重難點專題16玩轉(zhuǎn)古典概型

【題型歸納目錄】

題型一：“放回”與“不放回響題

題型二：概率模型的多角度構(gòu)建

題型三：“正難則反”思想，利用對立事件求概率

題型四：古典概型的綜合應(yīng)用

【方法技巧與總結(jié)】

古典概型求概率問題在考試中經(jīng)常出現(xiàn)，在解決這類問題時，首先要審題，正確理解樣本點與事件的

關(guān)系，求某個事件包含的樣本點的常用方法是列舉法（畫樹狀圖、列表）.注意做到不重不漏，對于用直

接方法難以解決的問題，可以先求其對立事件的概率，再求所求概率.

【典型例題】

題型一：“放回”與“不放回響題

【典例1-1】（2024?高二?上海青浦?階段練習(xí)）一個盒子中裝有4張卡片，卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、

4,現(xiàn)從盒子中隨機抽取卡片，若第一次抽取一張卡片，放回后再抽取1張卡片，則兩次抽取的卡片數(shù)字

之和大于6的概率是.

3

【答案】—/0.1875

16

【解析】兩次抽取的試驗的樣本空間。={11/2/3,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44},共16個，

兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的事件A={34,43,44},共3個，

3

所以兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是尸（④二二.

16

3

故答案為：--

16

【典例1-2］（2024.高一.湖南邵陽.競賽）一個不透明口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為

1,2,3,4,現(xiàn)隨機取一個小球然后放回，再隨機取出一個小球，則第一次取出的小球標號大于第二次取

出的小球標號的概率為.

【答案】I

O

【解析】畫出樹狀圖:

3336

由樹狀圖可知：基本事件的總數(shù)共有16種,

其中第一次取出的小球標號大于第二次取出的小球標號有6種,

所以第一次取出的小球標號大于第二次取出的小球標號的概率為。

r=——6=—3.

168

故答案為：!.

O

【變式1-1］（2024?高一?福建寧德?期末）一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，標號分別為1,2,3,

4,從袋中不放回地隨機抽取兩次，每次取一球.記事件人第一次取出的是2號球；事件2：兩次取出的

球號碼之和為5.

（1）寫出這個試驗的樣本空間；

（2）判斷事件A與事件B是否相互獨立，請說明理由；

（3）兩次取出的號碼之和最可能是多少？請說明理由.

【解析】（1）用數(shù)組（國,%）表示可能的結(jié)果，4表示第一次抽到球的標號，巧表示第二次抽到球的標號，

則試驗樣本空間為。=｛（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）（4,3）｝.

（2）A=｛（2,1）,（2,3）,（2,4）｝,B=｛（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）｝,AB=｛（2,3）｝.

所以尸⑷H，尸（2）=》*（上）

因為P（A5）=P（A）尸（3）,所以事件A與事件2是相互獨立.

（3）兩次取出的號碼之和的有：3,4,5,6,7.分別記作事件：C,D,E,F,G.

則C=｛（1,2）,（2,1）｝,D=｛（1,3）,（3,1）｝,E=｛（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）｝,

F=｛（2,4）,（4,2）｝,G=｛（3,4）,（4,3）｝.

P（C）=—=-,P（￡>）=—=-,P（￡）=—=-,P（F）=—=-,P（G）=—=-.

v7126v7126v7123v7126v7126

因P（E）>P（C）=P（0=P（F）=P（G）.

所以兩次取出號碼之和最有可能是5.

【變式1-2］（2024?高一?全國?課后作業(yè)）在試驗線“袋中有白球3個（編號為1,2,3）、黑球2個（編號

為1,2）,這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”

中，摸到白球的結(jié)果分別記為”,叫，明，摸到黑球的結(jié)果分別記為仇，b2.求：

（1）取到的兩個球都是白球的概率；

（2）取到的兩個球顏色相同的概率；

（3）取到的兩個球至少有一個是白球的概率.

【解析】（1）由前面的分析可知試驗線的樣本空間

O.=｛wlw2,wlw3,wfy,wtb2,w2Wj,w2w3,w2b2,w3wx,w3w2,w3bx,w3b2,乙叱,偽暝,白嗯,bp2,偽叫,偽暝,打嗎，24｝,

共有20個樣本點，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，可用古典概型來計算概率.

