微重點(diǎn)02函數(shù)的公切線問(wèn)題(4大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)

函數(shù)的公切線問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零

點(diǎn)問(wèn)題，主要利用消元與轉(zhuǎn)化，考查構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

【知識(shí)導(dǎo)圖】

?考點(diǎn)一：求兩函數(shù)的公切線

?考點(diǎn)二：與公切線有關(guān)的求值問(wèn)題

考點(diǎn)三：判斷公切線條數(shù)

?考點(diǎn)四：求參數(shù)的取值范用

o【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：求兩函數(shù)的公切線

規(guī)律方法求切線方程時(shí)，注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線，曲線y=Kx)在點(diǎn)P(.XO,>0))

處的切線方程是y—/Uo)=f(尤0)?(無(wú)一無(wú)o);求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線

上求解.

【例1】已知拋物線G：y=f+2x和C2：y=-x2+。，如果直線/同時(shí)是C1和C2的切線，稱(chēng)/是G和CZ的

公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱(chēng)為公切線段.

(1)“取什么值時(shí)，G和C?有且僅有一條公切線？寫(xiě)出此公切線的方程；

(2)若C］和Q有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.

【變式】(2023,云南保山,統(tǒng)考二模)若函數(shù)〃x)=41nx+l與函數(shù)g(x)=：d-2尤g>o)的圖象存在公切

線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

a-H]B.卜力

U5[3)D」[皆33]J

考點(diǎn)二：與公切線有關(guān)的求值問(wèn)題

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是切點(diǎn)，要充分利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程.

【例2】(2024下?重慶?高三重慶一中校考開(kāi)學(xué)考試)已知/(x)=e，+sinx,g(x)=aln(x+l)-l.

⑴若在(0J(0))處的切線也與g(x)的圖象相切，求。的值；

(2)若/W+g(x)之。在尤e(-1,+8)恒成立，求a的取值集合.

【變式】設(shè)蜂0,點(diǎn)P&0)是函數(shù)〃可=/+依與g(x)=b/+c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)

尸處有相同的切線.

(1)用，表示a,b,c；

⑵若函數(shù)尸/?-g(%)在(-1,3)上單調(diào)遞減,求t的取值范圍.

考點(diǎn)三：判斷公切線條數(shù)

規(guī)律方法運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系可以將兩曲線公切線的切點(diǎn)表示出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)零點(diǎn)存在

定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的情況.

【例3】曲線Ci：y=e”與曲線C2：y=lnx公切線的條數(shù)是。

【變式】曲線Ci：/（%）=曲線C2：g（x）="公切線的條數(shù)是（）

3%與

A.0B.1C.2D.3

考點(diǎn)四：求參數(shù)的取值范圍

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造參數(shù)關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)或切線斜率上的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題或

兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解.

【例4】（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)/（x）=Y-x,g（尤）=/+。，曲線y=/（尤）在點(diǎn)（占,〃占））處的

切線也是曲線y=g。）的切線.

⑴若玉=-1,求a；

（2）求a的取值范圍.

【變式】若函數(shù)/。）=履2（左/0）,g（x）=lnx有兩條公切線，試求人的取值范圍。

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

一、單選題

1.若曲線/(%y)=o上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱(chēng)這條切線為曲線〃x,y)=o的"自公切線下列方

程：①--9=1；②y=f一忖；③y=3sin尤+4COS尤；④閔+1=對(duì)應(yīng)的曲線中存在"自公切

線”的有

A,①②B.①④C.②③D.③④

2.已知直線/是曲線C：y=/與曲線Cdy=lnx,xe(O,l)的一條公切線，若直線/與曲線CI的切點(diǎn)為

P,則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)，滿(mǎn)足()

C11,

A.0</<—B.—</<1

22

C.—<t<y/2D.72<?<5/3

2

3.已知直線/是曲線％=/與曲線％=/*-2的一條公切線，/與曲線為=/-2切于點(diǎn)(4,6),且。是函

數(shù)/(X)的零點(diǎn)，則“X)的解析式可能為()

A./(x)=e2t(2x+21n2-l)-lB./(x)=e2v(2x+21n2-l)-2

C./(x)=e2x(2^-21n2-l)-lD./(x)=e2r(2x-21n2-l)-2

4.(2021上?四川成都?高三成都七中期中)如果直線/與兩條曲線都相切，則稱(chēng)/為這兩條曲線的公切線，

如果曲線G：y=lnx和曲線=T(尤>0)有且僅有兩條公切線，那么常數(shù)a的取值范圍是()

X

A.(-ao,0)B,(0,1)C.(l,e)D.

