熱點02基本不等式及其應(yīng)用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

不等關(guān)系與不等式、分式不等式，絕對值不等式的解分式不等式，基本不等式及其應(yīng)用

法、一元二次不等式及其應(yīng)用、基本不等式及其應(yīng)用

熱點題型解讀

壁1不等式的性質(zhì)

題型7基本不等式與嘉措I寸函數(shù)的綜合應(yīng)用

^^2分式不等式

壁8向前鉆應(yīng)用

_______________________________________________醒3絕對值不等式

遵9基本格式與三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用呷營警

及其應(yīng)用

遜4一元二^不攀C

[堂10基本不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

壁5對數(shù)格式

題型11基本不敏與圓錐曲哪綜合應(yīng)用

壁6基本格式及其應(yīng)用

題型1不等式的性質(zhì)

1.比較大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.

(2)利用特殊值法排除錯誤選項.

(3)作差法.

（4）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

石蘇:上海廠工二二277工：:：不罰年薪植康茯西富

A.a+b2>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab2>ac2D.c^b>c^c

2.（2024?上海楊浦?二模）已知實數(shù)〃，b,c,d滿足：a>b>O>c>df則下列不等式一定正確的是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

3.（2024?上海閔行?三模）設(shè)。，b,c是不全相等的實數(shù)，隨機變量4取值為。，b,c的概率都是g,隨

機變量〃取值為“c,，———，的概率也都是二則（）

A.E團<E團,D[^]<D[rj]B.砒]=司切*。團團

C.E團<片團,砒]叫切D.磯司=土團,。團=。團

4.（2024?上海靜安?二模）在下列關(guān)于實數(shù)以6的四個不等式中，恒成立的是.（請?zhí)钊肴空_的

序號）

①62②Nab；（3）\a\—\b\<\a-b\-（4）a2+b2>2b-l-

題型2分式不等式

004?

分式不等式的解法：

基本思路：應(yīng)用同號相乘（除）得正，異號同號相乘（除）得負，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式。在此過程

中，變形的等價性尤為重要。

基本方法：①通過移項，將分式不等式右邊化為零；②左邊進行通分，化為形如上的形式；

gM

③同解變形：皿〉0o/(x)-g(x)〉0；皿<0o/(x)-g(x)<0；

g(x)g(x)

jf(x)-g(x)>0f(x)jf(x)-g(x)<Q

--------NUO\;--------SUO<;

g(x)[g(X)H0g(x)〔g(X)H。

2r-l

1.（2。24?上海閔行?一模）不等式的解集為一

2.（2023?上海普陀?曹楊二中?？寄M預(yù)測）不等式420的解集是______

X—1

題型3絕對值不等式

常見絕對值不等式的解法與結(jié)論：

①幾個基本不等式的解集

(1)(2)|川>。(4>0)02>〃2_>。，或％<-〃；

(3)\x-m\<a(a>O)^a<x-m<a^m-a<x<a+m；(4)\x-m\>a{a>G)^c-m>a^x-m<-a<^c>m+a,'^lx<m-a.

②幾種主要的基本類型

⑴|Ax)l>lg(x)l守(x)>g2(x)(平方法)；(2)|Xx)|>g(x)(g(x)>0)q(x)>g(x),或<x)<-g(x);

(3)次x)|<g(x)(g(x)>O)=g(x)勺(尤)<g(x);

(4)含兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法脫去絕對值符號求解.

1.(2023?上海)不等式|x-2|<l的解集為.

2.(2023?上海)不等式|x-l|,,2的解集為：.(結(jié)果用集合或區(qū)間表示)

3.(2024?上海靜安一模)不等式|2x-l|<3的解集為_______.

4.(2024?上海?三模)已知集合4={即無一1]<1},8=卜；<1，，貝!]4口8=.

5.(2022?上海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'⑺，甲變化：/U)-f(x-f)；乙變化："(x+f)-/(x)|,t>0.