設(shè)事件A表示“取到的兩個球都是白球"，則A=｛叱暝，叱叱，叫叱，暝叱，嗎”，嗎嗎｝,

共含有6個樣本點，所以P(A)=A=],即取到的兩個球都是白球的概率為哈；

(2)設(shè)事件2表示“取到的兩個球顏色相同"，則3={%暝，“嗎，”叱，嗎嗎，嗎嗎，嗎暝,仿打也偽},

o9o

共含有8個樣本點，所以尸(8)=笳=m，即取到的兩個球顏色相同的概率為二；

(3)設(shè)事件C表示“取到的兩個球至少有一個是白球”，

貝ljC={wxw2,wxw3,wxbi,w]b2,w2wi,w2w3,w2bi,w2b2,w3wx,w3w2,w3bi,w3b2,bxwi,biw2,biw3,b2wi,b2w2,b2w3},

共含有18個樣本點，所以P(C)=方18=92，即取到的兩個球至少有一個是白球的概率為9

4UA\J1.\J

【方法技巧與總結(jié)】

抽取問題是古典概型的常見問題，解決此類問題需要注意兩點：一是所給問題是否需要將被抽取的個

體進行區(qū)分才能滿足古典概型的條件，二是看抽取的方式是有放回還是不放回，兩種抽取方式對樣本點的

總數(shù)有影響.另外，不放回抽樣看作無序或有序抽取均可，有放回抽樣要看作有序抽取.

題型二：概率模型的多角度構(gòu)建

【典例2-1】口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出一

個球.試計算第二個人摸到白球的概率.

【解析】方法一：需要找出4個人按順序依次摸球的所有可能結(jié)果數(shù)和第二個人摸到白球的可能結(jié)果數(shù).

解題過程如下：用A表示事件“第二個人摸到白球”，把2個白球編上序號1,2；2個黑球也編上序號1,2.于

是，4個人按順序依次從袋中摸出一個球的所有可能結(jié)果，可用樹狀圖直觀地表示出來，如圖所示：

由上圖可知，試驗的所有可能結(jié)果數(shù)是24,由于口袋內(nèi)的4個球除顏色外完全相同，所以，這24種結(jié)果

出現(xiàn)的可能性相同，其中，第二個人摸到白球的結(jié)果有12種，

121

故第二個人摸到白球的概率尸(A)

242

方法二：把2個白球編上序號1,2,兩個黑球也編上序號1,2,4個人按順序依次從袋中摸出一球，前兩人摸

出的球的所有可能的結(jié)果如圖所示：

由圖可知，試驗的所有結(jié)果數(shù)是12,由于口袋內(nèi)的4個球除顏色外完全相同，所以這12種結(jié)果出現(xiàn)的可

能性相同，其中，第二個人摸到白球的結(jié)果有6種，

故第二個人摸到白球的概率P（A）=^=1.

【典例2-2】（2024.高一.遼寧丹東?期末）在2022年北京冬奧會志愿服務(wù)開始前，北京市團委調(diào)查了北京師

范大學(xué)某院50名志愿者參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)和賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的情況，數(shù)據(jù)（單位：人）如下表：

參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)

參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)610

未參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)628

（1）從50名志愿者中隨機選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個培訓(xùn)的概率；

（2）在既參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的6名同學(xué)中，有4名男同學(xué)04,4，4,2名女同

學(xué)耳，昆，現(xiàn)從這4名男同學(xué)和2名女同學(xué)中各隨機選1人，求A未被選中且與被選中的概率.

【解析】（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加志愿服務(wù)禮儀培訓(xùn)又未參加賽會應(yīng)急救援培訓(xùn)的有28人，

故至少參加上述一個培訓(xùn)的共有50-28=22（人）.

因此從50名志愿者中隨機選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個培訓(xùn)的概率為尸=耒22=共11；

（2）從這4名男同學(xué)和2名女同學(xué)中各隨機選1人，

其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有{A，4}，{Ae},{4,4},{4，5},{4,4},{怎不},{4,4},{4，員},共

8個，

根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的，

事件“A未被選中且見被選中”所包含的基本事件有{&,4},{&,4},{4，4},共3個，

所以可得A未被選中且Bl被選中的概率為P=9.

O

【變式2-1］（2024?高一?全國.專題練習(xí)）天氣預(yù)報說，在接下來的一個星期里，每天漲潮的概率為20%,

設(shè)計一個符合要求的模擬試驗：利用計算機產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，用1,2表示漲潮，用其他

數(shù)字表示不漲潮，這樣體現(xiàn)了漲潮的概率是20%,因為時間是一周，所以每7個隨機數(shù)作為一組，假設(shè)產(chǎn)

生20組隨機數(shù)是：

7032563256458631424865677851

7782684612256952414788971568

3215687642445863258746894331

5789614568943215478633569841

2589634125869765478232274168

則下個星期恰有2天漲潮的概率為.

