試題PAGE1試題2024北京十三中高二（下）期中數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1頁(yè)至第2頁(yè)；第Ⅱ卷第2頁(yè)至第6頁(yè)，答題紙第1頁(yè)至第3頁(yè)．共150分，考試時(shí)間120分鐘．請(qǐng)?jiān)诖痤}紙上側(cè)密封線(xiàn)內(nèi)書(shū)寫(xiě)班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)．考試結(jié)束后，將本試卷的答題紙交回．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．）1.函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率為（）A. B. C. D.2.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C. D.3.設(shè)的分布列如表所示，又設(shè)，則等于（

）1234A. B. C. D.4.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（）A. B.C. D.5.從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個(gè)數(shù)，則在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第2次抽到奇數(shù)的概率是()A. B. C. D.6.某校高二年級(jí)計(jì)劃舉辦籃球比賽，采用抽簽的方式把全年級(jí)10個(gè)班分為甲、乙兩組，每組5個(gè)班，則高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲組的概率是（）A. B. C. D.7.投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3128.設(shè)函數(shù)的極小值為－8，其導(dǎo)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（－2，0），如圖所示，則＝（）A. B.C. D.9.一道考題有4個(gè)答案，要求學(xué)生將其中的一個(gè)正確答案選擇出來(lái)．某考生知道正確答案的概率為，而亂猜時(shí)，4個(gè)答案都有機(jī)會(huì)被他選擇，則他答對(duì)正確答案的概率是（）A. B. C. D.10.設(shè)P為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，Q為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為（）A. B.1 C. D.2第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）11.設(shè)函數(shù)，則___．12.某不透明紙箱中共有8個(gè)小球，其中2個(gè)白球，6個(gè)紅球，它們除顏色外均相同．一次性從紙箱中摸出4個(gè)小球，摸出紅球個(gè)數(shù)為，則______．13.已知隨機(jī)變量的分布列如下：0120.6若，則______；當(dāng)______時(shí)，最大．14.李明自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)營(yíng)一家網(wǎng)店，每售出一件商品獲利8元．現(xiàn)計(jì)劃在“五一”期間對(duì)商品進(jìn)行廣告促銷(xiāo)，假設(shè)售出商品的件數(shù)（單位：萬(wàn)件）與廣告費(fèi)用（單位：萬(wàn)元）符合函數(shù)模型．若要使這次促銷(xiāo)活動(dòng)獲利最多，則廣告費(fèi)用應(yīng)投入_______萬(wàn)元．15.函數(shù)（為常數(shù)）的圖象可能為_(kāi)_____．（選出所有可能的選項(xiàng)）①②③④三、解答題：（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）16.已知函數(shù)（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間.17.某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)竟答活動(dòng)，根據(jù)答題得分情況評(píng)選出一二三等獎(jiǎng)若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：性別人數(shù)獲獎(jiǎng)人數(shù)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)男生200101515女生300252540假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立．（1）分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)的概率；（2）用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，以X表示這2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為；從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為；從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為，試比較與的大小．（結(jié)論不要求證明）18.為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取了幾件測(cè)量產(chǎn)品中的微量元素的含量（單位：毫克）．規(guī)定微量元素的含量滿(mǎn)足：（單位：毫克）為優(yōu)質(zhì)品．甲企業(yè)的樣本頻率分布直方圖和乙企業(yè)的樣本頻數(shù)分布表如下：含量頻數(shù)12421（1）從乙廠抽取的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)的分布列及其數(shù)學(xué)期望；（2）從甲乙兩廠的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取2件，求其中優(yōu)質(zhì)品數(shù)之和為2的概率；（3）在（2）的條件下，寫(xiě)出甲乙兩廠的優(yōu)質(zhì)品數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望．（結(jié)論不要求證明）19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；判斷此時(shí)是否有最值，如果有請(qǐng)寫(xiě)出最值（結(jié)論不要求證明）（2）若是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍．20.已知函數(shù)，.（1）若，求在區(qū)間上的最大值和最小值；（2）設(shè)，求證：恰有2個(gè)極值點(diǎn)；（3）若，不等式恒成立，求的最小值.21.對(duì)任意正整數(shù)n，記集合，．，，若對(duì)任意都有，則記．（1）寫(xiě)出集合和；（2）證明：對(duì)任意，存在，使得；（3）設(shè)集合．求證：中的元素個(gè)數(shù)是完全平方數(shù)．

