機械優(yōu)化設(shè)計總復(fù)習(xí)1第一章機械優(yōu)化設(shè)計的基本概念和理論機械優(yōu)化設(shè)計的定義：

機械優(yōu)化設(shè)計就是把機械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預(yù)期目標的最優(yōu)設(shè)計方案和最佳設(shè)計參數(shù)。2一設(shè)計變量在優(yōu)化設(shè)計過程中，要優(yōu)化選擇的設(shè)計參數(shù)。設(shè)計變量必須是獨立變量，即：在一個優(yōu)化設(shè)計問題中，任意兩個設(shè)計變量之間沒有函數(shù)關(guān)系。二設(shè)計空間 在一個優(yōu)化設(shè)計問題中，所有可能的設(shè)計方案構(gòu)成了一個向量集合?？梢宰C明，這個向量集合是一個向量空間，并且是一個歐氏空間。 一個優(yōu)化設(shè)計問題中，設(shè)計變量的個數(shù)，就是它的設(shè)計空間的維數(shù)。三目標函數(shù) 優(yōu)化設(shè)計中要優(yōu)化的某個或某幾個設(shè)計指標，這些指標是設(shè)計變量的函數(shù)，稱為目標函數(shù)。

3

四設(shè)計約束優(yōu)化設(shè)計中設(shè)計變量必須滿足的條件，這些條件是設(shè)計變量的函數(shù)。約束條件的分類（1）根據(jù)約束的性質(zhì)分邊界約束

直接限定設(shè)計變量的取值范圍的約束條件，即性能約束

由結(jié)構(gòu)的某種性能或設(shè)計要求，推導(dǎo)出來的約束條件。i＝1,2,···

，n4u=1,2,···，mv=1，2，···，p<n（2）根據(jù)約束條件的形式分不等式約束

一個n維的優(yōu)化設(shè)計問題中，等式約束的個數(shù)必須少于n。顯式約束隱式約束等式約束

5五可行域

可行域

:

在設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的所構(gòu)成的空間。

6六優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型（一）優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型7（二）約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解

約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解為使的X*、f(X*)。8優(yōu)化問題的幾何解釋

無約束優(yōu)化問題就是在沒有限制的條件下，對設(shè)計變量求目標函數(shù)的極小點。在設(shè)計空間內(nèi)，目標函數(shù)是以等值面的形式反映出來的，則無約束優(yōu)化問題的極小點即為等值面的中心。約束優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)對設(shè)計變量求目標函數(shù)的極小點，此極小點在可行域內(nèi)或在可行域邊界上。910111213§2-1目標函數(shù)的基本性質(zhì)一函數(shù)的等值面（線） 函數(shù)的等值面（線）是用來描述、研究函數(shù)的整體性質(zhì)的。二函數(shù)的最速下降方向梯度X1

點的最速下降方向為局部性質(zhì)

第二章優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1415*用圖解法求解要求掌握16

目標函數(shù)等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：，約束方程所圍成的可行域是D。圖1-917三函數(shù)的近似表達式

f(X)的近似表達式為

H(X(k))

為Hessian矩陣18192021§2-2函數(shù)的凸性1.凸集

*

2.凸函數(shù)

*如果HESSEN矩陣正定，為凸函數(shù)；二次函數(shù)

2223幾個常用的梯度公式：24§2-3優(yōu)化問題的極值條件 *一、無約束優(yōu)化問題的極值條件1.F(x)在處取得極值，其必要條件是:即在極值點處函數(shù)的梯度為n維零向量。252.處取得極值充分條件海色（Hessian）矩陣正定，即各階主子式均大于零，則X*為極小點。海色（Hessian）矩陣負定，即各階主子式負、正相間，則X*為極大點。261、約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)點在可行域D

中最優(yōu)點是一個內(nèi)點，其最優(yōu)解條件與無約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)解條件相同；*二、約束優(yōu)化問題的極值條件272、約束優(yōu)化設(shè)計的最優(yōu)點在可行域D

的邊界上設(shè)X

(k)

點有適時約束*庫恩—塔克條件（K-T條件必要條件）：

§

不等式約束優(yōu)化問題的極值條件28同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題

29

K-T條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件,可以用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優(yōu)化問題。

對于目標函數(shù)和約束函數(shù)都是凸函數(shù)的情況，符合K-T條件的點一定是全局最優(yōu)點。這種情況K-T條件即為多元函數(shù)取得約束極值的充分必要條件。30第三章一維搜索的最優(yōu)化方法*黃金分割法1、在尋找一個區(qū)間[Xa,Xb]，使函數(shù)f(X)在該區(qū)間的極小點

X*∈[Xa,Xb]。2、用黃金分割法在區(qū)間[Xa,Xb]中尋找X*。

[Xa

，X1，X2，Xb]

如何消去子區(qū)間？f(X1)<f(X2)，消去[X2，Xb]，保留[Xa，X2]f(X1)>f(X2)，消去[Xa，X1]，保留[X1，Xb]31第三章一維搜索的最優(yōu)化方法確定最優(yōu)解所在區(qū)間的進退法32要求一元函數(shù)的極小點，在確定所在的區(qū)間之后，就需要不斷的縮小這個區(qū)間，直到確定的近似解。區(qū)間消去法原理在搜索區(qū)間內(nèi)任取兩點，并計算函數(shù)值。于是將有下列三種可能情形：34一維搜索的插值類方法1、牛頓法2、拋物線法（二次插值法）3536*§4-1梯度法