二、多選題

5.(2024上?山西運(yùn)城?高二統(tǒng)考期末)若直線y=f是曲線y=2f+3尤+4與>=-^+"曲線的公切線，

則()

A.m=-1B.機(jī)=2

C.〃=3D.〃=—3

三、填空題

6.(2023下?遼寧沈陽(yáng)?高二校聯(lián)考期中)若直線>=4尤+.是曲線y=x3-〃x+13與曲線y=/+21nx的公

切線，則〃+〃2=.

7.(2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè))曲線y=〃z+lnx過(guò)點(diǎn)(-2,0)的切線也是曲線>=6"的切

線，則加=;若此公切線恒在函數(shù)〃尤)=—+&3>+|-1的圖象上方，則a的取值范圍

是.

8.(2024下?重慶?高二重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(?=lnx,g(x)=xa(x>0,4片0),若存在直

線/,使得/是曲線y=/(x)與曲線y=g(x)的公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題

9.判斷曲線/'(x)=e*T與曲線g(x)=/nx的公切線的條數(shù)，并說(shuō)明理由.

10.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(x)=x3-x,g(x)=Y+a,曲線y=/(x)在點(diǎn)(占,〃占))處的切

線也是曲線y=g(x)的切線.

⑴若%=T,求a；

(2)求a的取值范圍.

11.已知函數(shù)〃尤)=lnx-

x-1

(1)討論7W的單調(diào)性，并證明?(才有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

(2)設(shè)xo是/(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線"Inx在點(diǎn)A(xo,In%o)處的切線也是曲線y=e、的切線.

微重點(diǎn)02函數(shù)的公切線問(wèn)題（4大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）

函數(shù)的公切線問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，通過(guò)雙變量的處理，從而轉(zhuǎn)化為零

點(diǎn)問(wèn)題，主要利用消元與轉(zhuǎn)化，考查構(gòu)造函數(shù)、數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

對(duì)【知識(shí)導(dǎo)圖】

?考點(diǎn)一：求兩函數(shù)的公切線

?考點(diǎn)二：與公切線有關(guān)的求值問(wèn)題

考點(diǎn)三：判斷公切線條數(shù)

?考點(diǎn)四：求參數(shù)的取值柩用

口

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：求兩函數(shù)的公切線

規(guī)律方法求切線方程時(shí)，注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線，曲線y=/U）在點(diǎn)P（尤o，?xo））

處的切線方程是y—兀%）=//（xo>（x—尤o）;求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線

上求解.

【例1】已知拋物線C］：y=f+2x和Cryn-V+a,如果直線/同時(shí)是C1和C2的切線，稱(chēng)/是G和G的

公切線，公切線上兩個(gè)切點(diǎn)之間的線段，稱(chēng)為公切線段.

（1）。取什么值時(shí)，C和C?有且僅有一條公切線？寫(xiě)出此公切線的方程；

（2）若G和G有兩條公切線，證明相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.

【答案】（1）。=-：；>

24

⑵證明見(jiàn)解析.

【詳解】（1）函數(shù)C］：y=f+2元的導(dǎo)數(shù)y=2x+2,

曲線G在點(diǎn)尸（％，X1+2%）的切線方程是團(tuán)y-（%；+2西）=（2%+2）（%-%1）,

BPy=（2芭+2）%一x；①，

函數(shù)尸_爐+〃的導(dǎo)數(shù)y=_2x,

曲線G在點(diǎn)。（%2,-%；+。）處的切線方程是y-+〃）=-2%2（%-工2），

即y=-2X2X+xf+a②,

如果直線/是過(guò)尸和。的公切線，

則①式和②式都是/的方程，則2%+2=-2%,-x；=x；+〃，

消去巧得方程2x；+2玉+1+。=0,

11

判另IJ式A=4-4x2（l+a）=。時(shí)，即〃=_^時(shí)解得石=—于此時(shí)點(diǎn)P與。重合.

即當(dāng)時(shí)，C,和C?有且僅有一條公切線，

由①得公切線方程為y=x-；；

（2）證明：由（1）可知.當(dāng)a<-1時(shí)G和C?有兩條公切線，

設(shè)一條公切線上的切點(diǎn)為回產(chǎn)（國(guó),%）,。（馬，必），

其中尸在G上，Q在。2上，則有玉+工2=-1，

%+=%：+2玉+（—X；+OL）—X；+2玉一（%+1）2+d——1+Q,

故線段P。的中點(diǎn)為（-9二^）,

同理求得另一條公切線段尸'?！闹悬c(diǎn)也是（-3三或）

所以公切線段PQ和P'Q'互相平分，即若G和c2有兩條公切線，相應(yīng)的兩條公切線段互相平分.

