第12講反比例函數(shù)［2大考點10大題型】

知識網(wǎng)絡(luò)1

題型1反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

題型2反比例函數(shù)圖象的對稱性

題型3反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義

題型4反比例函數(shù)解析式的確定

題型5與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題

題型6反比例函數(shù)與網(wǎng)格作圖結(jié)合

題型7反比例函數(shù)的實際應(yīng)用

題型8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的實際應(yīng)用

題型9反比例函數(shù)與其他函數(shù)的綜合應(yīng)用

題型10反比例函數(shù)與幾何圖形的實際應(yīng)用

］新考向：新考法）

|新考向：新趨勢）

|新考向：新情境）

［新考向：跨學(xué)科）

考點一反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識導(dǎo)航

1、反比例函數(shù)的概念

一般的，形如y=&（是常數(shù)，厚0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù)。其它表示形式：y=或肛=%。

x

因為a0,厚0,相應(yīng)地y值也不能為0,所以反比例函數(shù)的圖象無限接近x軸和y軸，但與x軸、y軸永不

相交.

2、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

反比例函數(shù)j=|（k為常數(shù)，原0）的圖象總是關(guān)于原點成中心對稱的，它的位置和性質(zhì)受k的符號的影

響.

k

fc>0k<0

（左為常數(shù)，原0）

yy

J

圖象OO

X

所在象限一、三（%,y同號）二、四（%,y異號）

在每個象限內(nèi)，y在每個象限內(nèi)，y

性質(zhì)

隨X的增大而減小隨X的增大而增大

3、反比例函數(shù)的左的幾何意義

k

由［（，）的圖象上任意一點向兩坐標(biāo)軸作垂線，兩垂線與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積為應(yīng).

y=XkO

如圖①和②，S矩形叢OB=PAPB=lyHR=|沖|=|川；

同理可得SAOPA=SA0PB=；|xy|=|跳

4、反比例函數(shù)解析式的確定

（1）待定系數(shù)法。由于在反比例函數(shù)y=&中，只有一個待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一

x

個點的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式。

（2）利用反比例函數(shù)中反比例系數(shù)的幾何意義

若已知某點到坐標(biāo)軸的垂線與坐標(biāo)軸所圍成的面積，根據(jù)函數(shù)圖象所在象限判斷k的正負，從而確定k

值，再將k值代入反比例函數(shù)解析式即可。

典例分析

【題型1反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)】

【例1】（2024?山西?中考真題）已知點4（勺,月），8（如光），。（孫，乃）都在反比例函數(shù)丫=/（卜<0）的圖像

上，且與<久2<0<修，貝!!％，丫2，%的大小關(guān)系是（）

A.y2>yr>y3B.%>%>%C.y】>%>為D.y3>Yi>y2

【答案】A

【分析】首先畫出反比例函數(shù)y=§（fc<0）,利用函數(shù)圖像的性質(zhì)得到當(dāng)<%2<0<%3時，為，、2，%的

大小關(guān)系.

【詳解】解：?；反比例函數(shù)y=：伏<0）,

故選A.

【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2024?廣東深圳?中考真題）反比例函數(shù)y=|的圖象在（）

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、三象限D(zhuǎn).第二、四象限

【答案】B

【分析】反比例函數(shù)y中，k>0圖象在一，三象限，k<0圖象在二、四象限

【詳解】Vfc=2>0

=2的圖象在第一，三現(xiàn)象

X

故選擇：B

【點睛】熟練掌握反比例函數(shù)圖象的決定因素是解題關(guān)鍵

'-（%>0）

【變式1-2]（2024.河北.中考真題）如圖，函數(shù)y={\的圖象所在坐標(biāo)系的原點是（）

--（%<0）

C.點PD.點Q

【答案】A

【分析】由函數(shù)解析式可知函數(shù)關(guān)于y軸對稱，當(dāng)x>0時，圖象在一象限，當(dāng)x<0時，圖象在二象限，即

可求解.

退〉0)，

【詳解】由已知可知函數(shù)>=關(guān)于y軸對稱，軸與直線PM重合.當(dāng)x>0時，圖象在一象限,

-；(xVO)

當(dāng)x<0時，圖象在二象限，即圖象在x軸上方，所以點M是原點.

故選A.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)；熟練掌握函數(shù)的解析式與函數(shù)圖象的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2024.遼寧丹東.中考真題)如圖，點A是反比例函數(shù)y=^(x>0)的圖象上一點，過點A作AC1%

軸，垂足為點C,延長4C至點3,使BC=24C,點。是y軸上任意一點，連接AD,BD,若△48。的面積

是6,貝瞌=.

【答案】4

【分析】連結(jié)。4OB,AB1x軸，由。。||AB得到SA。.=S^ABD=6.由BC=22C得到440c=j|fc|=

1S“OB=2,則|k|=4,再根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在象限即可得到滿足條件的人的值.

【詳解】解：如圖，連結(jié)。4、0B,

9：AB1/軸，

：.0D||AB.

??$△0/8=SLABD=6.

