專題05一次方程（組）及其應(yīng)用（11題）

一、單選題

1．（2024·遼寧·中考真題）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雉兔同籠”問題：“今有雉兔同籠，上有三

十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”其大意是：雞兔同籠，共有35個(gè)頭，94條腿，問雞兔各多少只？

設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)題意可列方程組為（）

xy94xy94xy35xy35

A．B．C．D．

4x2y352x4y354x2y942x4y94

【答案】D

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)雞有x只，兔有y只，根據(jù)“雞

兔同籠，共有35個(gè)頭，94條腿”列二元一次方程組即可．

【詳解】解：設(shè)雞有x只，兔有y只，

xy35

由題意得：，

2x4y94

故選：D．

2．（2024·甘肅蘭州·中考真題）數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國(guó)元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中

記載著這樣一個(gè)問題，大意是：999文錢買了周果和苦果共1000個(gè)，11文錢可買9個(gè)甜果，4文錢可買7

個(gè)苦果，問甜果，苦果各買了多少個(gè)？設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，則可列方程組為（）

xy1000xy1000xy1000

A．114B．114C．411

xy999xy999xy999

979779

xy999

D．411

xy1000

79

【答案】A

【分析】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列二元一次方程組，根據(jù)999文錢買了周果和苦果共1000個(gè)，11文錢可

買9個(gè)甜果，4文錢可買7個(gè)苦果，列出方程組即可．

【詳解】解：設(shè)買了甜果x個(gè)，苦果y個(gè)，由題意，得：

xy1000

114；

xy999

97

故選A．

3．（2024·山東泰安·中考真題）我國(guó)古代《四元玉鑒》中記載“二果問價(jià)”問題，其內(nèi)容如下：九百九十九

文錢，甜果苦果買一千，…，…，試問甜苦果幾個(gè)，又問各該幾個(gè)錢？若設(shè)買甜果x個(gè)，買苦果y個(gè)，列

xy1000

出符合題意的二元一次方程組：114．根據(jù)已有信息，題中用“…，…”表示的缺失的條件應(yīng)為

xy999

97

（）

A．甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢B．甜果七個(gè)四文錢，苦果九個(gè)十一文

C．甜果十一個(gè)九文，苦果四個(gè)七文錢D．甜果四個(gè)七文錢，苦果十一個(gè)九文

【答案】A

xy1000

【分析】根據(jù)114可得甜果苦果買一千，甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，

xy999

97

xy1000

【詳解】解：根據(jù)114，可得甜果九個(gè)十一文，苦果七個(gè)四文錢，

xy999

97

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)方程組找出等量

關(guān)系．

二、填空題

4．（2024·吉林·中考真題）圖①中有一首古算詩(shī)，根據(jù)詩(shī)中的描述可以計(jì)算出紅蓮所在位置的湖水深度，

其示意圖如圖②，其中ABAB，ABBC于點(diǎn)C，BC0.5尺，BC2尺．設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，可

列方程為．

2

【答案】x222x0.5

【分析】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意，運(yùn)用勾股定理建立方程是解題的關(guān)鍵．

設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，則ABABx0.5，在Rt△ABC中，由勾股定理即可建立方程．

【詳解】解：設(shè)AC的長(zhǎng)度為x尺，則ABABx0.5，

∵ABBC，

由勾股定理得：AC2BC2AB2，

2

∴x222x0.5，

2

故答案為：x222x0.5．

三、解答題

5．（2024·江蘇常州·中考真題）解方程組和不等式組：

xy0

(1)

3xy4

3x60

(2)x1

x

2

x1

【答案】(1)

y1

(2)1x2

【分析】本題考查解方程組和一元一次不等式組：

（1）加減法解方程組即可；

（2）先求出每一個(gè)不等式的解集，找到它們的公共部分，找到它們的公共部分，即為不等式組的解集．

xy0①

【詳解】（1）解：

3xy4②

①②，得：4x4，解得：x1；

把x1代入①，得：1y0，解得：y1；

x1

∴方程組的解為：．

y1

3x60①

（2）解：x1，

x②

2

由①，得：x2；

由②，得：x1；

∴不等式組的解集為：1x2．

6．（2024·遼寧·中考真題）甲、乙兩個(gè)水池注滿水，蓄水量均為36m3、工作期間需同時(shí)排水，乙池的排水

速度是8m3/h．若排水3h，則甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍．

(1)求甲池的排水速度．

(2)工作期間，如果這兩個(gè)水池剩余水量的和不少于24m3，那么最多可以排水幾小時(shí)？

【答案】(1)4m3/h

(2)4小時(shí)