【答案】1/0.2

【解析】產(chǎn)生20組隨機數(shù)相當于做了20次試驗，在這組數(shù)中，如果恰有兩個是1或2,就表示恰有兩天

漲潮，它們分別是3142486,5241478,3215687,1258697,共有4組數(shù)，于是一周內(nèi)恰有兩天漲潮的概率

近似值為④4三1，

故答案為：

【變式2-2］（2024.高二?湖北荊州.期末）第三屆“一帶一路”國際高峰論壇于2023年10月在北京召開.某

記者與參會的3名代表起合影留念（四人站成排），則記者與代表甲相鄰的概率為

【答案】1/0.5

【解析】設(shè)記者為A,另兩位代表記作1,2.四個人站成一排，共有24種情況，

記者與甲相鄰的情況有12種：A甲12,A甲21,甲加2,甲A21,L4甲2,24甲1,

1甲42,2甲Al,12A甲，12甲A,21A甲，21甲A

121

所以所求概率為之=彳，

242

故答案為：—.

【方法技巧與總結(jié)】

當事件個數(shù)沒有很明顯的規(guī)律，并且涉及的樣本點又不是太多時，我們可借助樹狀圖直觀地將其表示

出來，這是進行列舉的常用方法.樹狀圖可以清晰準確地列出所有的樣本點，并且畫出一個樹枝之后可猜

想其余的情況.另外，如果試驗結(jié)果具有對稱性，可簡化結(jié)果以便于模型的建立與解答.

題型三：“正難則反”思想，利用對立事件求概率

【典例3-1】（2024?高一?福建福州?期末）將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1,2,3,

4,5,6）先后拋擲兩次，記下骰子朝上的點數(shù).若用x表示第一次拋擲出現(xiàn)的點數(shù)，用》表示第二次拋擲

出的點數(shù)，用（蒼，）表示這個試驗的一個樣本點.

（1）記4="兩次點數(shù)之和大于9"，8=“至少出現(xiàn)一次點數(shù)為3”，求事件A,B的概率；

（2）甲、乙兩人玩游戲，雙方約定：若孫為偶數(shù)，則甲勝；否則，乙獲勝.這種游戲規(guī)則公平嗎？請說明

理由.

【解析】（1）依題意，拋擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，共有36個樣本點，

其中事件A={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)},即事件A包含6個樣本點，

所以事件A的概率為P(A)=￡=4.

366

又由事件B={(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(5,3),(6,3),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6)},

即事件B中包含11個樣本點，所以事件3的概率為尸(8)=3.

36

(2)設(shè)事件C="孫為偶數(shù)”,事件。={(羽刈xe{l,3,5},ye{2,4,6}},

事件E={(x,y)|xe{2,4,6},ye{l,2,3,4,5,6}},

918

可得尸。)=葭，尸(E)=葭，

3636

因為事件。與事件E互斥，且C=OuE,

Q1o97a

所以尸(。=尸(。)+尸(為=5+甚=”=7.

3636364

331

因此甲獲勝的概率為乙獲勝的概率為1-

444

所以=3＞：1，故這種游戲規(guī)則不公平.

44

【典例3-2】(2024?高一?全國?課后作業(yè))某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分

別有39,32,33名成員，一些成員參加了不止1個小組，具體情況如圖所示.隨機選取一名成員.

(1)他參加至少2個小組的概率是多少？

(2)他參加不超過2個小組的概率是多少？

【解析】(1)從圖中可以看出，3個課外興趣小組總?cè)藬?shù)為60.用A表示事件“選取的成員只參加1個小

組”，

則彳就表示“選取的成員參加至少2個小組”，于是尸(X)=1-P(A)=1_6+8+10=3

605

3

因此，隨機選取的一名成員參加至少2個小組的概率是1.

(2)用8表示事件“選取的成員參加3個小組”，則月就表示“選取的成員參加不超過2個小組”，于是

_Q1O]3

P(B)=1-P(B)=1--=—,所以隨機選取一名成員屬于不超過2個小組的概率是.

6015715T

【變式3-1](2024?高一?全國?課后作業(yè))某商場有獎銷售中，購滿100元商品得一張獎券，多購多得，每

1000張獎券為一個開獎單位.設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、

二等獎的事件分別為A,B,C,求：

⑴尸(A),尸(3),尸(C)；

(2)抽取1張獎券中獎概率；

⑶抽取1張獎券不中特等獎或一等獎的概率.

【解析】(1)因為每1000張獎券中設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個，

所以尸(A)=—,P(B)=旦=—,P?501

100010001001000-20

(2)設(shè)“抽取1張獎券中獎，，為事件Q,

11161

則P(D)=尸(A)+P(B)+P(C)=-----1----1--------

1000100201000

(3)設(shè)“抽取1張獎券不中特等獎或一等獎”為事件E,

11989

則P(E)=1-P(A)-尸(2)=1----------------=——.

10001001000

【變式3-2](2024?高二?四川成都?期中)拋擲一枚均勻的骰子2次，將第1次擲出的點數(shù)記為第2次擲

出的點數(shù)記為6.

