8.3.1分類變量與列聯(lián)表人教A版（2019）選擇性必修三素養(yǎng)目標(biāo)1.通過對典型案例的探究,了解獨(dú)立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法，提升邏輯推理素養(yǎng)（重點(diǎn)）2.了解獨(dú)立性檢驗(只要求2×2列聯(lián)表)的應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力（難點(diǎn)）新課導(dǎo)入1.就讀不同學(xué)校是否對學(xué)生的成績有影響？2.不同班級學(xué)生用于體育鍛煉的時間是否有差別？3.吸煙是否會增加患肺癌的風(fēng)險？思考一下：思考下面的幾個問題：這些問題都是一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問題.本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨(dú)立性檢驗方法為我們提供了解決這類問題的方案.新課學(xué)習(xí)分類變量的概念為了表述方便，我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機(jī)變量稱為分類變量．分類變量的取值可以用實數(shù)表示，例如，學(xué)生所在的班級可以用1,2,3等表示，男性，女性可以用1,0表示，等等．在很多時候，這些數(shù)值只作為編號使用，新課學(xué)習(xí)思考一下：思考下面的問題：為了有針對性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,為此對學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查,全校學(xué)生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉;601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù),說明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?新課學(xué)習(xí)解法一：我們設(shè)那么，只要求出

f0

和f1

的值，通過比較這兩個值的大小，就可以知道女生和男生在鍛煉的經(jīng)常性方面是否有差異．由所給的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到由

f1-f0≈0.787-0.633=0.154可知，男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個百分點(diǎn)，所以該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉．新課學(xué)習(xí)解法二：用

Ω

表示該校全體學(xué)生構(gòu)成的集合，這是我們所關(guān)心的對象的總體．考慮以

Ω

為樣本空間的古典概型，并定義一對分類變量

X

和Y如下：對于

Ω

中的每一名學(xué)生，分別令如果從該校女生和男生中各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么該女生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是

P(Y=1∣X=0)，而該男生屬于經(jīng)常鍛煉群體的概率是P(Y=1∣X=1)．因此，“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性沒有影響”可以描述為P(Y=1∣X=0)=P(Y=1∣X=1);新課學(xué)習(xí)而“性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響”可以描述為P(Y=1∣X=0)≠P(Y=1∣X=1).為了清楚起見，我們用表格整理數(shù)據(jù)，如下表所示．性別鍛煉合計不經(jīng)常（Y=0）經(jīng)常（Y=1）女生（X=0）192331523男生（X=1）128473601合計3208041124新課學(xué)習(xí)我們用{X=0,Y=1}表示事件{X=0}和{Y=1}的積事件，用{X=1,Y=1}表示事件{X=1}和{Y=1}的積事件．根據(jù)古典概型和條件概率的計算公式，我們有由

P(Y=1∣X=1)大于P(Y=1∣X=0)可以作出判斷，在該校的學(xué)生中，性別對體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，即該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面存在差異，而且男生更經(jīng)常鍛煉．新課學(xué)習(xí)2×2列聯(lián)表由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高，人們經(jīng)常按研究問題的需要，將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計，并做成表格加以保存．我們將下表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.XY合計Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合計a+cb+dn=a+b+c+d新課學(xué)習(xí)2×2列聯(lián)表表示的意義2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).以上表為例，它包含了X

和Y的如下信息：最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}中樣本點(diǎn)的個數(shù)；最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}中樣本點(diǎn)的個數(shù)；中間的四個格中的數(shù)是表格的核心部分，給出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中樣本點(diǎn)的個數(shù)；右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù)．新課學(xué)習(xí)統(tǒng)計案例常用方法對于大多數(shù)實際問題，我們無法獲得所關(guān)心的全部對象的數(shù)據(jù)，因此無法準(zhǔn)確計算出有關(guān)的比率或條件概率．在這種情況下，上述古典概型和條件概率的觀點(diǎn)為我們提供了一個解決問題的思路．比較簡單的做法是利用隨機(jī)抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理對問題答案作出推斷．新課學(xué)習(xí)例1

為比較甲，乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生．通過測驗得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀．試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率之間是否存在差異．用

Ω

表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合．考慮以

Ω

為樣本空間的古典概型．對于

Ω

中每一名學(xué)生，定義分類變量

X

和

Y

如下：我們將所給數(shù)據(jù)整理成下表新課學(xué)習(xí)學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計不優(yōu)秀（Y=0）優(yōu)秀（Y=1）甲校（X=0）331043乙校（X=1）38745合計711788表中的數(shù)據(jù)是關(guān)于分類變量

X

和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}的頻數(shù)；最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}的頻數(shù)；中間的四個格中的數(shù)是事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)的頻數(shù)；右下角格中的數(shù)是樣本容量．因此，甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為新課學(xué)習(xí)乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率分別為我們可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計算結(jié)果，如圖所示．左邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率；右邊的藍(lán)色和紅色條的高度分別是乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率．新課學(xué)習(xí)通過比較發(fā)現(xiàn)的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷P(Y=1∣X=0)>P(Y=1∣X=1)．通過比較發(fā)現(xiàn)，兩個學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷

P(Y=1∣X=0)>P(Y=1∣X=1)

．也就是說，如果從甲校和乙校各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率．因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高．新課學(xué)習(xí)思考一下：你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯誤的？事實上，＂兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率存在差異＂這個結(jié)論是根據(jù)兩個頻率間存在差異推斷出來的．有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個樣本中，兩個頻率間確實存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率實際上是