第2講數(shù)列

高頻考點(diǎn)分析

等差數(shù)列基本量的計(jì)算

等差數(shù)列

等差數(shù)列的性質(zhì)

等比數(shù)列基本量的計(jì)算

等比數(shù)列

等比數(shù)列的曲

Sn-Sn-I法

累加法

數(shù)列的通項(xiàng)公式

累乘法

構(gòu)造法

倒數(shù)法

數(shù)列高頻考點(diǎn)定義法

裂項(xiàng)相消法

數(shù)列的前n項(xiàng)和錯位相減法

倒序相加法

分組（并項(xiàng)）求和

真題速遞

1.（2024?全國甲卷（理）?高考真題）記5,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知4s“=3凡+4.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

1

⑵設(shè)b?=（-1）-nan,求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和看.

2.（2024?全國甲卷（文）?高考真題）己知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為工，且2S“=3%+「3.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛SJ的前〃項(xiàng)和.

3.(2023?全國甲卷?高考真題)設(shè)'為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，已知g=l，2S“=〃a”.

(1)求｛(｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)歹I」］芳|的前〃項(xiàng)和(.

4.(2023?全國乙卷?高考真題)記S,為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知%=11,品=40.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛同｝的前"項(xiàng)和I.

5.（2024?全國I卷?高考真題）設(shè)機(jī)為正整數(shù)，數(shù)列/，電，…，%,會是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)區(qū)和

為［＜4）后剩余的4"?項(xiàng)可被平均分為加組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列…，。4",+2是（盯）-

可分?jǐn)?shù)列.

⑴寫出所有的（仃），使數(shù)列4M2,…，4是（"）—可分?jǐn)?shù)列；

（2）當(dāng)機(jī)23時，證明：數(shù)列%3+2是（2,13）-可分?jǐn)?shù)列；

⑶從1,2，…,4m+2中任取兩個數(shù)i和八zYj）,記數(shù)列4,0,…,為”+2是（仃）-可分?jǐn)?shù)列的概率為以，證明：￡”＞：.

O

6.（2024?全國H卷?高考真題）已知雙曲線C：爐-丁=加例>0）,點(diǎn)出5,4）在C上，上為常數(shù)，0<^<1.按照如

下方式依次構(gòu)造點(diǎn)P,.（〃=2,3,...）：過作斜率為k的直線與c的左支交于點(diǎn)，令N為2-關(guān)于y軸的對稱

點(diǎn)，記月的坐標(biāo)為（七,%）.

⑴若次=—,求馬,必；

⑵證明：數(shù)歹11｛尤“-%｝是公比為器的等比數(shù)列；

⑶設(shè)S“為一乙2+山+2的面積，證明：對任意正整數(shù)〃，S,,=Sn+l.

7.（2024?天津?高考真題）已知｛4｝為公比大于0的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且％=LS2=%T.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式及S.；

,、

⑵設(shè)數(shù)列物/滿足4=匕\k,n=ca,,其中左eN*.

\bn_{+2k,ak<n<aM

(i)求證：當(dāng)〃=4+i(左eN*,且上>1)時，求證：>ak-bn-

(ii)求才瓦.

i=l

8.(2024?北京?高考真題)已知集合出={億),匕墳)|他{1,2},/€{3,4},左€{5,6},卬€{7,8},且"/+%+墳為偶數(shù)}.給

定數(shù)列A:%,%…和序列。:幾陽-北，其中4=(點(diǎn)九/,叫)6"。=1,2,.?,$),對數(shù)列A進(jìn)行如下變換：將

A的第3九尤,“項(xiàng)均加1,其余項(xiàng)不變，得到的數(shù)列記作4(A)；將[(A)的第％，上出，嗯項(xiàng)均加1，其余項(xiàng)不變，

得到數(shù)列記作也⑷;……；以此類推,得到久.砧⑷,簡記為。(A).

⑴給定數(shù)列A：L3,2,4,6,3,1,9和序列Q:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7),寫出。(A)；

(2)是否存在序列。，使得。(A)為4+2,%+6,/+4,%+2,%+8,4+2,%+4,。8+4,若存在，寫出一個符合條件

的。；若不存在，請說明理由；

(3)若數(shù)列A的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且4+/+%+%為偶數(shù)，求證：“存在序列Q,使得。(⑷的各項(xiàng)都相等”的充要

條件為“Q]+=〃7+??

