大題預(yù)測03(A組+B組+C組)

【A組】

(建議用時(shí)：60分鐘滿分：75分)

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(14分)

2024年11月7日至"日昆明第二十一屆國際汽車博覽會(huì)在滇池會(huì)展中心舉行，華為展廳拿出來20個(gè)問界

M9汽車模型，其外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示:

雅丹黑外觀星河藍(lán)外觀

赤茶橘內(nèi)飾105

月影灰內(nèi)飾23

⑴若小張從這些模型中隨機(jī)拿出一個(gè)模型，記事件A為小張取到雅丹黑外觀的模型，事件B為小張取到月

影灰內(nèi)飾的模型，求尸(B)和P(B|A),并判斷事件A和事件B是否獨(dú)立;

⑵華為公司現(xiàn)場舉行了一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)定在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個(gè)汽車模型，

給出以下抽獎(jiǎng)規(guī)則：

①選到的兩個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)三種結(jié)果：即外觀和內(nèi)飾均同色，外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色；

②按結(jié)果的可能性大小設(shè)置獎(jiǎng)項(xiàng)，概率越小獎(jiǎng)金越高；

③該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金為：一等獎(jiǎng)760元，二等獎(jiǎng)380元，三等獎(jiǎng)190元.

請你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學(xué)期望.

【解析】(1)尸(B)=W=：,P(A)=^^=f,--------------------------------------------------------------------1分

204205

21

同時(shí)取到雅丹黑外觀和月影灰內(nèi)飾的模型有2個(gè)，即P(AB)=[=5，------------------------------------------2分

1

AW-1

B)---3131

P(BA)=c36-因?yàn)槭?A)P(B)=x—w—

2010

5

所以尸(A)P(B)wP(AB),即事件A和事件B不獨(dú)立.5分

(2)由題意知X=760,380,190,6分

則外觀和內(nèi)飾均同色的概率4=或+q目U=蓋

外觀和內(nèi)飾都異色的概率鳥=c*c；；c；c；=e=(,

JLJ*VzX7

僅外觀或僅內(nèi)飾同色的概率A=1-6-5=^,8分

91594

因?yàn)?->--->—，

19019019

QI594

所以尸(X=190)=旃，P(X=380)=—,P(X=760)=—,11分

則X的分布列為:

X190380760

91594

p

19019019

91594

E(X)=190x—+380x--+760x—=369(元).14分

19019019

16.(15分)

h—C

記VABC的內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊分別為。，b,c,且cosA=——.

2c

(1)證明：A=2C；

(2)若〃=2,且VABC為銳角三角形，求VABC的周長的取值范圍.

【解析】(1)由正弦定理，cosA=sin3—迎g,所以2sinCcosA=sin5-sinC.

2sinC

又A+B+C=TI,所以2sinCeosA=sin(A+C)-sinC,2分

所以sinAcosC—cosAsinC=sinC,所以sinC=sin(A-C),

因ACe(0,7i),所以C=A—C,即A=2C.----------------------------------------------------------4分

(2)因?yàn)橐籢=上=-^,所以——

sinAsinBsinC加sin2CsinC

因?yàn)閟in2c=2sinCcosC,所以c=--—.

cosC

因?yàn)锳=2C,所以3=7t-3C,--------------------------------------------------------------------7分

°<2C<I

IT回cosCJ也,E'

EIVABC為銳角三角形，0<兀一3C<一,0CG

222

A一「人2.2_2

因?yàn)閏osA=k，由余弦定理cosA="°，兩式聯(lián)立得"一°2=秘,-----------------------11分

2c2bc

4

又因?yàn)椤?2,代入上式/―02=A，得到匕=2—C,------------------------------------------------------------------12分

C

則6+c=4,且。=、€（孚,夜］,--------------------------------------------------------13分

ccosC（3J

所以4e（2夜,26），即b+cw（2應(yīng),2g）.所以周長的取值范圍為（2①+2,26+2）.--------------------15分

c

17.（15分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面上4￡>，底面A5CQ,PA=P￡>,底面ABCL（為平行四邊形,

BC=26,。。=石,石為邊5C的中點(diǎn)，ZBCD=~.