?；BC=2AC,

=

?S^AOC=5網(wǎng)3S2AOB=2,

|fc|=4,

??,圖象位于第一象限，貝必＞0,

k=4.

故答案為：4.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)并能熟練運用數(shù)形

結(jié)合的思想是解答問題的關(guān)鍵.

【題型2反比例函數(shù)圖象的對稱性】

[例2]（2024?廣西河池?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2久與反比例函數(shù)y=1（k手0）的圖

象交于2（*1，Vi）,8（%2，%）兩點，則為+丫2的值是-

【答案】0

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，則交點也關(guān)于原點對稱，即可求得當(dāng)+力

【詳解】??,一'次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=￡（k70）的圖象交于AO1,月）,B（久2，%）兩點，

一次函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=三%豐0）的圖象關(guān)于原點對稱,

???yi+y2=°

故答案為：o

【點睛】本題考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2024?江蘇宿遷?中考真題)如圖，直線y=2%與雙曲線y=3的圖象的一個交點坐標(biāo)為(2,4),則

它們的另一個交點坐標(biāo)是

A.(—2,—4)B.(—2,4)C.(—4,—2)D.(2,—4)

【答案】A

【分析】本題考查的是正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交點問題，根據(jù)正比例函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象

都是中心對稱圖形直接寫出答案即可

【詳解】解：由于反比例函數(shù)是中心對稱圖形，所以正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=g的兩交點4、3關(guān)

于原點對稱.

又因為點(2,4)關(guān)于原點對稱點的坐標(biāo)為(-2,-4).

故選A.

【變式2-2](2024?江蘇南通?中考真題)如圖，直線y=公紙＞0)與雙曲線y=￡交于A5,經(jīng))，B(也,

/)兩點，貝!I2幻”—7尤2刃=

【答案】20

【分析】根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)特點找出A、B兩點坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)

特點，即可求解.

【詳解】解，觀察圖象得：直線廣入(左＞0)過原點和一、三象限，且與雙曲線y=:交于兩點,

這兩點關(guān)于原點對稱，

..xi=-X2,yi=-y2>

又；點A、點2在雙曲線y=￡上，

.?.尤/竺=4,尤2*>2=4,

.".XlXy2=-4,X2Xj7=-4,

2xiy2-Tx2yi=2x-(-4)-7x(-4)=20.

故答案為：20

【點睛】本題主要考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)交點坐標(biāo)的性質(zhì)，屬于一般性的題目，掌握兩交點坐標(biāo)關(guān)

于原點對稱是解題的關(guān)鍵.

【變式2-3](2024?山東聊城?中考真題)如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形的中心在原點O,且正方形的一組

對邊與x軸平行，點P(3a,a)是反比例函數(shù)y=§(左>0)的圖象上與正方形的一個交點.若圖中陰影部

分的面積等于9,則這個反比例函數(shù)的解析式為—.

【答案】y=2

JX

【分析】由反比例函數(shù)的對稱性可知陰影部分的面積和正好為小正方形面積的，設(shè)小正方形的邊長為b,圖

中陰影部分的面積等于9可求出6的值，從而可得出直線的表達式，再根據(jù)點P(3a,a)在直線AB上

可求出a的值，從而得出反比例函數(shù)的解析式：

【詳解】???反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，

,陰影部分的面積和正好為小正方形的面積.

設(shè)正方形的邊長為6,則/=9,

解得：6=3.(負值舍去)

???正方形的中心在原點0,且正方形的一組對邊與X軸平行,

，直線A8的解析式為：x=3.

丁點尸（3〃，a）在直線A3上，

3〃=3,

解得：a=l,

：.P（3,1）.

?.?點尸在反比例函數(shù)y=￡（匕＞0）的圖象上,

仁3x1=3.

??.此反比例函數(shù)的解析式為：y=|.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的對稱性及正方形的性質(zhì)，根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性得出小正方形的邊長

是解題關(guān)鍵.

【題型3反比例函數(shù)中比例系數(shù)k的幾何意義】

【例3】（2024?湖南湘西?中考真題）如圖，點A在函數(shù)y=|（久＞0）的圖象上，點8在函數(shù)y=：（久＞0）的

C,則四邊形ABC。的面積為（）

C.3D.4

【答案】B

【分析】延長84交y軸于點D,根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義得到S-DO=]x2=1,S矩形℃BD=3,根據(jù)

四邊形4BC。的面積等于S矩形OCBD-Su。。，即可得解.

【詳解】解：延長BA交y軸于點D,

軸,

DA1y軸，

;點A在函數(shù)y=：(x>0)的圖象上，

,,SAADO=&x2=L

?；8。1》軸于點。，軸，點2在函數(shù)y=久X>0)的圖象上，

,?S矩形OCBD=3，

.,?四邊形4BC。的面積等于S矩形OCBD-SNDO=3-1=2；

故選B.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用.熟練掌握反比例函數(shù)中k的幾何意義，是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2024?吉林?中考真題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點，點4,B在函數(shù)y=：(x>0)

的圖象上(點B的橫坐標(biāo)大于點2的橫坐標(biāo))，點4的坐示為(2,4),過點4作4D1%軸于點0,過點B作BC1久

軸于點C,連接。4AB.