⑴求的概率；

⑵記事件A為“4=2”，事件8為“。+6=機"，若尸(B)WO且事件A和事件B為相互獨立事件，求加的值.

【解析】(1)將2次擲出的點數(shù)記為(。力)，則所有的樣本點為：

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),

共36個，且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相同，

使得。+6<6的樣本點有(U),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共10個,

因止匕尸(。+8<6)=瞿=二，顯然。+6<6與a+6N6為對立事件，

3618

513

所以尸(。+〃26)=1—尸(。+/?<6)=1——=—.

1818

(2)由(1)知，P(A)=-,由A和8相互獨立，即尸(河)=尸(4)2(3)>0知〃?[3,4,5,6,7,8},

6

此時AcB等價于事件“。=2且6=%-2"，因此AcB中僅有(2,%-2)一個樣本點，即尸(&2)=上，則

36

尸⑹=:,

O

而P(a+6=3)=[,PQ+b=4)=:P(a+fe=5)=^,PQ+b=6)=PQ+6=8)=￡,PQ+b=7)=(,

因此當且僅當根=7時，P(8)>0且尸(鉆)=P(4)2(3),所以所求冽的值為7.

【方法技巧與總結(jié)】

在求解較復(fù)雜事件的概率時，可將其分解為幾個互斥的簡單事件的和事件，由公式

p（A■45..UA）=P（A）+P（&）+...+P（A）求得或采用正難則反的原則，轉(zhuǎn)化為其對立事件，再用公

式尸（A）=l-尸（力求得.

題型四：古典概型的綜合應(yīng)用

【典例4-1】（2024.高一.重慶?期末）骰子G6"zi）,中國傳統(tǒng)民間娛樂用來投擲的博具.早在戰(zhàn)國時期就有.

通常作為桌上游戲的小道具，最常見的骰子是六面骰，它是一顆正立方體，上面分別有一到六個孔（或數(shù)

字）,其相對兩面之數(shù)字和必為七.中國的骰子習(xí)慣在一點和四點漆上紅色.骰子是容易制作和取得的亂數(shù)產(chǎn)

生器.骰經(jīng)常會被錯誤念成舫歷.現(xiàn)甲、乙兩人玩擲骰子（質(zhì)地均勻）游戲，每人擲同一枚骰子各一次，若兩

人擲出的點數(shù)和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.

（1）記A="甲、乙兩人擲出的點數(shù)和為6”，寫出事件A包含的樣本點；

（2）現(xiàn)連玩三次，記3="甲至少贏一次"，C="乙至少贏兩次”，試問：3與C是否為互斥事件？為什么？

（3）這種游戲規(guī)則公平嗎？試說明理由.

【解析】（1）用X。表示甲、乙兩人投出的點數(shù)，貝4x,y）表示這個實驗的一個樣本點，

所以該實驗的樣本空間為S=｛（x,y）|xeN*,yeN*/4xW6,1WyW6｝,共有36個樣本點,

事件A包含的樣本點共5個,即4=｛。,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）｝；

（2）8與C不是互斥事件，由于連玩三次，

則事件8與C可以同時發(fā)生，如甲贏一次，乙贏兩次的事件即符合題意，

所以事件3與C不是互斥事件；

（3）這種游戲規(guī)則公平，

由題可知甲、乙兩人投出的點數(shù)和為偶數(shù)的樣本點有

（1,1）,（1,3）,（1,5）,（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,5）,（4,4）,（4,6）,（5,5）,

（6,6）,（5,1）,（3,1）,（6,2）,（4,2）,（5,3）,（6,4）,共18個.

1Q11Q1

所以甲贏的概率為*=彳，所以乙贏的概率為乙=彳，所以這種游戲規(guī)則公平.

362362

【典例4-2】（2024.高一.遼寧?期末）某學(xué)校為了解本校歷史、物理方向?qū)W生的學(xué)業(yè)水平模擬測試數(shù)學(xué)成績情

況，分別從物理方向的學(xué)生中隨機抽取60人的成績得到樣本甲，從歷史方向的學(xué)生中隨機抽取〃人的成績

得到樣本乙，根據(jù)兩個樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

頻率/組距頻率/組距

0.0450.040

0.020

0.020

0.016

0.0100.006

0.0051

O506070809010吟數(shù)O506070809010吩數(shù)

甲樣本數(shù)據(jù)直方圖乙樣本數(shù)據(jù)直方圖

已知乙樣本中數(shù)據(jù)在［70,80)的有10個.

(1)求〃和乙樣本直方圖中”的值；

(2)試估計該校物理方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的平均值和歷史方向的學(xué)生本次模擬測試數(shù)學(xué)成績的

中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值為代表).

