電阻電路分析2.1支路電流法支路電流法，簡(jiǎn)稱(chēng)支路法，是以支路電流為未知量的電路分析方法。根據(jù)基爾霍夫定律列出求解支路電流的電路方程。求得支路電流后，再結(jié)合元件VAR求出其它待求量。

(1)首先，在電路圖中標(biāo)出各支路電流的參考方向。電路有5條支路，需要列出5個(gè)獨(dú)立的支路電流方程。

(2)由KCL，對(duì)節(jié)點(diǎn)a、b、c列出節(jié)點(diǎn)電流方程：節(jié)點(diǎn)a:-i1+i2+i4=0(2―1)

節(jié)點(diǎn)b:-i2+i3+i5=0(2―2)

節(jié)點(diǎn)c:i1-i3-i4-i5=0(2―3)

上面三個(gè)方程等號(hào)左邊諸項(xiàng)相加為零，因此這些方程是非獨(dú)立的。但是任意去掉一個(gè)方程后，剩余方程是獨(dú)立的。習(xí)慣上把所列KCL方程相互獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。(3)以支路電流為未知量，列出各網(wǎng)孔的KVL方程：網(wǎng)孔l1:R1i1+R4i4=Us1(2―4)

網(wǎng)孔l2:R2i2+R5i5-R4i4=0(2―5)

網(wǎng)孔l3:R3i3-R5i5=Us2(2―6)

電路圖繪制在一個(gè)平面上，不出現(xiàn)交叉支路的電路稱(chēng)為平面電路?？梢宰C明，對(duì)于有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的平面電路，其網(wǎng)孔數(shù)l=b-(n-1),且按網(wǎng)孔列出的KVL方程均相互獨(dú)立。這樣，(n-1)個(gè)KCL方程，加上l個(gè)KVL方程，恰好得到b個(gè)獨(dú)立支路電流方程。

(4)聯(lián)立求解式(2―1)、(2―2)及三個(gè)KVL方程，得到各支路電流。

(5)如需要，可結(jié)合元件VAR計(jì)算出其它待求量，例如元件或支路的電壓、功率等。

例1：如圖電路，求各支路電流。解：電路中有三條支路，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，依據(jù)基爾霍夫定律，列出下面三個(gè)獨(dú)立方程。對(duì)節(jié)點(diǎn)a:-i1＋i2＋i3＝0

對(duì)網(wǎng)孔l1:2i1＋3i2＋5－14=0

對(duì)網(wǎng)孔l2:3i2＋5－4i3＝0

聯(lián)立求解得到支路電流：i1＝3A,i2＝1A和i3＝2A。例2：直流電橋電路如圖所示。圖中R1~R4為橋臂電阻，ab支路接電流源Is＝1A。cd支路接電流計(jì)G，其內(nèi)阻為RG。試用支路電流法求通過(guò)電流計(jì)的電流IG。解：電橋電路有支路數(shù)b＝6,節(jié)點(diǎn)數(shù)n＝4。由于電流源電流Is已知，故只需列五個(gè)支路電流方程，具體有節(jié)點(diǎn)a:Is＝I1+I3

節(jié)點(diǎn)b:I2＋I(xiàn)4＝Is

節(jié)點(diǎn)c:I1＋I(xiàn)2＝IG

網(wǎng)孔l1:R1I1＋RGIG－R3I3＝0

網(wǎng)孔l2:R2I2－R4I4－RGIG＝0求解得：(2―7)

該式表明，當(dāng)電路中相對(duì)橋臂電阻乘積相等，即當(dāng)

R2R3＝R1R4(2―8)

時(shí)，電流計(jì)支路電流IG＝0,此時(shí)稱(chēng)電橋達(dá)到平衡狀態(tài)，式(2―8)是電橋平衡條件。2.2節(jié)點(diǎn)電壓法

在電路中選定一個(gè)節(jié)點(diǎn)為參考點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)與參考點(diǎn)之間的電壓稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)電壓。節(jié)點(diǎn)電壓法，簡(jiǎn)稱(chēng)節(jié)點(diǎn)法，是一種以節(jié)點(diǎn)電壓為未知量的電路分析法。與支路法比較，這種方法因方程數(shù)減少而較為方便，特別適用于多支路少節(jié)點(diǎn)電路的分析求解。

