專題07圖形的初步認(rèn)識

目錄

01理?思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

02盤.基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（2大模塊知識梳理）

知識模塊一：幾何圖形基礎(chǔ)

知識模塊二：相交線

03究?考點(diǎn)考法：對考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（10大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一；由幾何體展開圖計(jì)算表面積、體積

考點(diǎn)二：正方體的展開圖（高頻）

考點(diǎn)三：指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)（高頻）

考點(diǎn)四：線段的和與差

考點(diǎn)五：與角平分線有關(guān)的計(jì)算

考點(diǎn)六：與余角、補(bǔ)角、對頂角、鄰補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算

考點(diǎn)七：利用平行線的判定進(jìn)行證明

考點(diǎn)八：根據(jù)平行線的性質(zhì)求解

考點(diǎn)九：根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求解

考點(diǎn)十：平行線的形狀在生活中的應(yīng)用（高頻）

04破.重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（3大重難點(diǎn)）

重難點(diǎn)一：平行線常見輔助線作法一與“拐點(diǎn)”作平行線

重難點(diǎn)二：等積模型

重難點(diǎn)三：三角板拼接模型

05辨?易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（5大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：不能把握直線、射線、線段的特征而致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)2：計(jì)算線段的長度或角的度數(shù)時(shí)未分類討論，導(dǎo)致漏解

易錯(cuò)點(diǎn)3：不注意角的單位未統(tǒng)一而致錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)4：三線八角的識別

易錯(cuò)點(diǎn)5：忽略同位角（或內(nèi)錯(cuò)角）相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的前提

思維3勵(lì)'

兩命間，

維二等分中點(diǎn)

〈三等分

注意分兩種情況討論

易錯(cuò)射線B&fn射線AB是不同的射線

直線公理兩點(diǎn)確定一條直線

炳卜角

斜交

對頂角

知識梳理兩條直線相交

垂線段最短

垂直

點(diǎn)到直線的線段

公理經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行

例/------

----4腳侖alib,bilealie

同位角相等

平行線。判定內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行

同旁內(nèi)角互補(bǔ)

同位角相等

幾何圖形初步

兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等

同旁內(nèi)角互補(bǔ)

度，分，秒的運(yùn)算

鐘表問題

對頂角一定相等

對頂角相等

相等的角不一定是對頂角

知識梳理

相交線

同角（等角）的余角相等

同角（等角）的補(bǔ)角相等

直線、射線、線段概念分不清

學(xué)習(xí)誤區(qū)/----------------------------

--------＜三線/唬中的三類角不能區(qū)分

基瑞如常、

知識模塊一：幾何圖形基礎(chǔ)

知識點(diǎn)一：平面圖形與立體圖形

1.立體圖形

立體圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分不都在同一平面內(nèi)，這個(gè)圖形叫做立體圖形.

立體圖形的分類:

,圓柱

三棱柱

柱體＜四棱柱

棱柱，

五棱柱

K

常見立體圖形球體

「圓錐

三棱錐

錐體四棱錐

棱錐

五棱錐

K

2.平面圖形

平面圖形的概念：有些幾何圖形的各個(gè)部分在同一平面內(nèi)的圖形，這個(gè)圖形叫做平面圖形.

幾何圖形的概念：我們把實(shí)物中抽象出來的各種圖形叫做幾何圖形，幾何圖形分為平面圖形和立體圖形.

【補(bǔ)充】幾何圖形不研究物體的顏色、質(zhì)量、質(zhì)地等性質(zhì)，只關(guān)注物體的形狀、大小和位置.

【常見的平面圖形的種類】線段、角、三角形、長方形、圓等.

知識點(diǎn)二：直線、射線、線段

1.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系

直線射線線段

定義直線是幾何圖形基礎(chǔ)，是一個(gè)直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分

不做定義的原始概念.線.叫做線段.

圖形

-------mN

ABbA------------------

表示方法直線AB或直線BA射線OA線段AB、線段BA

直線m射線n線段1

端點(diǎn)個(gè)數(shù)無1個(gè)2個(gè)

度量情況不可度量不可度量可以度量

延伸情況可向兩方無限延伸只能以一方無限延伸不能延伸

作法敘述作直線AB作射線OA作線段AB作線段m

作直線m連接AB

延伸敘述反向延伸射線0A延長線段AB

反向延伸線段BA

射線和線段都是直線的一部分，線段向一方無限延伸就成為射線，向兩方無限延伸就成為了直線，射

聯(lián)系

線向反方向無限延伸就成為直線.