(3)采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分數(shù)在［60,70)和［70,80)的學(xué)生中抽取6人，并從這6人中任取2

人，求這兩人分數(shù)都在［70,80)中的概率.

【解析】(1)由直方圖可知，乙樣本中數(shù)據(jù)在［70,80)的頻率為0.020x10=0.20,

則里=0.20,解得〃=50；

n

由乙樣本數(shù)據(jù)直方圖可知，(0.006+0.016+0.020+0.040+a)xl0=l,

解得。=0.018；

(2)甲樣本數(shù)據(jù)的平均值估計值為

(55x0.005+65x0.010+75x0.020+85x0.045+95x0.020)xl0=81.5,

乙樣本數(shù)據(jù)直方圖中前3組的頻率之和為(0.006+0.016+0.02)xl0=0.42<0.5,

前4組的頻率之和為(0.006+0.016+0.02+0.04)xl0=0.82>0.5,

所以乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在第4組，設(shè)中位數(shù)為x,

(x-80)x0.04+0.42=0.5,

解得x=82,所以乙樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為82.

(3)由頻率分布直方圖可知從分數(shù)在［60,70)和［70,80)的學(xué)生中分別抽取2人和4人，

將從分數(shù)在［60,70)中抽取的2名學(xué)生分別記為％,%，從分數(shù)在［70,80)中抽取的4名學(xué)生分別記為

々也也，°4，

則從這6人中隨機抽取2人的基本事件有

(o1,rz2),(ol,&1),(a1,Z?2),(a1,Z?3),(al,Z>4),(a2,Z?1),(fl2,Z>2),(a2,Z?3),(a2,Z?4),

3也),(4也),(4也)，僅2,4)，色也)，您也)，共15個,

所抽取的兩人分數(shù)都在［70,80)中的基本事件有6個，所以所求概率為2=|.

【變式4-1］（2024.高一.山東濰坊.期末）某芯片代工廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號的芯片，為了解芯片的某項指

標，從這兩種芯片中各抽取100件進行檢測，獲得該項指標的頻率分布直方圖，如圖所示：

32頻率/組距

頻率/組距o..030

250.026

o..O230.

os..O20

.O

0.010……———H

0.005-…….—

0.002|專1~~IIIIII,0.002|至1~~1111r

O405060708090100指標0203040506070指標

甲型芯片乙型芯片

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）估計乙型芯片該項指標的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）現(xiàn)分別采用分層抽樣的方式，從甲型芯片指標在［70,90）內(nèi)取2件，乙型芯片指標在［50,70］內(nèi)取4件,

再從這6件中任取2件，求指標在［50,60）和［70,80）內(nèi)各1件的概率；

（3）根據(jù)檢測結(jié)果確定該指標的一個臨界值c,且ce［50,60］,某科技公司準備用甲、乙兩種型號的芯片生

產(chǎn)A型手機、8型手機各1萬部，有以下兩種方案可供選擇：

方案一：將甲型芯片應(yīng)用于A型手機，其中該指標小于等于臨界值c的芯片會導(dǎo)致每部手機損失700元；

將乙型芯片應(yīng)用于8型手機，其中該指標大于臨界值c的芯片會導(dǎo)致每部手機損失300元；

方案二：重新檢測所用的全部芯片，會避免方案一的損失費用，但檢測費用共需要101萬元；請從科技公

司的角度考慮，選擇合理的方案，并說明理由，

【解析】（1）由頻率分布直方圖得乙型芯片該項指標的平均值為：

x=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根據(jù)分層抽樣得,來自甲型芯片指標在［70,80）和［80,90）的各1件,分別記為A和8,來自乙型芯片

指標在［50,60）和［60,70］分別為3件和1件，分別記為GCC和D,

從中任取兩件，樣本空間可記為八=｛（4,8）,（46）,（4。2）,（4。3），（4,0,

（5，G）,（3，G）,（3C）,（3,D）,（G，C）,（G，G），（G，0，（C，G），（C，D），（a，D）｝

共包含15個樣本點，

記事件E：指標在［50,60）和［70,80）各1件，則E=｛（AG），（AG）,（AC）｝共包含3個樣本點,

31

所以尸（石）=記=歹

（3）設(shè)將甲、乙兩種型號芯片應(yīng)用于A型、3型手機時，該科技公司損失為y（萬元），

y=700x［0.002x10+0.005x（c-50）］+300x［0.01xl0+0.03x（60-c）］

=409-5.5c,cw［50,60］,

所以當50Wc<56時，y>101；

當c=56時，y=101；

當56<cV60時，y<101,

綜上，當臨界值ce［50,56)時，選擇方案二;

當臨界值c=56時，選擇方案一和方案二均可;

當臨界值ce(56,60］時，選擇方案一.