如圖所示選節(jié)點(diǎn)0為參考點(diǎn)，并標(biāo)定各支路電流的參考方向。記節(jié)點(diǎn)1、2的節(jié)點(diǎn)電壓為U1和U2。節(jié)點(diǎn)1的KCL方程：i1+i2=is1-is2,由于i1=G1U1,i2=G2(U1-U2)，可得

(G1+G2)U1-G2U2=is1-is2(2―9)

節(jié)點(diǎn)2的KCL方程：i3-i2=is2,代入

i2=G2(U1-U2),i3=G3U2,可得

-G2U1+(G2+G3)U2=is2(2―10)

將式(2―9)、(2―10)聯(lián)立寫(xiě)成

(G1+G2)U1-G2U2=is1-is2-G2U1+(G2+G3)U2=is2(2―11)表示成一般形式有G11U1+G12U2=is11G21U1+G22U2=is22

(2―12)

上式稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)(電壓)方程，其中：

G11=G1+G2,G22=G2+G3,分別稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)1和2的自電導(dǎo)，是與相應(yīng)節(jié)點(diǎn)連接的全部電導(dǎo)之和，符號(hào)取“+”號(hào)；

G12=G21=-G2,稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)1與2的互電導(dǎo)，是連接在節(jié)點(diǎn)1與2之間的所有電導(dǎo)之和，符號(hào)取“-”號(hào)。

is11=is1-is2,is22=is2

分別稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)1和2的等效電流源，是流入相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的各電流源電流的代數(shù)和。

例3：用節(jié)點(diǎn)法求電路中各電導(dǎo)元件中的電流。已知is1=5A,is2=1A,G1=1S,G2=0.5S,G3=2S。也就是

3U1-U2=8-U1+5U2=2解：根據(jù)式(2―11)列出節(jié)點(diǎn)電壓方程

(1+0.5)U1-0.5U2=5-1-0.5U1+(2+0.5)U2=1

求解上面聯(lián)立方程，得節(jié)點(diǎn)電壓：U1=3V,U2=1V。應(yīng)用歐姆定律計(jì)算出電導(dǎo)元件電流

i1=G1U1=1×3=3Ai2=G2(U1-U2)=0.5×（3-1)=1Ai3=G3U2=2×1=2A

列寫(xiě)式(2―12)節(jié)點(diǎn)電壓方程時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：

(1)自電導(dǎo)為正值，互電導(dǎo)為負(fù)值。等效電流源是流入相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的電流源的代數(shù)和，即當(dāng)電流源流入相應(yīng)節(jié)點(diǎn)時(shí)取“+”號(hào)，流出時(shí)取“-”號(hào)。

(2)如果兩節(jié)點(diǎn)之間有電壓源-電阻串聯(lián)支路，應(yīng)先將它等效變換為電流源-電阻并聯(lián)支路后，再按式(2―12)列出節(jié)點(diǎn)方程。

例4：用節(jié)點(diǎn)法求電路中各支路的電流。已知Us1=9V,Us2=4V,Is=3A,R1=2Ω,R2=4Ω,R3=3Ω。圖2.5例4電路求得節(jié)點(diǎn)電壓最后計(jì)算各支路電流，由元件VAR可得

例5：電路如圖所示，求u和i。

解;電路中有一純電壓源支路，它不能應(yīng)用電源互換方法變換為電流源，故不能直接按規(guī)則列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)方程，這時(shí)可采用下面兩種方法解決。方法一：指定連接純電壓源支路的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之一作為參考點(diǎn)，這時(shí)連接該電壓源的另一節(jié)點(diǎn)電位可由電壓源端電壓求得，無(wú)需列寫(xiě)該節(jié)點(diǎn)電壓方程。對(duì)本例電路，若指定節(jié)點(diǎn)4為參考點(diǎn)，設(shè)節(jié)點(diǎn)1、2、3的電位分別為U1、U2和U3,其節(jié)點(diǎn)方程為節(jié)點(diǎn)2節(jié)點(diǎn)1節(jié)點(diǎn)3