⑴若”1,f(x)=2\/(x)經(jīng)甲變化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

⑵若/(x)=/,/(元)經(jīng)乙變化得到無(無)，求不等式〃(x)4/(x)的解集；

⑶若/(無)在(-8,0)上單調(diào)遞增，將/(無)先進行甲變化得到鼠犬)，再將以犬)進行乙變化得到"(無)；將/(元)

先進行乙變化得到v(x),再將V。)進行甲變化得到萬式外，若對任意/>0,總存在4(x)=%(x)成立，求證:

于(x)在R上單調(diào)遞增.

題型4一元二次不等式

100混

:一元二次不等式在求解時應(yīng)當注意事項

（1）化標準：通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正；

（2）①因式分解；②判別式：對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式;

（3）求實根：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根；

（4）畫草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖；

（5）寫解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集。

T一石624王海徐匯?一模）不等式Y(jié)—4x+3<0的解集為…

2.（2024?上海奉賢一模）已知xeR,則不等式f一元+2>0的解集為.

3.（2024?上海崇明?二模）不等式雙無-1）<。的解為.

題型5對數(shù)不等式

工”736江工海童石:三禳3苴如〉。73”麗7”廠

A.a2>b2B.2a<2b

loa>1b

C|DSi°Si

?a2<b-22

2.（2024?上海嘉定?一模）函數(shù)y=log2（x2-l）的定義域為.

題型6基本不等式及其應(yīng)用

?-4

，1.幾個重要的不等式的變形

@cr+b2>2ab（a,6GR）.；②9+022（a、6同號）；+"（a、6GR）.

abI2J2

已知x>0,y>0,則

:2.平均值不等式與最值

_s2

（1）若x+p=s（和為定值），則當x=y時，積盯取得最大值了

（2）若燈=夕（積為定值），則當x=y時，和x+p取得最小值25；

?

即：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值;

i

兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值。

1.（2024?上海靜安?一模）若用f替換命題"對于任意實數(shù)〃，有屋20,且等號當且僅當d=O時成立"中的〃,

即可推出平均值不等式“任意兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當且僅當這兩個正數(shù)

相等時成立”.則/=.

2.（2024?上海奉賢?三模）若a+6=1,則他有最大值為.

3.（2024?上海徐匯?二模）若正數(shù)0、6滿足：=則2a+人的最小值為_____.

ab

4.（2024?上海奉賢?二模）某商品的成本C與產(chǎn)量4之間滿足關(guān)系式。=。（4，定義平均成本心=心（夕），其

中心=詈，假設(shè)c（4）=；q2+i。。，當產(chǎn)量等于時，平均成本最少.

題型7基本不等式與幕指對函數(shù)的綜合應(yīng)用

i

i

1.（2024?上海普陀?模擬預(yù)測）函數(shù)y=log“（x+2）-1（。>0,且a*1）的圖像恒過定點A,若點A在直線

mx+ny+2=0±,其中加>0,〃>0,則工+工的最小值為.

mn

2.（2024?上海嘉定?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃力=睡34若a<b,且則a+2b的取值范圍

是.

3.（2024,上海閔行?三模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項，

畢達哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今

天大致相同.若2"+2"=1，則（4"+1）（4"+1）的最小值為.

題型8基本不等式與平面向量的綜合應(yīng)用

1.（2024?上海金山?二模）已知平面向量入b>"滿足:1|=由=1，ac=bc=l，則2%+丁的最小值

為.

2.（2024,上海?三模）空間中A3兩點間的距離為8,設(shè)“巴鳥的面積為S,令％=|麗訶］,若火2%=3,

1=1

則S的取值范圍為.

題型9基本不等式與三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用

工“蒼耘i：王海防片二葭一茹菌丁窠小區(qū)內(nèi)有二雙宛形成城ABCD,其中AB=40米，AD=20^,

分別為AB、CO的中點，左右兩個扇形區(qū)域為花壇（兩個扇形的圓心分別為A、B,半徑均為20米），其

余區(qū)域為草坪.現(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區(qū)，且三角形的一個頂點在線段斯上，另外兩

個頂點在線段CD上，則該游樂區(qū)面積的最大值為平方米.（結(jié)果保留整數(shù)）

2.（2024?上海寶山?二模）在AABC中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,已知

sin2A+sin2C=sin2B+sirL4sinC.

