2025年浙江省寧波市江北區(qū)中考一模

數(shù)學(xué)模擬試卷

選擇題（每小題3分，共30分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.已知下列各數(shù)：—2最3.14,0,—0.2,6」其中負(fù)數(shù)有（）個(gè)

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

2.下列運(yùn)算正確的是（)

A.a3-a2=a6B.(%3)3=x6

C.x5+%5=%10D.(一泌)5+(—ab)2=-a3b3

3.如圖所示的幾何體由一個(gè)圓柱體和一個(gè)長方體組成,它的主視圖是（）

主視方向

4.從甲，乙，丙，丁四名同學(xué)中選出一名同學(xué)參加數(shù)學(xué)搶答競賽，四名同學(xué)數(shù)學(xué)平時(shí)成績的平均數(shù)及方差

如下表所示：

甲乙丙T

平均數(shù)（分）96939898

方差（分2）3.53.33.36.1

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從這四名同學(xué)中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)去參賽，那么應(yīng)該選的同學(xué)是

）

A.甲B.乙c.丙D.T

5.在△43c中/C=90°,tanA=、則sE4=()

A.逗B.2C.擠D.3A0

103410

6.如圖,四邊形4BCD與四邊形EFGH位似淇位似中心為點(diǎn)0,且。E=及4,則四邊形力BCD與四邊形

A.1:2B.2:1C.1:4D.4:1

7.如圖，等邊△43。內(nèi)接于。。，點(diǎn)E是弧DC上的一點(diǎn)，且4D。。=90。,貝UADEC-的度數(shù)為

C.105°D.100°

8.出口貿(mào)易是我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要因素，由于出口貿(mào)易持續(xù)增長,一企業(yè)生產(chǎn)某種商品的數(shù)量增加明

顯.已知今年生產(chǎn)該商品的數(shù)量比今年和去年生產(chǎn)的數(shù)量總和的一半多11萬件,去年的數(shù)量比今年和

去年生產(chǎn)數(shù)量總和的三分之一少2萬件.設(shè)今年生產(chǎn)該商品的數(shù)量為x萬件，去年生產(chǎn)該商品的數(shù)量為

y萬件,根據(jù)題意可列出的方程組是（）

（1

%=式％+y）-11久=§（久+y）+11

A.B.

1（）

、y=2（久+y）+2y=1%+y-2

'1

k=2（x+y）-11%=2（%+y）+11

C.D.彳i

（（）

y=gx+y+2、y=爐+y）-2

9.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的OA邊在x軸的正半軸上QC邊在y軸的正半軸上，點(diǎn)B

的坐標(biāo)為（4,2），反比例函數(shù)y=0）的圖象與BC交于點(diǎn)D,與對(duì)角線OB交于點(diǎn)E,與AB交于

點(diǎn)F,連接OD,DE,EF,DF.下列結(jié)論：①sin/DOC=cos/BOC,②0E=BE,③S^DOE=

5.￡尸，@。。：。尸=2:3.其中正確的結(jié)論有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

10.已知以和當(dāng)均是以尤為自變量的函數(shù),a為實(shí)數(shù).當(dāng)％=加時(shí),函數(shù)值分別為Mi和M2,若存在實(shí)數(shù)犯使

得a=M2.則稱當(dāng)和當(dāng)為友好函數(shù)，以下月和當(dāng)不一定是友好函數(shù)的是（）

A.%=/+2久和%=3x+1B.J/】=/+。一；和丫？=一。久+與

C.丫1=-|和巧=》-3D.y1=寫^和＞2=X+a

二,填空題（每小題4分，共24分）

11.1+8的小數(shù)部分是.

（1

X+TTV=11

12.若（，則代數(shù)式/—±儼+1的值為.

x—77y=—3

13.一個(gè)不透明的盒子里，裝有除顏色外無其他差別的白珠子2顆和黑珠子若干顆，每次隨機(jī)摸出一顆

珠子，放回?fù)u勻后再摸，通過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)摸到白珠子的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則盒子中黑珠子可能有

顆________

14.如圖，在△ABC中，BDLAC于點(diǎn)D,BD=1,乙4=45。，ZC=30。，貝!J△ABC的面積

為1

15.如圖所示是拋物線y=a/+bx+c的部分圖像，圖像過點(diǎn)（3,0），對(duì)稱軸為直線x=l,有下列四個(gè)