(1)求k的值.

(2)若。為。C中點，求四邊形。4BC的面積.

【答案】(1)8；(2)10.

【分析】(1)將點4的坐標(biāo)為(2,4)代入y=；(x>0),可得結(jié)果；

(2)利用反比例函數(shù)的解析式可得點B的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式和梯形的面積公式可得結(jié)果.

【詳解】解：⑴將點力的坐標(biāo)為(2,4)代入y=：(x>0),

可得k=xy=2x4=8,

k的值為8；

(2)的值為8,

???函數(shù)y=：的解析式為y=%

???￡>為。C中點，OD=2,

??.OC=4,

???點B的橫坐標(biāo)為4,將久=4代入y=p

可得y=2,

???點B的坐標(biāo)為(4,2),

11

S四邊形OABC=S/40D+S^^ABCD=-x2x4+-(2+4)x2=10.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的系數(shù)k的幾何意義，運用數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵.

【變式3-2](2024.浙江衢州?中考真題)如圖，點A、B在x軸上，分別以。4A8為邊，在x軸上方作正方

形Q4CD,4BEF.反比例函數(shù)y=：(k>0)的圖象分別交邊CD,BE于點P,。.作PM1x軸于點M,QNLy

軸于點N.若。4=248,。為BE的中點，且陰影部分面積等于6,則k的值為.

【答案】24

【分析】設(shè)。4=4a,則力B=2a,從而可得力(4a,0)、B(6a,0),由正方形的性質(zhì)可得C(4a,4a),由QNly

軸，點尸在CD上，可得P《,4a),由于。為BE的中點，BElx軸，可得BQ=?B=a,則Q(6a,a),由

于點。在反比例函數(shù)y=￡(k>0)的圖象上可得k=6a2,根據(jù)陰影部分為矩形，且長為卷，寬為a,面積

為6,從而可得12x4凝xa=6,即可求解.

【詳解】解：設(shè)。Z=4a,

VOA=2AB,

'?AB—2a,

OB—AB+OA—6a,

.\B(6a,0),

在正方形ABEF中，AB=BE=2a,

???Q為BE的中點，

1

??BQ=-AB=a,

??Q(6a,a)，

在反比例函數(shù)y=久卜>°)的圖象上，

??k—6aXa=6a2,

?..四邊形。4CD是正方形，

C(4a,4a),

在CD上，

尸點縱坐標(biāo)為4a,

點在反比例函數(shù)y=g(k>0)的圖象上，

...P點橫坐標(biāo)為x=白，

4a

??《聞，

VzHMO=乙HNO=4NOM=90°,

???四邊形。MHN是矩形，

k

NH=—,MH=a,

4a

k

??S口OMHN=NHxMH=--xa=6,

：.k=24,

故答案為：24.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)及矩形的面積公式，讀懂題意，靈活運用所學(xué)知識

是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2024?黑龍江?中考真題）如圖，AABC是等腰三角形，過原點。，底邊BC||x軸，雙曲線y=￡

過4B兩點，過點C作CDIIy軸交雙曲線于點。，若SABCO=12,則k的值是（）

【答案】C

【分析】設(shè)B（若）,根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱性可得”-4-林然后過點A作4E1BC于E,求出BC=46,

點。的橫坐標(biāo)為-3b,再根據(jù)SABCD=12列式求出CD,進而可得點D的縱坐標(biāo)，將點。坐標(biāo)代入反比例函

數(shù)解析式即可求出k的值.

【詳解】解：由題意，設(shè)8（瓦§，

過原點。,

.?*（一濟―勻，

過點A作AE1BC于E,

?..△4BC是等腰三角形，

:.CE=BE=b-（-b）=2b,

；.BC=4b,點。的橫坐標(biāo)為—3b,

:底邊BCIIx軸，CD||yft,

:?SXBCD=^BC-CD=l-4b-CD=12,

?"T，

...點。的縱坐標(biāo)為9一（一9=一，

皿-3》,等），

?*.k=-3b■b=-3(6+k),

解得：k=-三,

故選：C.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，中心對稱的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，設(shè)出點8坐標(biāo),

正確表示出點D的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

【題型4反比例函數(shù)解析式的確定】

【例4】（2024.云南昆明.中考真題）如圖，直線y=x—1與y軸交于點4與反比例函數(shù)y=§的圖象交于點

B,過點B作BCLy軸于點C,AABC的面積為2,則反比例函數(shù)的解析式為（）

【答案】A

【分析】對于反比例函數(shù)問題，關(guān)注的焦點就是反比例函數(shù)圖象上的點，按照題意，設(shè)B（a,a-1）,根據(jù)AABC

的面積為2列出關(guān)于a的方程求解即可得出反比例函數(shù)解析式.