⑴求角8的大??；

（2）若AABC的面積為百，求4+c的最小值，并判斷此時AABC的形狀.

題型10基本不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

L（2023?工港簧藩二稹）百而實藪Q",c滿忌a+/+c=0營滔_/?c=3,麗裙c的敲殖范甬為.

2.（2024?上海?模擬預(yù)測）對于一個函數(shù)〃元）和一個點"（〃力）,令$（%）=（%-4）2+（〃力-牙,若

P（Xo，"X。））是S（X）取到最小值的點，則稱尸是“在"X）的"最近點”.

⑴對于〃x）=:（x>0），求證：對于點M（0,0）,存在點尸，使得點尸是〃在“X）的"最近點”；

⑵對于/（力=匕/（1,0）,請判斷是否存在一個點尸，它是"在〃x）的“最近點"，且直線MP與>=/（尤）在

點P處的切線垂直；

⑶已知y=/（%）在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)（（無），且函數(shù)g（x）在定義域R上恒正,設(shè)點-g（/））,

++若對任意的teR,存在點P同時是M，也在的“最近點"，試判斷〃x）的單調(diào)

性.

3.（2023?上海寶山?二模）直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程丫=履+1中，當上取給定

的實數(shù)時，表示一條直線；當左在實數(shù)范圍內(nèi)變化時，表示過點（0,1）的直線族（不含，軸）.記直線族

2（a-2）x+4y-4a+a2=0（其中owR）為￥,直線族y=3/x-2/（其中/>（））為。.

⑴分別判斷點4（0,1），*1,2）是否在中的某條直線上，并說明理由；

⑵對于給定的正實數(shù)/，點P（%,%）不在O的任意一條直線上，求為的取值范圍（用無。表示）；

⑶直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線：直線族中的每一條直線都是該曲線上某點處的切線，且該曲線上

每一點處的切線都是該直線族中的某條直線.求O的包絡(luò)和甲的包絡(luò).

題型11基本不等式與圓錐曲線的綜合應(yīng)用

1.（2024?上海?三模）將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系已知橢圓月:二+丁=1的左、右頂點分

2

別為A3,上頂點為。.

⑴若橢圓產(chǎn):三+d=l與橢圓￡在"一簇橢圓系"中，求常數(shù)s的值；

s2

⑵設(shè)橢圓G:5+V=40<%<1），過A作斜率為々的直線<與橢圓G有且只有一個公共點，過D作斜率為

心的直線4與橢圓G有且只有一個公共點，求當2為何值時，住|+但|取得最小值，并求其最小值；

22

⑶若橢圓H：5+q=l?>2）與橢圓E在"一簇橢圓系"中，橢圓H上的任意一點記為C5,%）,試判斷

VABC的垂心”是否都在橢圓E上，并說明理由.

2.（2023?上海普陀?一模）設(shè)雙曲線「：^-/=1（/>0）,點月是「的左焦點，點。為坐標原點.

⑴若r的離心率為叵，求雙曲線「的焦距；

3

⑵過點^且一個法向量為3=&-1）的直線與「的一條漸近線相交于點〃，若必=g，求雙曲線r的方

程；

（3）若$=&,直線/：kx-y+m=O（左>0,〃zeR）與「交于P,。兩點，|麗+而|=4,求直線/的斜率上

的取值范圍.

限時提升練

（建議用時：60分鐘）

一、單選題

1.（2023?上海閔行?一模）下列不等式中，解集為｛x|-l<x<l｝的是（）

A.x2-345l<0B.|x|-l<0

2.（2023?上海靜安?一模）若實數(shù)盼滿足/+4/_刈=3,則（）成立.

A.xy>lB.x2+4y2<4

C.x+2y>-y/2D.x+2y<V2.

