4二次根式

分值：50分時間30分鐘

一、選擇題（15分）

1.（2024?云南?中考真題）式子石在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

A.x>0B.x>0C.x<0D.x<0

2.（2024?重慶?中考真題）估計至（逝+退）的值應在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

3.（2024?山東濟寧?中考真題）下列運算正確的是（）

A.72+73=75B.V2XA/5=710

C.2+&=lD.J（-5）2=-5

4.（2024?四川德陽?中考真題）將一組數(shù)點,2,n,20,JQ,2也，，后,,按以下方式進行排

列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個數(shù)是（）

A.772B.80C.屈D.40

5.（2024?四川南充?中考真題）如圖，已知線段A3,按以下步驟作圖：①過點6作

使=連接AC；②以點C為圓心，以BC長為半徑畫弧，交AC于點"③以點/為圓心,

2

以AD長為半徑畫弧，交A3于點￡.若=則〃的值為（）

C.y/5-lD.75-2

二、填空題（15分）

6.（2024?河北?模擬預測）若a的倒數(shù)是。，則正的值為.

O

7.（2024?吉林?模擬預測）比較大小：2百6.（填“>”或“<”）

8.（2024?吉林長春?二模）正與最簡二次根式2J2/W+1是同類二次根式,則7的值為

9.（2024?廣東?模擬預測）若恒有式子,則實數(shù)x的取值范圍是.

10.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為1,M、N是逸BC、CO上的動點.若

AMAN=45°,則MN的最小值為.

三、簡單題（20分）

11.（2024?甘肅?中考真題）計算：屈一如X、"

12.⑵24深圳）先化簡'再求值：［一亮卜日尋'其中”a+1

13.（2024?廣東?模擬預測）【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、

運算法則、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論.

【發(fā)現(xiàn)問題】小明在計算時發(fā)現(xiàn)：對于任意兩個連續(xù)的正整數(shù)0、n,它們的乘積q(q=nm)與較大

數(shù)的和一定為較大數(shù)的平方.

(1)舉例驗證：當根=4,〃=5,則^+n=4x5+5=25=52

(2)推理證明：小明同學做了如下的證明：

設機＜〃，勿、〃是連續(xù)的正整數(shù)，

/.n=m+l；?:q=mn,/.q+n-mn+n-n(jn+\)=TT.

q+w一定是正數(shù)n的平方數(shù).

【類比猜想】小紅同學提出：任意兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方.

請你舉例驗證及推理證明；

【深入思考】若p=[q+2n+dq-2m(m,〃為兩個連續(xù)奇數(shù)，。＜根＜〃，4=〃的),求證：0一定是

偶數(shù).

14.(2024?河北?中考真題)情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心。為頂點的等腰直角

三角形后得到的.該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示.

（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形.

如圖3,嘉嘉沿虛線砂，G8裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接.根

據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題:

圖4

（1）直接寫出線段族的長;

（2）直接寫出圖3中所有與線段BE相等的線段，并計算8E的長.

探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形.

請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的邊上找一點戶（可以借助刻度尺或圓規(guī)），

畫出裁剪線（線段尸。）的位置，并直接寫出8尸的長.

圖5

答案:

一、選擇題（15分）

1.（2024?云南?中考真題）式子小在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無的取值范圍是（）

A.x>0B.x>0C.x<0D.x<0

【答案】B

【詳解】解：???式子石在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

的取值范圍是xNO.

2.（2024?重慶?中考真題）估計厄（及+6）的值應在（）

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.n和12之間

【答案】C

【詳解】解：???屈（應+若）=2#+6,

W4<A/24=2A/6<5,

/.10<2A/6+6<11,

3.（2024?山東濟寧?中考真題）下列運算正確的是（）

A.A/2+>/3=A/5B.艮辨

C.2-:-5/2=1D.J（-5）2=-5

【答案】B

【詳解】A.應與否不能合并，所以A選項錯誤；

B.所以B選項正確；

C.2+0=j4=2=&，所以C選項錯誤；

D.J（-5）2=卜5|=5,所以D選項錯誤.

故選：B.

4.（2024?四川德陽?中考真題）將一組數(shù)應,2,癡,2a'，質(zhì),2"后,,按以下方式進行排

列：

第一行V2

第二行2V6

第三行2VIV102V3

則第八行左起第1個數(shù)是（）

A.7及B.8A/2C.屈D.4A/7

【答案】C

【詳解】解：由圖可知，第一行共有1個數(shù)，第二行共有2個數(shù)，第三行共有3個數(shù)，

歸納類推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28個數(shù)，

則第八行左起第1個數(shù)是反方=屈，

5.（2024?四川南充?中考真題）如圖，已知線段按以下步驟作圖：①過點6作3CJLAB,

使8C=gAB,連接AC；②以點C為圓心，以2C長為半徑畫弧，交AC于點"③以點/為圓心,

以AD長為半徑畫弧，交A8于點反若=則m的值為（）

?A/5—1RA/5—2

C.布-1D.V5-2

22

【答案】A

【詳解】解：?.?BC，AB,

JZABC=90°,

*.*BC=—AB,設AB=a

2

BC=-a,

2

由題意得：AD=AE,CD=BC=；a,

AE=AD=AC-CD=~a--a=^::^a

222

AE=mAB,

.A/5—1

??m=----

2

二、填空題（15分）

6.（2024?河北?模擬預測）若a的倒數(shù)是:，則面的值為

O

【答案】2夜

【詳解】解：的倒數(shù)是。,

O

??a=8,

\[a=y/s=2-\/2;

7.（2024?吉林?模擬預測）比較大?。?石6.（填“>”或）

【答案】<

【詳解】解：（2有『=12,6?=36,

12<36,

2/<6.