【變式4-2］(2024?高一?陜西漢中?期末)從某學(xué)校的800名男生中隨機抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高

全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組［155,160),第二組

［160,165),....第八組［190,195］,下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第一組與

第八組人數(shù)相同，第六組的人數(shù)為4人(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).

(1)求第七組的頻率;

(2)估計該校800名男生身高的平均數(shù)和50%分位數(shù);

(3)若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為羽V,事件

E=(|x-y|<5},求尸(E).

4

【解析】(1)第六組的頻率為方=。08,

.?.第七組的頻率為1—0.08—5*(0.008*2+0.016+0.04x2+0.06)=0.06.

(2)由直方圖得，身高在第一組［155,160)的頻率為。008、5=0.04,

身高在第二組［160,165)的頻率為0.016x5=0.08,

身高在第三組［165,170)的頻率為0.04x5=0.2，

身高在第四組［170,175)的頻率為0.04x5=0.2，

由于0.(M+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5,

設(shè)這所學(xué)校的800名男生的身高50%分位數(shù)為機，則170＜加＜175,

由0.04+0.08+0.2+(:〃-170)x0.04=0.5得m=174.5,

所以這所學(xué)校的800名男生的身高的50%分位數(shù)為174.5cm,

平均數(shù)為:

157.5x0.04+162.5x0.08+167.5x0.2+172.5x0.2+177.5x0.06x5+182.5x0.08+187.5x0.06+

192.5x0.008x5=174.1.

(3)第六組［180,185)的抽取人數(shù)為4,設(shè)所抽取的人為a/,Gd,

第八組［190,195］的抽取人數(shù)為0.008x5x50=2,設(shè)所抽取的人為A,8,

則從中隨機抽取兩名男生有ab,ac,ad,be,bd9cd,aA,aB,bA,bB,

cA,cB,dA,dB,A3共15種情況，

因事件E={|x-y|45}發(fā)生當且僅當隨機抽取的兩名男生在同一組，

所以事件E包含的基本事件為〃ac,ad,be,bd,cd,A3共7種情況.

7

所以尸(均=行

【變式4-3］(2024?高二?四川瀘州?期末)書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許

多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨

機抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間(單位：分鐘)進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直

方圖，如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100位年輕人每天閱讀時間的第85百分位數(shù)；

(2)為進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構(gòu)采用分層隨機抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組

［50,60),［60,70)和［80,90)的年輕人中抽取5人，再從中任選2人進行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀

時間位于［80,90)的概率.

【解析】(1)由題意可知，(0.010+2。+0.045+0.005)*10=1,得。=0.020,

前3組的頻率和為(0.010+0020+0.045)x10=0.75,前4組的頻率和為

(0.010+0.020+0.045+0.020)x10=0.95,

所以第85百分位數(shù)在第4組，設(shè)為x,

則0.75+(x—80)x0.020=0.85,解得：x=85,

所以這100位年輕人每天閱讀時間的第85百分位數(shù)為85；

(2)由于［50,60),［60,70)和［80,90)的頻率之比為1:2:2,

故抽取的5人中［50,60),［60,70)和［80,90)分別為1人，2人,2人,

記［50,60）的1人為。，［60,70）的2人為偽也，［80,90）的2人為q,c?，

故隨機抽取2人的所有樣本點為｛（a，4）,（a也）,（a,Ci）,（a,C2）,（4，Z?2）,（A，Ci）,（4，C2），

（%,Ci）Q,C2）,（q,q）｝，共包含10個樣本點，

其中至少有1人每天閱讀時間位于［80,90）的樣本點為｛（a,cJ,（a,q）0,cJ,（4，C2）,

他，9）,02，。2），（。1，。2）｝，共包含7個樣本點，

7

故至少有1人每天閱讀時間位于［80,90）概率尸=歷.

【變式4-4］（2024.高一.河北邯鄲?期末）某市為了了解人們對“中國夢”的偉大構(gòu)想的認知程度，針對本市

不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路，，知識競賽，滿分100分（95分及以上為認知程度高），結(jié)

果認知程度高的有人，按年齡分成5組，其中第一組：［20,25）,第二組：［25,30）,第三組：［30,35）,

第四組：［35,40）,第五組：［40,45］,得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

頻率

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這些人的平均年齡和第80百分位數(shù)；

（2）現(xiàn)從各年齡分組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國夢”宣傳使者，若有甲（年齡

38）,乙（年齡40）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2

名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；

（3）若第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和第五組的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1,據(jù)此估

計這機人中35-45歲所有人的年齡的方差.

【解析】（1）這些人的平均年齡為7=22.5x0.05+27.5x0.35+32.5x0.3+37.5x0.2+42.5x0.1=32.25

（歲）.