由于電路中電流源與電阻串聯(lián)支路可以等效為一個(gè)3A電流源支路，且考慮到節(jié)點(diǎn)方程實(shí)際上是按KCL列出的節(jié)點(diǎn)電流方程，因此列寫(xiě)節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，不應(yīng)把與電流源相串聯(lián)的1Ω電阻計(jì)入節(jié)點(diǎn)1和3的自電導(dǎo)中，也不應(yīng)計(jì)入節(jié)點(diǎn)1與3之間的互電導(dǎo)中。解式(2―13)方程組，得

U1=4VU3=6V

由歐姆定律，得

因?yàn)殡娏髟?、電阻串?lián)支路電壓

G13=G+1×i

所以

G=G13-i=G1-G3-i=4-6-1=-3V

方法二：一個(gè)純電壓源支路，一般它的端電壓Gs是已知的，在外電路給定的條件下，其輸出電流也是確定的。若記輸出電流為ix，則其支路伏安關(guān)系完全由Gs和ix確定。

現(xiàn)在選節(jié)點(diǎn)3為參考點(diǎn)，并設(shè)節(jié)點(diǎn)4的電位為G4，寫(xiě)出電路方程為節(jié)點(diǎn)1：節(jié)點(diǎn)2：節(jié)點(diǎn)4：輔助方程

采用節(jié)點(diǎn)法分析電路的基本步驟是：

(1)指定參考點(diǎn)，標(biāo)出各節(jié)點(diǎn)位和有關(guān)電流、電壓的參考方向。

(2)列出節(jié)點(diǎn)電壓方程。列方程時(shí)應(yīng)特別注意電壓源元件以及與電流源相串聯(lián)的電阻元件的正確處理。如果對(duì)純電壓源支路引入輔助變量，則應(yīng)在節(jié)點(diǎn)方程基礎(chǔ)上增加相應(yīng)的輔助方程。

(3)解節(jié)點(diǎn)方程求得節(jié)點(diǎn)電壓。

(4)由節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算出其它待求量。2.3網(wǎng)孔電流法

網(wǎng)孔電流法，簡(jiǎn)稱(chēng)網(wǎng)孔法。除節(jié)點(diǎn)法外，網(wǎng)孔法是另一種實(shí)用和重要的電路分析方法。

現(xiàn)在先從支路法出發(fā)介紹網(wǎng)孔電流概念。對(duì)圖2.7電路，指定節(jié)點(diǎn)d為參考點(diǎn)，標(biāo)記各支路電流的參考方向如圖中所示。按支路法列出方程。圖2.7網(wǎng)孔分析法

觀察此圖可以發(fā)現(xiàn)，似乎這些分量電流在沿著各自的網(wǎng)孔邊界流動(dòng)。我們將這種想像的沿著網(wǎng)孔邊界循環(huán)流動(dòng)的電流稱(chēng)為網(wǎng)孔電流。以網(wǎng)孔電流為未知量的電路方程，稱(chēng)為網(wǎng)孔方程。這樣，電路分析可分兩步進(jìn)行。首先，由網(wǎng)孔方程求出網(wǎng)孔電流，然后用有關(guān)網(wǎng)孔電流的組合表示支路電流，進(jìn)而計(jì)算其它待求量。這種電路分析方法稱(chēng)為網(wǎng)孔電路法。

實(shí)際上，網(wǎng)孔方程可由電路圖直接寫(xiě)出，而不必經(jīng)過(guò)未知量消去步驟。為此將式(2―16)方程表示成一般形式

R11i1+R12i2+R13i3=us11R21i1+R22i2+R23i3=us22R31i1+R32i2+R33i3=us33

其中

Rii:稱(chēng)為網(wǎng)孔的自電阻，是網(wǎng)孔i中所有電阻之和，恒取“+”號(hào)，如

R11=R1+R5+R4,R22=R4+R6,R33=R5+R3+R6等；(2―17)

