...wd......wd......wd...函數(shù)的單調(diào)性與最值【知識要點】1．函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．〔3〕判斷函數(shù)單調(diào)性的方法①根據(jù)定義；②根據(jù)圖象；③利用函數(shù)的增減性；④利用導(dǎo)數(shù)；⑤復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判定方法。2．函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.(3)對于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.結(jié)論M為最大值M為最小值求函數(shù)最值的方法：①假設(shè)函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)型的函數(shù)，常用配方法；②利用函數(shù)的單調(diào)性求最值：先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性求最值；③根本不等式法：當(dāng)函數(shù)是分式形式且分子、分母不同次時常用此法。【復(fù)習(xí)回憶】一次函數(shù)具有以下性質(zhì)：(1)當(dāng)時，函數(shù)y隨x的增大而增大(2)當(dāng)時，函數(shù)y隨x的增大而減小二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有以下性質(zhì)：(1)當(dāng)a＞0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向上，對稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時，y隨著x的增大而減??；當(dāng)x＞時，y隨著x的增大而增大；(2)當(dāng)a＜0時，函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象開口向下，對稱軸為直線x＝－；當(dāng)x＜時，y隨著x的增大而增大；當(dāng)x＞時，y隨著x的增大而減?。惶岢鰡栴}:①如以以以下圖為一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2和y=-x2的圖象,它們的圖象有什么變化規(guī)律?這反映了相應(yīng)的函數(shù)值的哪些變化規(guī)律?①這些函數(shù)走勢是什么在什么范圍上升，在什么區(qū)間下降②假設(shè)何理解圖象是上升的假設(shè)何用自變量的大小關(guān)系與函數(shù)值的大小關(guān)系表示函數(shù)的增減性③定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).簡稱為：步調(diào)一致增函數(shù).幾何意義：增函數(shù)的從左向右看,圖象是的。=4\*GB3④定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1、x2，當(dāng)x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).簡稱為：步調(diào)不一致減函數(shù).幾何意義：減函數(shù)的從左向右看,圖象是的.例如圖是定義在區(qū)間［－5，5］上的函數(shù)y=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)解：函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-5,2),［1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間［-2,1),［3,5］上是增函數(shù).點評：圖象法求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是第一步：畫函數(shù)的圖象；第二步：觀察圖象，利用函數(shù)單調(diào)性的幾何意義寫出單調(diào)區(qū)間.【典例精講】題型一函數(shù)單調(diào)性的判定與證明(1)單調(diào)性的證明①函數(shù)單調(diào)性的證明的最根本方法是依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來進(jìn)展，其步驟如下：第一步：設(shè)元，即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且x1＜x2；第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)；第三步：變形，即通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形；第四步：判號，即確定f(x1)－f(x2)的符號，當(dāng)符號不確定時，可以進(jìn)展分類討論；第五步：定論，即根據(jù)單調(diào)性的定義作出結(jié)論．其中第三步是關(guān)鍵，在變形中一般盡量化成幾個最簡因式的乘積或幾個完全平方的形式．②利用單調(diào)性定義的等價形式證明：設(shè)x1，x2[m，n]，x1≠x2，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＞0f(x)在區(qū)間[m，n]上是增函數(shù)；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0eq\f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＜0f(x)在區(qū)間[m，n]上是減函數(shù)．(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的單調(diào)性：g(x)f(x)f(g(x))增增增增減減減增減減減增復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可簡記為“同增異減〞，即內(nèi)層函數(shù)g(x)與外層函數(shù)f(x)的單調(diào)性一樣時y＝f(g(x))是增函數(shù)，單調(diào)性相反時y＝f(g(x))是減函數(shù)．(3)判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的步驟：以復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))為例．可按以下步驟操作：①將復(fù)合函數(shù)分解成根本初等函數(shù)：y＝f(t)，t＝g(x)；②分別確定各個函數(shù)的定義域；③分別確定分解成的兩個根本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；④假設(shè)兩個根本初等函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則y＝f(g(x))為增函數(shù)；假設(shè)為一增一減，則y＝f(g(x))為減函數(shù)．