設(shè)計

美麗的圖案數(shù)學(xué)蘇科版（2024）七年級下冊

第九章

圖形的變換綜合與實踐——項目式學(xué)習(xí)

第九章

圖形的變換1.了解數(shù)學(xué)與藝術(shù)設(shè)計融合的基本形式,形成基本認識，如比例、圖形變換、拼圖、分形藝術(shù)等.2.了解利用圖形變換設(shè)計的經(jīng)典藝術(shù)作品，對數(shù)學(xué)思維、對藝術(shù)設(shè)計的影響.3.掌握三種圖形變換的概念與性質(zhì)，會進行相應(yīng)的變換作圖.4.讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋藝術(shù)設(shè)計方面的現(xiàn)實問題，感受數(shù)學(xué)與藝術(shù)的融合，體會數(shù)學(xué)的審美應(yīng)用價值，提高發(fā)現(xiàn)與提出問題、分析與解決問題的能力，發(fā)展應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識和實踐能力.平移、軸對稱和旋轉(zhuǎn)變換具有廣泛的應(yīng)用價值.無論是在建筑設(shè)計、工程制圖、計算機圖形學(xué)、藝術(shù)設(shè)計等領(lǐng)域，還是在其他學(xué)中，都可以看到它們的身影.例如在工程設(shè)計中，可以利用變換來設(shè)計對稱的建筑結(jié)構(gòu)，以提高穩(wěn)定性和美觀性.在計算機圖形學(xué)中，變換被廣泛應(yīng)用于圖像的處理和編輯.在物理學(xué)中，變換也被用來描述物體的運動和變化.在藝術(shù)設(shè)計中,敦煌莫高窟的藻井圖案、蘇州古典園林的窗格樣式,都巧妙地運用了圖形變換,既富于變化又蘊含規(guī)律,呈現(xiàn)出獨特的美感.在上面兩幅圖案設(shè)計中,用到了哪些幾何中的圖形變換?你能利用圖形變設(shè)計一幅美麗的圖案嗎?傳承千年的美麗圖案中國傳統(tǒng)圖案花紋對稱嚴(yán)謹(jǐn)而又富于變化，內(nèi)容豐富而又流暢生動，具有濃厚的裝飾意味.敦煌莫高窟是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最完好的石窟藝術(shù)寶庫，其中美麗的壁畫主要采用對稱構(gòu)圖法；蘇州古典園林是世界文化遺產(chǎn)，其中的窗花形態(tài)各異，體現(xiàn)了簡潔而深刻的美.他們都包含于中國傳統(tǒng)圖案花紋，在數(shù)千年的發(fā)展中，在多民族文化的多次碰撞與融合中，形成了這些獨特的圖案.傳承千年的美麗圖案對稱是中國傳統(tǒng)圖案的核心特征之一，包括軸對稱、中心對稱和旋轉(zhuǎn)對稱.如龍紋、鳳紋常采用左右對稱的構(gòu)圖體現(xiàn)莊重和平衡.太極圖中經(jīng)典的陰陽對稱，黑白兩部分相互呼應(yīng)，形成完美的中心對稱.回紋通過直線或曲線的重復(fù)對稱，形成連綿不斷的圖案.萬字紋（卍）通過旋轉(zhuǎn)和重復(fù)，形成無限延伸的圖案，象征永恒.雪花紋通過六邊形的重復(fù)和旋轉(zhuǎn)，形成雪花狀的圖案.卷曲的云朵形態(tài)常采用重復(fù)和旋轉(zhuǎn)增強動感.

傳承千年的美麗圖案起源于佛教藝術(shù)的寶相紋更是其中典型，其通常以蓮花、牡丹等花卉為基礎(chǔ)，以花瓣、花葉、花朵為基礎(chǔ)圖形，利用對稱構(gòu)圖以簡潔流暢度線條表現(xiàn)出莊重之感.除此以外，平移、縮放密鋪等數(shù)學(xué)變化也常出現(xiàn)在圖樣中.如纏枝紋通過藤蔓延伸和平移，形成復(fù)雜的植物圖案.水波紋通過平移和縮放，模擬水波動態(tài)效果.傳統(tǒng)建筑中的地磚和墻面裝飾則常采用密鋪圖案.埃舍爾版畫中的圖形變化埃舍爾是荷蘭著名的版畫家，因其繪畫中的數(shù)學(xué)元素而聞名.他將平面密鋪、分形、對稱、雙曲幾何和多面體等數(shù)學(xué)概念融入畫面，使作品極富趣味性和視覺沖擊力.埃舍爾的作品中常見動物、人物或其他形狀的鑲嵌圖案，在《晝與夜》中，飛鳥的圖案通過平移和旋轉(zhuǎn)完美地鑲嵌在一起.對稱也在其作品中廣泛存在，對稱繪圖系列中出現(xiàn)了各種平面對稱群.雖然埃舍爾的作品中沒有嚴(yán)格意義上的分形，但他的許多圖案展示了自相似性和無限重復(fù)的概念，在《圓形極限》系列中，圖案在圓形邊界內(nèi)無限重復(fù).除此以外，他還在《變形》系列中，通過連續(xù)的幾何變換逐漸改變形狀，構(gòu)成豐富奇幻的畫面；在《瀑布》和《上升與下降》中，他通過豐富而綜合的圖形變化創(chuàng)造視覺錯覺，表現(xiàn)了無限循環(huán)的場景.埃舍爾版畫中的圖形變化圖形變換作為一種基本的數(shù)學(xué)工具，其實質(zhì)是對幾何圖形進行某種規(guī)則性的操作，使得圖形在位置或方向上發(fā)生某種改變.這些變換雖然看似簡單，但它們的組合和疊加卻能創(chuàng)造出千變?nèi)f化的圖形，為幾何世界帶來了無限的可能性.分析美麗的圖案任務(wù)1：圖1是某建筑物地磚的一部分.仔細觀察，你在圖中發(fā)現(xiàn)了哪些熟悉的圖形，與你的小組成員進行交流.