實(shí)戰(zhàn)演練一：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)

【知識點(diǎn)解析】

1.等差數(shù)列的定義：4一61=〃；a“+「a”=d；?！癬]+。用=2a〃.

2.等差數(shù)列的通項(xiàng)：an=a1+[n-\^d=am+[n-m)d.

3.等差數(shù)列前九項(xiàng)和s〃=心土色)=〃4+也凸d.

n212

4.等差數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)

(1)若加+〃=〃+〃，貝！機(jī)+〃〃=%+%.

(2)若加+〃=2p,則。小+。1=2%.

(3)若〃、b、。為等差數(shù)列，則a+c=?,b為a、c的等差中項(xiàng).

(4)若｛4｝為等差數(shù)列，則a-、a“+2p、。用屋..依舊是等差數(shù)列?

(5)當(dāng)d>0時，數(shù)列｛g｝單調(diào)遞增；當(dāng)d<0時，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減.

5.等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

S=n^k+^-k\k=l,2,.,n且S2a=(2”—l)a“；

(1)n

(2)S=An2+Bn且為等差數(shù)列

nn

(3)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和S“是一個二次函數(shù)，當(dāng)d>0時，S“有最小值，當(dāng)d<0時，S"有最大值；其中:

①若已知％和d,

則當(dāng)且僅當(dāng)n取最接近對稱軸的正整數(shù)時，Sn有最值;

②若未知％和2,則需找出為的正負(fù)交界值;

S3",—S2,“依舊是一個等差數(shù)歹U.

(4)鼠、S2ffl-Sm、

6.含有絕對值的求和方法:

(1)找到、?4+1<0的臨界值；

⑵若“<P,同+同+|%|+……+⑷=聞；若〃>人同+同+同+……+同=聞+國—sj

【實(shí)戰(zhàn)演練】

1.(24-25高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí))己知數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為S“=2〃2_30〃.

⑴求出｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列前n項(xiàng)和最小時?的取值.

2.(24-25高三上?廣東湛江?期末)已知在等差數(shù)列｛%｝中，出3,4+4=18.

(1)求數(shù)列｛%｝通項(xiàng)公式；

，2，、

⑵設(shè)"=n(a+3)，求數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和S”?

3.(23-24高三上?貴州?階段練習(xí))記等差數(shù)列｛%｝的前鼠項(xiàng)和為S“，已知4=11,S3=S9.

(1)求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛|/|｝的前幾項(xiàng)和為北，求小.

4.(24-25高三上?廣東東莞?階段練習(xí))己知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,數(shù)列，是以1為公差的等差數(shù)

列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

111

(2)若對于任意正整數(shù)%都有——+——+?+-----44,求實(shí)數(shù)4的最小值.

實(shí)戰(zhàn)演練二：等比數(shù)列的概念與性質(zhì)

【知識點(diǎn)解析】

1.等比數(shù)列的證明：⑴⑵a“+i+a“=q（3）an+l-an_x=a^.

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：a”=q?qnl=心?/.

3.等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式：S?=l—q.

navq-\

4.等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)

①若=+貝U='?4.

②若m+n=2p,則/外二4

③若。、b、c為等比數(shù)列，貝！Jac=b]b為a、c的等比中項(xiàng).

④若｛。“｝為等比數(shù)列，則區(qū)“、4+20、q+3P…依舊是等比數(shù)列.

⑤當(dāng)q>l且弓>0時，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增；當(dāng)0<q<l且4>0時，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減.

5.等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)

①S心52ffl-S心S3?,-S2ffl依舊是一個等比數(shù)列

【實(shí)戰(zhàn)演練】

1.（24-25高三上?貴州銅仁?期末）在數(shù)列｛叫中，點(diǎn)5，q）在直線2x-y-4=0上；在等比數(shù)列也｝中，b2=a3,

b5=al0.

⑴求數(shù)列｛叫,凡｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)c?=a?+bn,求數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和Sn.

2.（2025?海南?模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列｛4｝的前展項(xiàng)和為S“，已知3s“=4巴-4.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列1的前〃項(xiàng)和卻

3.（24-25高三上?山東?階段練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，al+a2=6,S4=30.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)％=log2an,求數(shù)列｛2｝的前50項(xiàng)之和.

4.（24-25高三上?黑龍江綏化?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，且％=256,a3+a4=2Qa2.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)數(shù)列也“｝滿足bn=an+log2a?,求數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和I.