P

TT__3

⑵已知二面角尸-灰r-。的平面角等于則在線段AB上是否存在點(diǎn)M,使得M到平面P8C的距離為“

若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由.

【詳解】（1）因?yàn)锽C=2道，E為邊的中點(diǎn)，所以EC=g,

又在△OCE中，CD=?NBCD=J

由余弦定理可得EO=，6+3_2"*6、#=百，即N￡>EC=90。，則BC_LDE,----------------------------2分

又ABCD為平行四邊形，所以AD〃BC,則DE工AD,

又平面PAD_L底面ABC。，平面BlDc底面AFCD=AD,

所以￡）E_L平面PA￡）,又PAu平面PAD,所以。E_LR4.--------------------------------------------------------------5分

所以POLAD,

又平面PAD_1_底面ABCD,

所以PO_L底面ABC。，

又DE〃BO,所以3OLQ4,

所以O(shè)P,OA,03兩兩垂直.

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。A。氏。尸所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系：

6>（O,O,O）,A（V3,O,O）,B（O,V3,O）,C（-2^,A/3,O）,

設(shè)。尸=根，則尸（0,0,叫麗=（0,-五加）而=卜2白,0,0）,-----------------------------------------------------------8分

設(shè)平面P3C的法向量為為=（&%,4）,

n-BP=0

則一，

n-BC=0

取X=m,貝I］為=（0,加,代），-----------------------------------------------------------------10分

又平面A38的一個(gè)法向量為P=（O,O,1）,

…兀-----751

則cos—=cos<n,p>=一,,

3〃2

得加=3,即尸0=3.----------------------------------------------------------------------------------------------------------------12分

則平面P3C的一個(gè)法向量為乃=（0,3,退），

設(shè)礪=2旗，貝1」礪=卜伍圓。），

則建回工邁1,

4\n\273

解得2=；,即河為48中點(diǎn).------------------------------------------------------------------15分

18.(15分)

設(shè)函數(shù)/(%)=/一依一。21nx(aeR).

⑴當(dāng)a=2時(shí)，討論函數(shù)y=〃x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)awo時(shí)，曲線y=〃x)與直線y=相交于A(X”M，3(々,利)兩點(diǎn)，求證：尸(土產(chǎn)］>0；

(3)證明：一■H—H---1------<—ln〃(n>2,HGN*).

352n-l2

【解析】(1)當(dāng)a=2時(shí),/(x)=x2-2x-41nx,(x>0),

廣⑺—―UKI),----------------------------------------------------------------------1分

XX

xe(O,2)時(shí)，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

xe(2,y)時(shí)，r(x)>0,單調(diào)遞增-3分

2

(2)/(x)=-a2Inx+x2-cix,貝|—+2x-a,

由題意，知/(%)=機(jī)有兩解4，x2,不妨設(shè)玉<々，

要證即證一一——+x+x-a>0,

12J玉+%212

①若avO,貝1」為+%2—。>0；

八，、a2(2x+a\(x-a\,「八

②右〃〉0,由f(x)=----F2%—a=-------------知，---5刀

XX

/(元)在(0,4)上單調(diào)遞減，在(a,+00)上單調(diào)遞增，也有玉+X2>〃，綜合①②知，xx+x2>a,

2

所以只需證一--〈怨三(*).

xi+x2—a2

/%—%

2!

又一/in%+%；-axx-m,-aInx2+xf-ax2=m,???兩式相減，整理得--------=---------,

xx+x2-aIn%1-Inx2

_24一1]

代入(*)式，得再一：g|j_U2J+lnA<0.-—8分

In%Tn%2%

x2

令五=，(O<Z<1),即證一型—―+InZ<0.