【詳解】解：,,直線y=x-l與y軸交于點力，

/.X（0,-1）,即04=1,

???直線y=x—1與反比例函數(shù)y=5的圖象交于點則設(shè)-1）,

???A4BC的面積為2,

xcix（a-1+1）—2-）

，@=2或。=—2（根據(jù)圖象在第一象限，舍），

???8（2,1）,即k=^y=2xl=2,

反比例函數(shù)的解析式為：y=-,

故選：A.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，求反比例函數(shù)解析式的關(guān)鍵是找到反比例函數(shù)圖象上一點的

坐標(biāo).

【變式4-1］（2024?上海?中考真題）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2,-4）,那么這個反比例函數(shù)的解析式

是（）

A.y=-B.y=--C.y=&D.y=--

【答案】D

【分析】設(shè)解析式產(chǎn)%代入點（2,-4）求出k即可.

【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為尸與

將（2,-4）代入，得：-4甘，

解得：28,

所以這個反比例函數(shù)解析式為

，y=-X-.

故選：D.

【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，求反比例函數(shù)解析式只需要知道其圖像上一點的坐

標(biāo)即可.

【變式4-2］（2024.西藏?中考真題）已知點4是直線y=2x與雙曲線丫=號（加為常數(shù)）一支的交點，過點4作

無軸的垂線，垂足為B,且。8=2,則m的值為（）

A.-7B.-8C.8D.7

【答案】D

【分析】易求得力點的坐標(biāo)，代入丫=嗜（巾為常數(shù)）即可求出

【詳解】由題意，可知點4的橫坐標(biāo)是±2,由點4在正比例函數(shù)y=2久的圖象上，

.??點4的坐標(biāo)為（2,4）或（-2,-4；,

又???點力在反比例函數(shù)丫=等（爪為常數(shù)）的圖象上，

m+1=8,即m=7,

故選D.

【點睛】本題綜合考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.先由正比例函數(shù)解析式求點的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵.

【變式4-3]（2024?山東濰坊?中考真題）如圖，正比例函數(shù)y=—?光的圖象與反比例函數(shù)y=:的圖象的一

個交點是V5）.點尸（2聲,71）在直線y=-乎X上，過點P作y軸的平行線，交y=三的圖象于點Q.

（1）求這個反比例函數(shù)的表達式；

⑵求AOPQ的面積.

【答案】（l）y=-乎；

⑵*

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達式，坐標(biāo)與圖形，三角形的面積，利用待定系數(shù)法求出

反比例函數(shù)的表達式是解題的關(guān)鍵.

（1）利用正比例函數(shù)求出點4的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)的表達式即可求解；

（2）分別求出P、Q的坐標(biāo)，得到PQ的長度，再根據(jù)坐標(biāo)與圖形以及三角形的面積公式計算即可求解；

【詳解】（1）解：把代入y=得，V3=-y

'.m=-3,

.,.4（-3,V3）,

把4（-3,句代入y=甯，遙=g

k——3^3,

...反比例函數(shù)的表達式為y=-誓；

（2）解：把P（2V5,n）代入y=-fx得，n=-yx2V3=-2,

.".P（2V3,-2）,

：PQ||y軸,

..?點Q的橫坐標(biāo)為2g,

把x=2百代入學(xué)得，y=-|^=-|,

.,.Q（2V3,-j）,

=1xix2V3=f.

【題型5與反比例函數(shù)有關(guān)的面積問題】

【例5】（2024.山東煙臺?中考真題）如圖，正比例函數(shù)丫=比與反比例函數(shù)y=￡的圖象交于點4（份,a）,將

正比例函數(shù)圖象向下平移n（n>0）個單位后，與反比例函數(shù)圖象在第一、三象限交于點8,C,與x軸，y

軸交于點。，E,且滿足=3:2.過點B作BFLx軸，垂足為點P,G為x軸上一點，直線BC與BG關(guān)

于直線BF成軸對稱，連接CG.

（1）求反比例函數(shù)的表達式;

⑵求n的值及△BCG的面積.

【答案】（l）y=：

（2）1,10

【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用：

（1）先求出a的值，進而求出反比例函數(shù)的解析式即可;

（2）根據(jù)平移規(guī)則，得到平移后的解析式y(tǒng)=乂-九，聯(lián)立兩個解析式，表示出B,C的坐標(biāo)，過點B,C作x軸

的平行線交y軸于點根據(jù)BE:CE=3:2,進而求出n的值，進而根據(jù)對稱性得出NCBG=90。，勾股定理

求得BD,進而求得BG,BC的長，即可求解.