實(shí)戰(zhàn)演練三：數(shù)列通項(xiàng)公式的求解

【知識點(diǎn)解析】

1.定義法：已知｛??｝為等差數(shù)列或等比數(shù)列

(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a]+(n-X)d=am+(n-m^d.

n(a,+a?｝n(n-l]

(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=一二"=叫+'d.

n1nm

(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=ai-q-=am-q-.

(4)等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式：l—q'i.

navq=l

2.法

(1)因?yàn)?%+%+%+…+/_]+。”①，S”_]=q+tZj+%+…+a”_](〃N2)②

所以S〃—S“T=aJ(〃N2).

(2)注意事項(xiàng)

①S〃+i-S“=a“+i.

②因?yàn)楫?dāng)"N2時，S,T才有意義，所以需檢驗(yàn)通項(xiàng)公式當(dāng)〃=1時是否成立.若不成立，需寫成分段數(shù)列的形式.

③不一定每次S“-SR都能得到｛/｝的具體表達(dá)式，有可能需要進(jìn)一步化簡.

④若題目求5〃或S“出現(xiàn)二項(xiàng)式，需要將題目所給條件中的%反向化為S“T，對S”進(jìn)行探索.

⑤％"。)+°2"⑵+%"⑶+...+a〃"⑺代表數(shù)列｛%?/(〃)｝的前〃項(xiàng)和.

3.累加法：已知4T=/(")或a用一4=/(n)

(1)若已知a“—%_]=/(〃)，賦值從2到〃，得到〃—1個式子，累加得a”—q=/(2)+f(3)+f(4)+...+f(ji).

(2)若已知見+1—a”=/(〃)，賦值從1到〃—|,得到〃—1個式子，累力口得a"—“i=f(Y)+f(2)+f(3)+...+f(ji—1).

(3)/(〃)可以是等差數(shù)列，也可以是等比數(shù)列或者可裂項(xiàng)的數(shù)列.

4.累乘法：已知a=/(〃)或—=/(〃)

an-\an

⑴若己知&=/(〃)，則賦值從2到〃，得到〃—1個式子，累加得&=/(2)"⑶

an-\%

(2)若已知—=/(〃)，則賦值從1到得到1個式子，累加得”—

ana\

(3)如論是4=/(〃)或也=/(〃)，均需注意最后求和的項(xiàng)數(shù).

a“Tan

5.構(gòu)造法

(1)若已知an=q*+m,則構(gòu)造數(shù)列｛4+2｝為公比為q的等比數(shù)列，則&區(qū)='=q,解方

4-1+2

程得;L

(2)若已知?！?效"1+如+。，則構(gòu)造數(shù)列｛%+力，+〃)為公比為“的等比數(shù)列，則一4+'"+〃—

”二;X；"為解方程得小

(3)若已知。“=qa,i+kpn則構(gòu)造數(shù)列｛q+即"｝為公比為4的等比數(shù)列，則見+嗎

,n

=qan1+kp'+Ap=解方程得義.

%+獷

(4)若已知％=的“_1+依"，則構(gòu)造數(shù)列｛》｝為公差為左的等比數(shù)列.

(5)若題干已給出構(gòu)造目標(biāo)，則根據(jù)定義法代入構(gòu)造目標(biāo)進(jìn)行證明.

6.倒數(shù)法：已知4T

X-i+A

(1)取倒數(shù)得L=&+"=’-+4

ana,1

(2)若〃=1,則數(shù)列工是以工為首項(xiàng)，九為公差的等差數(shù)歹!).

%

(3)若〃#1,則進(jìn)行二次構(gòu)造等比數(shù)列.

【實(shí)戰(zhàn)演練】

考向一兄-法求數(shù)列通項(xiàng)公式

1.（24-25高二上?福建?期中?節(jié)選）已知數(shù)列｛%｝的前鼠項(xiàng)和S'="，其中weN*.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2.（24-25高三上?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)?節(jié)選）已知數(shù)歹￡（｝的前〃項(xiàng)和為3=2/-3?！?