【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題，一元一次不等式的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確理解題意

是解題的關(guān)鍵．

（1）設(shè)甲池的排水速度為xm3/h，由題意得，363x23683，解方程即可；

（2）設(shè)排水a(chǎn)小時(shí)，則36248a24，再解不等式即可．

【詳解】（1）解：設(shè)甲池的排水速度為xm3/h，

由題意得，363x23683，

解得：x4，

答：甲池的排水速度為4m3/h；

（2）解：設(shè)排水a(chǎn)小時(shí)，

則36248a24，

解得：a4，

答：最多可以排4小時(shí)．

7．（2024·四川資陽(yáng)·中考真題）2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)將于7月26日至8月11日舉行，某經(jīng)銷店調(diào)查發(fā)現(xiàn)：

與吉祥物相關(guān)的A，B兩款紀(jì)念品深受青少年喜愛．已知購(gòu)進(jìn)3個(gè)A款比購(gòu)進(jìn)2個(gè)B款多用120元；購(gòu)進(jìn)

1個(gè)A款和2個(gè)B款共用200元．

(1)分別求出A，B兩款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)；

(2)該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩款紀(jì)念品共70個(gè)，其總費(fèi)用不超過5000元，則至少應(yīng)購(gòu)買B款紀(jì)念品多少個(gè)？

【答案】(1)A款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為80元，則B款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為60元

(2)至少應(yīng)購(gòu)買B款紀(jì)念品30個(gè)

【分析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，（1）設(shè)A款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為x元，

則B款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為y元，根據(jù)題意列二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)購(gòu)買B款紀(jì)念品a個(gè)，則購(gòu)買A款紀(jì)念品70a個(gè)，根據(jù)題意列一元一次不等式求得a的取值范

圍，即可求解．

【詳解】（1）解：設(shè)A款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為x元，則B款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為y元，

3x2y120

由題意得，，

x2y200

x80

解得，

y60

答：A款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為80元，則B款紀(jì)念品的進(jìn)貨單價(jià)為60元．

（2）解：設(shè)購(gòu)買B款紀(jì)念品a個(gè)，則購(gòu)買A款紀(jì)念品70a個(gè)，

由題意得，8070a60a5000，

解得，a30，

答：至少應(yīng)購(gòu)買B款紀(jì)念品30個(gè)．

8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·中考真題）刺繡是我國(guó)民間傳統(tǒng)手工藝．湘繡作為中國(guó)四大刺繡之一，聞名中外，在

巴黎奧運(yùn)會(huì)倒計(jì)時(shí)50天之際，某國(guó)際旅游公司計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種奧運(yùn)主題的湘繡作品作為紀(jì)念品．已知

購(gòu)買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購(gòu)買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品

共需要1200元．

(1)求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價(jià)分別為多少元？

(2)該國(guó)際旅游公司計(jì)劃購(gòu)買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費(fèi)用不超過50000元，那么最多能

購(gòu)買A種湘繡作品多少件？

【答案】(1)A種湘繡作品的單價(jià)為300元，B種湘繡作品的單價(jià)為200元

(2)最多能購(gòu)買100件A種湘繡作品

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用．

（1）設(shè)A種湘繡作品的單價(jià)為x元，B種湘繡作品的單價(jià)為y元，根據(jù)“購(gòu)買1件A種湘繡作品與2件B

種湘繡作品共需要700元，購(gòu)買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元”，即可得出關(guān)于x，

y的二元一次方程組，解之即可解題；

（2）設(shè)購(gòu)買A種湘繡作品a件，則購(gòu)買B種湘繡作品200a件，總費(fèi)用單價(jià)數(shù)量，結(jié)合總費(fèi)用不超