參考答案第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分．）1.【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值即得.【詳解】由，求導(dǎo)得，所以.故選：D2.【答案】D【分析】由圖象可得導(dǎo)函數(shù)的定義域及單調(diào)性，再逐項(xiàng)求導(dǎo)并判斷得解.【詳解】觀察圖象知，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，有一個(gè)正零點(diǎn)，對(duì)于A，，其定義域?yàn)镽，無(wú)零點(diǎn)，不符合題意，A不是；對(duì)于B，定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，B不是；對(duì)于C，定義域?yàn)镽，而零點(diǎn)為，不符合題意，C不是；對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞增，有唯一零點(diǎn)，符合題意，D是.故選：D3.【答案】D【分析】根據(jù)分布列求出，再根據(jù)期望的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】解：依題意可得，所以．故選：D．4.【答案】B【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)的加法運(yùn)算法則即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以?故選：B.5.【答案】D【分析】設(shè)事件為“第i次抽到偶數(shù)”，i＝1，2，則所求概率為【詳解】設(shè)事件為“第i次抽到偶數(shù)”，i＝1，2，則事件“在第1次抽到偶數(shù)的條件下，第2次抽到奇數(shù)”的概率為：.故選：D.6.【答案】B【分析】利用概率的古典概型計(jì)算公式結(jié)合組合的應(yīng)用即可求得結(jié)果.【詳解】易知將10個(gè)班分為甲、乙兩組共有種分組方式，其中高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲組的情況共有種，所以高二（1）班、高二（2）班恰好都在甲組的概率是.故選：B7.【答案】A【詳解】試題分析：該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為，故選A．考點(diǎn)：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．8.【答案】B【分析】由題設(shè)，根據(jù)所過(guò)的點(diǎn)可得，結(jié)合圖象求出極小值點(diǎn)并代入求參數(shù)，即可得解析式，注意驗(yàn)證所得參數(shù)是否符合題設(shè).【詳解】由題設(shè)，，則，故，所以，令，可得或，由圖知：且處有極小值，所以，即，，經(jīng)驗(yàn)證滿(mǎn)足題設(shè)，故.故選：B9.【答案】C【分析】依題意分兩種情況對(duì)答對(duì)正確答案進(jìn)行討論，再利用全概率公式計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)“知道正確答案”為事件，“他答對(duì)正確答案”為事件；易知；而；因此他答對(duì)正確答案的概率是.故選：C10.【答案】C【分析】由導(dǎo)數(shù)求出兩曲線(xiàn)的切線(xiàn)【詳解】，，時(shí)，，，所以是圖象的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，，時(shí)，，，所以是的圖象的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，這兩條切線(xiàn)平行，兩切點(diǎn)連線(xiàn)恰好與切線(xiàn)垂直，|PQ|的最小值即為兩切點(diǎn)間的距離．所以，故選：C．第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分．）11.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以；故答案為?2.【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，可得服從超幾何分布，再利用超幾何分布的期望公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，摸出紅球個(gè)數(shù)服從超幾何分布，，所以.故答案為：313.【答案】①.0.1②.0.2【分析】根據(jù)給定條件，利用分布列的性質(zhì)，期望公式計(jì)算得值；利用方差與期望的關(guān)系建立關(guān)于的函數(shù)，探討函數(shù)的最大值即可.【詳解】由，得，因此；依題意，，，因此，則當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：0.1；0.214.【答案】【分析】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為萬(wàn)元，求出關(guān)于的表達(dá)式，利用基本不等式可求得的最小值及其對(duì)應(yīng)的的值.【詳解】設(shè)李明獲得的利潤(rùn)為萬(wàn)元，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，因?yàn)?，即?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.15.【答案】①②③【分析】求導(dǎo)可得，并構(gòu)造函數(shù)，對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論并得出函數(shù)的最值，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論.【詳解】易知函數(shù)的定義域?yàn)?，則，令，可得；顯然當(dāng)時(shí)，，沒(méi)有對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象；因此，當(dāng)時(shí)，易知在恒成立，可知在上單調(diào)遞減，易知，即；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于；即存在，使得，也即;所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，又易知，且時(shí)，時(shí)，此時(shí)圖象可能為③；當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；即，若時(shí)，，即恒成立，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，且，此時(shí)圖象可能為①；若時(shí)，，即存在兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿(mǎn)足，不妨取，因此可得當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；且，因此圖象可能為②.