依題意可得，拋物線的焦點(diǎn)為，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)；，，所以，，設(shè)，則，解得，∴，可得，又，，可解得，故雙曲線的離心率是.故選B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì),已知拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo),求冪函數(shù)解析式,直線的斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,難度一般.5．D【解析】

轉(zhuǎn)化條件得，利用元素個(gè)數(shù)為n的集合真子集個(gè)數(shù)為個(gè)即可得解.【詳解】由題意得，，集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的化簡和運(yùn)算，考查了集合真子集個(gè)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體為四棱錐，即可求出幾何體的表面積．【詳解】由三視圖知幾何體是四棱錐，如圖，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，四棱錐的底面是正方形,邊長為2,棱錐的高為2，所以，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三視圖還原幾何體，棱錐表面積的計(jì)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.7．D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個(gè)選項(xiàng)代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點(diǎn)睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.8．C【解析】試題分析：因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以且，因此注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.考點(diǎn)：純虛數(shù)9．A【解析】

對數(shù)字分類討論，結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個(gè)數(shù)字相鄰，利用分類計(jì)數(shù)原理，即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，同理也有個(gè)數(shù)字出現(xiàn)在第位時(shí)，數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位，共有個(gè)故滿足條件的不同的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是個(gè)故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了排列，組合及簡單計(jì)數(shù)問題，解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論，屬于基礎(chǔ)題。10．C【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)、同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式可得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，從而可得結(jié)果.【詳解】依次成等差數(shù)列，，正弦定理得，由余弦定理得，，即依次成等差數(shù)列，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義、正弦定理、余弦定理，屬于難題.解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷．如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．11．B【解析】

根據(jù)，可知命題的真假，然后對取值，可得命題的真假，最后根據(jù)真值表，可得結(jié)果.【詳解】對命題：可知，所以R，故命題為假命題命題：取，可知所以R，故命題為真命題所以為真命題故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應(yīng)用，識記真值表，屬基礎(chǔ)題.12．C【解析】

把截面畫完整，可得在上，由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得的最小值．【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，易證共面，即平面為截面，連接，由中位線定理可得，平面，平面，則平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面EFG，在平面上，∴．正方體中平面，從而有，∴，∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓（圓在正方形內(nèi)的部分）上，顯然關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等號，∴所求最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的最小值問題，解題時(shí)作出正方體的完整截面求出點(diǎn)軌跡是第一個(gè)難點(diǎn)，第二個(gè)難點(diǎn)是求出點(diǎn)軌跡，第三個(gè)難點(diǎn)是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

作出圖像，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知可得，，且，可解出，計(jì)算即得.【詳解】如圖，設(shè)，圓心坐標(biāo)為，可得，，，，，解得，，即的長是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，以及求平面兩點(diǎn)間的距離，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.14．【解析】

通過已知的三個(gè)等式，找出規(guī)律，歸納出第個(gè)等式即可．【詳解】解：因?yàn)椋海?，，等式的右邊系?shù)是2，且角是等比數(shù)列，公比為，則角滿足：第個(gè)等式中的角，所以；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，注意已知表達(dá)式的特征是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．15．【解析】

由切線的性質(zhì)，可知，切由直角三角形PAO，PBO，即可設(shè)，進(jìn)而表示，由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍，再用的式子表示，整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知，，設(shè)，由切線的性質(zhì)可知，則顯然，則或（舍去）因?yàn)榱?，則，由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題，應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子，進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值，屬于較難題.16．【解析】

根據(jù)個(gè)全等的三角形，得到，設(shè)，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面積公式，求得三角形的面積.【詳解】由于三角形是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，所以.在三角形中，.設(shè)，則.由余弦定理得，解得.所以三角形邊長為，面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的面積計(jì)算公式、余弦定理、全等三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）由，利用余弦定理可得,結(jié)合可得結(jié)果；（2）由正弦定理，,利用三角形內(nèi)角和定理可得，由三角形面積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意，得.∵.∴,∵，∴.（2）∵，由正弦定理，可得.∵a>b，∴,∴.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.18．（1）；（2）【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用可得，故可利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的通項(xiàng).（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，①，②所以，即，又因?yàn)?，故，所以，所以是首?xiàng)，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由得：數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，，.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，注意數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；如果通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；如果通項(xiàng)的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.19．（1）（2）【解析】

(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】（1），，所以，所以，，，，．（2）由余弦定理得.，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，.所以的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.20．（1）（2）{1，2}．【解析】

（1）求解導(dǎo)數(shù)，表示出，再利用的導(dǎo)數(shù)可求m的取值范圍；（2）表示出，結(jié)合二次函數(shù)知識求出的最小值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)及基本不等式求出的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合．【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，則，由題意可知，解得；（2）由（1）可知，，所以因?yàn)檎淼?，設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，又因?yàn)椋源嬖冢沟茫O(shè)，是關(guān)于開口向上的二次函數(shù)，則，設(shè)，則，令，則，所以單調(diào)遞增，因?yàn)椋源嬖?，使得，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，又由題意可知，所以，解得，所以正整數(shù)k的取值集合為{1，2}．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究極值問題一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的零