Rij(i≠j):稱(chēng)為網(wǎng)孔i與網(wǎng)孔j的互電阻，它是兩個(gè)網(wǎng)孔的公共電阻之和。若流過(guò)互電阻的兩個(gè)網(wǎng)孔電流方向相同，則互電阻前取“+”號(hào)；方向相反，取“-”號(hào)。例如R12＝R21＝-R4,R13＝R31＝R5,

R23＝R32＝R6等等。

usii:稱(chēng)為網(wǎng)孔i的等效電壓源，是網(wǎng)孔i中所有電壓源的代數(shù)和。當(dāng)網(wǎng)孔電流從電壓源“+”端流出時(shí)，該電壓源前取“+”號(hào)；否則取“-”號(hào)。如

us22=us1-us6,us33=us6等。

解：電路有2個(gè)網(wǎng)孔，設(shè)網(wǎng)孔電流I1、I2參考方向如圖中所示，同時(shí)，也將網(wǎng)孔電流方向作為網(wǎng)孔的繞行方向，列出網(wǎng)孔方程為

網(wǎng)孔1:I1＝6

網(wǎng)孔2:-5I1+(10+5)I2＝-15(2―18)例6：如圖所示電路，用網(wǎng)孔法求電流I。解：設(shè)網(wǎng)孔電流i1、i2和i3如圖中所示。因?yàn)殡娐分须娏髟赐瑢儆?、2兩個(gè)網(wǎng)孔，不能用例6方法處理，且電流源兩端沒(méi)有并接電阻，也不能將它變換為電壓源-電阻串聯(lián)形式，故需引入一個(gè)輔助電壓未知量u，補(bǔ)充一個(gè)電流源電流與有關(guān)網(wǎng)孔電流相約束的輔助方程。這樣，列出網(wǎng)孔方程為例7：如圖所示電路，用網(wǎng)孔法求電流i和電壓源產(chǎn)生的功率。

網(wǎng)孔1：4i1＝-6＋u

網(wǎng)孔2：(3＋2)i2＋3i3＝-u

網(wǎng)孔3：3i2＝(3＋6)i3＝-6

輔助方程：i2－i1＝2

聯(lián)立求解，得

i1＝-1.5A，i2＝0.5A，

所以

i＝i1＝-1.5A

電壓源產(chǎn)生功率

用網(wǎng)孔法分析電路的基本步驟是：

(1)指定網(wǎng)孔電流的參考方向。

(2)列寫(xiě)網(wǎng)孔方程。在列方程過(guò)程中，應(yīng)注意電流源的正確處理，如果引入輔助電壓未知量，則應(yīng)增列輔助方程。

(3)聯(lián)立求解(2)中方程，求出網(wǎng)孔電流。

(4)由網(wǎng)孔電流計(jì)算出其它待求量。2.4疊加定理

由獨(dú)立源和線性元件組成的電路稱(chēng)為線性電路。疊加定理是體現(xiàn)線性電路特性的重要定理。獨(dú)立電源代表外界對(duì)電路的輸入，統(tǒng)稱(chēng)激勵(lì)。電路在激勵(lì)作用下產(chǎn)生的電流和電壓稱(chēng)為響應(yīng)。疊加定理的內(nèi)容是：在線性電路中，多個(gè)激勵(lì)共同作用時(shí)在任一支路中產(chǎn)生的響應(yīng)，等于各激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)在該支路上所產(chǎn)生的響應(yīng)的代數(shù)和。例8：圖所示電路，試用疊加定理求電流i和電壓u。

解：(1)畫(huà)出各獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)的電路模型。電壓源us單獨(dú)作用電路，電流源is置為零(其支路為開(kāi)路)；電流源is單獨(dú)作用電路，置電壓源us為零(其支路為短路)。

(2)求出各獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)的響應(yīng)分量。

(3)由疊加定理求得各獨(dú)立源共同作用時(shí)的電路響應(yīng)，即為各響應(yīng)分量的代數(shù)和。

i=i′-i″=1.5-5=-3.5A(i′與i參考方向一致，而i″則相反)u=u′+u″=7.5+15=22.5V(u′、u″與u參考方向均一致)