/t+1

令夕⑺=_幺’l)+ln/(0</<1),則叫"=_/I+!=/"?>0,10分

\)t+1(r+1)-t(r+1)f

在（0』上為增函數(shù)，9?）＜9（1）=0,

A《牛;0成立.

11分

X._X、Xy+X、

⑶由⑵知,而

Inx?-In再x-x

故>21,X>,?。?=〃，%二〃一1,13分

2玉+W2

所以.一如Of

>---(n>2),

22n-l

貝己+工+…+1In2-In1+In3-In2+—bln〃一In(〃-1)1

——<---------------------------------------——^=—ln〃(n>2).15分

352〃一122

19.(16分)

221

已知雙曲線=1（。＞0*＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)是（6,0）,漸近線方程是y=±jx

⑴求雙曲線的方程;

⑵點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)A是雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸是雙曲線上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，若Z\M4P是正三角形,

求點(diǎn)M的坐標(biāo).

【解析】（1）因?yàn)闈u近線方程是y=±：x,得2=a=2b,

又。=亞,a2+b2=c2,即（2by+〃=（石『，整理得舫2=5,-―2分

丫2

解得：a=2,6=1,故雙曲線方程為土-丁=1

4'

（2）設(shè)直線AP的方程為x=ty+2,

匚2=]

聯(lián)立《4，一，可得02一4b2+49=0,

x=ty+2

根據(jù)題意小片0,-

4/

解得點(diǎn)P縱坐標(biāo)為小=言，代入x=iy+2

設(shè)線段AP的中點(diǎn)為N,依題意4（2,0）,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為-―9分

\4—Z4—Z）

設(shè)點(diǎn)M（0,機(jī)），因?yàn)锳WAP是正三角形，所以有MV_LAP,

2t

---2~m]

生4—,kAP=~,則由"NLAP得，kMN-kAP=-\,11分

It

------m

即生W—=-t,整理有：=所以=鼻①.

"7----13分

?\/4一￡

4^?

在正三角形AM4P中，有|MN|=由MM邛?AP|結(jié)合弦長公式得,

J1+(T>8,化簡得”土耳4.

lOx-r

代入①可得m=±—舍=±10g，所以點(diǎn)M(0,1073)或M(0,-10^).16分

4——

3

【B組】

（建議用時(shí)：60分鐘滿分：75分）

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（14分）

已知VASC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且空生等=生咚

sinAsinC

⑴求邊c；

（2）若tanC=2tanB,求VABC面積的最大值.

【解析】（1）法一：因?yàn)?空警=生哈

smAsinC

可得。sinC=2cosAsinC+2sinAcosC=2sin(A+C)=2sinB,

由正弦定理可得：bc=2b所以c=2；5分

、二一rny,Z7-2cosA2cosC,由正弦定理可得"24=型圖

法一：因?yàn)椤?一--=.「

smAsmCa

b2+c2-a2a2+b2-c2

由余弦定理得：beab

ac

化簡得：bc-b-『^2>2_2

,即bc=2〃，所以C=2.5分

bb

(2)法一：因?yàn)閠anC=2tanB,即sin。=約“、,貝(JsinCcos_B=2sinjBcosC,

cosCcosB

可得3sinCcos8=2sinBcosC+2sinCcosB=2sin(B+C)=2sinA8分

由正弦定理可得：3ccosB=2a，

又因?yàn)閏=2,所以3cos3=a,9分

133

所以VABC面積為：S=—acsinB=3cosBsinB=—sin2B<—,

222

TT

當(dāng)且僅當(dāng)知2X，即87時(shí)，等號(hào)成立,

3

所以VA2C面積的最大值為；；---------------------------------------------------------------14分

