2023-2024學(xué)年湖南省張家界市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)：,I，,貝對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知向量TT（l.m）,向量知1\3I>若”『，則加等于（）

A.V3B.v'3C.D.一少

33

3.某學(xué)校有高中學(xué)生3000人，其中高一年級、高二年級、高三年級的人數(shù)分別為1050,1000,為調(diào)查

學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取個容量為300的樣本，那么應(yīng)

抽取高一年級學(xué)生的人數(shù)為（）

A.195B.105C.100D.95

4.已知邊長為2的正方形ABCD中，E為4D中點，連接3E,則7"：I,\?i

A.2B.1C.1D.2

5.甲、乙兩個人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機(jī)出拳，則一次游戲兩人平局的概率為，

|212

A.-B.-C.-D.二

33I9

6.對于兩個平面，t,，和兩條直線〃?，n,下列命題中真命題是（）

A.若…“，”I.〃，則,-B.若…r「，則，”J

C.若">',“則”，'D.若…n!?,H.t',則r”.〃

7.科技是一個國家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號I如圖1，是中

國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器W22年5月，“極目一號”山型浮空艇成功完成10次升

空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄,

彰顯了中國的實力.“極目一號”III型浮空艇長55米，高19米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一

個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則極目一號體積約為（）

（參考數(shù)據(jù)：9.51490，9.53=857，3l5x1005^316600）

114—----------31.5

圖1圖2

第1頁，共16頁

A.*MM>Im*B.C..sOllrii1D.

8.隨著北京冬奧會的舉辦，中國冰雪運(yùn)動的參與人數(shù)有了突飛猛進(jìn)的提升.某校為提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)、

大力推廣冰雪運(yùn)動，號召青少年成為“三億人參與冰雪運(yùn)動的主力軍”，開設(shè)了“陸地冰壺”“陸地冰

球”“滑冰”“模擬滑雪”四類冰雪運(yùn)動體驗課程.甲、乙兩名同學(xué)各自從中任意挑選兩門課程學(xué)習(xí)，設(shè)

事件1“甲乙兩人所選課程恰有一門相同”，事件〃“甲乙兩人所選課程完全不同”，事件「“甲

乙兩人均未選擇陸地冰壺課程”，貝1()

A./與3為對立事件B./與C互斥C.N與C相互獨立D.8與C相互獨立

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分,

部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.某校1000名學(xué)生在高三一模測試中數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示I同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的

中點值作代表).分?jǐn)?shù)不低于X即為優(yōu)秀，已知優(yōu)秀學(xué)生有80人，貝IJ()

A................BX=120

C.70分以下的人數(shù)約為6人D.本次考試的平均分約為

10.如圖所示，為了測量/,3兩島的距離，小明在D處觀測，A,8分別在。處的北

偏西15,北偏東45,方向，再往正東方向行駛30海里至C處，觀測3在C處的正北

方向，/在C處的北偏西，方向，則下列結(jié)論正確的是()

第2頁，共16頁

A.ZC.ID-15B.A,。之間的距離為海里

C.B,。之間的距離為Ri、x海里D.A,2兩島間的距離為［5\（，海里

11.正三棱柱1,',7'1的各棱長均相等，。是:心的中點，M,N是線段"〃，1―上的動點「含端

點），且:「.V,當(dāng)〃，N運(yùn)動時，下列結(jié)論正確的是（）

A.平面/"/.V」平面

B.三棱錐I"VV的體積為定值

C."V.V可能為直角三角形

D.平面。與平面A8C所成的銳二面角的范圍是I"'

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在9,10,11,13,15,16這六個數(shù)中，第50百分位數(shù)是.

13.已知復(fù)數(shù)~12-H??1i?>1-為純虛數(shù)，貝！I.;.

14.已知三棱錐廠.13（，的四個頂點都在球。的球面上，pifp（■1，.1（'1，

i\\Ln,1，則球。的表面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.?本小題13分j

某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個式子的值都等于同一個常數(shù).

—44-3/^—1—t

①②③一

I,是虛數(shù)單位）

I從三個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；

mi根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及（n的計算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個復(fù)數(shù)恒等式，并證明你的結(jié)論.

16.I本小題15分）

全國文明城市簡稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市.全國文

明城市稱號是反映中國城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號.為普及相關(guān)知識，爭創(chuàng)全國文明城市，張家界市

組織了文明城市知識競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩個單位各5名職工的成績I單位：分，如表：

甲單位8788919193

乙單位8589919293

1，根據(jù)如表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個單位5名職工的成績的平均數(shù)和方差，并比較哪個單位的職工

對文明城市知識掌握得更好；

2「用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率.