（1）求出｛七｝的通項(xiàng)公式；

3.（24-25高三上?廣東東莞?階段練習(xí)?節(jié)選）已知數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為S.,?,=1,數(shù)列是以1為公差的等

差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

4.（2024?四川自貢?三模?節(jié)選）已知數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)和為S.，且S"一

⑴證明：數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

5.（2024?江蘇揚(yáng)州?模擬預(yù)測?節(jié)選）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝前，項(xiàng)和為S“，且2S.=a“（a“+l）.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

6.（2024?遼寧沈陽?模擬預(yù)測?節(jié)選）已知數(shù)列｛氏｝滿足q=1,??>0,S”是數(shù)列｛%｝的前鼠項(xiàng)和，對任意

〃cN*,有2S〃=2Q；+Q〃一1

⑴求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

考向二累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式

1.（2024?廣東?二模?節(jié)選）數(shù)列｛q｝滿足q=1,an+l=an+n+l.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

1Q

2.（23-24高三上?廣西百色?階段練習(xí)?節(jié)選）已知數(shù)列｛q｝滿足：卬=竹，％=；，數(shù)列是以4為公差的

等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

3.（23-24高三上?山東青島?開學(xué)考試?節(jié)選）已知數(shù)列｛%｝中，4=1,%=2,數(shù)列｛。用-%｝是公差為1的等差數(shù)

列.

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式:

4.（22-23高三下?河南濮陽?開學(xué)考試?節(jié)選）在數(shù)列｛%｝中，4=1,4-5=2".

n+1n

⑴設(shè)年=為求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

考向三累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式

_"+1

1.（24-25高三上?山東日照?開學(xué)考試?節(jié)選）已知數(shù)列｛4｝滿足4=2,

a.n

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2.（24-25高三上?山東德州?期中?節(jié)選）在數(shù)列｛風(fēng)｝中，4=1,其前w項(xiàng)和為S“，且g,-5一=（〃-。⑸一+%_）

（n>2_&neN*）.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

n+2

3.(23-24高二下?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中?節(jié)選)已知在數(shù)列｛4｝中，4=1,前〃項(xiàng)和S,=丁%.

(1)求出、“3；

⑵求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式;

4.(23-24高三上?廣東?階段練習(xí)?節(jié)選)已知數(shù)列｛4｝,也｝的前〃項(xiàng)和分別為S“，Tn,且滿足么=3%",6=1,

S,,_冊

77+12

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

考向四構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式

1.（24-25高三上?甘肅白銀?期末?節(jié)選）已知數(shù)列｛qj滿足％=3,且。用=2%-1.

2.（24-25高三上?重慶?階段練習(xí)?節(jié)選）數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足SM=2S“+〃+1且首項(xiàng)％=1.

⑴證明：數(shù)歹！I｛%+1｝為等比數(shù)列，并求出數(shù)列｛嗎的通項(xiàng)公式％;

3.(24-25高三上?重慶?階段練習(xí)?節(jié)選)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且%=25“+2〃-1.

(1)若％=1,求S,；

(2)若數(shù)列｛%｝是單調(diào)遞增數(shù)列，求首項(xiàng)％的取值范圍.

3

4.(24-25高三上?河北?期中?節(jié)選)已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且s“-2a“=：〃-1.

⑴求證：數(shù)列］為等比數(shù)列；

5.（24-25高三上?河北?階段練習(xí)?節(jié)選）已知數(shù)列｛%｝滿足e=1,%=2°,+“-1.

（1）求數(shù)列｛g｝的通項(xiàng)公式；

6.（24-25高三上?四川瀘州?開學(xué)考試?節(jié)選）已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)q=],且滿足%+1=手〉（“€e

⑴求證：數(shù)列]為等比數(shù)列；

7.(23-24高三下?河北張家口?開學(xué)考試?節(jié)選)已知數(shù)列｛4｝滿足％=5,且0用=3q-2"(〃wN*).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

8.(24-25高三上?寧夏中衛(wèi)?階段練習(xí)?節(jié)選)已知數(shù)列｛%｝,｛2｝滿足q=2,%=24+2田也=2"-1

⑴證明：］會;為等差數(shù)列，并求｛為｝通項(xiàng)公式；

nb,,、

⑵若g=y,記｛a｝前“項(xiàng)和為1,對任意的正自然數(shù)小不等式恒成立，求實(shí)數(shù)幾的范圍.

考向五倒數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式

「、22〃

1.（24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí)?節(jié)選）已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)4=,，且滿足寸，求

2.（23-24高二下?遼寧?期末?節(jié)選）已知數(shù)列｛%｝滿兄4+i=1，q=:，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，且

+12

n+l

2Sn=3-3.