使用疊加定理分析電路時(shí)，應(yīng)該注意如下幾點(diǎn)：

(1)疊加定理僅適用于計(jì)算線性電路中的電流或電壓，而不能用來(lái)計(jì)算功率，因?yàn)楣β逝c獨(dú)立源之間不是線性關(guān)系。

(2)各獨(dú)立源單獨(dú)作用時(shí)，其余獨(dú)立源均置為零(電壓源用短路代替，電流源用開(kāi)路代替)。(3)響應(yīng)分量疊加是代數(shù)量的疊加，當(dāng)分量與總量的參考方向一致時(shí)，取“+”號(hào)；與參考方向相反時(shí)，取“-”號(hào)。

(4)如果只有一個(gè)激勵(lì)作用于線性電路，那么激勵(lì)增大K倍時(shí)，其響應(yīng)也增大K倍，即電路響應(yīng)與激勵(lì)成正比。這一特性，稱(chēng)為線性電路的齊次性或比例性。

線性電路齊次性的驗(yàn)證是容易的。在電壓源激勵(lì)時(shí)，其值擴(kuò)大K倍后，可等效成K個(gè)原來(lái)電壓源相串聯(lián)的電路，如圖2.11(a)所示；在電流源激勵(lì)時(shí)，電流源輸出電流擴(kuò)大K倍后，可等效成K個(gè)原來(lái)電流源相并聯(lián)的電路，如圖2.11(b)所示。然后應(yīng)用疊加定理，其電路響應(yīng)也增大K倍，因此，線性電路齊次性結(jié)論成立。解：根據(jù)疊加定理和線性電路的齊次性，電壓u可表示為

u＝u′＋u″＝K1us＋K2is

代入已知數(shù)據(jù)，可得到

K1＋2K2＝-12K1－K2＝5.5

K1＝2,K2＝-1.5U＝2×(-1)+(-1.5)×(-2)＝1V例9：圖所示線性無(wú)源網(wǎng)絡(luò)N，已知當(dāng)us＝1V,is＝2A時(shí)，u＝-1V;當(dāng)us＝2V,is＝-1A時(shí)，u＝5.5V。試求us＝-1V,is＝-2A時(shí)，電阻R上的電壓。2.5等效電源定理2.5.1戴維南定理戴維南定理指出：對(duì)于線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，均可等效為一個(gè)電壓源與電阻相串聯(lián)的電路。如圖2.13(a)、(b)所示，圖中N為線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，R為求解支路。等效電壓源uoc數(shù)值等于有源二端網(wǎng)絡(luò)N的端口開(kāi)路電壓。串聯(lián)電阻Ro等于N內(nèi)部所有獨(dú)立源置零時(shí)網(wǎng)絡(luò)兩端子間的等效電阻，如圖2.13(c)、(d)所示。圖(b)中的電壓源串聯(lián)電阻電路稱(chēng)為戴維南等效電路。圖2.14例10電路例10：用戴維南定理求圖(a)電路中的電流I。解：(1)求開(kāi)路電壓Uoc。自a、b處斷開(kāi)RL支路，設(shè)出Uoc參考方向，如圖2.14(b)所示，應(yīng)用疊加定理求得有源二端網(wǎng)絡(luò)的開(kāi)路電壓(2)求等效電阻Ro。將圖(b)中的電壓源短路，電流源開(kāi)路，得如圖(c)所示電路，其等效電阻(3)畫(huà)出戴維南等效電路，接入RL支路，如圖2.14(d)所示，于是求得2.5.2諾頓定理諾頓定理指出：對(duì)于線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，均可等效為一個(gè)電流源與電阻相并聯(lián)的電路，如圖2.15(a)、(b)所示。等效電路中的電流源isc等于有源二端網(wǎng)絡(luò)N的端口短路電流。并聯(lián)電阻Ro等于N內(nèi)部所有獨(dú)立源置零時(shí)網(wǎng)絡(luò)兩端子間的等效電阻，如圖2.15(c)、(d)所示。圖2.15(b)中的電流源并聯(lián)電阻電路稱(chēng)為諾頓等效電路。關(guān)于等效電阻Ro,有下面幾種常用計(jì)算方法：

