幾何模型綜合訓(xùn)練（三）

1.（2022?安徽蚌埠?一模）如圖，RtAABC中，ABLBC,AB=8,BC=6,尸是，ABC內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

滿足=則線段CP長的最小值為（）

C.2A/13-6D.2萬-4

【答案】D

【詳解】ZABC=90°,

:.ZABP+ZPBC^90°,

ZPAB=ZPBC,

:.ZBAP+ZABP=90°,

:.ZAPB=90°,

取N3的中點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓心，A3為直徑作圓，連接OP,

.,.點(diǎn)尸在以48為直徑的：。上，連接。。交〈。于點(diǎn)尸,

當(dāng)點(diǎn)。、點(diǎn)尸、點(diǎn)C三點(diǎn)共線時(shí)，尸C最小

在RLA8CO中，NOBC=90°,BC=6,03=4,

:.OC=ylBO^+BC2=742+62=2屈，

PC=OC-OP=2713-4,PC最小值為2A/13-4

故選：D.

2.（2021?江蘇南通?二模）如圖，在7?柩48。中，EL4C5=90°,AC=3,8C=4直徑/經(jīng)過點(diǎn)8,/￡0/于點(diǎn)￡,

5/于點(diǎn)凡則4E+C-的最大值為（）

A.715+76B.5C.2^+72D.773

【答案】D

【詳解】解：如圖L點(diǎn)E、尸在/C的同側(cè)，取NC的中點(diǎn)G、的中點(diǎn)X,連接并延長EG交尸C的延長

線于點(diǎn)連接G",

西砸/于點(diǎn)E,CR3/于點(diǎn)尸，Q4E//CF,a3G4E=l3GC跖

'NGAE=ZGCM

在AG/E和AGCA/中，\AG=CG

ZAGE=NCGM

^GAEl^GCM(ASA),SAE=CM,GE=GM,QGH^FM,

GH=1FM=1(CM+CF)=1(AE+CF),

KIEL4c2=90°,AC=3,BC=4,

i3_________

:.CG=-AC=~,BG=ylCG2+BC2=2=ZGHF=ZAEF=90°,

22

0GW,：.GH?BG,.-.1(A￡+CF)?孚，,AE+CF?回,

此時(shí)，/E+C尸的最大值為歷；

如圖2,點(diǎn)E、/不在/C的同側(cè)，作CN0AE交/E的延長線于點(diǎn)N,

B.

圖2

死W=如花尸=0￡戶。=90°,13四邊形NE尸C是矩形，SNE=CF,SAE+CF=4E+NE=AN,

^AN<AC,^AE+CF<3,止匕時(shí)，/E+CF的最大值為3,回3<阮，mE+CF的最大值為加，

故選：D.

3.（2022?山東淄博?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線>=%-3分別與x軸、》軸相交于點(diǎn)A、B,

點(diǎn)E、尸分別是正方形Q4CZ）的邊O。、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且DE=AF,過原點(diǎn)。作垂足為H,

連接曲、HB,貝IkHW面積的最大值為（）

A.100+50B,12C.6+30D.上±逑

22

【答案】D

【詳解】解：如圖，連接40,交所于N,連接。C,取ON的中點(diǎn)連接過點(diǎn)新作〃。的8于Q,

交/。于點(diǎn)K,作MP回。4與點(diǎn)P,

3

團(tuán)直線>分別與X軸、夕軸相交于點(diǎn)/、B,

團(tuán)點(diǎn)N(4,0),點(diǎn)8(0,-3),回。8=3,OA=4,ElAB=y/OB2+OA2=79+16=5-

回四邊形/COO是正方形，

^OD//AC,4O=4C=OD=4,OC=A垃,12coN=45°,<SSEDN^NAF,^DEN=^AFN,

又ME=4F,^BDEN^AFN(ASA),WN=AN,EN=NF,

團(tuán)點(diǎn)N是/。的中點(diǎn)，即點(diǎn)N是OC的中點(diǎn)，回ON=NC=2應(yīng)，

SOHSEF,SEOHN=90°,0點(diǎn)“在以O(shè)N直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