過50000元，即可得出關(guān)于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整數(shù)值即可得出

該校最大可以購(gòu)買湘繡的數(shù)量．

【詳解】（1）設(shè)A種湘繡作品的單價(jià)為x元，B種湘繡作品的單價(jià)為y元．

根據(jù)題意，得

x2y700

，

2x3y1200

x300,

解得

y200．

答：A種湘繡作品的單價(jià)為300元，B種湘繡作品的單價(jià)為200元．

（2）設(shè)購(gòu)買A種湘繡作品a件，則購(gòu)買B種湘繡作品200a件．

根據(jù)題意，得300a200200a50000，

解得a100．

答：最多能購(gòu)買100件A種湘繡作品．

9．（2024·四川瀘州·中考真題）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)3件A商品比購(gòu)進(jìn)4件B商品費(fèi)用

多60元；購(gòu)進(jìn)5件A商品和2件B商品總費(fèi)用為620元．

(1)求A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為多少元？

(2)該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品共60件，且購(gòu)進(jìn)B商品的件數(shù)不少于A商品件數(shù)的2倍．若A商品按

每件150元銷售，B商品按每件80元銷售，為滿足銷售完A，B兩種商品后獲得的總利潤(rùn)不低于1770元，

則購(gòu)進(jìn)A商品的件數(shù)最多為多少？

【答案】(1)A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為100元，60元；

(2)購(gòu)進(jìn)A商品的件數(shù)最多為20件

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用：

（1）設(shè)A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為x元，y元，根據(jù)購(gòu)進(jìn)3件A商品比購(gòu)進(jìn)4件B商品費(fèi)用多60元；

購(gòu)進(jìn)5件A商品和2件B商品總費(fèi)用為620元列出方程組求解即可；

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A商品的件數(shù)為m件，則購(gòu)進(jìn)B商品的件數(shù)為60m件，根據(jù)利潤(rùn)不低于1770元且購(gòu)進(jìn)B

商品的件數(shù)不少于A商品件數(shù)的2倍列出不等式組求解即可．

【詳解】（1）解：設(shè)A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為x元，y元，

3x4y60

由題意得，，

5x2y620

x100

解得，

y60

答：A，B兩種商品每件進(jìn)價(jià)各為100元，60元；

（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A商品的件數(shù)為m件，則購(gòu)進(jìn)B商品的件數(shù)為60m件，

150100m806060m1770

由題意得，，

60m2m

解得19m20，

∵m為整數(shù)，

∴m的最大值為20，

答：購(gòu)進(jìn)A商品的件數(shù)最多為20件．

10．（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”．下面是其卷中記載的關(guān)于“盈

不足”的一個(gè)問題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問人數(shù)、金價(jià)各幾何？這

段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會(huì)剩余3400錢；每人出300錢，會(huì)剩余100錢．合伙

人數(shù)、金價(jià)各是多少？請(qǐng)解決上述問題．

【答案】共33人合伙買金，金價(jià)為9800錢

【分析】設(shè)共x人合伙買金，金價(jià)為y錢，根據(jù)“每人出400錢，會(huì)剩余3400錢；每人出300錢，會(huì)剩余

100錢”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．

【詳解】解：設(shè)共x人合伙買金，金價(jià)為y錢，

400x3400y

依題意得：，

300x100y

x33

解得：．

y9800

答：共33人合伙買金，金價(jià)為9800錢．

【點(diǎn)睛】本題考查了二元-次方程組的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題

的關(guān)鍵．

11．（2024·浙江·中考真題）小明和小麗在跑步機(jī)上慢跑鍛煉．小明先跑，10分鐘后小麗才開始跑，小麗跑

步時(shí)中間休息了兩次．跑步機(jī)上C檔比B檔快40米/分、B檔比A檔快40米/分．小明與小麗的跑步相關(guān)

信息如表所示，跑步累計(jì)里程s（米）與小明跑步時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．

時(shí)間里程分段速度檔跑步里程

小明16:00~16:50不分段A檔4000米

第一段B檔1800米

第一次休息

小麗16:10~16:50

第二段B檔12