法二：因?yàn)閍=b=cEicsinA2sinA,csinB2sinB

--——,貝I]Q=-------------=--------------,b=---------=---------,

sinAsinBsinCsinCsinCsinCsinC

可得SABC；ab12sinA2sinB.-2sinA-sinB2sinA-sinB

^=sinC=—x--------x---------xsinC=-----------------=-----------------

2sinCsinCsinCsin(A+B)

2sinAsinB2tanA-tanB

=-----------------8分

sinAcosB+cosAsinBtanA+tanB

…八、tanB+tanC3tanB

又因?yàn)閠anA=-tan(B+C)=------------------=--------------10分

tanB-tanC-12tan2B-l

.3tan2B

2x-------------

百B曰S-2tanB-l_3<3_3

可用

3tanBo1—1i2

------5------+tanBtan5+------2

2tan2B-ltanB\1tanB

|IT.3

當(dāng)且僅當(dāng)tan人,，即人*，等號(hào)成立，所以V相C面積的最大值為萬；------------------14分

法三：因?yàn)閠anC=2tan3,可知B,C都為銳角，

如圖，作邊BC上的高AD,

貝1叱+切=6=4，

Ar)2AD

因?yàn)閠anC=2tan3則一=——，即BD=2CD,----------------------------------------------------------------------8分

CDBD

可得S-=；8。4。=9|皿乂。［叨乂。4,^^=《

7T

當(dāng)且僅當(dāng)如皿即時(shí)，等號(hào)成立，

3

所以VABC面積的最大值為萬；--------------------------------------------------------------14分

法四：因?yàn)閠anC=2tan_B,則5111(7853=251115以光。，

由正弦定理可得：ccosB=2bcosC,

由余弦定理可得‘+L="2+廳―。-，即4+302=302=12,---------------------------------------------------8分

2aa

由余弦定理可得：a2=b2+c2—2bccosA=b2+4—4Z?cosA,

b2-2

則12=/+3b2=4b2+4—4Z?cosA,化簡可得從-bcosA=2,即cosA=------------------------------10分

b

16.（15分）

設(shè)函數(shù)/（X）=彳2—2Atax（左>0）.

⑴當(dāng)左=4時(shí)，求函數(shù)/（尤）的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵試討論函數(shù)在區(qū)間。,加］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【解析】（1）當(dāng)左=4時(shí)，f（%）=x2-81nx,則的定義域是（0,+刃），-（X）=2X-§=&E,

XX

令/'（x）=0,得無=2或x=-2（舍去）.---------------------------------------------------------2分

當(dāng)x變化時(shí)，/'（無），〃x）變化情況如下表所示：

X(0,2)2(2,+oo)

廣⑺—0+

/（無）單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）,單調(diào)遞增區(qū)間為（2,+8）,

函數(shù)/'（X）在x=2處取得極小值/（2）=4_-881nn22,,無極大值.--------------------------------------5分

（2）由=f-2左lnx（%>0）可得尸（幻=2尤一生」（廠一：,尤>o,

XX

令r（x）=0,可得x=4,--------------------------------------------------------------------7分

當(dāng)0<x<次時(shí)，/'（%）<0,/（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x>4時(shí)，/'（x）>0,“X）單調(diào)遞增，

所以〃x）的最小值為了（點(diǎn)皿，-------------------------------------------------------9分

若函數(shù)/（x）有零點(diǎn)，則/■（〃）4（）,解得左Ne.-------------------------------------------------10

分

當(dāng)左Ne時(shí)，函數(shù)/（%）在（1,血］上單調(diào)遞減.

X/（l）=l>0,/（年e0,所以函數(shù)“X）在（1,刊上有一個(gè)零點(diǎn)；-----------------------12分

當(dāng)0<k<e時(shí)，函數(shù)“X）的最小值為正數(shù)，所以函數(shù)“X）在（1,6］上沒有零點(diǎn).------------------14分

綜上，當(dāng)he時(shí)，函數(shù)/（X）在（1,上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)0<%<e時(shí)，函數(shù)”X）在（1,五］上沒有零點(diǎn)。15分

17.（15分）

如圖，A3過球心0,圖中畫出的以A3為直徑的圓記為圓。，C為圓。上不同于A,8的動(dòng)點(diǎn)，。是球面

2

上不在圓。上的動(dòng)點(diǎn)，E為VABC的重心，尸在線段8。上且跳'=§8〃.