3.（23-24高三上?上海松江?期末）關(guān)于曲線〃：￡+，=1,有下述兩個結(jié)論：①曲線M上的點到坐標原

點的距離最小值是號；②曲線M與坐標軸圍成的圖形的面積不大于;，則下列說法正確的是（）

2/

A.①、②都正確B.①正確②錯誤C.①錯誤②正確D.①、②都錯誤

4.（23-24高三上?上海普陀?期中）已知｛4｝是等比數(shù)列，公比為4,若存在無窮多個不同的"（"6電7亞1）滿

足。“+2<?！?。用，則下列選項之中，不可能成立的為（）

A.q>0B.<?<0C.@<1D.|^|>1

二、填空題

5.（2024?上海?模擬預(yù)測）已知xeR,則不等式爐-2尤-3<0的解集為.

6.（2024?上海楊浦,一模）不等式xJ+<20的解集為________.

x-1

7.（23-24高三上?上海普陀?階段練習）若一元二次不等式辦2+4x+2>0的解集是7則實數(shù)a

的值為.

8.（2023?上海?模擬預(yù)測）已知正實數(shù)a、。滿足a+46=l,則必的最大值為.

9.（2024高三下,上海?競賽）若正實數(shù)滿足必=2a+b,則a+功的最小值是.

10.（23-24高二上?上海?期末）半徑為R的球的內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積（各側(cè)面面積之和）的最大值為.

11.（23-24高二上?上海?期末）已知直三棱柱ABC-A耳G中，AA=4,AB±AC,過點4的平面a分別交

棱AB,AC于點￡>,E,若直線他與平面a所成角為60。，則截面三角形4。石面積的最小值為.

12.（24-25高三上?上海?期中）拋物線丁=4x的焦點為尸，準線為是拋物線上的兩個動點，且滿足

\MN\

^AFB=-n.設(shè)線段AB的中點M在準線/上的投影為N,則燈的最大值是_____.

3\AB\

13.（2024?上海長寧?二模）用鐵皮制作一個有底無蓋的圓柱形容器，若該容器的容積為兀立方米，則至少需

要平方米鐵皮

14.（2024?上海普陀?二模）若實數(shù)。，人滿足則2"+:的最小值為.

15.（24-25高三上■上海?期中）設(shè)a,6e[0,l],記S="了+1]+（1-。）（1-,則它的最大值和最小值的差

為.

16.（24-25高三上?上海?期中）已知實數(shù)4、x?、%、滿足片+弁=2,尤；+￡=2,xlx2+yly2=0,記

w=N+y-20|+%+%-,則w的最大值是.

17.（2024?上海?一模）已實數(shù)機、”滿足療+“24],則|2加+〃一2|+|6-的取值范圍是.

三、解答題

4

18.（2024?上海靜安■一模）設(shè)函數(shù)/（x）=x+—,xe（-8,0）5（）,+<?）.

x

⑴求函數(shù)y=〃x）的單調(diào)區(qū)間；

⑵求不等式〃x）<2x的解集.

19.（24-25高三上?上海奉賢,期中）已知函數(shù)y=的表達式為/（x）=x（辦-21nx）（aeR）.

⑴當。=1時，求y=〃尤）的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若當x>l時，〃X)>1恒成立，求。的取值范圍;

574047

⑶證明:---+----+?H-->---2---1--n---l--0--1---2---.---

2x33x42023x2024

20.(23-24高三上?上海靜安?期末)如果函數(shù)y=/(x)滿足以下兩個條件，我們就稱>=/(尤)為乙型函數(shù).

①對任意的xe(O,l),總有〃尤)>0；

②當玉>。,々>0,%+/<1時，總有了(玉+馬)</(占)+/(%)成立.

(1)記g(尤)=/+g,求證：y=g(x)為L型函數(shù)；

(2)設(shè)6eR,記p(x)=ln(尤+力，若y=p(x)是L型函數(shù)，求6的取值范圍；

⑶是否存在L型函數(shù)>=r(x)滿足：對于任意的相?。,4),都存在x°e(O,l),使得等式=成立？請

說明理由.