【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，即利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決曲線的公切線問(wèn)題，解答時(shí)要能

熟練的求解曲線的切線方程和利用一元二次方程的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

【變式】（2023?云南保山?統(tǒng)考二模）若函數(shù)〃x）=41nx+l與函數(shù)g（x）=%2-2Ma>0）的圖象存在公切

線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

【答案】A

【分析】先求得公切線方程為y=3x+41n-3,聯(lián)立方程組，結(jié)合A=0,得至Ui"，令

t——=-------

a3-41nZ

<2V4(2+1]f+41n1-l

，求得〃⑺t，令。⑺=f+41nr—1,求得d(f)>0和0(l)=0,得到函

3(3-43)2

數(shù)欠。的單調(diào)性和最小值6⑺1m?=3,進(jìn)而得到即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃x)=41nx+l,可得尸(x)=：

因?yàn)閍>0,設(shè)切點(diǎn)為。,41nf+l),則-⑺=3,

44

則公切線方程為V-41nf-1=7(X一。，即>=7》+41皿一3,

與y=—x2—2x聯(lián)立可得—*-(2H—41n/+3=0,

aa\tJ

所以A=(2+d]—4xLx(3—41nr)=0,整理可得1(j+"，

\tJCl一二-------

a3-41nr

f<2>03

又由(〉0,可得3—41n，>0,解得0</</，

4r2+]V+41nr-l

令,其中0</<尸可得//(。=(Jt

/()=2

3-41n/(3-41nr)

3\

令9(0=7+41nt—1,可得"(/)=l+；＞0,函數(shù)在10,胸)上單調(diào)遞增，且9(1)=0,

7

當(dāng)0</<1時(shí)，夕(。<0,即此時(shí)函數(shù)力。)單調(diào)遞減,

當(dāng)[</</時(shí)，小(。>°，即此時(shí)函數(shù)人(。單調(diào)遞增，

所以且當(dāng)r-0+時(shí)，〃⑺->+8,所以函數(shù)/巾)的值域?yàn)閇3,+8),所以且。>0,

解得0<。4；，即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(0,g.

故選：A.

【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.

考點(diǎn)二：與公切線有關(guān)的求值問(wèn)題

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是切點(diǎn)，要充分利用切點(diǎn)既在曲線上又在切線上構(gòu)造方程.

【例2】(2024下?重慶?高三重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知〃x)=e'+sinx,g(x)=aln(x+l)-l.

⑴若/(x)在(0J(0))處的切線也與g(x)的圖象相切，求。的值；

⑵若/W+g(x)2。在尤w(T,+℃)恒成立，求a的取值集合.

【答案】⑴a=2e

(2)M

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求得了(M在(。"(。))處的切線方程，再根據(jù)直線與g(x)的圖象相切，

設(shè)切點(diǎn)(1，%)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，求得。的值；

(2)根據(jù)必要性可求得。=-2,再代入數(shù)據(jù)計(jì)算函數(shù)在上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，計(jì)算

即可求解.

【詳解】(1)由己知了'(x)=e*+cosx,則/'(0)=e°+cos0=2,又/(0)=e°+sin0=1,

所以切點(diǎn)為(0,1),切線的斜率為2,

所以切線方程為＞=2尤+1,

又g'(無(wú))==，設(shè)切點(diǎn)為(毛,%),所以8'(/)=’7，

X+1玉)+1

-^—=2

所以＜x0+l,解得a=2e；

2x0+1=〃In+1)-1

(2)設(shè)加(x)=e，+sinx+Qln(x+l)-l,貝口mr(x)=e%+cosxd■——,

必要性：因?yàn)椋?(o)=o,函數(shù)在尤=0的左右均大于等于a(o),

所以x=0是極值點(diǎn)，所以/⑼=e°+cos0+a=0,所以。=-2；

2

充分性：當(dāng)〃=一2時(shí)，加(x)=e"+cosx-----,

x+1

2

當(dāng)xe(—1,0］時(shí)，ev+cosx<2>——2,所以7〃(x)40,

所以加⑴在(T,0］上單調(diào)遞減，

22

當(dāng)xe(O,y)時(shí)，設(shè)”(Rn^+cos尤-----，則〃'(x)=e'_sinx+-

x+1(x+1)

22

因?yàn)閑x-sinx+而/>1-1+而子>0,所以“(x)單調(diào)遞增，

即〃/(x)單調(diào)遞增，

又〃/(￡)>/(0)=0,所以機(jī)(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以〃z(x)在(T0］上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故m^x)>?77(0)=0,

所以。=—2,

故實(shí)數(shù)。的取值集合為{-2}.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，利用點(diǎn)斜式表

示切線方程，若無(wú)切點(diǎn)，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，切點(diǎn)既在曲線上又在切線上，列出方程即可；利用導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)恒成立問(wèn)題，由必要性求得參數(shù)的值，然后證明充分性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最小值.