由頻率分布直方圖知，年齡在［20,35）的頻率為0.05+0.35+0.3=0.7,

在［20,40）的頻率為0.05+0.35+0.3+0.2=0.9,貝U第80百分位數(shù)為ae（35,40）,

由0.7+（a—35）x0.04=0.8,解得。=37.5,

所以這些人的平均年齡為32.25（歲），第80百分位數(shù)為37.5.

（2）依題意，第四組應(yīng)抽取0.2x20=4人，記為a,6,J甲，第五組抽取0.1x20=2人，記為d,乙，

對應(yīng)的樣本空間Q=｛（a,6）,（a,c）,（a,甲）,（a,乙）,（a⑷,3,c）,（"甲）,（6,乙）,（6,①,（c,甲）,（c,乙）,（c,①,（甲,

乙）,（甲⑷，（乙,切,共15個樣本點.

設(shè)事件"甲、乙兩人至少一人被選上”，

則M={3,甲）,3,乙）0甲）,（仇乙）,（G甲）,（c,乙）,（甲，乙）,（甲,砌,（乙⑷},共有9個樣本點，

所以甲、乙兩人至少有一人被選上的概率

（3）設(shè)第四組、第五組的年齡的平均數(shù)分別為入，5,方差分別為S：，U，

則/=37,抬=43篇=1，s；=l,由第一組有10人，得第四組有40人，第五組有20人，

設(shè)第四組和第五組所有人的年齡平均數(shù)為W，方差為s2,

則I=4°必+2羽=39,$2=J_{40x[*+（37-39f]+20x[1+（43_39）2]}=i0,

60602

因此第四組和第五組所有人的年齡方差為10,

據(jù)此，可估計這機人中年齡在3545歲的所有人的年齡方差約為10.

【方法技巧與總結(jié)】

游戲公平性的標準及判斷方法

（1）游戲規(guī)則是否公平，要看對游戲的雙方來說獲勝的可能性或概率是否相同.若相同，則規(guī)則公

平，否則就是不公平.

（2）具體判斷時，可以求出按所給規(guī)則雙方的獲勝概率，再進行比較.

【過關(guān)測試】

1.（2024.全國?模擬預(yù)測）“142857”這一串數(shù)字被稱為走馬燈數(shù)，是世界上著名的幾個數(shù)之一，當142857

與1至6中任意一個數(shù)字相乘，乘積中仍然是1,4,2,8,5,7這6個數(shù)字輪流出現(xiàn).若從1,4,2,

8,5,7這6個數(shù)字中任選2個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)，從這些兩位數(shù)中隨機選取1個，這個兩位

數(shù)大于72的概率為（）

3341

A.—B.—C.—D.一

105153

【答案】C

【解析】從1,4,2,8,5,7這6個數(shù)字中任選2個，

所有不同的情況為:（L4）,（1,2）,（1,8）,（1,5）,（1,7）,（4,2）,（4,8）,（4,5）,（4,7）,

（2,8）,（2,5）,（2,7）,（8,5）,（8,7）,（5,7）,共15種，

則組成無重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為15x2=30.

若選取的兩位數(shù)大于72,

則十位數(shù)字只能是7或8,

符合要求的所有的兩位數(shù)為74,75,78,81,82,84,85,87,共8個，

84

故所求概率尸=4=話.

故選：C.

2.（2024.上海長寧.二模）某運動員8次射擊比賽的成績?yōu)椋?.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、

10.0；已知這組數(shù)據(jù)的第X百分位為若從這組數(shù)據(jù)中任取一個數(shù)，這個數(shù)比大的概率為0.25,則X

的取值不可能是（）

A.65B.70C.75D.80

【答案】D

【解析】將該運動員8次射擊比賽的成績從小到大排列：

9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0,

因為從這組數(shù)據(jù)中任取一個數(shù)，這個數(shù)比加大的概率為0.25,

一共有8個數(shù)，所以比加大的數(shù)有兩個，則9.8（機＜9.9,

對于A,因為8x0.65=5.2,所以第65百分位為第6個數(shù)，即9.8,滿足題意；

對于B,因為8x0.7=5.6,所以第70百分位為第6個數(shù)，即9.8,滿足題意；

對于C,因為8x0.75=6,

98+99

所以第75百分位為第6,7個數(shù)的平均數(shù)，即?°?=9.85,滿足題意；

對于D,因為8x0.8=64,所以第80百分位為第7個數(shù)，即9.9,不滿足題意.

故選：D.