任務(wù)2：如圖2,小明從地磚的局部抽象出兩個基本圖形:正方形ABCD,六邊形EFGHIJ.如何由這兩個基本圖形通過圖形變換得到圖1中的其他圖形?

分析美麗的圖案任務(wù)3：進一步，觀察圖1,還可以從中抽象出哪些基本圖形?如何由這些基本圖形通過圖形變換得到圖1中的其他圖形?在圖1中框一框，并與你的小組成員相互交流，有哪些不同的圖形變換方法..

分析美麗的圖案任務(wù)4：類似的圖案在生活中隨處可見，如步行小道的地磚、媽媽披肩的花紋、爸爸領(lǐng)帶花紋、建筑穹頂、窗花……，小組合作，選取一個圖案仿照前面的操作分析它，并完成下表.序號基礎(chǔ)圖形使用的圖形變化變化得到的圖形1（例）平移

2

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……

創(chuàng)作美麗的圖案任務(wù)1：如圖,由正方形通過一些有規(guī)律的變化,得到了一個富有韻律之美的圖案，仔細觀察，找出其中應(yīng)用的數(shù)學(xué)變化.任務(wù)2：對圖形涂色后可以得到絢麗的圖案，請展開想象，選擇喜歡的顏色，對圖形中的鏤空的四邊形涂色,可以得到怎樣的圖案?與同學(xué)交流.創(chuàng)作美麗的圖案任務(wù)3：參考以上案例，利用一個基本的幾何圖形，通過有規(guī)律的變化及涂色，展開想象，通過畫筆、動態(tài)幾何軟件或計算機畫圖軟件等，設(shè)計一幅圖案.任務(wù)4：組織進行優(yōu)秀作品的展示與交流活動，由設(shè)計者用圖形變換的語言說明自己作品的設(shè)計理念.如“基本圖形”是什么，變換過程是什么，體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)之美.投票選出優(yōu)秀作品，并布置展示版展覽.任務(wù)1：選取下列選題之一，收集資料、選擇圖案、欣賞、分析其中的藝術(shù)之美、數(shù)學(xué)之美.從數(shù)學(xué)的角度欣賞圖案，從中抽象出幾何圖形及圖形變換，圖案為什么美，嘗試從簡潔性、對稱性、奇異性、規(guī)律性等，進行分析并與同一選題的同學(xué)進行交流.欣賞美麗的圖案選題1.查找網(wǎng)絡(luò)資源或者觀察現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)圖形變換在繪畫和設(shè)計中的各種應(yīng)用，感悟藝術(shù)之美與數(shù)學(xué)之美.欣賞美麗的圖案選題2.平面密鋪是一類有趣的幾何問題.我們可以用一個多邊形(如正三角形、長方形、正六邊形等)完成平面密鋪，也可以用幾個多邊形或者復(fù)雜圖案完成平面密鋪.查閱有關(guān)平面密鋪的資料，挖掘其中數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用與在藝術(shù)創(chuàng)作中的用途.

任務(wù)2：根據(jù)你的選題，結(jié)合交流中的收獲，以小組為單位制作手抄報或撰寫小論文的形式進行展示.欣賞美麗的圖案4.展示交流制作向全班匯報的演示文稿，選出代表向全班同學(xué)展示本組的研究成果分享實踐過程中的活動經(jīng)驗、遇到的困難及其解決方法，反思活動中的不足.1.組建合作團隊本次綜合與實踐活動需要團隊協(xié)作，在班級中組成5~7人一組的研究小每位同學(xué)參加其中一個小組，每個小組確定一名負責(zé)人組2.方案構(gòu)思小組成員進行充分的討論與交流，集思廣益，形成解決任務(wù)的方案3.方案實施按照小組設(shè)計的方案進行任務(wù)分工，使每位成員都有明確的任務(wù)，根據(jù)規(guī)劃的研究步驟實施，完成活動任務(wù)，形成研究