2、有關(guān)直線的基本事實(shí)

經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線，簡述為兩點(diǎn)確定一條直線.

3、線段的性質(zhì)

兩點(diǎn)的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離.它是線段的長度，是數(shù)量（非負(fù)）.

線段基本性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡記為：兩點(diǎn)之間，線段最短.

知識點(diǎn)三：角

1、角的定義

角的定義（靜態(tài)）：由公共端點(diǎn)的兩條射線所組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線

是角的兩條邊.

角的定義（動態(tài)）：由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過的平面部分是

角的內(nèi)部.

2、角的度量單位和換算

角的度量單位：度、分、秒是常用的角的度量單位，

1）把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1度的角，記為1°；

2）把1°的角60等分，每一份就是1分的角，記為1〃；

3）把1’的角60等分，每一份就是1秒的角，記為1’.

角的換算：1周角=360°,1平角=180°,1°=6（T,J=60",

1周角=2平角=4直角=360°,1平角=2直角=180°

角的換算方法：

1）由度化為分、秒的形式（即由高位向低位化）：1°=60',J=60"；

2）由分、秒化為度的形式（即由低位向高位化）：r=|—

160Jl6oj

3、角平分線

角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線.

4、方向角

方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的角叫做方向角.

方位角：從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，叫做方位角，取值范圍為0°到360。，比如正東方

向就是方位角為90°，正西方向就是方位角為270°.

5、余角和補(bǔ)角的性質(zhì)

余角的性質(zhì)：同角（等角）的余角相等；

補(bǔ)角的性質(zhì)：同角（等角）的補(bǔ)角相等；

知識模塊二：相交線

知識點(diǎn)一：相交線

直線的位置關(guān)系：在同一平面內(nèi)不重合的兩條直線之間的位置關(guān)系只有兩種：相交或平行.

垂線的定義：當(dāng)兩條相交直線所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直

線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足.

垂線的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.

垂線段的定義：如圖，點(diǎn)P為直線外一點(diǎn),P0J_m,垂足為0,稱P0為點(diǎn)P到直線m的垂線段.

垂線段最短定理：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，簡稱垂線段最短.如圖，點(diǎn)P

與直線m上的各點(diǎn)連線中，線段P0最短.

點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.

【注意】

1）垂線段是一個(gè)幾何圖形，而點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長度，是一個(gè)數(shù)量，容易出現(xiàn)概念混淆的錯(cuò)誤；

2）過直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無數(shù)條，但只有一條是垂線段，且垂線段是最短的.

知識點(diǎn)二：相交線中的角

1.對頂角與鄰補(bǔ)角

種類圖形頂點(diǎn)邊的關(guān)系大小關(guān)系

對頂角有公共一個(gè)角的兩邊分別是另一角的Z1=Z2,Z3=Z4

頂點(diǎn)兩邊的反向延長線

鄰補(bǔ)角一有公共兩個(gè)角有一條公共邊，且它們Zl+Z3=180°,Z2+Z3=180°

頂點(diǎn)

的另一邊互為反向延長線.Zl+Z4=180°,Z2+Z4=180°

2.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

角的名稱位置特征基本圖形圖形結(jié)構(gòu)特征

同位角在截線的同側(cè)，在被截兩形如字母“F”

條直線同側(cè)

內(nèi)錯(cuò)角在截線的兩側(cè)，且夾在兩形如字母“Z”

條被截直線之間

同旁內(nèi)角在截線的同側(cè)，在被截兩形如字母“U”

條直線之間4

【補(bǔ)充】

1）如圖，兩條直線a、b被第三條直線c所截，構(gòu)成8個(gè)角，簡稱為“三線八角”，其中共有4對同位角,

2對內(nèi)錯(cuò)角，2對同旁內(nèi)角.

2）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角指的是兩個(gè)角之間的位置關(guān)系，不是大小關(guān)系，它們之間的大小關(guān)系是不確

定的.

3）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角是指具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角，是成對出現(xiàn)的，對它們的識別要結(jié)合圖形.

4）同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角這三類角都沒有公共頂點(diǎn).

知識點(diǎn)三：平行線

平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線，平行用符號“〃”表示.如圖，直線AB與

CD平行，記作;AB〃CD,讀作：AB平行于CD.

A?-----------------------------?B

C?-----------------------------?D

平行公理：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也相互平行.

【拓展】

1）平行線具有傳遞性：若多條直線都與同一條直線平行，則這多條直線也相互平行.