21.(23-24高三上?上海?期中)已知橢圓/:=+9=1(常數(shù)。22),點A(a,1),8(-a,1)。為坐標原點.

a

⑴求橢圓離心率的取值范圍；

⑵若尸是橢圓7上任意一點，OP=mOA+nOB，求m+”的取值范圍；

⑶設(shè)"(占,y),女)是橢圓/上的兩個動點，滿足心”,koN=k(M-koB,試探究△沏的面積是否為定值,

說明理由.

熱點02基本不等式及其應(yīng)用

明考情-知方向

三年考情分析2025考向預(yù)測

不等關(guān)系與不等式、分式不等式，絕對值不等式的解分式不等式，基本不等式及其應(yīng)用

法、一元二次不等式及其應(yīng)用、基本不等式及其應(yīng)用

熱點題型解讀

壁1不等式的性質(zhì)

題型7基本不等式與嘉措I寸函數(shù)的綜合應(yīng)用

^^2分式不等式

壁8向前鉆應(yīng)用

_______________________________________________醒3絕對值不等式

遵9基本格式與三角函數(shù)和解三角形的綜合應(yīng)用呷營警

及其應(yīng)用

遜4一元二^不攀C

[堂10基本不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

壁5對數(shù)格式

題型11基本不敏與圓錐曲哪綜合應(yīng)用

壁6基本格式及其應(yīng)用

題型1不等式的性質(zhì)

1.比較大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論.

(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論.

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.

2.判斷不等式的常用方法

(1)利用不等式的性質(zhì)逐個驗證.

(2)利用特殊值法排除錯誤選項.

(3)作差法.

（4）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性.

蘇;上海廠工二二277工：:：不罰年薪植康茯西富

A.a+tr>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab1>ac1D.a2b>a2c

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解.

【解答】解：對于A,若|"<|c|,則選項不成立，故A錯誤；

對于3,a2=a2,b>c>

22

由不等式的可加性可知，a+b>a+c,故3正確.

對于C、D,若a=0,則選項不成立，故C、。錯誤.

故選：B.

【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024?上海楊浦?二模）已知實數(shù)。，b,c,d滿足：a>b>0>c>d,則下列不等式一定正確的是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+c>b+dD.ac>bd

【答案】C

【難度】0.94

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小

【分析】舉例說明判斷ABD；利用不等式的性質(zhì)推理判斷C.

【詳解】對于ABD,取a=2,Z?=l,c=-2,"=-4,滿足a>b>0>c>d,

、顯a+d=—2<—l=b+c,ctd=—8<—2=be,cic=-4=bd,ABD；

對于C,a>b>O>c>d,則o+c>6+d,C正確.

故選：C

3.（2024?上海閔行?三模）設(shè)。，b,c是不全相等的實數(shù)，隨機變量J取值為。，b,c的概率都是:，隨

仃/士“〃+2023。b+2023cc+2023a1皿/、

機變量〃取值為，,的概率也都是a,則（）

A.E團<石團,D[^]<D[TJ]B.E?=E[〃],。團團

C.磯目<磯可，D[^]=D[,7]D.E?=E[〃],。團=。[川

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】作差法比較代數(shù)式的大小、求離散型隨機變量的均值、離散型隨機變量的方差與標準差

【分析】首先求出E團，設(shè)"，a+6+c）,從而得到。團，E團、。㈤，再利用作差法判斷。?與。㈤

的大小關(guān)系，即可得解.

【詳解】因為隨機變量4取值為。，b,。的概率都是g,

回=g(a+/?+c),設(shè)％=；(Q+Z?+C),

則0團=；[?僅一戶（

a2+b2+c2-6t+3t22

a+2023Z?b+2023cc+2023〃的概率都是:,

隨機變量〃取值為

202420242024

尸「i1(a+2023Z?b+2023cc+2023〃

團E團=§H---------------H-------=----§---(-〃+/?+c),

202420242024

222

a+2023人Z?+2023cc+2023。

2024/+20241+20241

222

1a+2023Z?0+2023。c+2023。

++一6f+3/

3202420242024

由a,b,c是不全相等的實數(shù),

222

a+2023Z?8+2023。c+2023。

++

202420242024

222

,2023b-J2023cj2023c-j2023。

++>0,

202420242024

Q+2023八2Z?+2023CY?c+2023a

+靖2024J2024J+l2024,回。團>。[切;

綜上，E[^=E[TJ],D[^]>D[TJ].