（1）證明：EF//平面ACD；

（2）當(dāng)三棱錐O-ABC體積最大時(shí)，求平面與平面ADC夾角的余弦值.

【解析】（1）連接3E并延長交AC于G點(diǎn)，連接DG,如圖，

2

因?yàn)镋為VABC的重心，所以=

因?yàn)锽尸=2BD,則些=四，所以EF//DG.

3BFBD

又EF（Z平面ACD,DGu平面ACD,

所以EF//平面ACD.------------------------------------------------------

（2）當(dāng)三棱錐ABC體積最大時(shí)，

平面平面A3C,且VABC和△ABD為等腰直角三角形,

設(shè)球半徑為2,貝I|AC=2C=A￡>=2Z）=2JI.

以。為原點(diǎn)，02為x軸，OC為y軸，

OD為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，---------------------6分

則A（-2,0,0）,2（2,0,0）1（0,2,0）。（0,0,0）,0（0,0,2）,尸1,0,￡|,?。，[，。），

所以麗=（0,-2,2）,而=（2,0,2）,^=，g,0,￡|,^=]-2,g,0）.-------------------------------------------------8分

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為為=（x,y,z）,

f-2y+2z—0/、

則2x：2z=0'取x=L則y=T，z=T,故萬=-----------------------------------11分

設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為沆=6,c）,

[44c

33

則2,取。=1,則6=3,c=l,故而=（1,3,1）.-----------------------------------------------------------14分

—2aH—Z7—0

[3

\m-n\3J33

設(shè)平面BEF與平面仞C所成角為0,則cos0=*==-----------------------------------------15分

\m\\n\<3xVI111

18.（15分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線G：W-y2=i（a>o）,離心率為名叵，點(diǎn)尸是C1上任意一點(diǎn).拋物線

。3

⑴求C1的方程;

⑵過點(diǎn)尸作C1的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于43兩點(diǎn)，求證：平行四邊形外。2的面積

為定值;

（3）PC,PD是G的兩條切線，C,D是切點(diǎn)，求△PC。面積的最小值.

【解析】（1）解：設(shè)雙曲線的焦半距為c,則c2=1+i,

又因?yàn)殡x心率為口叵,

3

所以9=2叵，

a3

代入得—+1,

解得a=6，

所以雙曲線G的方程為y-/=l.■4分

證明：設(shè)尸（%，%）,不妨設(shè)04為漸近線y=^x,為漸近線＞=-亭x,

直線AP的方程為＞一為=-q（x-x0）,-------------------------------------------------------------------------------------5分

y=~rx（yhh\、

聯(lián)立方程1廠，解得A7飛+丁先^二/+彳%，

…。=-三f）12262J

所以|OA|」"+為---------------------------------------------------------------------------------------------------------------7分

11Vf3l

同理可得3—4為，—gx0，所以―-----------------------------------8分

（2262J11V3

由于直線04的斜率左=@,因止匕NAQ%=30。，所以NAQ5=2NAQ%=60。，

3

所以平行四邊形908的面積為s=Q4.05?sinZAOB=網(wǎng)片一"；|,----------------------------9分

6

因?yàn)辄c(diǎn)尸在雙曲線。上，所以｝-尤=1,即尺-3/=3,

所以平行四邊形PA0B的面積為且.-----------------------------------------------------------10分

2

解：設(shè)尸（不，%），C6,%）,D（X2,y2）,

因?yàn)楹瘮?shù)了=：彳2的導(dǎo)數(shù)為V=尤，所以直線PC的方程為y-%=%（%-%）,

由于「（不，%）在直線PC上，則%-%=玉（%-%）=%%—2%,%+%=%百，--------------------12分

同理%+%=%%，

所以C&,%）,D（^,%）均滿足方程%+＞=%彳,

所以直線CD的方程為xox=y+yo,

聯(lián)立方程I/；：1：%，得/-2x°x+2%=0,

---------------------------------------------------------------------------13分

所以西+毛=2玉），占3=2%,

又因?yàn)槭街本€CD的距離d=一2：。1,-----------------------------------------------------------------------------------------14分