2）在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線相互平行，即在同一平面內(nèi)，若a，b,b±c,則2〃仁

平行線的判定與性質(zhì)的區(qū)別

條件結(jié)論作用

同位角相等兩直線平行

判定內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行由角的數(shù)量關(guān)系確定直線的位置關(guān)系

同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行

兩直線平行同位角相等

性質(zhì)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等由直線位置關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系

兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)

【總結(jié)】從角的關(guān)系得到兩直線平行，是平行線的判定；從平行線得到角相等或互補(bǔ)關(guān)系，是平行線的性

質(zhì).

【注意】在兩直線平行的前提下才存在同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)的結(jié)論.這是平行線特有的

性質(zhì)不要一提同位角或內(nèi)錯(cuò)角就認(rèn)為它們相等，一提同旁內(nèi)角就認(rèn)為互補(bǔ)，若沒有兩直線平行的條件，這

些是不成立的.

平行線之間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離叫做這兩條平行線之間的距

離.

性質(zhì)：1）夾在兩條平行線間的平行線段處處相等;

2）平行線間的距離處處相等.

考點(diǎn)一：由幾何體展開圖計(jì)算表面積、體積

1.（2023?江蘇無錫?中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長為6的正方形，則該

直三棱柱的表面積為.

2.（2024?河北邯鄲?模擬預(yù)測）用相同尺寸的長方形紙板制作一個(gè)無蓋的長方體紙盒.先在紙板上畫出其

表面展開圖（需剪掉陰影部分），兩種裁剪方案如圖1和圖2所示，圖中A,B,C均為正方形：

下列說法正確的是（）

A.方案1中的a=4

B.方案2中的b=6

C.方案1所得的長方體紙盒的容積小于方案2所得的長方體紙盒的容積

D.方案1所得的長方體紙盒的底面積與方案2所得的長方體紙盒的底面積相同

3.（2024?河北邯鄲?一模）一透明的敞口正方體容器2BCD-ABO內(nèi)裝有一些有色液體，棱A8始終在

水平桌面上，容器底部的傾斜角為a.（注：圖①中NC8E=a,圖②中8Q=3dm）

探究：如圖①，液面剛好過棱CO,并與棱BB，交于點(diǎn)Q,此時(shí)液體的三視圖及尺寸如圖②所示，那么圖①

中，液體形狀為（填幾何體的名稱）；

利用圖②中數(shù)據(jù)，計(jì)算出圖①中液體的體積為多少？（提示：V=底面積x高）

拓展：在圖①的基礎(chǔ)上，以棱4B為軸將容器向左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出.若從正面看，液面與棱

CC'或C8交于點(diǎn)P,點(diǎn)。始終在棱上，設(shè)PC=;cdm,貝UBQ的長度為（用含尤的代數(shù)式表示）.

c

考點(diǎn)二：正方體的展開圖

1.（2024?江西?中考真題）如圖是4x3的正方形網(wǎng)格，選擇一空白小正方形，能與陰影部分組成正方體展

B.2種C.3種D.4種

2.（2024?江蘇宿遷?中考真題）全國兩會，習(xí)近平總書記在參加江蘇代表團(tuán)審議時(shí)指出，我們能不能如期

全面建成社會主義現(xiàn)代化強(qiáng)國，關(guān)鍵看科技自立自強(qiáng).將“科技、自立、自強(qiáng)”六個(gè)字分別寫在某正方體的表

面上，如圖是它的一種表面展開圖，在原正方體中，與“強(qiáng)”字所在面相對面上的漢字是（）

3.（2023?山東青島?中考真題）一個(gè)不透明小立方塊的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,其展開

圖如圖①所示.在一張不透明的桌子上，按圖②方式將三個(gè)這樣的小立方塊搭成一個(gè)幾何體，則該幾何體

A.31B.32C.33D.34

4.（2022?江蘇徐州?中考真題）如圖，已知骰子相對兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7,下列圖形為該骰子表面展開圖的

考點(diǎn)三：指出現(xiàn)實(shí)問題后的數(shù)學(xué)依據(jù)

1.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，推動水桶，以點(diǎn)。為支點(diǎn)，使其向右傾斜.若在點(diǎn)A處分別施加推

力&、F2,則FI的力臂OA大于F2的力臂。乩這一判斷過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A.垂線段最短

B.過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直

C.兩點(diǎn)確定一條直線

D.過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

2.（2024?吉林?中考真題）如圖，從長春站去往勝利公園，與其它道路相比，走人民大街路程最近，其蘊(yùn)

含的數(shù)學(xué)道理是.