第3頁，共16頁

17.?本小題15分

如圖，在四棱錐廣.1”「。中，底面48。。為平行四邊形，..1/)L_.5，.1。..1「—1，。為/。的

中點，廣(〃平面/BCD,「<>2,M為尸。的中點.

II證明：i'ii平面/CM；

1求直線NM與平面/BCD所成角的正切值.

18.本小題17分，

乒乓球臺面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分.如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域/、B,乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域

。、/).某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球，規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分，在。

上記1分，其它情況記0分.對落點在/上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為?,在。上的概率

2

為I;對落點在2上的來球，小明回球的落點在C上的概率為!，在。上的概率為:.假設(shè)共有兩次來球且

355

落在4、5上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：

￡/4/

I小明對落點在N、8上的來球回球的得分為0分的概率；

「小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；

:J兩次回球結(jié)束后，小明得分之和；的所有可能取值及對應(yīng)的概率.

19.?本小題17分)

已知G點為的重心,內(nèi)角N,B,C的對邊分別為a,b,i

I1J若("；=(汀?N.l/j?l(u求實數(shù)、的值；

(2)若而詬，且

第4頁，共16頁

i-」，求實數(shù)冽的值;

1品,求實數(shù)”的直

11

tailAtaliB

第5頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】A

【解析】【分析】

利用共軟復(fù)數(shù)的定義及其幾何意義即可得出.

本題考查了共鈍復(fù)數(shù)的定義及其幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：復(fù)數(shù)：JL,則二.對應(yīng)的點1二II位于第一象限，

故選：A

2.【答案】B

【解析】解:向量丁向量1=?x$?，若J了,

則1?v3—x(—I)=0>解得r*i-■.i

故選：I]

由已知結(jié)合共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算列式求解加值.

本題考查共線向量的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一個容量為300的樣本，

則應(yīng)抽取高一年級學(xué)生的人數(shù)為：力川?—1

34NM)

故選：11

根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，即可求解.

本題主要考查分層抽樣的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查向量加法的幾何意義，相反向量的概念，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題.

可畫出圖形，據(jù)圖可得出_/.」，從而便得到3//i〃i-/i,這樣進(jìn)行數(shù)量積的

運(yùn)算即可.

【解答】

解：如圖，

第6頁，共16頁

AB

HF.-liA-\E-Hi/.1

..屏幻=屈■匐）短

=團(tuán)?塌-EX

=0-1=-1.

故選/;

5.【答案】A

【解析】【分析】

本題考查了列表法求概率，屬于基礎(chǔ)題.

首先根據(jù)題意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的結(jié)果與兩人平局的情況，再利用概率公式即可

求得答案.

【解答】

解：甲、乙兩個人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：

（甲,乙）錘剪子包袱

錘1錘，錘11錘，剪子，（錘，包袱1

剪子1剪子，錘）（剪子，剪子1（剪子，包袱）

包袱1包袱，錘）（包袱，剪子1（包袱，包袱，

「由表格可知，共有9種等可能情況.其中平局的有3種：I錘，錘I、I剪子，剪子I、I包袱，包袱「

甲和乙平局的概率為：」-1.

93

故選：C.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查命題真假的判斷，屬于中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系的

合理運(yùn)用.

在《中：”或“一n；在8中，加與?相交、平行或，；在C中，加與"相交、平行或異面；在。

第7頁，共16頁

中，由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)得…，.

【解答】

解：在4中：若………，則n"或"‘I,故N錯誤；

在3中：若八J,則機(jī)與；相交、平行或“，，'，故2錯誤；

在C中：若：，，，I',則加與〃相交、平行或異面，故C錯誤；

在。中：若m“1〃1，，則由線面垂直和面面垂直的性質(zhì)得”，.，,，，故。正確.

故選：”

7.【答案】A

【解析】解：由圖可知，半球的半徑。一注5米，圓柱的底面半徑。一9.5米，高為14米，圓臺的下底面半

徑為"二米，上底面半徑為「1米，高為/,:米.

則極目一號體積約為「一：?-'???,+丁I1?卜?31,5-ill-!(5-1t|-|

21

^?(―x857+9nxII4-—x31.5x

'33'

x(571+1260+1055)x3.1415

x9064FH3.