【變式】設(shè)蜂0,點(diǎn)P,。)是函數(shù)/(可=/+◎與g(x)=bd+c的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)

產(chǎn)處有相同的切線.

⑴用f表示a,b,c；

⑵若函數(shù)V=/(x)-g(x)在(-1,3)上單調(diào)遞減，求t的取值范圍.

【答案】⑴。=-：,b—t,c=—t3；

(2)(-<X>,-9］U［3,-HO).

【分析】(1)由題意得到戶(hù)+af=f(/+a)=O,bt2+c=0,結(jié)合言0求出°=-》,對(duì)兩函數(shù)求導(dǎo)，利用兩函

數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線，得到3產(chǎn)+〃=26，結(jié)合.=-產(chǎn)表達(dá)出b=t,c=-t\

(2)在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，得到y(tǒng)=〃x)-g(x)=x3-/x-]+/,x4-l,3),求導(dǎo)后因式分解，轉(zhuǎn)化為

)/=(3%+/)(%-/)40在了?-1,3)上恒成立問(wèn)題，分/<0與7>0兩種情況，求出y=(3尤+/)(%-/)W。的解

集，與xe(T,3)比較端點(diǎn)，得到不等式組，求出f的取值范圍.

【詳解】(1)由題意得：t3+at=t(t2+a)=0,bt2+C=0,

因?yàn)閒/0,所以戶(hù)+0=0,即°=-產(chǎn)，

/,(x)=3x2+a,g(x)=2bx,

因?yàn)閮珊瘮?shù)的圖象點(diǎn)尸處有相同的切線，

所以3產(chǎn)+a=2bt，

將a=-產(chǎn)代入上式，且,大0,解得：b=t,

將6=/代入初?+c=o中，c—,

綜上：a=-t2,b=t,c=—t3;

(2)y=/(x)-g(x)=x3+OX-Z?%2-c=x3-?2x-tv2+t3,%e(-l,3),

則y'—3x2—2tx—t2=(3尤+。(%—。40在尤e(—l,3)上恒成立，

當(dāng)f<0時(shí)，(3尤+。W。的解集為f4尤4—§,

當(dāng)r>0時(shí)，(3x+r)(x—的解集為一(vxvr,

由題意得：函數(shù)y=/(x)-g。)在(-1,3)上單調(diào)遞減，

則(T,3)u或(-l,3)q?,-1,

此3[_33

所以(人<或｛3~,解得：9或噂3,

所以》的取值范圍是(—，-9]U[3,y)

考點(diǎn)三：判斷公切線條數(shù)

規(guī)律方法運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與斜率之間的關(guān)系可以將兩曲線公切線的切點(diǎn)表示出來(lái)，構(gòu)造新的函數(shù)，通過(guò)零點(diǎn)存在

定理判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程解的情況.

【例3】曲線C：P二產(chǎn)與曲線a：y=lnx公切線的條數(shù)是。

【答案】2

【詳解】根據(jù)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知

y=ex=>y'=e。

y=lnx=>y'=；

則兩函數(shù)在點(diǎn)(xi,%)和(如㈤處的切線分別為

y—yi=e*(x-xi),

1.、

y—y2=-{x—X2),

X2

化簡(jiǎn)得y=爐x+(l—石)ex',

y=Lr+ln1,

x2

Je*i—_1

由題意可得vX2

x,

(1-xx)e=Inx2-L

化簡(jiǎn)得荀照+用一小+1=0=々='―-從而e*二石+1

X]+1-1

令/Xx)=exg(x)=W畫(huà)出函數(shù)f(x),g(x)的圖像，兩個(gè)圖像有2個(gè)交點(diǎn),

'x-1,

所以方程/=四有兩個(gè)不相等的根，所以曲線Ci：y=e”與曲線C2：y=lnx有2條公切線。

x—\

【變式】曲線Cl：y(x)=曲線C2：8(%)=6工公切線的條數(shù)是()

3x與

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【詳解】設(shè)公切線為/,PQ1,")是/與段)的切點(diǎn)，由/(X)=一-—,