3.（2022?河北.二模）下列能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象是（）

B

A,兩釘子固定木條B.木板上彈墨線測量跳遠(yuǎn)成績彎曲河道改直

考點(diǎn)四：線段的和與差

1.（2023?寧夏?中考真題）如圖，點(diǎn)4,B,C在數(shù)軸上，點(diǎn)力表示的數(shù)是-1,點(diǎn)B是4C的中點(diǎn)，線段4B=&,

則點(diǎn)C表示的數(shù)是.

ABC

_____1A-上>

T0

2.（2023?河北滄州?三模）如圖，用圓規(guī)比較兩條線段的長短，則正確的結(jié)果是（）

A.AB>ACB.AB=ACC.AB<ACD.不能確定

3.（2024.河北滄州.模擬預(yù)測）A,B,C,。四個(gè)車站的位置如圖所示.求:

HCD

>—H.

?,

ya^2b

（1）4,。兩站的距離；

（2）C,。兩站的距離；

（3）若a=3,C為4。的中點(diǎn)，求6的值.

考點(diǎn)五：與角平分線有關(guān)的計(jì)算

1.（2024?四川?中考真題）如圖，ABWCD,4D平分NB4C,41=30。，貝吐2=（）

2.（2023?遼寧鞍山?中考真題）如圖，△ABC中，在C4,CB上分別截取CD,CE,使CD=CE,分別以D,

E為圓心，以大于［DE的長為半徑作弧,兩弧在乙4cB內(nèi)交于點(diǎn)F,作射線CF,交4B于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作MN1BC,

垂足為點(diǎn)N,若BN=CN,AM=4,BM=5,則AC的長為—.

3.（2023?湖北武漢?中考真題）如圖，在四邊形48CD中，AD||BC,A.B=ZD,點(diǎn)E在BA的延長線上，連接

CE.

⑴求證：乙E=AECD；

（2）若NE=60。,。5平分NBCD,直接寫出ABCE的形狀.

4.（2023鄭州市模擬）【閱讀理解】

射線。C是乙4OB內(nèi)部的一條射線，若NCO/1.NBOC,貝峨們稱射線OC是射線。4的伴隨線.例如，如圖1,

乙AOB=60°,ZXOC=/.COD=乙BOD=20°,則N20C=jzBOC,稱射線0C是射線。2的伴隨線；同時(shí),

由于NBOD=|乙4?！辏?稱射線。。是射線0B的伴隨線.

B

B

DD-

OAOABOABOA

圖1圖2圖3備用圖

（1）【知識運(yùn)用】如圖2,^AOB=120°,射線OM是射線04的伴隨線，則乙4OM=°,若N20B的度

數(shù)是a,射線。N是射線的伴隨線，射線。C是乙4OB的平分線，則A/VOC的度數(shù)是.（用含a的代

數(shù)式表示）

（2）如圖3若乙4OB=180°,射線OC與射線02重合，并繞點(diǎn)。以每秒3。的速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動，射線。。與射線。B

重合，并繞點(diǎn)。以每秒5。的速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動，當(dāng)射線。。與射線。4重合時(shí)，運(yùn)動停止.

①是否存在某個(gè)時(shí)刻t（秒）使得NC。。的度數(shù)是20。？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由.

②當(dāng)t的值為多少時(shí)，射線。C,OD,。4中恰好有一條射線是其余兩條射線中任意一條射線的伴隨線？

考點(diǎn)六：與余角、補(bǔ)角、對頂角、鄰補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算

1.（2024?江蘇宿遷?中考真題）如圖，直線4B||CD,直線MN分別與直線28、CD交于點(diǎn)E、F,且41=40°,

則N2等于（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

2.（2024?山東日照?中考真題）如圖,直線4B,CO相交于點(diǎn)O.若N1=40。,42=120°,貝此COM的度數(shù)為

()

A.70°B.80°C.90°D.100°

3.（2024.安徽六安?模擬預(yù)測）如圖，一副三角尺按如圖方式擺放.若直線aIIb,Z1=50。，則N2的度數(shù)