【詳解】（1）解：???正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=：的圖象交于點4（?,a）,

a=V6,

**.i4（V6,V6）,

k—V6,V6=6；

?6

??y-

（2）Vi4（V6,V6）

=

?，XAVA

/.tanZ-AOD=蔣=1

：.Z-AOD=45°

??,將正比例函數(shù)圖象向下平移以九＞0）個單位，

平移后的解析式為：y=x—n,

如圖所示，過點8,C作%軸的平行線交y軸于點M,N,則ABME,△CNE是等腰直角三角形，

???乙BEM=乙CEN=45°

A△BMEfCNE

.BM_BE_3

**CN-CE-2

設(shè)8（3皿￡）,則BM=3m

:.CN=2m,

?"(-2犯-5)，

**B(3)72,—fC(—2.7X1,——,在y=X-?!上

(2、

——3m—n

???1

-=—2m—n

vm

解得：｛:二:(負值舍去)

；.B(3,2),C(-2,-3),

；.BC的解析式為y=x-1,BC=J(3+2產(chǎn)+(3+2==5企

當(dāng)y=0時，x=1,則0(1,0),

:.BF=DF=2,OE=OD=1,則DE=&

?..直線BC與BG關(guān)于直線BF成軸對稱，BF1x軸，

：.DF=FG=2,ABF。和ABFG是等腰直角三角形，

.?.G(5,0)

：.BD=BG=2V2,

BFG是等腰直角三角形，4DBF=Z.GBF=45°

."DBG=90°

:.S&BCG=3BG義BC=三義2V2x5V2=10

【變式5-1](2024?甘肅蘭州?中考真題)如圖，反比例函數(shù)、=§(久＞0)與一次函數(shù)y=mx+l的圖象交于

點4(2,3),點8是反比例函數(shù)圖象上一點，BC1久軸于點C,交一次函數(shù)的圖象于點Q,連接力B.

(1)求反比例函數(shù)y=B與一次函數(shù)y=mx+1的表達式;

(2)當(dāng)。C=4時，求ATIB。的面積.

【答案】(l)y=5，y-x+1

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與反例函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析

式.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，兩點之間的距離公式等知識，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)以及一次函

數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)以及一次函數(shù)的解析式.

(2)由已知條件求出點C,點2,點。的坐標(biāo)，過點2作BE||x軸交一次函數(shù)丁=比+1的圖象交于點E,

過點A作4F1BE與點F,利用兩點之間的距離公式分別求出8。，BE,力產(chǎn)的值，最后根據(jù)工的。=S4DBE-

SAEAB即可求出答案.

【詳解】(1)解：；反比例函數(shù)丫=：(久＞0)與一次函數(shù)丫=爪％+1的圖象交于點4(2,3),

3=-,3=2m+1,

2

:?k=6,m=

.?.反比例函數(shù)為：y=p一次函數(shù)的解析式為：y=%+l.

(2),：0C=4,

，C(4,0),

?；3。1%軸于點(7,交一次函數(shù)的圖象于點。，

???點B的橫坐標(biāo)為4.點。的橫坐標(biāo)為4.

,犯=[=|'yD=4+1=5

0(4,5)

37

：.BD=5--=-

22

過點B作BE||%軸交一次函數(shù)y=汽+1的圖象交于點E,過點A作AF1BE與點、F,

：?BD上BE,點E的縱坐標(biāo)為|,

：

.AF=3--2=-2.

把|代入y=%+1,得|=%+1,

,?^LABD=S^DBE~^LEAB

11

=—BD?BE——AF?BE

22

177137

=-X-X--------X-X-

222222

7

【變式5-2](2024?山東泰安?中考真題)直線為=kx+b(k豐0)與反比例函數(shù)月=-?的圖象相交于點

4(一2,m),B(n,-1),與y軸交于點C.

(1)求直線力的表達式；

(2)若乃〉為，請直接寫出滿足條件的工的取值范圍；

(3)過C點作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖象于點D,求△ACD的面積.

【答案】(1)為=-|x+3

(2)%<—2或0<%<8

4

⑶孑

【分析】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、根據(jù)函數(shù)圖像求不等式解集、三角形的面積等知

識點，掌握運用待定系數(shù)法求解析式及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

(1)分別將點4(—2,zn)、點—1)代入丫2=-3，求出小、”的值，再分別代入yi=-+b中即可解答；

(2)根據(jù)函數(shù)圖像確定不等式的解集即可；

(3)先把y=3代入丫2=-5中，求出點D的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式計算即可.

【詳解】(1)解：分別將點/(一2,血)、點8(幾一1)代入為=一?中，可得：-2血=-8,-n=-8,解得：m=4,

n=8,

???/點坐標(biāo)為(一2,4),8點坐標(biāo)為(8,-1),

把A點坐標(biāo)(一2,4),B點坐標(biāo)(8,-1)分別代入%=—+》,可得仁2"匕=?,解得：

IH/C-Tu=-1

「7，

Ib=3

???一次函數(shù)表達式為yi=4-3.

(2)解：??,直線比=依+」(女工0)與反比例函數(shù)、2=-^的圖象相交于點4(一2,4),8(8,-1)

「?由圖象可知，當(dāng)丫1>丫2時，％<-2或0<%<8.

(3)解：把y=3時代入力=—：中，得久=—p

.?.￡>點坐標(biāo)為(―*3),即CD="

S“CD=|x|x(4-3)=|.

【變式5-3](2024?遼寧鞍山?中考真題)如圖，直線4B與反比例函數(shù)y=￡(x<0)的圖象交于點4(—2即)，

B(n,2),過點A作47lly軸交x軸于點C,在x軸正半軸上取一點。，使。C=2。。，連接BC,AD.^AACD

的面積是6.

