第一章空間向量與立體幾何章末復(fù)習(xí)內(nèi)容索引知識(shí)網(wǎng)絡(luò)考點(diǎn)突破真題體驗(yàn)1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)PARTONE2考點(diǎn)突破PARTTWO一、空間向量的概念及運(yùn)算1.空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運(yùn)算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加減法的三角形法則和平行四邊形法則，數(shù)乘運(yùn)算與向量共線的判斷、數(shù)量積運(yùn)算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標(biāo)表示是向量運(yùn)算的基礎(chǔ).2.向量的運(yùn)算過程較為繁雜，

要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.1(2)(多選)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項(xiàng)中，正確的是√√又因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，因此D正確，其余兩個(gè)都不正確.反思感悟空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的.(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個(gè)向量是否與已知的兩個(gè)不共線的向量共面，特別地，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使

.反思感悟空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量共面的充要條件(1)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算、共線向量的概念、向量共線的充要條件與平面向量的性質(zhì)是一致的.(2)利用向量共面的充要條件可以判斷第三個(gè)向量是否與已知的兩個(gè)不共線的向量共面，特別地，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使

.跟蹤訓(xùn)練1

(1)在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，－2,1)，B(2,2,2)，點(diǎn)P在z軸上，且滿足

，則P點(diǎn)坐標(biāo)為A.(3,0,0) B.(0,3,0) C.(0,0,3) D.(0,0，－3)√解析設(shè)P(0,0，z)，則有解得z＝3.(2)如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)度都為1，且兩兩夾角為60°.〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，二、利用空間向量證明位置關(guān)系1.用空間向量判斷空間中位置關(guān)系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進(jìn)行證明.2.將立體幾何的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量間的關(guān)系，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.例2在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn).(1)求證：BM∥平面PAD；證明

以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD.例2在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M為PC的中點(diǎn).(1)求證：BM∥平面PAD；證明

以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，M(1,1,1)，又BM?平面PAD，∴BM∥平面PAD.(2)平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由.假設(shè)平面PAD內(nèi)存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD.從而MN⊥BD，MN⊥PB，反思感悟利用空間向量證明或求解立體幾何問題時(shí)，首先要選擇基底或建立空間直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為其坐標(biāo)運(yùn)算，再借助于向量的有關(guān)性質(zhì)求解(證).跟蹤訓(xùn)練2在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.(1)求證：AC⊥BC1；證明

在直三棱柱ABC－A1B1C1

中，因?yàn)锳C＝3，BC＝4，AB＝5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，CC1分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4).(2)請(qǐng)說明在AB上是否存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1.解假設(shè)在AB上存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1，所以m(3－3t)＝－3，m(4t－4)－4n＝0，－4m－4n＝4，所以在AB上存在點(diǎn)E，使得AC1∥平面CEB1，這時(shí)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).三、利用空間向量計(jì)算距離1.空間距離的計(jì)算思路2.通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.例3在三棱錐B－ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長(zhǎng)AC＝CD＝AD＝AB＝1，且∠BAD＝30°，求點(diǎn)D到平面ABC的距離.解如圖所示，以AD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以O(shè)D，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)n＝(x，y，z)為平面ABC的一個(gè)法向量，反思感悟利用向量法求點(diǎn)面距，只需求出平面的一個(gè)法向量和該點(diǎn)與平面內(nèi)任一點(diǎn)連線表示的向量，代入公式求解即可.√解析以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以直線AB，AD，AA1

為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，易知A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，則點(diǎn)P到直線AB的距離為1.空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2的夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m1，m2〉|.(2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α的夾角θ滿足sinθ＝|cos〈m，n〉|.(3)設(shè)n1，n2分別是兩個(gè)平面α，β的法向量，則兩平面α，β夾角θ滿足cosθ＝|cos〈m，n〉|.2.通過利用向量計(jì)算空間的角，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.四、利用空間向量求空間角例4如圖，在長(zhǎng)方體AC1中，AB＝BC＝2，AA1＝

，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.試用向量方法解決下列問題：(1)求異面直線AF和BE所成的角；∴直線AF和BE所成的角為90°.(2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值.解設(shè)平面BEC的法向量為n＝(x，y，z)，反思感悟(1)在建立空間直角坐標(biāo)系的過程中，一定要依據(jù)題目所給幾何圖形的特征，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，這樣才會(huì)容易求得解題時(shí)需要的坐標(biāo).(2)直線和平面所成的角、兩個(gè)平面的夾角類問題有兩種思路：轉(zhuǎn)化為兩條直線所成的角、利用平面的法向量.跟蹤訓(xùn)練4如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝

，AB＝4.(1)求平面BDP與平面PAD的夾角的大??；解取AD的中點(diǎn)O，設(shè)AC∩BD＝E，連接OP，OE.因?yàn)镻A＝PD，所以O(shè)P⊥AD，又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD，所以O(shè)P⊥平面ABCD.因?yàn)镺E?平面ABCD，所以O(shè)P⊥OE.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以O(shè)E⊥AD，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)平面BDP的法向量為n＝(x，y，z)，平面PAD的法向量為p＝(0,1,0)，(2)若M是PB的中點(diǎn)，求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.設(shè)直線MC與平面BDP所成的角為α，3真題體驗(yàn)PARTTHREE1.(2019·全國(guó)Ⅱ改編)如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E是棱AA1的中點(diǎn)，BE⊥EC1，求平面BEC和平面ECC1夾角的余弦值.12建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)BC＝a，BB1＝b，因?yàn)锽E⊥EC1

，12設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面BEC的法向量，?m＝(0,1，－1)，設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面ECC1的法向量，122.(2019·天津改編)如圖，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC

，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE＝BC＝2.12(1)求證：BF∥平面ADE；可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2).設(shè)CF＝h(h>0)，則F(1,2，h).12又因?yàn)橹本€BF?平面ADE，所以BF∥平面ADE.(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值.設(shè)n＝(x，y，z)為平面BDE的法向量，不妨令z＝1，可得n＝(2,2,1)，12備用工具&資料可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2).設(shè)CF＝h(h>0)，則F(1,2，h).12又因?yàn)橹本€BF?平面ADE，所以BF∥平面ADE.設(shè)m＝(x1，y1，z1)是平面BEC的法向量，?m＝(0,1，－1)，設(shè)n＝(x2，y2，z2)是平面ECC1的法向量，122考點(diǎn)突破PARTTWO1知識(shí)網(wǎng)絡(luò)PARTONE(2)(多選)如圖，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.