結(jié)論：

①abc<0,0a-b+c=0,③y的最大值為3,④方程a/+bx+c+l=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中

正確的為。

16.“三等分一個(gè)任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題.“今天人們已經(jīng)知道，僅用圓規(guī)和直尺是不可能作出

的，在探索中，有人曾利用過如圖所示的圖形，其中/BCD是長方形尸是延長線上一點(diǎn),G是CF上一點(diǎn),

并且NACG=AAGC,AGAF=若"=15。,GF=4,則長方形ABC。的面積為

三,解答題(本大題有8小題,共66分)

17.(1)化簡：x(x+2)—(%—I)2—4%

1

(2)先化簡，再求值：(。+26)2+9+28)6-2幼,其中。=-1/=白

4

18.如圖，在直角坐標(biāo)系中,△ABC各頂點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)都是整數(shù).

(1)作出△ABC關(guān)于％軸對(duì)稱的圖形AA/iQ.

(2)求△ABC的面積

19.已知關(guān)于X的方程%2—2%+爪=1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

(1)求m的取值范圍.

(2)如果m為非負(fù)整數(shù)，且該方程的根都是整數(shù)，求m的值.

20.某工廠進(jìn)行廠長選拔，從中抽出一部分人進(jìn)行篩選，其中有“優(yōu)秀”，“良好”，“合格”,“不合格”.

(1)本次抽查總?cè)藬?shù)為，“合格”人數(shù)的百分比為.

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格人數(shù)”的度數(shù)為.

(4)在“優(yōu)秀”中有甲乙丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為

21.小嘉騎自行車從家出發(fā)沿公路勻速前往新華書店，小嘉媽媽騎電瓶車從新華書店出發(fā)沿同一條路

回家，線段。4與折線B-C-D-E分別表示兩人離家的距離y(km)與小嘉的行駛時(shí)間t(h)之間的

函數(shù)關(guān)系的圖象，請(qǐng)解決以下問題.

(1)求。A的函數(shù)表達(dá)式.

(2)求點(diǎn)K的坐標(biāo).

(3)設(shè)小嘉和媽媽兩人之間的距離為S(km),當(dāng)SW3時(shí)，求t的取值范圍.

22.如圖所示,在矩形4BCD中,對(duì)角線AC的垂直平分線分別交于點(diǎn)E,F,連接CE,AF.

(1)求證：四邊形ZECF是菱形.

(2)若力B=4,BC=8,求菱形AECF的面積.

23.【定義】

例如，如圖1,過點(diǎn)A作ZB1人交。于點(diǎn)B,線段AB的長度稱為點(diǎn)A到。的垂直距離，過A作4c平行

于y軸交%于點(diǎn)C,AC的長就是點(diǎn)A到。的豎直距離.

當(dāng)。與x軸平行時(shí),/B=AC.

當(dāng)。與x軸不平行，且直線確定的時(shí)候，點(diǎn)到直線的垂直距離48與點(diǎn)到直線的豎直距離4c存在一定

的數(shù)量關(guān)系,當(dāng)直線人為y=|x+1時(shí),AB=AC.

【應(yīng)用】

如圖2所示，公園有一斜坡草坪，其傾斜角為30。,該斜坡上有一棵小樹（垂直于水平面），樹高2m,現(xiàn)

給該草坪灑水，已知小樹的底端點(diǎn)A與噴水口點(diǎn)O的距。A=2m,建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，

在噴水過程中，水運(yùn)行的路線是拋物線y=-/+bx,且恰好經(jīng)過小樹的頂端點(diǎn)B,最遠(yuǎn)處落在草坪的C

處.

（1）b=.

（2）如圖3,現(xiàn)決定在山上種另一棵樹MN（垂直于水平面），樹的最高點(diǎn)不能超過噴水路線，為了

加固樹，沿斜坡垂直的方向加一根支架PN,求出PN的最大值.

【拓展】

(3)如圖4,原有斜坡不變，通過改造噴水槍，使得噴出的水的路徑近似可以看成圓弧，此時(shí)，圓弧與y

軸相切于點(diǎn)O,若此時(shí)0C=48m,如圖，種植一棵樹MN(垂直于水平面)，為了保證灌溉,請(qǐng)求出MN最

高應(yīng)為多少？

24.如圖，△力BC中,AB=BC,以力C為直徑的O。分別交邊AB,BC于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)4作。。的切線交CB

的延長線于點(diǎn)F.

