平面解析幾何第九章第3講圓的方程高考要求考情分析1.掌握確定圓的幾何要素．2．掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程單獨(dú)考查圓的情況很少，一般與圓錐曲線結(jié)合考查，考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)欄目導(dǎo)航01基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏03追蹤命題直擊高考02重難突破能力提升04配套訓(xùn)練基礎(chǔ)整合自測(cè)糾偏11．圓的定義和圓的方程D2＋E2－4F＞0

2．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)d＞r?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在____________；(2)d＝r?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在____________；(3)d＜r?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在____________．圓外圓上圓內(nèi)[特別提醒]不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的結(jié)構(gòu)都認(rèn)為是圓，一定要先判斷D2＋E2－4F的符號(hào)，只有大于0時(shí)才表示圓．[謹(jǐn)記常用結(jié)論]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則有：(1)當(dāng)F＝0時(shí)，圓過原點(diǎn)．(2)當(dāng)D＝0，E≠0時(shí)，圓心在y軸上；當(dāng)D≠0，E＝0時(shí)，圓心在x軸上．(3)當(dāng)D＝F＝0，E≠0時(shí)，圓與x軸相切于原點(diǎn)；E＝F＝0，D≠0時(shí)，圓與y軸相切于原點(diǎn)．(4)當(dāng)D2＝E2＝4F時(shí)，圓與兩坐標(biāo)軸相切．1．(2019年紹興學(xué)業(yè)考試)圓x2＋(y－2)2＝9的半徑是(

)A．3

B．2

C．9

D．6【答案】A

【解析】圓x2＋(y－2)2＝9的半徑為3.故選A．2．(2019年惠州學(xué)業(yè)考試模擬)已知圓C與y軸相切于點(diǎn)(0,5)，半徑為5，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A．(x－5)2＋(y－5)2＝25B．(x＋5)2＋(y－5)2＝25C．(x－5)2＋(y－5)2＝5或(x＋5)2＋(y－5)2＝5D．(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25【答案】D

【解析】由題意得圓C的圓心為(5,5)或(－5，5)，故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋(y－5)2＝25或(x＋5)2＋(y－5)2＝25.故選D．3．(2019年安徽期末)以A(－2,1)，B(1,5)為半徑兩端點(diǎn)的圓的方程是(

)A．(x＋2)2＋(y－1)2＝25B．(x－1)2＋(y－5)2＝25C．(x＋2)2＋(y－1)2＝25或(x－1)2＋(y－5)2＝25D．(x＋2)2＋(y－1)2＝5或(x－1)2＋(y－5)2＝5【答案】C

4．圓C的圓心在x軸上，并且過點(diǎn)A(－1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為____________________．【答案】(x－2)2＋y2＝105．(2019年哈爾濱三模)過點(diǎn)A(－3,2)，B(－5，－2)，且圓心在直線3x－2y＋4＝0上的圓的半徑為____________．1．求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程．2．過圓外一定點(diǎn)求圓的切線，應(yīng)該有兩個(gè)結(jié)果，若只求出一個(gè)結(jié)果，應(yīng)該考慮切線斜率不存在的情況．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)：(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．(

)(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．(

)(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．(

)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(

)【答案】(1)√

(2)×

(3)×

(4)√重難突破能力提升2圓的方程【答案】(1)(x－1)2＋(y＋1)2＝2

(2)D【規(guī)律方法】(1)方程選擇原則：求圓的方程時(shí)，如果由已知條件易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心坐標(biāo)列方程，常選用標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件與圓心坐標(biāo)、半徑無(wú)直接關(guān)系，常選用一般方程．(2)求圓的方程的方法和步驟：確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟如下：①根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；②根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或D，E，F(xiàn)的方程組；③解出a，b，r或D，E，F(xiàn)代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．【跟蹤訓(xùn)練】1．(1)已知直線kx－y＋2k－1＝0(k∈R)恒過圓C的圓心，且圓C的半徑為2，則圓C的方程是______________．(2)以拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為圓心，與該拋物線的準(zhǔn)線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________________．【答案】(1)(x＋2)2＋(y＋1)2＝4(2)(x－1)2＋y2＝4【解析】(1)由題意得，直線kx－y＋2k－1＝0(k∈R)恒過C(－2，－1)，且圓C的半徑為2，所以圓C的方程為(x＋2)2＋(y＋1)2＝4.(2)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為2，所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝4.與圓有關(guān)的最值問題或者范圍問題【考向分析】與圓有關(guān)的最值問題也是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想．常見的考向：(1)斜率型最值問題；(2)截距型最值問題；(3)距離型最值問題；(4)利用對(duì)稱性求最值．【答案】A

與圓有關(guān)的軌跡問題

已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2x－2,2y)．因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2.所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.【規(guī)律方法】求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．【跟蹤訓(xùn)練】2．設(shè)定點(diǎn)M(－3,4)，動(dòng)點(diǎn)N在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作平行四邊形MONP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求點(diǎn)P的軌跡．追蹤命題直擊高考3【典例精析】

【考查角度】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系與圓與直線的位置關(guān)系式的應(yīng)用．【考查目的】主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．【思路導(dǎo)引】直接利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用和中點(diǎn)的關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．【答案】B【拓展延伸】

常用到的圓的三個(gè)性質(zhì)在解決與圓有關(guān)的問題時(shí)，借助于圓的幾何性質(zhì)，往往會(huì)使得思路簡(jiǎn)潔明了，簡(jiǎn)便運(yùn)算．(1)圓