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式,

實(shí)戰(zhàn)演練四：數(shù)列前”項(xiàng)和的求解

【知識點(diǎn)解析】

1.定義法：已知{??}為等差數(shù)列或等比數(shù)列

(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a]+(n-X)d=am+(n-m^d.

n(a,+a?}n(n-l]

(2)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn=一二"=叫+'d

(3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：%=ajq"7

(4)等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式：l—q

na},q-l

2.裂項(xiàng)相消法

(1)裂項(xiàng)相消法：基本思想是將一個復(fù)雜的分?jǐn)?shù)拆分成兩個簡單分?jǐn)?shù)的差，從而簡化求和過程.

(2)裂項(xiàng)相消法的常見模型

mml1

①等差型：a=-------------------二-------(-------------------

n(初+2)(切+〃)2—//kn+Akn+/u

m

②無理型：a=；--/=-........(Jku+4—，切+〃)

n，切+4+，而+〃％—〃

m-bnm(11)

③指數(shù)型：冊=

(上+㈤⑷+㈤bn+i+AJ

i_ifi______L_]

④常見裂項(xiàng)：---------二-----------

〃(〃+1)nn+1(2〃+l)(2〃-1)2{2n-l2〃+l)

/----1=—yjn+1-\/n，,----,=—(y/2n+l+y/2n-l

y/n+1+6y/2n+l+y/2n-i2、

2n_113，_1(11]

(2-i+1)(2〃+1)-2〃+1-2"i+1(3*1)(3"+1)一213"+1—3,!+1+lJ

3.錯位相減法：c“=%?！扒遥榈炔顢?shù)列，公差為d,4為等比數(shù)列，公比為私

⑴S“=岫+a2b2+a3b3+...++anbn①

⑵qSn=01b2+a2b3+a3b4+...+a“也+anbn+1②

(3)①-②得(1—q)S"=4偽—a也+]+db2+db^+db^+...+dbn

db(l-qn-l)

(4)求和得(1-4電=。也一。也旬+2-------L

"q

(5)化簡得最終答案.

(6)。“=(?！?加47,則5“=(4?+3)4"—3,其中4=3，3(不建議直接用)

q-1q-1

4.倒序相加法

(1)S”=%%….

(2)Sn=an+an_x+an_2

(3)上述兩式相加，得2s“=(%+a“)+(02+?！?1)+(。3+?！?2)+…++(。〃+。1)

a+a=a+a

(4)若數(shù)列｛??)在滿足的情況下mnpq,則為+=fl2+0?_1=Oj+fl?_3=...=.

(5)所以2S,=”?(4+a“)

5,分組求和法：cn=an+bn

(i)記c”的前九項(xiàng)和為S”,記a”的前幾項(xiàng)和為T,，記4的前幾項(xiàng)和為

(2)分別求T,與Q.

⑶S"=T"+Q".

【實(shí)戰(zhàn)演練】

考向一裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前八項(xiàng)和

1.（24-25高三上?山東濟(jì)南?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S,=2%-2（〃eN*）.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

7I11

（2）若么=10g2〃2〃.l，C”二^—，求證：。1+。2+。3++&＜彳?

2.（24-25高三上?湖南長沙?期末）已知數(shù)列｛4｝滿足2+與++上=島

352九+1

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式.

716數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為是否存在實(shí)數(shù)沉，使得數(shù)列b號

⑵記“行而T為等差數(shù)列？若存在,

求出〃?的值；若不存在，說明理由.

3.（24-25高三上?江西撫州?階段練習(xí)）已知數(shù)列的前〃項(xiàng)積〃=2等，數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1，

滿足2S,=的+j.

⑴求數(shù)列｛%｝、｛2｝的通項(xiàng)公式；

b

（2）記c“=廣，數(shù)列｛c,｝的前〃項(xiàng)和為】，若最eN*使產(chǎn)+/-1<2月成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

,〃+4+2”〃

4.（24-25高三上?江蘇無錫?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5,，且滿足邑=2（%-1）,“eN*.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)設(shè)數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和北，求證：7；,<7-

^n^n+14

考向二錯位相減法求數(shù)列前"項(xiàng)和

1.（23-24高三下?天津?階段練習(xí)）已知｛%｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為也｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且

公比大于Ob2+b3=12,b3=a4-2ax,Sn=llb4,

⑴求｛qj和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛%｝滿足：c,=an-bn,求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和T?；

bn

⑶若數(shù)列｛4｝滿足：4，=色,+而用+1），求

2

2.（24-25高三上?山東濰坊?期末）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝前〃項(xiàng)積為（，log?7；=

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)2=%+%+…+%,求數(shù)列｛,2｝的前幾項(xiàng)和S".