3%

得f(X)=(y,設(shè)。(%2,>2)是I與g(x)的切點(diǎn)，

由g(x)=e],得屋(x)=ex,

所以I的方程為y—yi=-^-r(x—xi),

3x

因?yàn)閄=---，

12

整理得y=-j-x----,

同理y->2=匕巧(龍—檢)，

因?yàn)椤?e巧，

整理得y=6巧％+e%(1—X2),

1%

3元1

依題意，可得11

2

----=(I-4)*

〔3%-

消去XI,得彳3(1—々),2/2—1=0,

33

令h(x)=-(l-x)2ex-lh(x)=-(x2-l)ex

4，則4

令今(%)=0,則冗=±1,

當(dāng)x<—1或x>l時(shí)，h'(x).>0；

當(dāng)一1<X<1時(shí)，h'(x)<0,

3

所以"(%)有極大值為力(-1)=——1>0

e,

%(x)有極小值為7z(l)=-l,

3

因?yàn)?Z(X)=—(1—X)92/—1

4

當(dāng)x趨近于一8時(shí)，/i(x)趨近于-1；

當(dāng)尤趨近于+8時(shí)，/z(x)趨近于+8,

故"(x)的大致圖象如圖.

根據(jù)函數(shù)/z(無(wú))零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以，曲線Ci、與C2有3條公切線。

考點(diǎn)四：求參數(shù)的取值范圍

規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造參數(shù)關(guān)于切點(diǎn)橫坐標(biāo)或切線斜率左的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題或

兩函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，利用函數(shù)的性質(zhì)或圖象求解.

【例4】(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/(了)=三一x,g(x)=/+a,曲線y=/(尤)在點(diǎn)&,〃％))處的

切線也是曲線>=g(x)的切線.

⑴若%=T,求a；

(2)求a的取值范圍.

【答案]⑴3

(2)[-1,^0)

【分析】(1)先由AM上的切點(diǎn)求出切線方程，設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再由函數(shù)

值求出。即可；

(2)設(shè)出g(x)上的切點(diǎn)坐標(biāo)，分別由人元)和g(x)及切點(diǎn)表示出切線方程，由切線重合表示出。，構(gòu)造函

數(shù)，求導(dǎo)求出函數(shù)值域，即可求得。的取值范圍.

【詳解】(1)由題意知，/(-I)=-1-(-1)=0,/V)=3X2-1,廣(一1)=3-1=2,則>=/(元)在點(diǎn)(—1,0)處

的切線方程為了=2。+1),

即y=2x+2,設(shè)該切線與g(x)切于點(diǎn)伍屈9)),g")=2x,貝!|g，(％)=2%=2,解得々=1,貝|

g⑴=1+。=2+2,解得。=3；

(2)1(%)=3%2—1,則y=/(x)在點(diǎn)區(qū)〃石))處的切線方程為y—(4―玉)=(3%；—1卜%—%)，整理得

y=(3片,

設(shè)該切線與g（x）切于點(diǎn)（％，8（/）），g'（x）=2x,則/（々）=2工2，則切線方程為+。）=2々（*-々），整

理得y=2X2X-xl+af

呼「=2},整理得°=考一2x；=2牙=；x：_2x：_|x；+；,

則

—2%]=-%+a

93cl1

令/i(x)=—x4-2x3——x2+—,則hf(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+l)(x-1),令hr(x)>0,解得——<x<0或

4243

x>l,

令〃(x)<0,解得x<-g或0<x<l,則x變化時(shí)，的變化情況如下表：

1H'0)

X(0,1)(1,+00)

-301

/（X）-0+0—0+

5￡

h(x)/-1/

274

則為（無(wú)）的值域?yàn)椋?L~）,故。的取值范圍為［-L~）.

【變式】若函數(shù)/。）=叱（人0）,g（x）=lnx有兩條公切線，試求人的取值范圍。

【答案】0+8）

【詳解】第一步：確定切點(diǎn)

設(shè)公切線與f（x）=kx1的切點(diǎn)為6（X1，何2）

第二步：求斜率

/'（%）=2kx,斜率為2Axi

第三步：點(diǎn)斜式確定切線方程

則它的切線方程是y-g？=2g（x-xj即y=2kxi?x-kx；.