(1)直接法。應(yīng)用等效變換方法(如串、并聯(lián)等)直接求出無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

(2)開(kāi)路/短路法。由式(2―21)可得由此可見(jiàn)，等效電阻Ro在數(shù)值上等于有源網(wǎng)絡(luò)N的端口開(kāi)路電壓uoc與短路電流isc之比。(2―22)(3)外加電源法。對(duì)無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)，在兩端子間外加一個(gè)電壓源us,求該電源提供的電流is;或者外加一個(gè)電流源is,求該電源兩端的電壓us,此時(shí)有(2―23)

對(duì)于給定的線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，其戴維南電路與諾頓電路是互為等效的。根據(jù)電源模型的等效互換條件，可知開(kāi)路電壓uoc、短路電流isc和等效電阻Ro之間滿足如下關(guān)系：

uoc＝Roisc

(2―21)圖2.16例11：用諾頓定理求圖(a)電路中的電流i。解：(1)求短路電流isc。將R支路短路，并設(shè)電流isc參考方向如圖(b)所示。由于所以(2)求等效電阻Ro。將圖(a)中的電流源is和電阻R支路開(kāi)路，得到圖(c)電路，應(yīng)用電阻串并聯(lián)求得

Ro＝(3+6)∥(6+3)＝4.5Ω(3)畫(huà)出諾頓等效電路，接入R支路，如圖(d)所示。因此，流過(guò)電阻R的電流為

本例中的等效電阻Ro也可應(yīng)用開(kāi)路/短路法或外接電源法求出。由圖(a)容易求得端口開(kāi)路電壓(設(shè)參考方向與isc一致)

因此有

若采用外加電源法，如圖(b)電路，將電流源開(kāi)路，端口處外接一個(gè)電壓源us,求其提供電流因此

使用等效電源定理時(shí)應(yīng)注意：

(1)由于等效電源定理的證明過(guò)程應(yīng)用了疊加定理，因此要求被等效的有源二端網(wǎng)絡(luò)必須是線性的，內(nèi)部允許含有獨(dú)立源和線性元件。至于待求支路或外接負(fù)載電路，則沒(méi)有任何限制，可以是有源的或無(wú)源的；線性的或非線性的。

(2)正確計(jì)算三個(gè)等效參數(shù)uoc、isc和Ro是應(yīng)用等效電源定理的關(guān)鍵，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況，選用合理方法求解。(畫(huà)等效電源電路時(shí)，應(yīng)注意等效電源的參考方向。)2.5.3最大功率傳輸條件設(shè)一線性有源二端網(wǎng)絡(luò)用戴維南等效電路進(jìn)行等效，并在端鈕處外接負(fù)載RL，如圖2.18所示。當(dāng)負(fù)載改變時(shí)，它所獲得的功率也不同。試問(wèn)對(duì)于給定的有源二端網(wǎng)絡(luò)，負(fù)載滿足什么條件時(shí)，才能從網(wǎng)絡(luò)中獲得最大的功率呢?

由圖2.18可知，負(fù)載獲得的功率可表示為

為了求得RL改變時(shí)PL的最大值，將式(2―24)對(duì)RL求導(dǎo)，并令其為零，即且考慮到于是可知，當(dāng)負(fù)載滿足

時(shí)，就能從網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率。求得最大功率為：

若將有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為諾頓電路，如圖2.19所示。不難得出，在RL=Ro時(shí)，網(wǎng)絡(luò)給負(fù)載傳輸最大功率，其值為

例12：圖(a)所示電路，若負(fù)載RL可以任意改變，問(wèn)RL為何值時(shí)其上獲得最大功率?并求出該最大功率值。圖2.20例12電路

解：把負(fù)載支路在a、b處斷開(kāi)，其余二端網(wǎng)絡(luò)用戴維南等效電路代替，如圖2.20(b)所示。圖中等效電壓源電壓等效電阻Ro＝R3+(R1∥R2)＝4+(6∥12)＝8Ω