3.(24-25高三上?新疆喀什?階段練習(xí))設(shè)S.為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知S.=2a,,-L

(1)求｛見｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列[:]

的前”項(xiàng)和70.

4.(24-25高三上?陜西漢中?期中)已知數(shù)歹！J｛%｝的前〃項(xiàng)和S“滿足S,,=3"+〃-l.

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若6“=(2"+1)&-1),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和7“.

考向三倒序相加法求數(shù)列前"項(xiàng)和

1.(24-25高三上?云南昆明?階段練習(xí))記為數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，已知：o,=l,Sn+ian-Snan+l=^an+lan

(neN*).

⑴求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

C

(2)求和：aC+a2C]t+a3c+…+??+i"-

2.(23-24高三上?云南?階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝滿足：3+冬+墨+…+崇="(weN*),數(shù)列抄“｝滿足

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

⑵求a+b2T---i-Z?99.

3.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知■無數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，點(diǎn)（〃總乂”€d）均在函數(shù)丫="同

的圖象上.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若g（x）=F?，令4=g［藕］（〃eN*）,求數(shù)列也｝的前2024項(xiàng)和64?

-

?*"t乙k乙U乙JJ

考向四分組（并項(xiàng)）求數(shù)列前"項(xiàng)和

1.（2025?江西?一模）已知數(shù)列｛〃〃｝滿足％=已g+1=〃；+%.

⑴若｛見｝為遞增數(shù)列，求丸的取值范圍；

⑵當(dāng)4=0時，證明：數(shù)歹U｛In4｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列1號］的前〃項(xiàng)之積小

2.(24-25高三上?海南?階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的前力項(xiàng)和為斗，且滿足S,,=2"-l.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知bn=a：+log2a?,求數(shù)列也｝的前鼠項(xiàng)和為7；.

3.(24-25高三上?安徽淮南?階段練習(xí))已知｛4｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，q=1,且q,a2,-3%成等差數(shù)

列.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛為-科的前n項(xiàng)和Sn.

4.(24-25高三上?四川內(nèi)江?階段練習(xí))已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝滿足：％=1且4，。3,2%-1成等比數(shù)歹人

(1)求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%滿足：勿=2"”,MN*,求數(shù)列｛4+4｝的前〃項(xiàng)和人

實(shí)戰(zhàn)演練五：奇偶數(shù)列問題

【知識點(diǎn)解析】

b—2k—1

1.奇偶數(shù)列求和：已知4=1，其中的前九項(xiàng)和為S,，”的前〃項(xiàng)和為T,，C,的前幾項(xiàng)和為。,.

[cn,n=2k

思路一：分類討論

⑵若“為偶數(shù)，則s,=”+q

22

⑶若“為奇數(shù)，則5“=%+。匕

思路二：并項(xiàng)求和

⑴記4=〃+%

(2)S2n=4+d,+&+…+d“

⑶若九為偶數(shù)，貝I」Sn=dl+d2+d3+...+dll

2

(4)若n為奇數(shù)，則Sa=4+&+&+…+dn-bn

2

2.常見奇偶數(shù)列模型

⑴若。=+?！盻]=而，貝(Jo,#]+a“=d(〃+l),相減得-=4.

當(dāng)“為奇數(shù)時，數(shù)列為以內(nèi)為首項(xiàng)，d為公差得等差數(shù)列.

當(dāng)九為偶數(shù)時，數(shù)列為以。2為首項(xiàng)，d為公差得等差數(shù)列.

⑵若%q_i=4",則可+].4=q"T,相除得%L=g.

an-l

當(dāng)九為奇數(shù)時，數(shù)列為以內(nèi)為首項(xiàng)，q為公差得等比數(shù)列.

當(dāng)九為偶數(shù)時，數(shù)列為以。2為首項(xiàng)，q為公差得等比數(shù)列.

bn—2k—1

(3)若4=-，，則直接按奇偶分開討論.

[cn,n=2k

【實(shí)戰(zhàn)演練】

1.（24-25高三上?江西?階段練習(xí)）己知S,是等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，且％+4+%=62,S3=3O.

⑴求｛4｝的通項(xiàng)公式；

⑵記4=（-1）"-??,求數(shù)列｛b,,｝的前100項(xiàng)和小.