，，

同理：設(shè)公切線與g（x）=lnx的切點(diǎn)為￡（々,111々）

則切線方程為y='-x+lnx2T

第四步：公切線應(yīng)用（斜率相同，截距相等）

-=2kx1

x2

In%-1=-kxj；且每一組解(刈，X2)對(duì)應(yīng)一條公切線。

由以上方程組消X2,整理得

Ax；2-ln(2AX])-l=0

第五步：切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)

函數(shù)f(x)和g(x)有兩條公切線，所以方程封2/(2好)-1=0有兩個(gè)根

令/z(x)=Ax?-ln(2Ax)-1則"(x)=2去一工

，x

(1)當(dāng)左<0時(shí)，/i(x)的定義域?yàn)?-8,0),此時(shí)/z'(x)>0,/z(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞增;

h(x)與x軸至多有1個(gè)交點(diǎn)，與題意不符；

(2)當(dāng)k>0時(shí)，h(x)的定義域?yàn)?0,+8)

令"(x)=0,得

所以，當(dāng)xe(O,jL1)時(shí)，》(尤)<0,〃(x)在(0,J工)上單調(diào)遞減;

V2kV2K

U,+8)時(shí)，"%)〉0,〃⑴在(J'1,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)XW(.

2kV2k

Mx)與X軸至多有2個(gè)交點(diǎn)，所以h(x)=O要有兩根，還須滿(mǎn)足

唱)=唱1)2-心也1-「-皿瘍一；1<0,

解得k>—；

2k2k22e

由于人(2)=左"-2左-2=0,

A(^—)=左(^—)2-ln(^—)-1=>0

2k-e2k-e2k-e4k-e2

1

所以，在和+8)上’分別存在不，%,使/2(毛)=秋為)=。

2k

綜上所述'Q*

【強(qiáng)化訓(xùn)練】

一、單選題

1.若曲線Ax,y)=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱(chēng)這條切線為曲線〃x,y)=0的"自公切線下列方

程：①￡_9=1；②丫=%2一此③y=3sinx+4cosx；④兇+1="4-：/對(duì)應(yīng)的曲線中存在"自公切

線”的有

A.①②B.①④C.②③D.③④

【答案】C

【詳解】①f-/=1是一個(gè)等軸雙曲線，沒(méi)有自公切線；

丫2丫丫][1

②、=尤2_國(guó)={-八在》=一彳,無(wú)=彳處的切線都是丁=:故②有自公切線.

x+x尤<0224

③y=3sinx+4cosx=5sin(x+0),此函數(shù)是周期函數(shù)，過(guò)圖象的最高點(diǎn)的切線都重合或過(guò)圖象的最低點(diǎn)

的切線都重合，故此函數(shù)有自公切線.

④?chē)?guó)+1=反7，即f+2忖+9-3=0,結(jié)合圖象可得，此曲線沒(méi)有自公切線.

故答案為C.

2.已知直線/是曲線G：y=V與曲線G：y=lnx,xw(0,l)的一條公切線，若直線/與曲線G的切點(diǎn)為

P,則點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)f滿(mǎn)足()

11

A.0</<一B.—</<1

22

C.—<z<V2D.V2<?<>/3

2

【答案】D

【分析】記直線/與曲線G的切點(diǎn)為(孤lnm)Me(O,l),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)公切線的兩種表達(dá)

方式列式可得In⑵)-〃+1=。,"3,再構(gòu)造函數(shù)〃x)=ln(2x)-x2+Lx>：求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存

在性定理求解即可

【詳解】記直線/與曲線C?的切點(diǎn)為(〃7,血7)即?0,1),則直線/的方程為〉-1的=3》-叫又直線/的方

m

程為y"=2《xT),從而3=：且出根_1=_汽消去旭得]n：_i=v2,即3(2。一產(chǎn)+l=0j>g,設(shè)

/(x)=ln(2x)-x2+l,x>1,^廣(X)=，-2X=L2L令力^)>0解得工0<立,則函數(shù)〃尤)在;

2xX22

上遞增，又心,1］無(wú)零點(diǎn)，八力<0得“X)在上單調(diào)遞減.又

/(V2)=ln(2V2)-l>0,/(V3)=ln(2V3)-2<ln4-2<0,所以fe(應(yīng)，道)

故選：D.

3.已知直線/是曲線％=e，與曲線y2=e2=2的一條公切線，/與曲線%=e?，-2切于點(diǎn)(a,6),且。是函

數(shù)/(X)的零點(diǎn)，則"%)的解析式可能為()

A./(x)=e2x(2x+21n2-l)-lB,f(x)=e2x(2%+2ta2-l)-2

C./(x)=e2r(2x-21n2-l)-lD./(x)=e2r(2x-21n2-l)-2

【答案】B

【分析】設(shè)公切線在曲線y：=e，上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(狐e'"),在曲線%=j-2上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(a,e2fl-2),

_2e2a

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出，"二\2。.，消去加可得出關(guān)于。的等式，即可得出函數(shù)/(無(wú))

e(1—ntj=li-.Q)e-L

可能的解析式.