(2)若AF=8,cos^BAF=去求BC和DE的長.

答案解析部分

1.B

2.D

3.B

解：從正面看下面是一個(gè)比較長的矩形，上面是一個(gè)比較窄的矩形.

故選:B.

利用從正面看得到的幾何圖形解答即可.

4.C

解：V93<96<98.

二丙和丁的平均水平較高.

V3.3<3.5<6.1.

..?乙和丙的成績較穩(wěn)定.

要從這四名同學(xué)中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的同學(xué)去參賽，那么應(yīng)該選的同學(xué)是丙.

故答案為：C.

利用表中數(shù)據(jù)可知丙和丁的平均水平較高，由方差可知乙和丙的成績較穩(wěn)定，據(jù)此可得到成績好且發(fā)

揮穩(wěn)定的同學(xué).

5.A

6.B

7.C

8.D

解：設(shè)今年生產(chǎn)該商品的數(shù)量為x萬件，去年生產(chǎn)該商品的數(shù)量為y萬件.

(%=i(x+y)+11

由題意得2]

(y=3(x+y)-2

故答案為：D.

設(shè)今年生產(chǎn)該商品的數(shù)量為x萬件，去年生產(chǎn)該商品的數(shù)量為y萬件，根據(jù)“該商品的數(shù)量比今年和去

年生產(chǎn)的數(shù)量總和的一半多11萬件，去年的數(shù)量比今年和去年生產(chǎn)數(shù)量總和的三分之一少2萬件”即

可列出二元一次方程組，進(jìn)而即可求解。

9.A

10.B

解：A,當(dāng)%=丫2,則/+2%=3久+1,整理x2-x-l=0.

A=(-1)2-4xlx(-1)=5>0.

...存在實(shí)數(shù)科使得Ml=知2.則稱y1和丫2為友好函數(shù)，故不符合題意.

B,當(dāng)丫廣當(dāng)，則/+a-3=—a%*整理x2+ax+*a1=0.

△=a2-3a+2.

當(dāng)l<a<2時(shí),△<0,當(dāng)=丫2無解.

...不一定存在實(shí)數(shù)m,故符合題意.

C,當(dāng)當(dāng)="，則—1=久—3,整理x2-3x+2=0.

△=9-8=1>0.

.?.存在實(shí)數(shù)m,故不符合題意.

D,當(dāng)%=丫2,則=x+a,整理x2+ax-a-2=0.

△=a?+4a+8=(a+2)2+4>0.

.?.存在實(shí)數(shù)m,故不符合題意.

故答案為：B.

根據(jù)友好函數(shù)的定義,直接令以=丫2,建立關(guān)于X的方程，若方程無解即得結(jié)論.

11.V3-1

解：?/1<V3<2

/.2<1+V3<3

..?1+V5的整數(shù)部分為2

二小數(shù)部分為1+V3-2=V3-1

故答案為：V3-1

估算無理數(shù)的范圍,求出整數(shù)部分，則小數(shù)部分為該無理數(shù)減去整數(shù)部分，即可求出答案.

12.-2

13.8

14.1+用

2

解：在小ABD中,NA=45o,NADB=90。.

NABD=45。=NA,二AD=BD=1.

在小CBD中,NC=30°,NBDC=90°.

ABC=2BD=2.

?**CD=VfiC2-BD2=V22-l2=V3

；.AC=AD+CD=1+8

**?△ABC的面積為：1x^1CXBDX(1+V3)X1

故答案為：竽

先根據(jù)含有特殊角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出AD,CD,得AC,再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算

AABC的面積。

15.①②④

解：???拋物線開口向下，與y軸交于正半軸.

?,?a<0,c>0.

???拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-/=1,且過點(diǎn)(3,0).

b=-2a>0,拋物線過點(diǎn)(—1.0).

???abc<0,a—b+c=0.

???①正確，②正確.

???拋物線開口向下，對(duì)稱軸是直線久=1.

.?.當(dāng)x=1時(shí),y有最大值=a+b+c=a—2a+(-3a)=—4a.

其值與a有關(guān).