8.（2024?吉林長春?二模）A/7與最簡二次根式2J2m+1是同類二次根式,則m的值為.

【答案】3

【詳解】與最簡二次根式20/1是同類二次根式，

2m+1=7,

解得m=3,

9.（2024?廣東?模擬預測）若恒有式子J（尤-1）?=尤-1,則實數(shù)尤的取值范圍是.

【答案】x>l

【詳解】解：=x-l,

x—120,

解得：X>1,

故答案為：X>1.

10.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為1,M、N是邊BC、CD上的動點.若

ZMAN^45°,則MN的最小值為.

【詳解】解：：正方形ABCD的邊長為1,

AD=AB=BC^CD=\,ZBAD=ZABC=ZC=ZD=90°,

N

DC

/

--------\B

'、、I

、、I

、、I

7P

將△AON順時針旋轉(zhuǎn)90。得到貝UADNWABP,

：.ZDAN=ZBAP,"=ZABP=90°,AN=AP,DN=BP,

:.點、P、B、M、C共線，

ZMAN=45°,

：.ZMAP=ZMAB+BAP=ZMAB+DAN=90°-ZMAN=45°=/MAN,

VAP=AN,NMAP=NMAN,AM=AM,

：..MAP^^MAN（SAS）,

：.MP=MN,

：.MN^MP=BM+BP=BM+DN,

設CN=a,CM=b,則ZW=l—a,BM=l-b,

:.MN=BM+DN=2—a—b,

:ZC=90°,

CN-+CM2=MN1,HPa2+b2=（2-a-b）2,

整理得：（2-a）（2-b）=2,

:.MN=2—a—b

=-2+（2-a）+（2-Z?）

=-2+

=-2+^2-a^-2yl2-a-y/2-b+（yf2^b^+2y/2-a-yl2^b

=-2+（j2-a-j2-6『+2^/（2-a）（2-Z?）

>-2+2^（2-?）（2-&）

=-2+20,

當且僅當J2-a=J2-6,即2—a=2—匕=應，也即a=6=2—0時，M2V取最小值一2+2&,

故答案為：-2+20.

三、簡單題（20分）

11.（2024?甘肅?中考真題）計算：V18-V12x^|.

【答案】0

【詳解】7T8-Vi2x^|=VT8-^12X|=718-A/18=0.

12.（2024深圳）先化簡，再求值：fl一一\］二-2：+1,其中。=亞+1

Ia+1）<7+1'—」

【答案】工，巫

〃—12

【詳解】解：fl--二］十八2：+1

I6Z+1y〃+1

/__2］：ST）?

（〃+16Z+1y〃+1

。-16Z+1

Q+1（4-1）2

1

CL—1

當a=^2+］時，原式=—j=------=—j==——?

V2+1-1V22

13.（2024?廣東?模擬預測）【代數(shù)推理】代數(shù)推理指從一定條件出發(fā)，依據(jù)代數(shù)的定義、公式、

運算法則、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等證明已知結(jié)果或結(jié)論.

【發(fā)現(xiàn)問題】小明在計算時發(fā)現(xiàn)：對于任意兩個連續(xù)的正整數(shù)?n,它們的乘積q（q=mn）與較大

數(shù)的和一定為較大數(shù)的平方.

（1）舉例驗證：當機=4,〃=5,貝!］q+〃=4*5+5=25=52

（2）推理證明：小明同學做了如下的證明：

設機<〃，0、A是連續(xù)的正整數(shù)，

/.n=m+l；?:q=mn,/.q+n-mn+n-n（jn+\）=TT.

：.q+w一定是正數(shù)n的平方數(shù).

【類比猜想】小紅同學提出：任意兩個連續(xù)正整數(shù)的乘積與較小數(shù)的差是較小數(shù)的平方.

請你舉例驗證及推理證明；

【深入思考】若p=Jq+2n+dq_2m（m,〃為兩個連續(xù)奇數(shù)，0<m<〃,"=〃?〃）,求證：0一定是

偶數(shù).

【詳解】解：類比猜想：（1）舉例驗證：當m=4,九=5,則機=4x5-4=16=4?

（2）推理證明：小明同學做了如下的證明：

設機以、〃是連續(xù)的正整數(shù)，

n=m+l；

,/q=mn,

q—m=mn—m=m{ri—\^=m.

.??4一根一定是正數(shù)加的平方數(shù).

深入思考：:以，力為兩個連續(xù)奇數(shù)，0cm〈建,

n=m+2,

q=mn=m2+2m,

p=Qm2+2m+2(〃?+2)+[m2+2m-2m=J(m+2)2+廂"=m+2+m-2^m+l)，

???P一定是偶數(shù).

14.（2024?河北?中考真題）情境圖1是由正方形紙片去掉一個以中心。為頂點的等腰直角

三角形后得到的.

該紙片通過裁剪，可拼接為圖2所示的鉆石型五邊形，數(shù)據(jù)如圖所示.

（說明：紙片不折疊，拼接不重疊無縫隙無剩余）

圖1圖2

操作嘉嘉將圖1所示的紙片通過裁剪，拼成了鉆石型五邊形.

如圖3,嘉嘉沿虛線EF,GH裁剪，將該紙片剪成①，②，③三塊，再按照圖4所示進行拼接.根

據(jù)嘉嘉的剪拼過程，解答問題:

(2)直接寫出圖3中所有與線段防相等的線段，并計算BE的長.

探究淇淇說：將圖1所示紙片沿直線裁剪，剪成兩塊，就可以拼成鉆石型五邊形.

請你按照淇淇的說法設計一種方案：在圖5所示紙片的2C邊上找一點戶(可以借助刻度尺或圓規(guī))，