根據(jù)最大功率傳輸條件，當(dāng)RL＝Ro＝8Ω時(shí)，負(fù)載RL將獲得最大功率，即：對(duì)于本例，在圖2.20(a)電路中，當(dāng)RL=8Ω時(shí)，不難求得負(fù)載吸收功率電壓源產(chǎn)生功率

PL在PS中占的百分比值稱(chēng)為電路的功率傳輸效率，即：

由此可見(jiàn)，電路滿足最大功率傳輸條件，并不意味著能保證有高的功率傳輸效率，這是因?yàn)橛性炊司W(wǎng)絡(luò)內(nèi)部存在功率消耗。因此，對(duì)于電力系統(tǒng)而言，如何有效地傳輸和利用電能是非常重要的問(wèn)題，應(yīng)設(shè)法減少損耗提高效率。2.6受控源

第1章中介紹了電壓源和電流源，它們的輸出電壓或電流完全由自身的特性所決定，而與電路中其他地方的電壓或電流無(wú)關(guān)，故稱(chēng)為獨(dú)立電源或獨(dú)立源。受控電源，簡(jiǎn)稱(chēng)受控源，是一種輸出電壓或電流受電路中其它地方電壓或電流控制的電源元件。它們是根據(jù)某些電子器件的“受控”特性建立起來(lái)的理想化模型。例如，圖2.21(b)是晶體三極管的電路模型。

若考慮到實(shí)際輸入電阻Rbc較小，予以忽略；輸出電阻Rce很大，近似為開(kāi)路，得到圖2.21(c)所示的簡(jiǎn)化模型。這是一個(gè)理想的電流控制電流源，體現(xiàn)晶體管工作時(shí)集電極輸出電流ic要受基極電流ib的控制這一基本特性。其控制關(guān)系為式中ib為控制變量，ic為受控變量，β為控制系數(shù)。

受控源是雙口元件，含控制變量的端口為輸入端口，含受控變量的端口為輸出端口。根據(jù)控制變量與受控變量之間不同的控制方式，可把受控源分成下面四種類(lèi)型：壓控電壓源(VCVS)，流控電壓源(CCVS)，壓控電流源(VCCS)和流控電流源(CCCS),如圖2.22所示。圖(a)是壓控電壓源，表示電壓源輸出電壓的大小、方向要受控制變量電壓的控制。圖2.22受控源模型

若控制變量為u1,則輸出電壓為μu1;若控制變量改變極性，則輸出電壓亦改變極性。其余受控源也有類(lèi)似含義，此處不再一一說(shuō)明。圖中μ、r、g和β為控制參數(shù)，分別稱(chēng)為電壓放大倍數(shù)(無(wú)量綱)、轉(zhuǎn)移電阻(量綱為Ω)、轉(zhuǎn)移電導(dǎo)(量綱為S)和電流放大倍數(shù)(無(wú)量綱)?？刂茀?shù)為常數(shù)的受控源，稱(chēng)作線性受控源，本課程只涉及線性受控源。受控源改用菱形符號(hào)標(biāo)記，以與獨(dú)立源相區(qū)別。

應(yīng)該指出，獨(dú)立源和受控源是兩個(gè)既有聯(lián)系又有差別的概念。所謂聯(lián)系是指兩者都能輸出規(guī)定的電壓或電流。所謂差別是指它們?cè)陔娐分兴鸬淖饔檬峭耆煌摹＊?dú)立源作為電路的輸入，代表外界對(duì)電路的激勵(lì)，是電路能量的提供者。受控源則是用來(lái)表征電路內(nèi)部某處的電流或電壓對(duì)另一處電流或電壓的控制作用，它不代表輸入或激勵(lì)。