為（）

A.20°B.15°C.10°D.5°

4.（2021?山東煙臺?一模）如圖，已知NEOC是平角，OD平分4BOC,在平面上畫射線。4,使乙4OC和NC。。

互余，若乙BOC=56°,貝吐40B的度數(shù)為（）

A.118°B.34°

C.90°或34°D.118?；?。

考點(diǎn)七：利用平行線的判定進(jìn)行證明

1.（2023?山東臨沂?中考真題）在同一平面內(nèi)，過直線沙卜一點(diǎn)P作1的垂線小，再過P作小的垂線九，則直線/與

九的位置關(guān)系是（）

A.相交B.相交且垂直C.平行D.不能確定

2.（2022.湖南郴州?中考真題）如圖，直線aII6,且直線a,。被直線c,d所截，則下列條件不能判定直

A.Z3=Z4B.Z1+Z5=180°C.Zl=Z2D.Zl=Z4

3.（2024?山東淄博?中考真題）如圖，已知力B=CD,點(diǎn)E,F在線段BD上，且4F=CE.

請從①BF=￡）E；②4BAF=4DCE；③4F=C尸中.選擇一個(gè)合適的選項(xiàng)作為已知條件，使得△ABFmA

CDE.

你添加的條件是：（只填寫一個(gè)序號）.

添加條件后，請證明4EIICF.

4.（2024?江蘇南通?中考真題）如圖，點(diǎn)。在△ABC的邊2B上，DF經(jīng)過邊力C的中點(diǎn)E,S.EF=DE.求證

CF||AB.

考點(diǎn)八：根據(jù)平行線的性質(zhì)求解

1.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，直線加忻，一塊含有30。的直角三角板按如圖所示放置.若Nl=40。,

C.50°D.40°

2.（2024?陜西?中考真題）如圖，ABWDC,BCWDE,28=145°,則乙D的度數(shù)為（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

3.（2023?江蘇鹽城?中考真題）小華將一副三角板（NC=ND=90。，NB=30。，NE=45。）按如圖所示

的方式擺放，其中4BIIEF,則N1的度數(shù)為（）

D

Fv

B

A.45°B.60°C.75°D.105°

4.（2023?江蘇徐州?中考真題）如圖，在△ABC中，^DE||BC,FG||AC,Z.BDE=120°,Z.DFG=115°,則

ZC=°.

考點(diǎn)九：根據(jù)平行線性質(zhì)與判定求解

1.（2024?廣東?模擬預(yù)測）如圖，已知N1=N2,NB=40。，則N3的度數(shù)為（）

C.50°D.60°

2.（2024?湖北?模擬預(yù)測）“抖空竹”是我國非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，某中學(xué)將此運(yùn)動引入特色大課間，某同學(xué)“抖

空竹,，的一個(gè)瞬間如圖所示，將圖1抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題:在平面內(nèi),4B||CD.若4BAE=50°,^DCE=85°,

則乙4EC的度數(shù)為（）

125°C.135°D.145°

3.（2024西城區(qū)模擬）如圖是一種躺椅及其結(jié)構(gòu)示意圖，扶手4B與底座CD都平行于地面EF,前支架OE與

后支架OF分別與CD交于點(diǎn)G和點(diǎn)D,4B與DM交于點(diǎn)N,乙AOE=ABNM.

⑴請對0EIIDM說明理由；

（2）若。E平分44。尸，乙ODC=30°,求扶手48與靠背DM的夾角Z71NM的度數(shù).

考點(diǎn)十：平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用【熱考】

1.（2024?山西?中考真題）一只杯子靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力

&的方向與斜面垂直，摩擦力?2的方向與斜面平行.若斜面的坡角a=25。，則摩擦力尸2與重力G方向的夾角

S的度數(shù)為（）

C.115°D.65°

2.（2023?四川綿陽?中考真題）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此當(dāng)光線從水中射向空氣時(shí)，

要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，41=122。，貝亞2的度

B.58°C.68°D.78°

3.（2024.山東濰坊.中考真題）一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架力B與吊線FG平行，燈桿CD與底部

支架力B所成銳角a=15。.頂部支架EF與燈桿CD所成銳角￡=45。，貝UEF與FG所成銳角的度數(shù)為（）

D

F

A.60°B.55°C.50°D.45°

4.（2024?福建?中考真題）在同一平面內(nèi)，將直尺、含30。角的三角尺和木工角尺（CD1DE）按如圖方式

擺放，若AB||CD,貝”1的大小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

重難點(diǎn)一：平行線常見輔助線作法一與“拐點(diǎn)”作平行線

1.（2024?海南?中考真題）如圖，直線加忻，把一塊含45。角的直角三角板A8C按如圖所示的方式放置，點(diǎn)