故選：B.

4.（2024?上海靜安?二模）在下列關(guān)于實數(shù)a、6的四個不等式中，恒成立的是.（請?zhí)钊肴空_的

序號）

①a+b228^;②2JNab;（3）\a\—\b^a—b\-（4）a1+b2>2b—]■

【答案】②③④

【難度】0.65

【知識點】由已知條件判斷所給不等式是否正確、作差法比較代數(shù)式的大小、由基本不等式證明不等關(guān)系

【分析】取特值可判斷①；作差法可判斷②④；要證1。1-屹區(qū)I。-切即證2問網(wǎng)22他可判斷③.

【詳解】對于①，取a=T6=l,故①錯誤；

對于②，（一/4"一片+"：2abn0,故②正確；

對于③，當時習可，要證1口-1。區(qū)1。->，即證（同-|琳加〃-那2,

即卜『+|邸-2\a\\b\<a2+b2-2ab,即證2時同\2必，

而2時同22"恒成立，

當時<同時，問一|小0,,一中0,所以|0|一|6兇。一6|,故③正確.

對于④,"+/一2b+l=Y+0—1)2/0,所以儲+從22。-1,故④正確.

故答案為：②③④.

題型2分式不等式

iuTi

I

\分式不等式的解法：

;基本思路：應(yīng)用同號相乘(除)得正，異號同號相乘(除)得負，將其轉(zhuǎn)化為同解整式不等式。在此過程:

中，變形的等價性尤為重要。

:基本方法：①通過移項，將分式不等式右邊化為零；②左邊進行通分，化為形如上也的形式；

g(x)

③同解變形：皿〉00/。)■。)〉0；^<0<^/(x)-g(x)<0；

g(x)g(x)

f(x)jf(x)-g(x)>0f(x)jf(x)-g(x)<0

1--------2Us；-----SU<C=^><；

jg(x)[g(X)H。g(x)[g(X)H。

2r-1

L(2024?上海閔行?一模)不等式一7<0的解集為____.

x-1

【答案】目

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、分式不等式

【分析】將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，解得即可.

_11

【詳解】不等式J<0等價于(x—l)(2x—l)<0,解得:<X<1,

x-12

所以不等式生?<0的解集為

x-1

故答案為：

2.（2023?上海普陀?曹楊二中?？寄M預(yù)測）不等式上20的解集是______

x-1

【答案】（i,y）U｛。｝

【分析】把分式不等式轉(zhuǎn)化為從而可解不等式.

[x—lwO

【詳解】因為上20,所以卜（二1）：。，解得尤>1或X=O，

x-11x-1/O

_o

所以不等r式的解集是（L心）U｛。｝.

故答案為：（I，HU｛O｝

題型3絕對值不等式

常見絕對值不等式的解法與結(jié)論：

①幾個基本不等式的解集

2212

(1)\x\<a(a>0)<^c<a^a<x<a；(2)\x\>a(a>O)<^c>a^c>a,^lx<-a\

(3)\x-m\<a(a>O)<^a<x-m<a^m-a<x<a+m；(4)\x-m\>a(a>0)<=^c-m>af^lx-m<-a<^c>m+a,^x<m-a.

②幾種主要的基本類型

⑴IAx)|>|g(x)|4(x)>g2(x)(平方法)；(2)|Xx)|>g(x)(g(x)>0)5x)>g(x),或<x)<-g(x);

(3)次x)|<g(x)(g(x)>0)og(x)勺")<g(x);

(4)含兩個或兩個以上絕對值符號的不等式可用“按零點分區(qū)間討論”的方法脫去絕對值符號求解.

1.（2023?上海）不等式|x-2|<l的解集為.

【分析】原不等式可化為-1<彳-2<1,從而求出x的范圍.

【解答】解：由|彳-2|<1可得，-I<x-2<1,

解得l<x<3,

即不等式的解集為（1,3）.

故答案為：（1,3）.