J1+X。

所以△PC。面積7=/。。以=］.；一24小年甌=（需一2%）5,

又因?yàn)槠湟?%=3%一2%+3=3（%-3）2+券3,

所以72（卑=心四，當(dāng)P為［土手，］時(shí)T取最小值更諉，

39133）9

所以APCD面積最小值為應(yīng)1.----------------------------------------------------------------------------------------------16分

9

19.（16分）

已知函數(shù)/（%）=e“-?-/?%-1,其中a/ER,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

⑴若〃=0,討論/'（%）的單調(diào)性；

⑵若6=0,對(duì)任意看,工￡［1,2］凸。12,都有2〃＜〃（％+/）,同時(shí)/（無）在（0,+8）上存在兩個(gè)極值

2再一X?

點(diǎn)相，n,求。的取值范圍.

【解析】（1）當(dāng)。=0時(shí)，f\x）=e-b,

640時(shí)，（（尤）＞0"。）在R上單調(diào)遞增，

人＞0時(shí)，尤40,1昉）,尸（力＜0,/（尤）在（O,1M）單調(diào)遞減，---------------------------------------3分

xe(lnb,+co),/'(x)>0,〃x)在(山上+⑹單調(diào)遞增,5分

/(x)-f(x?)/、

(2)設(shè)再<E，因?yàn)?2/〈為石+%),

2xx—X2

所以化簡得/(%)-依：>/(%)-辦;，設(shè)g(x)=f(x)-or>則g(&)>g(x2),-------------------------------------7分

則g(x)="X)-―在［1,2］單調(diào)遞減,

所以在xe［l,2］,g,(x)=/,(x)-2ox=ex-4ax<0,所以恒成立，---------------------------9分

X

設(shè)=//(x)=^^=e'(xT)30,則/i(x)在［1,2］單調(diào)遞增，則此1，

因?yàn)?(幻在(。,+⑹上存在兩個(gè)極值點(diǎn)如“，所以/'(x)=e'-2依=0有兩個(gè)根，則=2a在(。,+⑹上有兩

X

mn

個(gè)根，所以J=2Q=J,mwn,--------------------------------------------------------------------------------------------12分

mn

,幾.\e'］,(、ex-ee%(x-l)

漫力⑺=一，h\x)=——--=------,

則％41,"））,"（%）之0,/I（x）在［1,+8）單調(diào)遞增，則%￡（0,1）,〃（％）<0,久龍）在（0,1）單調(diào)遞減，所以

h(x)>/z(l),

所以所以2a>e,則。綜上〃>三.-----------------------------------------------15分

x22

【C組】

（建議用時(shí)：60分鐘滿分：75分）

四、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.（14分）

如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱尸底面ABCD,PD=CD,E是尸C的中點(diǎn),

EF_LM垂足為F.

⑵求證：P3_L平面。EF；

⑶求平面與平面DEF的夾角的余弦值.

