20242025學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知數(shù)列1，，，，3，?，按此規(guī)律，7是該數(shù)列的（

）A．第24項 B．第25項 C．第26項 D．第27項2．在等差數(shù)列中，，且，則等于（

）A． B． C．0 D．13．已知等差數(shù)列的公差為，若，，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．4．在數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C．2 D．35．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至．從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（

）A．24.5尺 B．25.5尺 C．37.5尺 D．96尺6．某網(wǎng)店經(jīng)銷某商品，為了解該商品的月銷量（單位：千件）與售價（單位：元/件）之間的關(guān)系，收集5組數(shù)據(jù)進行了初步處理，得到如下數(shù)表：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得回歸直線方程，以下說法正確的是（

）A．，具有負相關(guān)關(guān)系，相關(guān)系數(shù)B．每增加一個單位，平均減少個單位C．第二個樣本點對應(yīng)的殘差D．第三個樣本點對應(yīng)的殘差7．已知等差數(shù)列的前項和為，若，，則使的最小的的值為（

）A． B． C． D．8．已知是等比數(shù)列的前項和，則“，，依次成等差數(shù)列”是“，，依次成等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件二、多選題9．國家統(tǒng)計局月日發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，年上半年我國經(jīng)濟運行總體平穩(wěn)，其中新能源產(chǎn)業(yè)依靠持續(xù)的技術(shù)創(chuàng)新實現(xiàn)較快增長．某企業(yè)根據(jù)市場調(diào)研得到研發(fā)投入（億元）與產(chǎn)品收益（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下，則下列敘述正確的是（

）12345672357889A．，B．由散點圖知變量和正相關(guān)C．相關(guān)系數(shù)D．用最小二乘法求得關(guān)于的經(jīng)驗回歸直線方程為10．?dāng)?shù)列的前項和為，已知，則（

）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時， D．當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值11．已知數(shù)列滿足，，則（