(2)點尸為第一象限內(nèi)直線上一點，且△P4C的面積等于△BAC面積的2倍，求點尸的坐標(biāo).

【答案】⑴y=—*

⑵P(2,8)

【分析】(1)根據(jù)OC=2。。，可得三角形面積之比，計算出AAOC的面積，面積乘2即為由=8,解析式

可得；

(2)根據(jù)點的坐標(biāo)求出直線ZB的解析式為y=x+6,設(shè)符合條件的點P(M,m+6),利用面積的倍數(shù)關(guān)系建

立方程解出即可.

【詳解】(1)解：=2。。，AaCD的面積是6,

??SAAOC=4,

|fc|=8,

?.?圖象在第二象限，

k=-8,

...反比例函數(shù)解析式為：y=--；

(2):點4(一2,爪)，B(n,2),在y=-=的圖象上，

?\m=4,n=—4,

???4(-2,4),B(-4,2),

設(shè)直線4B的解析式為y=kx+b,

(—2k+力=4

t—4fc+b=2，

解得：*=!，

1.0=6

，直線4B的解析式為y=x+6,

'.'AC||y軸交x軸于點C,

."(—2,0),

^LABC=)X4x2=4,

設(shè)直線4B上在第一象限的點P(m,m+6),

SAPAC--x4x(m+2)=2sA.c—8,

2m+4=8,

.'.m=2,

；.P(2,8).

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，交點坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)關(guān)系式.

【題型6反比例函數(shù)與網(wǎng)格作圖結(jié)合】

【例6】(2024?河南.中考真題)如圖，反比例函數(shù)(x>0)的圖象過格點(網(wǎng)格線的交點)P.

(1)求反比例函數(shù)的解析式;

(2)在圖中用直尺和2B鉛筆畫出兩個矩形(不寫畫法)，要求每個矩形均需滿足下列兩個條件:

①四個頂點均在格點上，且其中兩個頂點分別是點O,點P;

②矩形的面積等于k的值.

【答案】⑴y=%⑵作圖見解析.

【詳解】分析：(1)將P點坐標(biāo)代入y4，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的解析式;

(2)根據(jù)矩形滿足的兩個條件畫出符合要求的兩個矩形即可.

詳解：(1)..?反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象過格點P(2,2),

k=2x2=4,

???反比例函數(shù)的解析式為y4

(2)如圖所示：矩形OAPB、矩形OCDP即為所求作的圖形.

點睛：本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析

式，矩形的判定與性質(zhì)，正確求出反比例函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2024?河北保定.一模)如圖，點4,B均為格點，反比例函數(shù)y=：(x>0)的圖象為L.

(1)若L經(jīng)過點4貝心=;

(2)若L與線段有交點(包括端點)，則滿足條件的整數(shù)k的個數(shù)是

【答案】36

【分析】本題考查求反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì).(1)由圖可知

4(1,3),將2(1,3)代入反比例函數(shù)丫=?0>0),即可求解；(2)由(1)知當(dāng)L經(jīng)過點4(1,3)時，k=3,

再求出當(dāng)L經(jīng)過點B時k的值，進而求出k的范圍，即可求解.

【詳解】(1)由圖可知2(1,3),

若L經(jīng)過點力(1,3),

則k=3x1=3；

(2)由圖可知8(4,2)

若L經(jīng)過點B,

則k=2X4=8,

???L與線段4B有公共點，

3<fc<8,

故整數(shù)k的個數(shù)是6,

故答案為：3；6.

【變式6-2](2024?河南.二模)如圖，矩形04BC的頂點均在格點(網(wǎng)格線的交點)上，雙曲線y=：(x>0)經(jīng)

過格點B.

-1|012345678X

—1......—■

(1)求雙曲線y=>0)的解析式；

(2)經(jīng)過點B的直線y=ax+6將矩形。ABC分為面積比為1:2的兩部分，求該直線的解析式.

【答案】⑴y=?(x>0)

(2)y=-x-5或y=-x+l

【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.

(1將點8(6,3)代入y=>0)求解即可；

（2）分為過點B的直線與線段。4相交和過點B的直線與線段0C相交，根據(jù)三角形的面積分兩種情況求出交

點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式即可.