例1用定義法求證函數(shù)在R為增函數(shù)變式1用定義法求證函數(shù)在增函數(shù)變式2證明：函數(shù)在定義域上是減函數(shù)例2求函數(shù)y＝eq\r(x2＋x－6)的單調(diào)區(qū)間．題型二圖像法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例3求出以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：〔1〕；〔2〕.〔3〕；〔4〕.變式1用圖像法求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)(2)(3)變式2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域。題型三抽象函數(shù)的單調(diào)性例4(1)函數(shù)是減函數(shù)，則與的大小關(guān)系是(2)函數(shù)是減函數(shù)，解不等式(3)是定義在(0,+∞)上的減函數(shù)，假設(shè)成立，則a的取值范圍是______.變式函數(shù)f(x)對任意的a,bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當(dāng)x＞0時，f(x)＞1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)假設(shè)f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)＜3.題型四函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例5函數(shù)在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是變式1假設(shè)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋4是區(qū)間(－∞，4]上的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是_______．變式2(1)畫出函數(shù)的圖象；(2)證明函數(shù)在區(qū)間(-∞,1］上是增函數(shù)；(3)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,m］上是增函數(shù)時，求實數(shù)m的取值范圍.題型五函數(shù)的最值例6①如以以以下圖，是函數(shù)的圖象.觀察這三個圖象的共同特征.②在函數(shù)y=f(x)的圖象上任取一點A(x,y)，如以以以下圖，x的范圍是函數(shù)的,y的范圍是函數(shù)的。圖1-3-1-12③假設(shè)何理解函數(shù)圖象最高點的?設(shè)點C的坐標(biāo)為(x0,y0)，用數(shù)學(xué)符號解釋：函數(shù)y=f(x)的圖象有最高點C④函數(shù)最大值的定義一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：(1)對于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)=M.那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.⑤函數(shù)最大值的定義中即，這個不等式反映了函數(shù)的函數(shù)值具有什么特點其圖象又具有什么特征函數(shù)最大值的幾何意義是什么⑥函數(shù)最大值嗎為什么點是不是函數(shù)的最高點⑦由⑥這個問題你發(fā)現(xiàn)了什么值得注意的地方⑧類比函數(shù)的最大值，請你給出函數(shù)的最小值的定義及其幾何意義.例7求函數(shù)y=在區(qū)間上的最大值和最小值.例8求函數(shù),的最值。變式函數(shù)y=在［2,3］上的最小值為()A.2B.C.D.-【課堂練習(xí)】1．以下函數(shù)中，在區(qū)間〔0，2〕上為增函數(shù)的是()A.y=-x+1B.y=C.y=x2-4x+5D.y=2．如果函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4］上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是()A.［-3,+∞)B.(-∞,-3］C.(-∞,3］D.［3,+∞)3.假設(shè)一次函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-1,2］上的最小值為1，最大值為3，則函數(shù)f(x)的解析式為__________.4.設(shè)x1，x2為y＝f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個變量，有以下幾個命題：①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0；③eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0；④eq\f(fx1－fx2,x1－x2)<0.其中能推出函數(shù)y＝f(x)為增函數(shù)的命題為________.(填序號)5.(1)函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是(2)函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是6.用定義法求證函數(shù)在減函數(shù)【課外作業(yè)】1．函數(shù)y＝－x2的單調(diào)減區(qū)間是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(－∞，＋∞)2．函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[－2，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，－2]時，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，則m等于()A．－4B．－8C．8 D．無法確定3．函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，假設(shè)a＋b≤0，則有()A．f(a)＋f(b)≤－f(a)－f(b)B．f(a)＋f(b)≥－f(a)－f(b)C．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)4．為上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是〔