2.（24-25高三上?內(nèi)蒙古包頭?期末）已知￡為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，滿足5“=2%-1,〃€e.數(shù)列也1｝是等差數(shù)

列，且丁=4也+J=6.

⑴求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式;

為奇數(shù)，、

⑵設(shè)“為偶數(shù)求數(shù)列（匕｝的刖20項(xiàng)和.

3.（24-25高三上?湖北?期末）已知數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S“，若臬=24+1,

⑴求S“；

■?r

⑵若［=｛："'二展將，1為數(shù)列｛c,J的前”項(xiàng)和，求也

S/〃為偶數(shù)

4.（24-25高三上?河南?期末）已知S,是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛為｝的前"項(xiàng)和，-2。,+m“-3%=。，邑=13.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

an,〃為奇數(shù)，

（2）設(shè)或=1〃為偶數(shù)求數(shù)列也｝的前2”項(xiàng)和應(yīng).

Jog3ajlog34+2''

實(shí)戰(zhàn)演練六：數(shù)列插項(xiàng)問題

【知識點(diǎn)解析】

1.插項(xiàng)的核心：插入的項(xiàng)數(shù)與插入的數(shù)據(jù)類型.

2.常見插項(xiàng)問題

(1)在4和4+1之間插入幾個數(shù)，使這〃+2個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，

記這個等差數(shù)列的公差為dn,則a,1.—。“=(〃+1)?4，整理的dn=.

H+1

(2)在4和%+1之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，

記這個等比數(shù)列的公比為置，則4旦=(/)"+'整理的/="/出1.

Van

(3)在劣和%+1之間插入2*個加,組成新數(shù)列《,”7,“2,”7,私"3,"7,"7,"7,%，…，見

求這個數(shù)列的前〃項(xiàng)和，需分清｛4｝和加各有多少項(xiàng)，分組求和.

【實(shí)戰(zhàn)演練】

1.(24-25高三上?四川眉山?階段練習(xí))已知數(shù)歹！)｛2｝,么+[=2+2,邑=2d+l(〃eN*),數(shù)列也｝的前八項(xiàng)和為

S“，4=2且〃川=25n+25??^*).

⑴令g=anbn,求數(shù)列｛c,J的前n項(xiàng)和Tn.

⑵在。“與。向之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為4的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝中是否存在3項(xiàng)4“，

dk,(其中加以〃成等差數(shù)列)成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)，若不存在，請說明理由.

2.（2024?黑龍江齊齊哈爾?二模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“,3s“=2a“+l.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵在數(shù)列｛%｝的利和%項(xiàng)之間插入％個數(shù)，使得這人+2個數(shù)成等差數(shù)列，其中％=1,2,…,明將所有插入的數(shù)組

成新數(shù)列也｝,設(shè)看為數(shù)列｛/｝的前〃項(xiàng)和,求看6.

1Oyi力2IQM

3.（23-24高三上?河南南陽?期中）己知數(shù)列｛4｝滿足一+—+

4a2an2

⑴求｛qj的通項(xiàng)公式；

（2）在為和。用之間插入”-1個數(shù)，使得這”+1個數(shù)依次構(gòu)成一個等差數(shù)列，設(shè)此等差數(shù)列的公差為4,求

4+d-2++dn.

4.（22-23高三上?河北唐山?期中）已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛%｝滿足%=5,且g+l是。2與。5+3的等比中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式及前鼠項(xiàng)和S..

（2）保持｛七｝中各項(xiàng)的先后順序不變，在4與以+1左=1,2,）之間插入左個2人,構(gòu)成新數(shù)列色｝,求數(shù)列也.｝的前

24項(xiàng)和弓.

實(shí)戰(zhàn)演練七：數(shù)列最值問題

【知識點(diǎn)解析】

1.求最值的常見方法

（1）二次函數(shù)法.

（2）基本不等式法.

（3）三角函數(shù)法.

（4）函數(shù)單調(diào)性法.

2.求數(shù)列單調(diào)性的方法：（1）作差法（與“0”比較大?。?）作商法（與“1”比較大?。?/p>

※雖然數(shù)列可近似視為函數(shù)（定義域?yàn)檎麛?shù)），但是一般不會用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，因?yàn)榍髮?dǎo)太復(fù)雜.

【實(shí)戰(zhàn)演練】

1.（24-25高三上?遼寧丹東?期中）記S”為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，4Sn=anan+l+l,a,wO,〃eN*.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵若超=今，求使"取得最大值時n的值.