故選：A

由已知可得球、圓柱、圓臺的底面半徑與圓柱、圓臺的高，代入體積公式得答案.

本題考查旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查互斥事件、對立事件、古典概型、相互獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求

解能力，是中檔題.

根據(jù)互斥事件、對立事件的概率判斷/以根據(jù)古典概型的概率計算公式結(jié)合相互獨立事件定義，判斷

【解答】

解：依題意甲、乙兩人所選課程有如下情形：

①有1門相同，②2門都相同，③2門都不相同，

.?.4與2互斥不對立，/與。不互斥，故/，3錯誤；

cJcJci2

小）=占序

Jc；rf'

-H,

CfCf6

第8頁，共16頁

.mi/'I.II/'CI,/i/“mi，一，

,4與C相互獨立，2與C不相互獨立，故C正確，。錯誤.

故本題選C

9.【答案】AD

【解析】解：對于/，0.002x2+0.004+a+0.0144).02K21Ia0.0U8,4正確;

對于3,因為第六組有40人，第五組有160人，

所以:一'一125,3錯誤；

1311-11()1GO

對于C,70分以下的人數(shù)為，，山」?…J；，OW"12,人，C錯誤；

對于Z),平均成績、(0.i>m*(>n.iiik-*.MI.ii>?uni.ii?i2(i-iin?iiiii-iini9:5trD

正確，

故選：.1"

根據(jù)頻率分布圖的求解頻率、頻數(shù)、平均數(shù)即可求解.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了平均數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：由題意可得一加二，..IL“，”，

^.1(D-30，\D-1SO;-1(6-30-r,,故/正確；

在.中，由正弦定理可得1)(',即，；7,

解得.“)r>\2，故8正確；

在RlABCD中,由ZBDC=*可得BC=C0=3O,BD30百，故。錯誤；

在△」，「小中，由余弦定理可得」/||;-Dli-2-DA-DB-cw￡ADB>

即！「；「一，；八」:?\解得,1"『>、，，，故。正確.

故選：」〃/).

根據(jù)三角形的內(nèi)角和為12即可判斷N；在；中，由正弦定理可判斷8；在小△/〃”中可判C；在

△A0D中,由余弦定理可判斷。.

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】ABD

第9頁，共16頁

【解析】解：如圖,

對于出當(dāng)M、N分別在NBi、CG上運(yùn)動時,若滿足（,（V,

則線段必過正方形ECCiB的中心。，而ZXH平面BCC81，

平面&A/.N平面BCCifh，故/正確;

對于8：當(dāng)M、N分別在/〃，、小「上運(yùn)動時，I01/的面積不變，N到平面的距離不變，

■棱錐V-J/八/的體積不變，

即三棱錐li”1/\的體積為定值，故3正確；

對于C：若dOA/.V為直角三角形，則必是以，T//）、,為直角的直角三角形，

但兒W的最大值為/〃,而此時。M,ON的長大于/〃九，

C.V.V不可能為直角三角形，故C錯誤；

對于。：當(dāng)必N分別為/>/,（「中點時，

平面與平面/8C所成的角為0,

當(dāng)M與3重合，N與Ci重合時，

平面與平面48。所成的銳二面角最大，為「i“：等于;，

」.平面。與平面/2C所成的銳二面角范圍為山?故。正確.

故選：ABD.

對于/：由『；""V,得線段九W必過正方形〃的中心。，由平面/"（,可得平面

DMN1平面〃「「四；

對于8：由的面積不變，N到平面八/的距離不變，得到三棱錐.1的體積為定值；

對于C：利用反證法思想說明不可能為直角三角形；

對于D平面DMV與平面/8C平行時所成角為0,當(dāng)M與3重合，N與C重合時，平面￡）血W與平面/8C

第10頁，共16頁

所成的銳二面角最大.

本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題.

12.【答案】12

【解析】解：因為6X改打3,

則第50百分位數(shù)為山-12.

*i>t

故答案為：

利用百分位數(shù)的求解公式即可求解.

本題考查了百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】">II'

【解析】解：1-'1'1-1,2-”--2”,

一復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，［-'1：，：，解得“=2

:-T，，：1八

貝!?/i:lir3:V￡?(11：*I，5*I/.