【詳解】由％=e>可得y；=e1由必=十一2,可得解=2e".

設(shè)公切線在曲線父=e，上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(叫e'"),

2am2a

在曲線丫2=e"-2上的切點(diǎn)坐標(biāo)為(a,e-2),則e=2e,

整理可得%=2a+ln2①.

曲線％=e'在點(diǎn)(加,e'")處的切線方程為y—e"=e"(x—〃。，即y=e"*+d"(l—回，

曲線％=/-2在點(diǎn)(a,/-2)處的切線方程為y-(游-2)=2e2"(x-a),gpy=2e2fl%+(l-2a)e2a-2,

所以，em(l-m)=(l-2fl)e2a-2,gp2e2a(1-m)=(1-2?)e2a-2(2),

將①代入②中整理可得e2"(2a+21n2-1)-2=0.

因?yàn)椤ㄊ呛瘮?shù)的零點(diǎn)，所以〃元)的解析式可能為/(x)=e2%2x+21n2-l)-2.

故選：B.

4.(2021上?四川成都?高三成都七中期中)如果直線/與兩條曲線都相切，則稱(chēng)/為這兩條曲線的公切線,

如果曲線G：y=lnx和曲線c,:y=土段(尤>0)有且僅有兩條公切線，那么常數(shù)a的取值范圍是()

X

A.B.(0,1)C.(l,e)D.(e,+co)

【答案】B

【分析】把曲線和曲線C?有且僅有兩條公切線，轉(zhuǎn)化為衣(In玉-2)=-2后有且僅有兩解.

記〃尤)=&(lnx-2),">0),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性和極值，建立不等式-2<-26<0,即可解得.

【詳解】曲線￡:y=lnx上一點(diǎn)A(&lnM，?=■，切線方程為：y=-x-l+ln^.

x—a/?a],aa，2a

x+

曲線G：y=----(%>o)上一點(diǎn)B々J—，y=F,切線方程為：y=~^—.

XI%2J*2X2X2

1_a

若直線/與兩條曲線都相切，則有?之，消去巧得：毒(In%-2)=-26.

^^-1=1--

%

因?yàn)榍€G：y=lnx和曲線。2：,=土心(％>0)有且僅有兩條公切線，

X

所以嘉(In%-2)=-2y[a有且僅有兩解.

t己/(x)=?(lnx-2),(x>0)貝"⑴=總"2)+?子等,

令制x)>0,得所以在(1,+8)上單增；/'(力<0,得0<x<l,所以在(0,1)上單增.

所以〃力皿=〃1)=-2.

又有f(x)=0,解得：尤=0(舍)或無(wú)=e2.

當(dāng)x.o+,貝1]/(司—0；當(dāng)xfoo,則/(x)->+oo；

而-2&W0,所以要使在0nX]-2)=-2后有且僅有兩解,

只需-2<-2，?<0,解得：O<A<1.

故選：B

【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：

(1)利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程;

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值(最值)；

(3)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.

二、多選題

5.(2024上?山西運(yùn)城,高二統(tǒng)考期末)若直線丫=-彳+加是曲線＞=2爐+3彳+4與〉=-產(chǎn)"曲線的公切線，

貝U()

A.m=-lB.m=2

C.〃=3D.n=—3

【答案】BD

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得.

【詳解】令/(力=2/+3彳+4,貝i]/'(x)=4x+3,

令[(X)=4X+3=—1,有X=—1,則/(-1)=2-3+4=3,

即有y—3=—(x+1),即y=—x+2,故/”=2,

令g(x)=Yi,則＜(x)=.e』，

令g'(尤)=-ex+n=-1,有x=-〃,則g(-n)=-e°=-1,

即有y+l=—(x+")，BPy,

故有—”一1=2,即〃=—3.

故選：BD.

三、填空題

6.(2023下?遼寧沈陽(yáng)?高二校聯(lián)考期中)若直線y=4x+加是曲線＞=尤3一”x+13與曲線y=/+21nx的公

切線，則〃+m=.

【答案】5

【分析】由直線y=4x+%是曲線y=/+21nx的切線求解機(jī)=-3,可得切線方程，再設(shè)直線y=4尤-3與

曲線y=V-ax+13的切點(diǎn)，由切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于切線的斜率，且切點(diǎn)處的函數(shù)值相等列式求解力則答

案可求.