.?.③錯(cuò)誤.

方程a/+久+c+1=0的根即是y=ax2+bx+c的圖象與y=—1的交點(diǎn).

由圖象知,y=ax2+bx+c的圖象與y=—1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).

??.④正確.

故答案為：①②④

根據(jù)函數(shù)的開口反方向結(jié)合二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到a<0,c>0,進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸結(jié)

合題意即可得到b=—2a>0,拋物線過點(diǎn)(-L0),從而得到abc<O,a-b+c=0即可判斷①和②，根

據(jù)開口方向結(jié)合二次函數(shù)的最值即可得到當(dāng)％=1時(shí),y有最大值=a+b+c=a-2a+(-3a)=

-4a,其值與a有關(guān)，進(jìn)而判斷③，根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的綜合結(jié)合二次函數(shù)的圖象即可判斷

④.

16.8

解：...四邊形ABCD是長方形.

.-.AD//BC,ZD=ZBCD=90°.

.\ZECB=ZF=15O.

ZGAF=ZF=15°.

???NAGC=NGAF+NF=30°,AG=FG=4.

■:NACG=NAGC.

ZACG=30°,AC=AG=4.

???ZACD=90°-ZACG-ZECB=45°.

/.△ACD是等腰直角三角形.

???AD=CD=g=2V1

V2

工長方形4BC0的面積為：2魚X2V2=8.

故答案為：8.

根據(jù)長方形的性質(zhì)求出AD//BC,ND=NBCD=90。,再證明△ACD是等腰直角三角形，最后計(jì)算求解即

可。

17.(1)-1,(2)2a2+4ab,l

18.(1)解:如圖:

X

(2)解:S4ABe=4x7-jx2x3-Jx5x4-|xlx7=28-3-10-3.5=11.5

(1)根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找到點(diǎn)出、BQJ,然后順次連接即可.

(2)用一個(gè)長方形的面積減去三個(gè)三角形的面積計(jì)算△4BC的面積.

19.(1)m<2

(2)m=1

20.(1)50A,40%.

(2)解：不合格的人數(shù)為：50x32%=16.

補(bǔ)全圖形如下：

(3)115.2°

(4)I

解：(1)本次抽查的總?cè)藬?shù)為8+16%=50(人).

“合格”人數(shù)的百分比為1—(32%+16%+12%)=40%.

故答案為：50人,40%.

(3)解：扇形統(tǒng)計(jì)圖中“不合格”人數(shù)的度數(shù)為360。X32%=115.2。.

故答案為：115.2°.

(4)列表如下：

甲乙丙

甲(乙，甲)(丙，甲)

乙(甲，乙)(丙，乙)

丙(甲，丙)(乙，丙)

由表知，共有6種等可能結(jié)果，其中剛好抽中甲乙兩人的有2種結(jié)果.

所以剛好抽中甲乙兩人的概率為"=￡

63

故答案為：事.

(1)利用優(yōu)秀人數(shù)與它所占百分比得到總?cè)藬?shù)，然后利用百分比之和為1得到合格人數(shù)所占百分比,

(2)運(yùn)用總?cè)藬?shù)乘以不合格人數(shù)占百分比求出人數(shù)，再補(bǔ)全直方圖，(3)根據(jù)360。乘以“不合格人數(shù)

的百分比解題即可.

(4)利用列表得到所有等可能結(jié)果,從中找到抽中甲乙兩人的有2種結(jié)果數(shù)，然后利用概率公式解題

即可.

21.(1)解：過原點(diǎn)。(0,0)設(shè)。4的函數(shù)表達(dá)式為丫=血尢(血中0).

把力(0.8,8)代入可得：m=10

".y=10%

，。人的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=10%.

(2)設(shè)線段CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b(kW0),：0(0.1,8),0(050)在直線CD上.

?fO.l/c+b=8(k=-20

**to.5fc+fo=0，解得:Ib=10

直線CD的解析式為：y=—20x+10

1

-

-f丫=1成解得?k=3

ty=-20%+1=103

.?.點(diǎn)K的坐標(biāo)為:G，學(xué))?

(3)解：當(dāng)小嘉和媽媽相遇前：—20久+10—10x〈3,解得久25

當(dāng)小嘉和媽媽相遇后：10%+20%-10<3,解得x<

的取值范圍為：^<%<

(1)把4(0.8,8)代入求出m值即可解題.