【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：8（6,3）,

3=-,

6

k=18,

???雙曲線的解析式為：y=F（x>0）；

（2）解：如圖，當(dāng)過點8的直線與線段。4相交時，設(shè)交點為R

由題意得：S矩形4BCD=6X3=18,

???矩形0aBe的面積分成1:2的兩部分,

?'?SAABF為］x18=6或|義18=12，

V5(6,3),

二①若|x34F=6,解得：AF=4,

??,0A—6,

.?.。尸=6—4=2,

此時點B的坐標(biāo)為(2,0),

...當(dāng)3(6,3),尸(2,0)時,仁=鼠獸

(0=2。+b

(a=-3

4

解得：31

b=~-

I2

此時直線的解析式為y=|x-|,

②若之x3AF=12,解得：AF=8,

???。4=6<8,

此時，過點8的直線與線段。&沒有交點,

如圖，當(dāng)過點B的直線與線段0C相交時，設(shè)交點為F,

?.?矩形O4BC的面積分成1:2的兩部分，

,SABCF為!x18=6或|x18=12,

VB(6,3),

；?①若：x6CF=6,解得：CF=2,

-：0C=3,

OF=3-2=1,

此時點尸的坐標(biāo)為(0,1),

.?.當(dāng)B(6,3),F(0,l)時，戶：6a3b

解得：卜=)

lb=1

此時直線的解析式為y=[x+1，

②若[x6CF=12,解得：CF=4,

???OC=3<4,

此時，過點8的直線與線段OC沒有交點，

綜上，此時直線的解析式為y=《久—|或y=[x+l.

【變式6-3](2024.河南?中考真題)如圖，矩形4BCD的四個頂點都在格點(網(wǎng)格線的交點)上，對角線AC,

BD相交于點E,反比例函數(shù)y=，(久>0)的圖象經(jīng)過點A.

(1)求這個反比例函數(shù)的表達式.

(2)請先描出這個反比例函數(shù)圖象上不同于點A的三個格點，再畫出反比例函數(shù)的圖象.

(3)將矩形4BCD向左平移，當(dāng)點E落在這個反比例函數(shù)的圖象上時，平移的距離為.

【答案】(l)y=：

(2)見解析

熊

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析，畫反比例函數(shù)圖象，平移的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是:

(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)分別求出久=1,x=2,x=6對應(yīng)的函數(shù)值，然后描點、連線畫出函數(shù)圖象即可；

(3)求出平移后點￡對應(yīng)點的坐標(biāo)，利用平移前后對應(yīng)點的橫坐標(biāo)相減即可求解.

【詳解】(D解：反比例函數(shù)y=§的圖象經(jīng)過點4(3,2),

?

??，c=一k,

3

/.k=6,

這個反比例函數(shù)的表達式為y=*

(2)解：當(dāng)x=1時，y=6,

當(dāng)％=2時，y=3,

當(dāng)％=6時，y=1,

反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過(1,6),(2,3),(6,1),

畫圖如下:

(3)解：?；E(6,4)向左平移后，E在反比例函數(shù)的圖象上,

...平移后點E對應(yīng)點的縱坐標(biāo)為4,

當(dāng)y=4時，4=：,

解得x=I，

平移距離為6—1=:

故答案為：,

【題型7反比例函數(shù)的實際應(yīng)用】

【例7】(2024?吉林?中考真題)已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流/(單位：A)與電阻R(單

位：Q)是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.

(1)求這個反比例函數(shù)的解析式(不要求寫出自變量R的取值范圍).

(2)當(dāng)電阻R為3。時，求此時的電流/.

【答案】⑴/=言

K

(2)12A

【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的實際應(yīng)用：

(1)直接利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)(1)所求求出當(dāng)R=3。時/的值即可得到答案.

【詳解】(1)解：設(shè)這個反比例函數(shù)的解析式為/=《(U40),

R

把(9,4)代入/=￡(UK0)中得：4=?(U#0),

解得U=36,

...這個反比例函數(shù)的解析式為/=~

R

(2)解：在/中，當(dāng)R=3Q時，/=￥=12A,

R3

.,.此時的電流/為12A.

【變式7-1](2024.寧夏.中考真題)給某氣球充滿一定質(zhì)量的氣體，在溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓p

(KPa)是氣體體積U(m3)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

AP/KPa

(1)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓超過150KPa時，氣球會爆炸.若將氣球近似看成一個球體，試估計氣球的半徑至少為多

少時氣球不會爆炸(球體的體積公式V=]?！?,兀取3)；

(2)請你利用p與1/的關(guān)系試解釋為什么超載的車輛容易爆胎.

【答案】(1)氣球的半徑至少為0.2m時，氣球不會爆炸；

(2)由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎.

【分析】(1)設(shè)函數(shù)關(guān)系式為p=5用待定系數(shù)法可得p=詈，即可得當(dāng)p=150時，17=^=0.032,從

而求出r=0.2；

(2)由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎.

【詳解】(1)設(shè)函數(shù)關(guān)系式為p=[,

根據(jù)圖象可得：k=pV=120x0.04=4.8,

.?.當(dāng)p=150時，V=—=0.032,

L150

-x3r3=0.032,

3

解得：r=0.2,

k=4.8>0,

???p隨V的增大而減小，

???要使氣球不會爆炸，V>0.032,此時r20.2,

???氣球的半徑至少為0.2m時，氣球不會爆炸；

(2)由于車輛超載，輪胎體積變小，胎內(nèi)氣壓增大導(dǎo)致爆胎.

【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，涉及立方根等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，掌握待定系數(shù)法求出反

比例函數(shù)的解析式.