【解析】（1）連接AC交3。于0,連接OE,

在AR4c中，0,E分別為AC,PC的中點(diǎn)，

所以PA//OE,又24a平面OEu平面BDE

PA//BDE3分

(2),??側(cè)棱尸￡>_1_底面ABCD,3Cu底面ABCD,:.PD±BC

又因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，BCVDC,4分

因?yàn)镻DcCD=D,電>,8<=平面尸6刀，，灰;_1平面尸6,

又DEu平面尸CD,:.BC±DE,

?.?PD=C￡),E是PC的中點(diǎn):.DELPC,5分

又BCcPC=C,8cpeu平面P3C,.?.DEL平面「3C,

因?yàn)镻3u平面P3C,:.DELPB,

又PBLEF,DEp[EF=E,。^，^(^平面0瓦丁,//工平面心跖.7分

(3)以。點(diǎn)為原點(diǎn)，OA,DC,。尸所在的直線分別為x,>,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

■9分

設(shè)〃=(x,y,z)是平面BDE的一個(gè)法向量,

"z=。

nl.DE22

由<一得：

nYDBx+y=0

令尤=1，得y=-l,z=l,所以平面DEB的一個(gè)法向量■=(1,-1,1),11分

顯然，麗=(1,1,-1)是平面DEF的一個(gè)法向量,

PB-n1

設(shè)a為平面DEF與平面BDE的夾角，；.cosa=|—~—1=

\PB\-\n\3

即平面DEF與平面BDE的夾角的余弦值g

14分

16.(15分)

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且S“=2%-2向，數(shù)列也｝滿足勿=log,&.

n+1

⑴證明：申為等差數(shù)列；

(2)求數(shù)歹U｛2｝的前〃項(xiàng)和7；；

n+1

⑶若不等式(1+7)<1+7)…(1+^—)之若.，匕2〃+1對(duì)〃￡N*都成立,求根的最大值.

4,3“2n-l

［解析］(1)當(dāng)年=1時(shí),%=R=2q-4,則a1=4,

當(dāng)〃22時(shí)，g=S“—S“T=2%—2m—(2%_「2〃)，則〃〃—22一］=2〃，------------------------------2分

即今一若=1，因此｛黑｝是以彳=2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

貝母=〃+1，%=(〃+1>2”.------------------------------------------------------------------------------------------------------4分

2

(2)由(1)得衛(wèi)=(”+1).4",

n+1

7；=2x4+3x42+■?■+(?+1)-4",-------------------------------------------------------------------------------------------------6分

貝(J47；=2x4?+3x43+…+加4"+(〃+1>4"+1,

貝“一37；=2x4+42+43+…+4“_伽+1)-4.=4+4(：_：)_5+1).4"+|=|_(4/+|)-4",

1QO

所以(=§(4〃+3)?4”-§；----------------------------------------------------------------------------------------------------------9分

(3)bn=log2=logo2"=n,不等式(1+?>(1+；)…(1+^-)之川7^7,

"M+144b2n-l

即(i+i)(i+3…(i+'amRo租對(duì)任意正整數(shù)〃都成立，——I1分

32n-ly/2n+l

A(1+D(1+?)…(1+1)mir(1+1)(1+^)???(1+)(1+—)

十f(n)=------------321，則以"+1)=----3——2n-l——2n+l_,

貝出窯”數(shù)列｛〃，)｝是遞增數(shù)列，------------------------分

因此75)2/⑴=竿，即機(jī)4竽，所以實(shí)數(shù)加的最大值為孚.-------------------------------15分

17.(15分)

在數(shù)軸的坐標(biāo)原點(diǎn)放置一個(gè)機(jī)器人，它每過1秒都將以1?的概率向數(shù)軸正方向或負(fù)方向移動(dòng)1個(gè)單位長度，

機(jī)器人每次經(jīng)過-2或3時(shí)都會(huì)向雷達(dá)發(fā)送一次信息，且雷達(dá)會(huì)瞬間收到.設(shè)事件｛4｝表示"機(jī)器人的前〃次

移動(dòng)均未向雷達(dá)發(fā)送信息

⑴求尸(4),尸(4)；

(2)已知①②兩個(gè)結(jié)論：①尸(Aj4)<l；②設(shè)｛X“｝(〃eN*)是一列無窮個(gè)事件，若存在正數(shù)N,對(duì)于任

意的〃均有￡