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線CO的解析式，然后利用方程組求交點(diǎn)即可.

(3)分相遇前和相遇后兩種情況列不等式求解集即可.

22.(1)證明過程見解答

(2)20

23.探索：等

應(yīng)用：⑴2V3

(2)解：由(1)知,A(g，l),設(shè)直線OC的解析式為y=丘,則遍k=1.

解得：卜=卻

V3

???y=-yx-

如圖，設(shè)M，，?，則可也—/+2V3t).

???zl=30°.

.??42=60°.

?：MN||y軸

???乙NMP=42=60°.

???NP1OC.

???乙NPM=90°.

2

PN=MN-sin乙NMP=（一針+怨t）.sin60。=（一t2+早t）x^=一字,一祟）+^|^-

43

”2<0，

.?.當(dāng)t=孥時(shí),PN取得最大值綏I

624

答：PN的最大值為藜.

24

【拓展】

如圖，取。C的中點(diǎn)G,作GH1OC交%軸于點(diǎn)4,延長HG交圓弧于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作MN||y軸交OC于點(diǎn)M,此

時(shí)MN最大.

OC=4V3m,HG1OC.

OG=2OC=2Vsm.

在Rt△OGH^^COH=30°.

???GH=OG?tanzCOH=2V3tan30°=2^/3x字=2(m)?

OH=2GH=4m.

又???HN=OH=4m.

??.NG=HN-GH=4—2=2(m).

Z1=30°.

???Z2=90°-30°=60°.

?:MN||y軸.

???乙NMG=42=60°.

???乙NGM=90°.

后,

.#.rNG24、

smzJVMGsin6003、)

答：MN最I(lǐng)WI應(yīng)為

探索：解：?.?直線。為y=2%+l，如圖,設(shè)直線Zi與％、y軸分別交于Q、P點(diǎn).

令x=0,得y--1.

；.P(0,l),即OP=1.

令y=0,W|x+1=0.

解得：%=-2.

；.Q(-2,0)WOQ=2,

PQ='OP?+OQ2=Vl2+22=V5,

'：AC||y軸.

z.1=/.ACB.

???Z1=LQPO.

，Z-ACB=Z-QPO.

???/-ABC=（QOP=90°.

，△ABC~&QOP.

AB_OQ_2_2V5

'衣=而=西=丁

AB=等4。

故答案為：竽.

應(yīng)用：（1）如圖，延長B4交支軸于點(diǎn)“，則乙4"。=90。.

???乙4。曰=30°,OA=2m.

???AH=^OA=Im,OH=OA-cos^AOH=2cos30°=2X堂=弁

4z

AB=2m.

BH=AB+AH=2+1=3(m).

B(V3-3).

把B(g，3)代入y=-x2+bx得:—3+=3.

解得：b=2A/3-

故答案為：2

探索：設(shè)直線及與久、y軸分別交于Q、尸點(diǎn)，先出P(0,l),Q(-2,0)根據(jù)勾股定理求得PQ=踽,根據(jù)直

線平行性質(zhì)可得21=乙1CB,再根據(jù)角之間的關(guān)系可得乙4BC=乙QOP=90。,由相似三角形判定定理

可得△ABCfQOP,則縹=*=婆，化簡計(jì)算即可求出答案.

應(yīng)用：⑴延長BA交支軸于點(diǎn)“，則乙4H。=90。,利用解直角三角形可得B(點(diǎn)3),根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)

8(g，3)代入丫=-%2+bx,即可求得答案.

(2)設(shè)直線OC的解析式為y=kx,根據(jù)待定系數(shù)法將點(diǎn)A坐標(biāo)代入解析式可得直線。C的解析式y(tǒng)=

梟設(shè)亭)，則N(t,-t2+2屈),根據(jù)兩點(diǎn)間距離可得"N=—#+季t，再根據(jù)正弦定義可得

2

PN=-學(xué)(”消+等，運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

拓展：取OC的中點(diǎn)G,作GH1OC交無軸于點(diǎn)H,延長HG交圓弧于點(diǎn)N,過點(diǎn)N作MN||y軸交。C于點(diǎn)M,此

時(shí)MN最大，運(yùn)用垂徑定理可得OG