）A．是等差數(shù)列B．的前項和為C．是單調(diào)遞增數(shù)列D．?dāng)?shù)列的最小項為三、填空題12．已知等比數(shù)列滿足，，則．13．已知數(shù)列滿足，若為數(shù)列的前項和，則14．已知數(shù)列的通項公式，在其相鄰兩項，之間插入個，得到新的數(shù)列，記的前項和為，則使成立的的最小值為．四、解答題15．設(shè)為等差數(shù)列的前項和，已知，．(1)求的通項公式；(2)求，并求的最大值及此時的值．16．近年來，解放軍強軍興軍的深刻變化，感召了越來越多的高中優(yōu)秀青年學(xué)子獻身國防，投身軍營．2024年高考，很多高考畢業(yè)學(xué)生報考了軍事類院校．從某地區(qū)內(nèi)學(xué)校的高三年級中隨機抽取了900名學(xué)生，其中男生500人，女生400人，通過調(diào)查，有報考軍事類院校意向的男生、女生各100名．(1)完成給出的列聯(lián)表；有報考意向無報考意向合計男學(xué)生女學(xué)生合計(2)根據(jù)獨立性檢驗，判斷是否有90%的把握認為學(xué)生有報考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)．參考公式及數(shù)據(jù)：．α0．250．150．100．050．0250．0100．0050．0011．3232．7062．7063．8415．0246．6357．87910．82817．已知數(shù)列的前項和為，且，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若求數(shù)列的前項和．18．設(shè)數(shù)列的前n項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.19．對于一個給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的階和數(shù)列．(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；(2)若，求的二階和數(shù)列的前項和；(3)若是首項為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時的公差．題號12345678910答案BCBCBCDAABCBC題號11答案BCD1．B根據(jù)數(shù)列的前幾項找出數(shù)列的通項公式，再令通項公式的值等于，進而求出是該數(shù)列的第幾項.【詳解】此數(shù)列可寫為：，，，，，?，所以該數(shù)列的通項公式為：，，解得，故選：B．2．C設(shè)出公差，由題目條件得到方程組，求出首項和公差，得到.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，若，則有，又由，則，解得，，故.故選：C．3．B利用等差數(shù)列和等比中項的公式可得答案.【詳解】因為等差數(shù)列的公差為，所以，因為，，成等比數(shù)列，所以，解得，所以.故選：B4．C通過數(shù)列的遞推公式計算數(shù)列的前項，可得數(shù)列為周期數(shù)列，由此可得結(jié)果.【詳解】∵，，∴，，，∴數(shù)列為周期數(shù)列，周期為.∵，∴.故選：C．5．B利用等差數(shù)列下標(biāo)的性質(zhì)，通過已知的兩個和式來推導(dǎo)出第三個和式的值.【詳解】設(shè)這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列，其中冬至的日影長為，由題意可得，冬至、立春、春分日影長之和為，小寒、雨水、清明日影長之和為，大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為，所以．故選：B．6．C根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對值不超過1可得選項A錯誤；根據(jù)回歸直線方程可得選項B錯誤；根據(jù)殘差的概念可得選項C正確，選項D錯誤.【詳解】A.相關(guān)系數(shù)的絕對值不超過1，A錯誤；B.由回歸直線方程知，每增加一個單位，平均減少個單位，B錯誤；C.第二個樣本點對應(yīng)的殘差，C正確；D.第三個樣本點對應(yīng)的殘差，D錯誤．故選：C.7．D根據(jù)條件可得數(shù)列為遞減數(shù)列，且，，，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，，∴數(shù)列為遞減數(shù)列，∴，，，由得，即，∴，∴使的最小的的值為.故選：D．8．A根據(jù)充分條件、必要條件的概念，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，，依次成等差數(shù)列，可得，當(dāng)時，，，，不滿足，故，∴，∵，∴，解得或（舍）．當(dāng)時，，，∴，即，，依次成等差數(shù)列，故充分性成立．由，，依次成等差數(shù)列可得，即，由得，解得或，故或．當(dāng)時，，，，不滿足，故必要性不成立.綜上可得，“，，依次成等差數(shù)列”是“，，依次成等差數(shù)列”的充分不必要條件．故選：A．9．ABC根據(jù)平均數(shù)的概念可得選項A正確；畫出散點圖可得選項B正確；根據(jù)變量和正相關(guān)可得選項C正確；根據(jù)回歸直線過樣本中心點得選項D錯誤.【詳解】A.，，A正確；B.根據(jù)表格作出散點圖，因為散點圖的分布從左下到右上，所以和正相關(guān)，B正確；C.由選項B可知相關(guān)系數(shù)，故C正確；D.由題意得，樣本中心點的坐標(biāo)為，即，回歸直線過點.當(dāng)時，，故D錯誤.故選：ABC.10．BC根據(jù)求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合可得選項A錯誤；利用通項公式可得選項B正確；利用通項公式解不等式可得選項C正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得選項D錯誤.【詳解】A.當(dāng)時，，∵，滿足上式，∴，∵，∴是遞減數(shù)列，故A錯誤.B.由得，故B正確；C.由得，故C正確；D.∵二次函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為直線，，∴當(dāng)或時，取得最大值，故D錯誤.故選：BC.11．BCD由題意可得，則可得的通項公式，再求出并求和即可得A、B；借助的通項公式即可得C；結(jié)合基本不等式及其取等條件可得D.【詳解】對A、B：由，得，因為，所以，，?，，從而，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以，所以，所以A錯誤，B正確；對C：由，易知是單調(diào)遞增數(shù)列，C正確；對D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，又為正整數(shù)，所以上述不等式等號不成立，故當(dāng)時，有最小值，D正確.故選：BCD．12．2根據(jù)等比數(shù)列通項公式判斷的正負，再利用等比中項性質(zhì)求出的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由等比中項的性質(zhì)可得，解得．故答案為：2.13．626根據(jù)所給遞推關(guān)系式，構(gòu)造等差數(shù)列、等比數(shù)列求和，再分組求和即可.【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時，，即數(shù)列的奇數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列，其首項為1，公差為2，則，當(dāng)時，，即數(shù)列的偶數(shù)項構(gòu)成等比數(shù)列，其首項為1，公比為，則，所以.故答案為：62614．28由題意分析數(shù)列的情況，求出和時的值，進而求解即可.【詳解】由題意得數(shù)列的前項依次為：1，2個3，3，個3，7，個3，15，個3，31，??，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以使得成立的的最小值為28.故答案為：28.15．(1)(2)，的最大值，此時（1）由等差數(shù)列的通項公式和前項和公式，通過已知條件求出公差，進而得到通項公式和前項和公式；（2）根據(jù)前項和公式的函數(shù)特點求出其最大值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，．所以，解得，所以的通項公式是．（2）

當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為16．16．(1)列聯(lián)表見解析(2)有90%的把握認為學(xué)生有報考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)（1）根據(jù)已知條件填寫列聯(lián)表；（2）根據(jù)已知計算，再與臨界值比較判斷即可.【詳解】（1）根據(jù)已知條件，填寫列聯(lián)表如下：有報考意向無報考意向合計男學(xué)生100400500女學(xué)生100300400合計200700900（2），所以有90%的把握認為學(xué)生有報考軍事類院校的意愿與性別有關(guān)．17．(1)，；(2)（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到的表達式，再通過與的關(guān)系求出通項公式；（2）求出，采用錯位相減法求出其前項和.【詳解】（1）∵，，成等差數(shù)列，∴，即，當(dāng)時，當(dāng)時，，也滿足，∴數(shù)列的通項公式為，；（2）由（1）得，則數(shù)列前項和，，兩式相減可得，化簡可得．18．(1)；(2).(1)由可得兩式相減得.利用等比數(shù)列的定義求解即可；(2)由(1)已知可得，利用裂項相消法求解即可.【詳解】(1)由可得兩式相減得.又，則.所以，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故.(2)由(1)已知可得，故其前n項和，化簡可得.19．(1)(2)(3)的最大值是，公差為（1）根據(jù)一階和數(shù)列的定義可計算出，，的值，根據(jù)二階和數(shù)列的定義計算出，的值，由的二階和數(shù)列是等比數(shù)列可得公比，從而得到，，的值，再由定義可求