故答案為：---I'

化簡復(fù)數(shù)z,再由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)列式求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】

15

【解析】解：「三棱錐「的四個頂點都在球。的球面上，PBPC2%/5>AB4>AC1>

PI-B('-2,

?根據(jù)勾股定理易得/,.l.」「，/>.1..1〃，又.11\li.1，

P.\ABC,

設(shè)底面三角形ABC的外接圓的半徑為r,球。的半徑為2R,

易知-S.1/“'-I,-in.\i{(,?1?r'?,

4V44

???=____A_C____=___4_=__1_6_

■v15、下，

sNi2r><2溺.316

21(I”?Ii,

1515

二球。的表面積為甘.

第n頁，共16頁

316x

故答案為:

15

根據(jù)勾股定理易得，1PALAB^從而可得r.I.平面設(shè)底面三角形48。的外接圓的半徑為

r,球。的半徑為2尺，則根據(jù)正弦定理易得，”，從而可得金「口「/…’

151515

進(jìn)而得解.

本題考查三棱柱的外接球問題，正弦定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

15.【答案】解：］：1

-1+i2

II?根據(jù)三個式子的結(jié)構(gòu)特征及(口的計算結(jié)果，可以得到：

<_1十*zr/t

?，

6—at

證明如下，

a4*bf(a4-bi)(b+ai)

6—at/+產(chǎn)’

故得證.

【解析】III由復(fù)數(shù)的運(yùn)算得：一一1'"I"=，,

-1*I1

(II)由歸納推理得：二±=("%”>明=?,得解.

本題考查了歸納推理及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

、：|」、7-“<>廣"-I、、"91-!M>|"+(91-!?0|--i!U-'KJ'」,

55

「:、,'Mil'.、!IUI-.CH>1--U2-<?II.'-，；Uirs,

5

顯然，、」、，可知，甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，、

故甲單位的職工比乙單位的職工對文明城市知識掌握得更好.

壯，從乙單位5名職工中隨機(jī)抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件為、-，2，，,

(85.93),㈣91),(89.92),(89.93),(91.92),(91.93),(92,93),共10個.

記“抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4”為事件/,則事件/包含的基本事件為小二、”，，、「”，

(85,92),(85,93),(89,93),共5個.由古典概型計算公式可知r1-'

102

第12頁，共16頁

【解析】h結(jié)合平均數(shù)、方差公式，即可求解;

I，結(jié)合列舉法，即古典概型的概率公式，即可求解.

本題主要考查平均數(shù)、方差公式，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】1證明：連接AD,MO,在平行四邊形/BCD中，

“為/C的中點，，C為的中點，

又?.1/為尸。的中點，

PH\1<）,

I'H「平面/CM,\!（）一平面/CM,

.PH平面上

「、解：取。。中點N,連接MN,AN,

1,『為PD的中點，

\!\/>（）,且"、\r（>1,

由/“人平面48CD,得平面/2C。，

一1/XV是直線/A/與平面/BCD所成的角，

在R3DH）中，AI）I,AO=~,Z.DAO?90'l）n

...IVIDO空,

八…，MN1

在R上.I.V.\/中，7A.不、亍，

即直線與平面所成角的正切值為K

5

【解析】〃連接AD,MO,在平行四邊形/BCD中，由。為/C的中點，知。為3。的中點，再由M為

尸口的中點，知/</>'1〃），由此能夠證明"打“平面.2"

、取。。中點N,連接MMAN,由〃■為PD的中點，知“、PO,且］八r（>由/1），平面

ABCD,得“'平面/2CZ）,故"LV是直線與平面ABCD所成的角，由此能求出直線與平面

48CD所成角的正切值.

本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法.解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答,

注意合理地化空間問題為平面問題.

第13頁，共16頁

18.【答案】解：；1?因為小明回球的落點在C上的概率為；，在。上的概率為；；對落點在3上的來球,

I

小明回球的落點在。上的概率為1:，在。上的概率為:

55

所以記為事件“小明對落點在/上的來球回球的得分為2?分”H,1.3I,

則/‘1I：,『III：,『II11；

2JJoo

記”為事件”小明對落點在3上的來球回球的得分為，分"I，-y1.M,

則”即一！,八〃1—2，八以「一1」!

□□□o0

②記。為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”.

由題意，I)=AH-IM-AM-AJL,

由事件的獨立性和互斥性，

P(D)=+Pl.4,/A.I+P(AoBt)+PtAfA),

小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為3.

：由題意，:可能的取值為0,1,2,3,4,6,

由事件的獨立性和互斥性，得：

八：ori/A.i-*.,

i-*,

o0656

/>{2/,；4/，/'」:，

Odd

九??ni/」,.t*.，

J□o□lo

P(E=4)=+HAH)=不.工+^.工二而