根據(jù)等效概念，分析含受控源電路時(shí)，原則上可將受控源當(dāng)作獨(dú)立源處理，但應(yīng)注意到它的“控制”作用。具體分析步驟是：①把受控源視為獨(dú)立源，利用KCL、KVL和VAR列出基本方程。②由于受控源的“控制”作用，基本方程中含有未知的控制變量，需要補(bǔ)充新的獨(dú)立方程，常稱(chēng)為輔助方程。輔助方程可用待求量或已知量表示控制變量的方法列出。③聯(lián)立求解基本方程和輔助方程，求得所需的待求量。圖2.23例13電路例13：用節(jié)點(diǎn)電壓法求圖電路R3支路的電流I3。已知U1＝1V,R1=1kΩ,R2＝6kΩ,R3＝3kΩ，β＝100。解：電路含有流控電流源，其控制變量為I1，控制參數(shù)為β。

(1)取c點(diǎn)為電路參考點(diǎn)，分別記a、b點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電位為Ua和Ub。

(2)將受控源視為獨(dú)立源，列出節(jié)點(diǎn)方程和輔助方程?；竟?jié)點(diǎn)方程：(2―28)(3)將式(2―29)代入式(2―28)，整理后得輔助方程：(2―29)代入已知數(shù)據(jù)，有解得(2―30)所以圖2.24例14電路例14：用等效電源定理重新求解例13問(wèn)題。解：(1)求開(kāi)路電壓Uoc。把電路中R3支路開(kāi)路，如圖(a)所示，列出節(jié)點(diǎn)方程和輔助方程(2―31)代入已知數(shù)據(jù)，求得開(kāi)路電壓Uoc=0.998V

(2)求等效電阻Ro。

①開(kāi)路/短路法。將R3支路短路，如圖所示，由KCL得

所以

②外加電源法。應(yīng)用此法求等效電阻時(shí)，應(yīng)將有源二端網(wǎng)絡(luò)中獨(dú)立源置為零。受控源反映電路中變量間的控制作用，應(yīng)該保留。如果外加電壓源Us,其電路如圖(c)所示，根據(jù)KCL，有所以(3)畫(huà)出戴維南等效電路，接入R3支路，如圖(d)所示，求出支路電流I3為自然，也可應(yīng)用諾頓等效電路，計(jì)算結(jié)果完全相同。2.7簡(jiǎn)單非線性電阻電路計(jì)算

我們知道，線性電阻的伏安特性在U-i平面上都是通過(guò)原點(diǎn)的直線，電阻值是不隨兩端電壓或通過(guò)的電流變化而改變的常量。前面討論的電阻元件均為線性電阻。如果一個(gè)電阻元件的電阻值隨其電壓、電流的變化而改變，就稱(chēng)為非線性電阻，它的伏安特性u(píng)=f(i)和i=g(u)不是過(guò)原點(diǎn)的直線。圖2.25中給出了幾種非線性電阻的伏安特性，非線性電阻元件的電路符號(hào)如圖(d)所示。

圖2.25非線性電阻

含有非線性電阻的電路稱(chēng)為非線性電阻電路。由于非線性電阻的伏安特性常常不易用解析式表示，即使能用解析式表示，其電路方程也常常不易求解，因此一般采用圖解法或數(shù)值法分析計(jì)算。本節(jié)以?xún)H含有一個(gè)非線性電阻的簡(jiǎn)單電路為例，介紹應(yīng)用圖解法分析非線性電阻電路的方法和步驟。

圖2.26(a)電路由直流電壓源Us,線性電阻Ro和非線性電阻R組成。下面用圖解法求解電路中的電壓U和電流I，其具體步驟如下：

(1)將非線性電阻從電路中取出，電路的其余部分是一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，a、b是二個(gè)引出端，如圖2.26(a)中的虛線框所示。按圖示的電流、電壓參考方向，由KVL寫(xiě)出二端網(wǎng)絡(luò)的外特性方程為

U＝Us－RoI

(2―32)(2)用實(shí)驗(yàn)方法得出非線性電阻元件的伏安特性方程

i＝g(u)

(2―33)(3)將式(2―32)和(2―33)對(duì)應(yīng)的曲線繪制在同一u-i平面上，如圖(b)所示。