2.(24-25高三上?江蘇宿遷?階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之積為%且詈+賢++孑=生產(chǎn)("-*

402，2

⑴求數(shù)列［及和｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵求f(n)=bn+%+bn+2++b2n_x+b2n的最大值.

，、1ci

3.(24-25高三上?寧夏銀川?階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為q=；,且滿足%+1=尸二

(1)求證為等差數(shù)列，并求出數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和為I,求T”■

⑶若數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為么=4"+1,且對任意的〃eN*,Md-1)22〃-5恒成立，求實(shí)數(shù)上的最小值.

4.(2024?黑龍江哈爾濱?三模)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=3%-2".

(1)求證：數(shù)歹!I,“-2"｝是等比數(shù)列；

n—1

3

⑵設(shè)〃=q+小2"_(彳+1)?，若也｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)4的范圍.

實(shí)戰(zhàn)演練八：數(shù)列新定義問題

【知識點(diǎn)解析】

新定義問題的方法和技巧：

(1)可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；

(2)可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；

(3)發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；

(4)如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概

念.

【實(shí)戰(zhàn)演練】

1.(24-25高三下?湖南長沙?開學(xué)考試)已知數(shù)列A:4,%,,為2機(jī)個數(shù)12…,2加的一個排列，其中〃zeN*,且

m>3.若在集合｛L2,…,2機(jī)-1｝中至少有一個元素，使得|q「a,J=〃2,則稱數(shù)列A具有性質(zhì)T.

⑴當(dāng)機(jī)=3時，寫出4個具有性質(zhì)T的數(shù)列A；

⑵若數(shù)列｛%一1｝和他力(〃=1,2,…,加)均為等差數(shù)列,且%=1,%?,=2,證明：對于所有的偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列

不具有性質(zhì)T；

(3)在所有由1,2,…,2/"的排列組成的數(shù)列A中任取一個，記具有性質(zhì)T的數(shù)列的概率為尸(T),證明：對于任意

772(7H>3),P(T).

2.（24-25高三上?黑龍江?期末）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足：對任意的正整數(shù)”，都有其中［為非零常

數(shù).

（1）若4=26+1=5,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

n]

⑵證明：E——

i=iq+q+i

1n

⑶若X且a、=d,從4,a?,生，4加+1）2（m，2且加￡N）中任取兩個數(shù)，記這兩個數(shù)是

i=lJ/+1+1

4

無理數(shù)，且這兩個無理數(shù)中間僅包含一個整數(shù)的概率為若匕V石,求正整數(shù)加的最小值.

222W（，，+iM+1）

公式：P+2+3+-+n=y（其中〃為正整數(shù)）.

3.（24-25高三上?河北邢臺?期末）若數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)4=1,對任意的九€、，都有為用一?！?左（左為常數(shù)，且

左eN+）,則稱｛4｝為有界變差數(shù)列，其中左為數(shù)列｛4｝的相鄰兩項(xiàng)差值的上界.已知數(shù)列｛%｝是有界變差數(shù)歹!L

｛q｝的前展項(xiàng)和為S”.

（1）當(dāng)人=1時，證明：an<n.

⑵當(dāng)｛%｝（〃eN+,?>2）中各項(xiàng)都取最大值時，Sn+nan<3/+1U對任意的〃22恒成立，求k的最大值；

⑶當(dāng)｛a“｝（〃eN+，〃N2）中各項(xiàng)都取最大值時，bn=Tan,數(shù)列出｝的前〃項(xiàng)和為北，若對任意的"M，都有

（一1）"彳（25+1）+2"<7；—4左+2—伍-2）h2向，求2的取值范圍.

4.(2025?陜西咸陽?一模)若無窮數(shù)列｛%｝滿足：對于VweN*,歷-y=A,其中A為常數(shù)，則稱數(shù)列｛。"｝

為“A數(shù)列”.

(1)若等比數(shù)列他,｝為“A數(shù)列”，求｛2｝的公比q；

⑵若數(shù)列｛%｝為“A數(shù)列"，且q=1,A=l.

①求證：±7<工；

a

z=li-

,=yX__

②若c；=R，且匕｝是正項(xiàng)數(shù)列，s"I。，求滿足不等式2而吃-2<S“W2而-l(a,6,G〃wN*)的族的最

小值.第2講數(shù)列

高頻考點(diǎn)分析