2?、

【詳解】由丁=/+2111元,得y'=2%+—,由2%+—=4,解得無(wú)=1(%＞。)，

xx

則直線丁=4x+相與曲線y=Y+21nx相切于點(diǎn)(1,4+m)，

團(tuán)4+m=l+21nl=l,得加=-3,

回直線y=4無(wú)一3是曲線丁=彳3-7a+13的切線,

由、=彳3-加+13,得>'=3》2-〃，設(shè)切點(diǎn)為，，戶(hù)-川+13）,

則3/一〃=4,且/一〃r+i3=4r-3,聯(lián)立可得3?-/一嶼+4=4,

t

解得r=2,所以幾=8.

團(tuán)〃+機(jī)=8+（-3）=5.

故答案為：5.

7.（2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）曲線丁=加+1n不過(guò)點(diǎn)（-2,0）的切線也是曲線丁=/的切

線，則加=;若此公切線恒在函數(shù)〃x）=aeT+g-3卜+|-1的圖象上方，則。的取值范圍

是.

2

【答案】-6/<-e2

e

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出機(jī)；將此公切線恒在函數(shù)/（司=?'-/+[-3]X+彳-1的圖象上

方，轉(zhuǎn)化為a<-+3x+l恒成立,再構(gòu)造函數(shù)g（x）=Y+：x+l,利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得解.

ee

【詳解】由y=冽+lnx得了=’,

x

設(shè)曲線y=772+ln尤過(guò)點(diǎn)（-2,0）的切線的切點(diǎn)為（尤o，〃z+lnXo）,

1,1

則切線的斜率為一，切線方程為y-〃Llnx0=一（z％-尤0）,

%M

2

由于該切線過(guò)點(diǎn)（一2,0）,所以一加-lnx°=——1,

%

設(shè)該切線與曲線>=/切于（再,y）,因?yàn)閥=e）所以y=e，，所以該切線的斜率為d,

所以切線方程為y-e"=9（》-%）,將（一2,0）代入得0-e4=e氣-2-%）,得西=-1,

1122

所以一=d=一，所以Xo=e,所以一加―lne=----1,所以〃?=—.

玉）eee

1i1?

由以上可知該公切線方程為丫-±=±（尤+1）,即y=

eeee

若此公切線恒在函數(shù)〃x）=aeT+&3）尤+11的圖象上方，

則工x+2>oe*-尤2+（工一3）x+2-1,即a<廠+3》+1恒成立，

eeeeex

2

+3x+1(2x+3),e"-(尤?+3x+1),e'-x—x+2

令g(尤)=‘貝”'(x)=

令g'(x)>0,得-x+2>0,得—2<x<l,

令g'(x)<0,得_/_彳+2>0,得x<—2或x>l,

所以g(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增,在(1,+8)上單調(diào)遞減,

因?yàn)閤>0時(shí)，g(x)>0,所以當(dāng)x=-2時(shí)，g(x)取得最小值g(-2)=-e2.

所以4<-e2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解第二個(gè)空時(shí)，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求解是解題關(guān)鍵.

8.(2024下?重慶?高二重慶一中?？奸_(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=xa(x>0,awO),若存在直

線/,使得/是曲線>=/(尤)與曲線y=g(元)的公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［o,1”1,+動(dòng)

【分析】分別設(shè)出直線/與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)(%J。))，(/，g(々))，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,

根據(jù)題意得至!!(a-l)(lnx-x")+lna+l=。,記/z(x)=(a-l)(lnx-x")+lna+l,m(x)=lnx-x",分類(lèi)討論a

與1的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析求解.

【詳解】設(shè)直線/為曲線〃x)=lnx在點(diǎn)(%"(%))處的切線，/U)=-,

x\

所以/:y—ln玉=—(x-xj,gp/：y=—x+ln^-1.

再引

設(shè)直線/為曲線g(X)=X"(X>0,"o)在點(diǎn)(％，g(無(wú)2))處的切線，g'(X)="尸,

所以/:y—芯=ax7(%—石)，即/:y=ax^~lx+(1-a)x^；

—=a-[

由題意知《玉ax2,因?yàn)椋?>0,%2>0，可知〃>0,

In^-1=(1-0)X2

由‘二ax1可得In%=-Ina-(a-1)Inx,

xi。2

將其代入In%]-1=(1一。)只可得：(a—D(lnx—兀")+111々+1=0,

令/2(%)=(3-1)(111%-%")+1皿+1,則力(犬)在(0,+8)上有零點(diǎn),

令m(x)=lnx-xfl,則m(x)=匕>0,x>0,

x

八11

令機(jī)(力>0,解得令加(x)v。，解得

aaaa

/\(\

加(X)在區(qū)間0,1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1，+加上單調(diào)遞減,

Iaa)\aa)