由于時(shí)，，函數(shù)不可能有2個(gè)零點(diǎn)，故④不可能，故答案為：①②③【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)并對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而得出函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)論.三、解答題：（本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．）16.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線(xiàn)方程即得.（2）由（1）的導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)函數(shù)大于0，小于0的不等式即可.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，由（1）得，由，得或，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.17.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，期望（3）【分析】（1）直接計(jì)算概率；（2）的所有可能取值為0,1,2，求出高一男生獲獎(jiǎng)概率和高一女生獲獎(jiǎng)概率，再計(jì)算概率得到分布列，最后計(jì)算期望即可；（3）計(jì)算出，，比較大小即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名,抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)”，則，【小問(wèn)2詳解】隨機(jī)變量的所有可能取值為0,1,2.記事件為“從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名,該學(xué)生獲獎(jiǎng)”,事件為“從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名,該學(xué)生獲獎(jiǎng)”.由題設(shè)知,事件,相互獨(dú)立,且估計(jì)為估計(jì)為.所以,,.所以的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望【小問(wèn)3詳解】，理由：根據(jù)頻率估計(jì)概率得，由（2）知，，故，則.18.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）；（3）.【分析】（1）求出的可能值及對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望.（2）利用頻率估計(jì)概率，求出甲乙廠產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率，再分別求出抽出的2件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)的概率，進(jìn)而求出優(yōu)質(zhì)品數(shù)和為2的概率.（3）由（2）的信息求出的分布列及數(shù)學(xué)期望.【小問(wèn)1詳解】乙廠抽取的10件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)有6件，的可能取值為，，所以的分布列為：012數(shù)學(xué)期望為.【小問(wèn)2詳解】記甲乙兩廠的優(yōu)質(zhì)品數(shù)分別為，由樣本頻率估計(jì)：甲廠產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率為，乙廠產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品率為，，，，所以?xún)?yōu)質(zhì)品數(shù)之和為2的概率為.【小問(wèn)3詳解】由（2）知，的可能值為，，，所以的數(shù)學(xué)期望.19.【答案】（1）的極小值為，無(wú)極大值；最小值為，無(wú)最大值；（2）【分析】（1）求函數(shù)求導(dǎo)，代入得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性可得在處取得極小值，也是最小值；（2）對(duì)參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，得出不同情況下的單調(diào)性，滿(mǎn)足是單調(diào)函數(shù)即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】易知的定義域?yàn)?，由可得，?dāng)時(shí)，，令可得；因此當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，因此可得在處取得極小值；所以的極小值為，無(wú)極大值；根據(jù)極值與最值得關(guān)系可得，此時(shí)在處也取得最小值，無(wú)最大值；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，顯然當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)為上單調(diào)遞減函數(shù)，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，令，解得；由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減，若，，此時(shí)為上單調(diào)遞增函數(shù)；若，，此時(shí)為上單調(diào)遞減函數(shù)；顯然此時(shí)不是單調(diào)函數(shù)，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增，若，，此時(shí)為上單調(diào)遞減函數(shù)；若，，此時(shí)為上單調(diào)遞增函數(shù)；顯然此時(shí)不是單調(diào)函數(shù)，不滿(mǎn)足題意；綜上可知，;即的取值范圍為.20.【答案】（1）.（2）證明見(jiàn)解析（3）【分析】（1）求得，令，可得，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合極值的概念與計(jì)算，即可求解；（2）求得，結(jié)合，得到方程有兩個(gè)不同的根，結(jié)合極值點(diǎn)的定義，即可求解；（3）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，不等式恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：由函數(shù)，可得，令，可得，則的關(guān)系，如圖下表：120極大值綜上可得，函數(shù).【小問(wèn)2詳解】解：由函數(shù)，可得，因?yàn)椋苑匠逃袃蓚€(gè)不同的根，設(shè)為且，則有極小值極大值綜上可得，函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)