負梯度方向 是函數(shù)最速下降方向。 梯度法就是以負梯度方向作為一維搜索的方向，即

k=1,2,···,n第四章無約束最優(yōu)化方法37*在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負梯度方向，因此相鄰兩個搜索方向互相垂直。圖4-2最速下降法的搜索路徑38§4-2牛頓法牛頓法的迭代公式阻尼牛頓法的迭代公式牛頓方向39

這樣，原來的牛頓法就相當于阻尼牛頓法的步長因子αk

取成固定值1的情況。由于阻尼牛頓法每次迭代都在牛頓方向上進行一維搜索，這就避免了迭代后函數(shù)值上升的現(xiàn)象，從而保持了牛頓法二次收斂的特性，而對初始點的選取并沒有苛刻的要求。40§4-3變尺度法(DFP法)

H(0)=I，

變尺度法本質(zhì)上是共軛方向法。41§4-4共軛方向法共軛方向定義：設(shè)A為n×n

階實對稱正定矩陣，有一組非零的n維向量d1、d2

、…、dn，若滿足

diT

Adj

則稱向量系di(i=1,2,…,n)對于矩陣A共軛。42*二鮑威爾(Powell)法

鮑威爾法原理，如何構(gòu)成共軛方向？能具體運用！43第五章約束優(yōu)化設(shè)計§5-1關(guān)于設(shè)計約束的若干概念可行域所有滿足全部約束條件的點的集合。

44可行點可行域中的點，即滿足所有約束條件的點。邊界點在可行域邊界上的點。若有點Xk使得

則Xk為一個邊界點。內(nèi)點除邊界點以外的所有可行點。若有點Xk滿足則Xk

為一個內(nèi)點。45非可行域可行域以外的區(qū)域。非可行點非可行域中的點，即不滿足所有約束條件的點。適時約束若有點X

k

使某個不等式約束gu(X)≤0

的等號成立，即則稱gi(X)≤0

為點X

k

的一個適時約束。等式約束始終是適時約束。46*

可行下降方向可行方向

定義設(shè)點，若對于方向d

，存在任意小正數(shù)δ>0，使得

則稱d為X(k)

點的一個可行方向。X(k)

為可行域中的一個內(nèi)點，X(k)

的任何方向均為可行方向。X(k)

為可行域中的一個邊界點，設(shè)X(k)

在約束面gi(X)=0上。

472可行下降方向定義設(shè)d

是的一個可行方向，即若對于上式中的X(k)

、X(k+1)

存在則稱d為X(k)

點的一個可行下降方向。X(k)

為可行域中的一個內(nèi)點48X(k)

點是可行域中若干約束面的交點設(shè)X(k)

點在約束面gj(X)=0，j=1,2,…,J若d

是X(k)

點的一個可行下降方向，則應(yīng)有可行：下降：49*§5-2約束優(yōu)化設(shè)計的復(fù)合形法對約束優(yōu)化問題1確定初始復(fù)合形選擇（n+1≤K≤2n）頂點，這k

個頂點必須是可行點。2確定搜索方向計算k個頂點的函數(shù)值，設(shè)記最壞點X

(1)為X

(H)

次壞點X

(2)為X

(SH)

最好點X

(k)為X

(L)50求出X

(2)、X

(3)、…、X

(k-1)、X

(k)

的點集的中心(幾何中心)X

(S)以X

(H)

指向X

(S)

的方向作為尋優(yōu)的方向，沿此方向?qū)ふ乙粋€較好的點X

(R)

。若f(X

(R))<f(X

(H))，則以

X

(R)

代替X

(H)

，構(gòu)成新的復(fù)合形。511內(nèi)點法構(gòu)造懲罰項的方法對于約束優(yōu)化問題內(nèi)點法的懲罰函數(shù)為*§5-3懲罰函數(shù)法或522內(nèi)點法初始點的選擇內(nèi)點法要求初始點X(0)

是一個內(nèi)點。3懲罰因子r(k)

的選擇53二外點懲罰函數(shù)法

外點法是從可行域的外部構(gòu)造一個點序列去逼近原約束問題的最優(yōu)解。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。

外點懲罰函數(shù)的形式為：

r是懲罰因子

,

外點法的迭代過程在可行域之外進行，懲罰項的作用是迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束曲面。由懲罰項的形式可知，當?shù)cx

不可行時，懲罰項的值大于0。

54三

混合法

混合法是用內(nèi)點法處理不等式約束，用外點法處理等式約束?？梢杂脕砬蠼夂坏仁胶偷仁郊s束的優(yōu)化問題。

混合懲罰函數(shù)的形式為：

r是懲罰因子

,

混合法具有內(nèi)點法的特點，迭代過程在可行域之內(nèi)進行，參數(shù)的選擇同內(nèi)點法。

55第七章

多目標和離散變量優(yōu)化方法機械設(shè)計中，同時要求幾項設(shè)計指標達到最優(yōu)的問題