【點評】本題主要考查了絕對值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2023?上海）不等式|x-l|,,2的解集為：.（結(jié)果用集合或區(qū)間表示）

【分析】運用|x|豹ho-aA?a,不等式2即為-2用於一12,解出即可.

【解答】解：不等式|》-1|,,2即為-2領(lǐng)k—12,

即為-?!k3,

則解集為[-1，3],

故答案為：[-1,3].

【點評】本題考查絕對值不等式的解法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.(2024?上海靜安?一模)不等式|2xT|<3的解集為.

【答案】(T，2)

【難度】0.85

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式、平方法解絕對值不等式

【分析】將不等式轉(zhuǎn)化成一元二次不等式求解即可.

【詳解】由不等式|2%一1|<3,得(2X一1)2—9<0,即(2x+2)(2x-4)<0,解得一1(尤<2,

所以原不等式的解集為(-1,2).

故答案為：(T,2)

4.(2024?上海?三模)已知集合4={無版,8=[:<1，，貝.

【答案】(L2)

【難度】0.85

【知識點】幾何意義解絕對值不等式、分式不等式、交集的概念及運算

【分析】首先解絕對值不等式與分式不等式求出集合A、B,再根據(jù)交集的定義計算可得.

【詳解】由即一1<無一1<1,解得0<x<2,

所以A={X|x_l|<l}={x[0<x<2},

由一<1,即一<。，等價于(l-x)x<0,解得x>l或x<0,

XX

所以3=卜^<1，=(-8,0)。(1,+8),

所以Ac5=(l,2).

故答案為:(1,2)

5.(2022?上海?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x),甲變化：乙變化：|/(x+r)-/(x)|,t>0.

⑴若"1,4x)=2',/(x)經(jīng)甲變化得到g(x),求方程g(x)=2的解；

(2)若/(刈=/，/(無)經(jīng)乙變化得到〃(無)，求不等式/z(x)V/(x)的解集；

⑶若/(元)在(-8,。)上單調(diào)遞增，將/(無)先進行甲變化得到M(X),再將〃(元)進行乙變化得到"(無)；將/(元)

先進行乙變化得到v(x),再將v(x)進行甲變化得到4(x),若對任意/>0,總存在4。)=飽。)成立，求證:

于⑺在R上單調(diào)遞增.

【答案】(l)x=2；

(2)(-8,(1-應(yīng))〃UK1+點)，，+8)；

⑶證明見解析.

【難度】0.4

【知識點】解含參數(shù)的絕對值不等式、解含有參數(shù)的一元二次不等式、簡單的指數(shù)方程、定義法判斷或證

明函數(shù)的單調(diào)性

【分析】(1)由題設(shè)可得g(x)=2i=2,求解即可.

(2)由題設(shè)有“2無+/區(qū)/，討論尤<-；、尤2-；分別求解即可.

(3)將題設(shè)化為對于任意f>0存在I"(x+f)-/(%)]-[/(x)-/(x-r)]|=|f(x+Z)-/(x)\-\f(x)-f(x-t)\,

即可證結(jié)論.

【詳解】(1)由題設(shè)，甲變化為/(X)-AxT),則g(x)=2'-2i=2，T,

回g(無)=21=2,解得尤=2.

(2)由題設(shè),/?(x)=|(x+/)"—X-1=Z12x+t\,又九(x)V/(x),

0/|2x+r|<x2,

當2x+f<0,即x<-：時，則V+2tr+〃=(x+廳20,恒成立;

當2x+fN0,即時，貝1]/-2及+〃=。一。222/，解得：尤4(1一血"或尤NQ+&)九

綜上，不等式解集為(-8,(1-0)HUO+血),,+8).