3.（多選題）（2024.高二.黑龍江哈爾濱.開學(xué)考試）一個袋子中有大小和質(zhì)地均相同的3個小球，分別標有

數(shù)字1,2,3,現(xiàn)分別用三種方案進行摸球游戲.方案一：任意摸出一個球并選擇該球；方案二：先后有

放回的摸出兩個球，若第二次摸出的球號碼比第一次大，則選擇第二次摸出的球，否則選擇第一次摸出的

球；方案三：同時摸出兩個球，選擇其中號碼較大的球.記三種方案選到2號球的概率分別為P2,

△，則（）

A.Pi＞P.B.

C.P2=P3D.片=心

【答案】CD

【解析】方案一：易得“選到2號球”的概率＜=g；

方案二：先后有放回的摸出兩個球的基本事件有{1,1},{L2},{1,3},{2,1},{2,2},{2,3},{3,1},{3,2},{3,3},共9

件，

其中“選到2號球”的基本事件有{1,2},{2,1},{2,2},共3件,

31

所以“選到2號球”的概率為￡=§=§；

方案三：同時摸出兩個球的基本事件有{1,2},{1,3},{2,3},共3件，

其中“選到2號球”的基本事件有",2},共1件，

所以“選到2號球”的概率為月=；■

所以《=鳥=鳥，故AB錯誤，CD正確.

故選：CD.

4.（多選題）（2024?高一.江蘇?期中）某展會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能的

隨機順序前往酒店接嘉賓，某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計了兩種乘車方案.方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車

的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.記方案一

與方案二坐到“3號”車的概率分別為6則（）

A.B.A=E=：

o2

c.4+8=3D.Pt>p2

o

【答案】ACD

【解析】按照發(fā)車的序號，列舉基本事件如下：

123,132,213,231,312,321,共6種，

方案一坐到“3號”車，包含的基本事件有：132,213,231,共3種，

31

所以方案一坐到“3號”車的概率P,=y=~.

62

方案二坐到“3號”車，包含的基本事件有：312,321,共2種，

所以方案二坐到“3號”車的概率上=72=<1

63

所以4>2,ACD選項正確，B選項錯誤.

06

故選：ACD

5.（2024.高二.全國.課后作業(yè)）從一個放有兩個白球、兩個黑球的罐子中任意摸兩個球，則至少摸到一個

黑球的概率是.

【答案】|

【解析】設(shè)兩個白球為對。2,兩個黑球為4也，則

從6個球中任取2個球的基本事件有:（01,02）,（01,4）,（弓也），（。2,61），（4也），（乙也），6種等可能結(jié)果,

其中至少摸到一個黑球的的事件是：（apbJIq,4）」的,4）」外,年），?！?），5種等可能結(jié)果，

故至少摸到一個黑球的概率為：P=J

6

故答案為：

6

6.（2024.陜西漢中.二模）繼淄博燒烤、哈爾濱凍梨后，最近天水麻辣燙又火了.據(jù)了解天水麻辣燙店內(nèi)

菜品一般由竹簽串起成捆擺放，人們按照自己的喜好選好后遞給老板，進行調(diào)制.某麻辣燙店內(nèi)有西蘭

花、香菇、豆皮、海帶、白菜等菜品，一游客打算從以上5種蔬菜中隨機選擇不同的3種，則西蘭花和海

帶被選中的概率為.

3

【答案】—/0.3

【解析】由題意，設(shè)五種食材分別為4c/,e,則基本事件空間為

｛（a,b,c）,（a,b,d）,（a,b,e）,（a,c,d\（a,c,e）,（a,d,e）,（b,c,d）,（b,c,e）,（b,d,e）,（c,d,e）｝,

,3

共10個基本事件，其中含有西蘭花和海帶的有（。/,〃），（a,c,d）,（a,d,e）,3個基本事件，所以尸=本

3

故答案為：—

7.（2024?高二?上海?階段練習(xí)）甲乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為。，再由乙猜甲剛

才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為6,其中｛1,2,3,4,5,6｝,若a=6或°=就稱甲乙“心有靈

犀”.現(xiàn)在任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為.

【答案】空

36

【解析】甲、乙的所有可能情況用二維有序數(shù)組（。涉）表示：

（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,

（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（3,5）,（3,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（4,5）,（4,6）,

（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,

總共有36種，

符合條件的有（1,1）,（L2）,（2,2）,（2,3）,（3,3）,（3,4）,（4,4）,（4,5）,（5,5）,（5,6）,（6,6）,共11種,

所以他們“心有靈犀”的概率為工.

36

故答案為：空.

36

8.（2024.高一.山西大同.期末）某校高二年級共有800名學(xué)生參加2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽，為了解

學(xué)生成績，現(xiàn)隨機抽取40名學(xué)生的成績（單位:分），并列出頻數(shù)分布表如下：

分組[0,30)[30,60)[60,90)[90,120)[120,150)

頻數(shù)5713105

（1）試估計該年級成績不低于90分的學(xué)生人數(shù);

⑵成績在區(qū)間［120,150］上