2在直線"上，乙4=90。，若41=25。，貝吐2等于（）

A.70°B.65°C.25°D.20°

2①如圖1,AB//CD,貝！|NA+NE+NC=36O。；②如圖2,AB//CD,則NP=NA-NC；③如圖3,AB

//CD,則NE=NA+N1；④如圖4,直線//ER點(diǎn)0在直線E尸上，貝|/"-"+々=180。.以

上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

3.如圖，已知：點(diǎn)A、C、B不在同一條直線，ADWBE

圖①圖②圖③

(1)求證：zS+zC-Z/1=180°：

（2）如圖②，AQ,BQ分另IJ為N。"、NE8C的平分線所在直線，試探究”與N71Q8的數(shù)量關(guān)系;

（3）如圖③，在（2）的前提下，且有4CIIQB,直線4Q、BC交于點(diǎn)P,QPLPB,直接寫出

Z-DAC：Z-ACBt乙CBE=

考點(diǎn)二：等積模型

1.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，在梯形力BCD中，AD||BC,對角線"和BD交于點(diǎn)O,若受些=：,

S^BCD3

2.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在△ABC中，。是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合）.過點(diǎn)。作DE||AB

交AC于點(diǎn)E；過點(diǎn)。作DFII4C交4B于點(diǎn)F.N是線段BF上的點(diǎn)，BN=2NF；M是線段DE上的點(diǎn)，DM=

2ME.若已知ACMN的面積，則一定能求出（）

￡

A.AAFE的面積B.ABOF的面積

C.ABCN的面積D.△￡>(7￡1的面積

3.課題學(xué)習(xí)：平行線間三角形的面積問題中“等底等高轉(zhuǎn)化”的應(yīng)用

閱讀理解：如圖1,已知直線a||b,直線a,b的距離為//,則三角形力BC的面積為SMBC書xABxh.

(1)【問題探究】如圖2,若點(diǎn)C平移到點(diǎn)。，求證：S-OC=SABOD；

(2)【深化拓展】如圖3,記S440c=SQS&BOD=^2'^ACOD=^3'=S4,根據(jù)圖形特征，試證明：SrXS2=

S3XS4;

(3)【靈活運(yùn)用】如圖4,在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E是線段力。上的一點(diǎn),BE與AC相交于點(diǎn)。，已知S-BE=1。，

且EO:EB=2:5,求四邊形CDE。的面積.

4.(2022?吉林?中考真題)下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線3|白，AABC與ADBC的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下:

設(shè)人與12之間的距離為九，貝US-BC=;BCd,SLDBC=-BC-h.

??S"BC=SAOBC?

【探究】

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在%,辦之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)4。到直線12的距離分別為伍"，則泮型=9

S&DBC九

圖②

證明：：S“BC_

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在k,"之間時(shí)，連接AD并延長交12于點(diǎn)M,則變型=黑.

b^DBC

BECFM

圖③

證明：過點(diǎn)4作4E_LBM,垂足為E,過點(diǎn)。作DF1BM,垂足為F,貝！kAEM=NDFM=90。,

：.AE\\_.

：.AAEMs.

.AE_AM

'*DF~DM

由【探究】(1)可知#

S^DBC

?S^ABC_IM

S^DBCDM

(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)D在%下方時(shí)，連接4。交%于點(diǎn)E.若點(diǎn)兒E,。所對應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,衿型的

S&DBC

值為一

h

考點(diǎn)三：三角板拼接模型

1.(2023?河南信陽?二模)【閱讀理解】如圖1,小明把一副三角板直角頂點(diǎn)。重疊在一起.如圖2固定三角

板力。B,將三角板COD繞點(diǎn)。以每秒15。的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)。。邊與。B邊重合時(shí)停止轉(zhuǎn)

動.

圖1圖2

【解決問題】

(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，請?zhí)畛鯪20C、N80D之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為9秒時(shí)，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由；

(3)當(dāng)乙40C、乙408、NBOC中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的兩倍時(shí)，則稱射線。C是乙40B的“優(yōu)線”，請直接寫

出所有滿足條件的t值.

2.(2023?江蘇南京?二模)三角尺是幾何學(xué)習(xí)中常用的學(xué)具.

【重溫舊知】

(1)圖①?③是課本上三角尺的3種擺放方式.借助圖①中的Na和40,課本定義了一種兩個(gè)角的關(guān)系，這

種關(guān)系叫做;圖②中，NDBC的度數(shù)是。，三角尺DEF的直角邊DF和三角尺48c的直角邊江之

間的數(shù)量關(guān)系是;