(3)由題設(shè)，u{x)=pllj\{x}^u{x+t)-u(x)|=|f(x+t)-2f(x)+f(x-t)\,

V(x)=|/(X+f)—f(x)I,則色(x)=v(x)-v(x-t)=\f(x+t)~f(x)I-|/(x)-/(x-f)|,

回當似無)=飽。)成立，/(無)在(-8,0)上單調(diào)遞增,

0|[/(x+O-/(%)]-[f(x)-f(x-r)]Mf{x+0-/(x)I-1/(x)-/(x-oI,

/(x+t)-f(x)>f(x)-/(x-o

國對于任意t>0總存在成立,

f{x+t)>f{x}>f{x-t)

回/(X)在R上單調(diào)遞增，得證.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問，利用絕對值的幾何意義及區(qū)間單調(diào)性，結(jié)合任意/>0存在％(x)=4(x),判

斷函數(shù)在實數(shù)域上單調(diào)性.

題型4一元二次不等式

i一元二次不等式在求解時應(yīng)當注意事項

I

(1)化標準：通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0,使二次項系數(shù)為正；

(2)①因式分解；②判別式：對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計算對應(yīng)方程的判別式;

i

(3)求實根：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實根；

I

(4)畫草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖；

(5)寫解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集。

i

W72024?上海徐匯一模)不等式f-4x+3<0的艇囊…

【答案】。，3)

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】通過因式分解利用一元二次不等式的解法求解即可.

【詳解】不等式爐-4彳+3<0化為(竄-1)(7<0,解得1<彳<3,

.?.不等式/一4彳+3<0的解集為。,3).

故答案為：(1,3).

2.(2024?上海奉賢?一模)已知xeR,則不等式d一工+2>0的解集為.

【答案】R

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】利用二次函數(shù)的判別式的符號，判斷不等式恒成立.

【詳解】因為△=1-8=-7<0,所以不等式x+2>0的解集為R.

故答案為：R

3.(2024?上海崇明?二模)不等式x(x-l)<0的解為.

【答案】(0,1)

【難度】0.94

【知識點】解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】利用一元二次不等式的求解方法可得答案.

【詳解】因為x(x-D<0,所以0cx<1.

故答案為：(0,1)

題型5對數(shù)不等式

工“756五王褥王蘇三禳V巨施廠反『屋"廠

A.a2>b2B.2a<2b

c.11D[0g,〃>]og7

22

【答案】A

【難度】0.94

【知識點】比較對數(shù)式的大小、由不等式的性質(zhì)比較數(shù)（式）大小、比較指數(shù)累的大小

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，及函數(shù)單調(diào)性，即可求解.

【詳解】a>b>0,

MUa2>b2,故A正確；

2">2J故B錯誤；

層>,故C錯誤;

log.^log,^故口錯誤.

22

故選：A.

2.（2024?上海嘉定?一模）函數(shù)y=log2（--l）的定義域為.

【答案】（f,T）U（l,—）

【難度】0.94

【知識點】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義，列出不等式求解即得.

【詳解】函數(shù)y=log2（--1）有意義,則無2一1>0,解得X<_1或X>1,

所以函數(shù)y=log。（尤?-1）的定義域為（-a）,-i）U（1,+°°）.

故答案為：（e,-i）U（L"）

題型6基本不等式及其應(yīng)用

1.幾個重要的不等式的變形

①片+片》2。匕（a、6ER）.；②?+022（a、6同號）；③［竺工礦）%、6CR）.

abI2J2

已知x>0,y>0,則

2.平均值不等式與最值

（1）若x+p=s（和為定值），則當x=y時，積盯取得最大值彳；

（2）若盯=夕（積為定值），則當x=p時，和x+p取得最小值2g；

即：兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值;

兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值。

1.（2024?上海靜安?一模）若用/替換命題“對于任意實數(shù)d，有屋20,且等號當且僅當&=0時成立"中的d,

即可推出平均值不等式“任意兩個正數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值，且等號當且僅當這兩個正數(shù)

相等時成立”.則/=.

【答案】Q加（答案不唯一，可以為揚-〃■或其它字母表示的表達式）

【難度】0.85

【知識點】基本不等式的內(nèi)容及辨析

【分析】根據(jù)給定的信息，取正數(shù)。力，作差變形推導(dǎo)即可得解.

【詳解】取正數(shù)。貝1]a+b-2?^=（6-揚y20,當且僅當a=人時取等號，

因止匕〃