【變式7-2](2024?浙江?中考真題)小明同學(xué)訓(xùn)練某種運算技能，每次訓(xùn)練完成相同數(shù)量的題目，各次訓(xùn)練

題目難度相當(dāng).當(dāng)訓(xùn)練次數(shù)不超過15次時，完成一次訓(xùn)練所需要的時間y(單位：秒)與訓(xùn)練次數(shù)x(單

位：次)之間滿足如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系.完成第3次訓(xùn)練所需時間為400秒.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x的值為6,8,10時,對應(yīng)的函數(shù)值分別為yi，y2，y3，比較Cyi-y2)與(y2-ys)的大?。簓i-y2_y2-y3.

【分析】⑴設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=3將點(3,400)代入求出k即可，最后注意自變量的取值范圍.

(2)分別將x的值為6,8,10時，對應(yīng)的函數(shù)值分別為"，以，》的值求出，然后再比較大小求解.

【詳解】解：(1)設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=40)

將點(3,400)代入，即得k=3x400=1200

故反比例函數(shù)的解析式為：y=詈。>0）.

故答案為：y-（x>0）.

（2）當(dāng)產(chǎn)6時，代入反比例函數(shù)中，解得丫］=等=200,

O

當(dāng)x=8時，代入反比例函數(shù)中，解得丫2=等=150,

O

當(dāng)410時，代入反比例函數(shù)中，解得丫3=警=120,

-y2~200—150=50

y2—y3=150—120=30

：.當(dāng)一丫2>丫2一乃一

故答案為：>.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式求法、反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)等，點在反比例函數(shù)上，則將點的坐

標(biāo)代入解析式中，得到等式進而求解.

【變式7-3］（2024?浙江臺州?中考真題）科學(xué)課上，同學(xué)用自制密度計測量液體的密度.密度計懸浮在不同

的液體中時，浸在液體中的高度力（單位：cm）是液體的密度p（單位：g/cm3）的反比例函數(shù)，當(dāng)密度計

懸浮在密度為lg/cm3的水中時，h=20cm.

（1）求Zz關(guān)于p的函數(shù)解析式.

（2）當(dāng)密度計懸浮在另一種液體中時，h=25cm,求該液體的密度p.

【答案】（l）h=￡.

（2）該液體的密度p為0.8g/cm3.

【分析】（1）由題意可得，設(shè)八=2把p=Lh=20代入解析式，求解即可;

P

（2）把九=25cm代入（1）中的解析式，求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)場關(guān)于P的函數(shù)解析式為八=1

把p=1,h=20代入解析式，得k=1x20=20.

關(guān)于P的函數(shù)解析式為九=￡.

(2)解：把％=25代入八=史，得25=丑.

pp

解得：p=0.8.

答：該液體的密度p為0.8g/cm3.

【點睛】此題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活利

用反比例函數(shù)的性質(zhì)進行求解.

【題型8反比例函數(shù)與一次函數(shù)的實際應(yīng)用】

【例8】(2024.四川樂山.中考真題)通過實驗研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽課注意力指標(biāo)隨上課時間的變

化而變化，上課開始時，學(xué)生興趣激增，中間一段時間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散.學(xué)生

注意力指標(biāo)y隨時間x(分鐘)變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0<*<10和10式比<20時，圖象是線段；當(dāng)

20〈久W45時，圖象是反比例函數(shù)的一部分.

(1)求點4對應(yīng)的指標(biāo)值；

(2)張老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題需要17分鐘，他能否經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才牛箤W(xué)生在聽這道綜合題

的講解時，注意力指標(biāo)都不低于36?請說明理由.

【答案】(1)20；(2)能，見解析

【分析】(1)先利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)的解析式，再將x=45代入，即可得出A對應(yīng)的指標(biāo)值

(2)先用待定系數(shù)法寫出一次函數(shù)的解析式,再根據(jù)注意力指標(biāo)都不低于36得出|x+20>36(0<%<10),

亭>36(20<%<45)得出自變量的取值范圍曰<%<25,即可得出結(jié)論

【詳解】解：(1)令反比例函數(shù)為y=乳%>0),由圖可知點(20,45)在y=?的圖象上，

：.k=20X45=900,

.*.y=—.將x=45代入

將x=45代入得：

點a對應(yīng)的指標(biāo)值為嬰=20.

(2)設(shè)直線4B的解析式為y=依+b,將4(0,20)、B(10,45)代入y=依+b中，

得｛藍二,s’解得｛祥.

直線2B的解析式為y=jx+20.

f|x+20>36(0<x<10)

由題得(45>36(10<x<20)，解得

(>36(20<x<45)

V25-R-2=-94>17,

55

二張老師經(jīng)過適當(dāng)?shù)陌才?，能使學(xué)生在聽綜合題的講解時，注意力指標(biāo)都不低于36.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的解析式、反比例函數(shù)的解析式、不等式組的解集、利用函數(shù)圖像解決實際問題

是中考的?？碱}型。

【變式8-1](2024?湖南益陽?中考真題)我市某蔬菜生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一

種在自然光照且溫度為18℃的條件下生長最快的新品種.圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉及關(guān)閉后，大棚

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