團(tuán)當(dāng)點(diǎn)”在的延長線上時(shí)，點(diǎn)〃到48的距離最大，

回點(diǎn)M是。N的中點(diǎn)，^OM=MN=y/2,

^MPBOP,EICON=45°,SOP=MP=1,EL4尸=3,

^S\OAB+^OBA=90°=^OAB+^AKQ,^EAKQ=^ABO=^MKP,

MppKMK]PKMK

5L^AOB^\MPK=9Q°,^\MPK^\AOB,團(tuán)——=——=——,團(tuán)?一=——=——,

OAOBAB435

539

團(tuán)MK=—,PK=—,回AK=—,

444

AKKQ9

m4KQ=^\ABO^OAB=^KAQ,^AKQ^\ABO,團(tuán)——=—,團(tuán)力_KQ,

fABOB~=3

SKQ=—,^\QM=KQ+MK=-+—=—,回點(diǎn)〃到48的最大距離為0,

2042055

回加5面積的最大值=工x5x(門+應(yīng))=上士里，

252

故選：D.

4.(2022?陜西?無模擬預(yù)測)如圖，在矩形48co中，AB=4,3C=3,點(diǎn)￡為上一點(diǎn)，連接將BDE

沿。￡折疊，點(diǎn)4落在4處，連接4C,若尸，G分別為4C,8c的中點(diǎn)，則尸G的最小值為()

B不c逐一]

A.2D.1

2,2

【答案】D

【詳解】如圖，分別連接8。、A'B

團(tuán)矩形ABC。中，AB=4,BC=3,回4￡>=8。=3,SBD=ylAB2+AD2=5

團(tuán)將AADE沿DE折疊，點(diǎn)/落在4處，，SDA'=AD=3

當(dāng)點(diǎn)H不在8。上時(shí)，DA+AB>BD,BD-DA=5-3=2

當(dāng)點(diǎn)A在8。上時(shí)，AB=BD-DA=2，回A3最小值為2

M，G分別為4C,8c的中點(diǎn)

回FG為△C4少的中位線

SFG=^A'B,MG的最小值為1

故選：D.

5.（2020?福建?零模）如圖，等腰Rt^ABC中，ABLAC于A,AB=CA=DC=2,M為ABC內(nèi)一點(diǎn),

；的最小值為（

BE+CE）

D.76

【答案】D

【詳解】解：如下圖

以AC為邊向外作正三角形ACF,以BF為邊，B為頂點(diǎn)向13MBe的外側(cè)作EIFBG,使OFBG=30。，過E作BG的

垂線，垂足為H,過點(diǎn)C作BG的垂線，垂足為V

由I3FBG=3O°,HE回BG知HE=，8E,S\-BE+CE=CE+EH>CH

22

下面計(jì)算CH',13AB=AC=2且AB_LAC,138c=20;

EIAZ為oABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)M4+MB+MC最短時(shí)，回M為EIABC的費(fèi)馬點(diǎn)

由費(fèi)馬點(diǎn)的特點(diǎn)知BM與BF為同一條直線

回正三角形ACF,00CAF=6O°,又AB_LAC,00BAF=15O°,又AB=AC=AF,B3ABF=15°

又EIABC=45°,H3FBC=3O°,ffl0GBC=6O°

在RTEIBC”'中，CH=BCsinZGBC=BCsin60°=2y/2—^s/6,回+的最小值為卡.

22

故選：D.

6.(2021?江蘇南京?二模)如圖，已知點(diǎn)A(1,4),點(diǎn)B(3,5),在y軸上取一點(diǎn)C,連接AC,將線段AC

繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到CD,連接AD,BD,貝UAD+BD的最小值是()

A.275B.373C.472D.5

【答案】D

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作。軸于點(diǎn)F,設(shè)C(0,m),

由題意A(l,4),線段CD是由線段CA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到，

貝"AEC=^CFD,EAE=CF=1,EC=FD=4—m,0OF=m—1,0D(4-m,m-1),

設(shè)4-m=x,m-l=y,可得y=-x+3,El點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線y=-x+3,

作點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x+3的對稱點(diǎn)M(-1,2),連接BM交直線y=-x+3于D\連接AD\此時(shí)AD4BD'

的值最小，最小值為線段BM的長，

0B(3,5),M(-1,2),0BM=742+32=5,回AD+BD的最小值為5,

故選：D.

7.(2020?江蘇無錫?三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0),A(12,

0),B(8,6),C(0,6).動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿邊OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q

從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿邊BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，作AG回PQ于點(diǎn)

G,則AG的最大值為()

卮\8小36

A.，73BR.-------C.D.1

55

【答案】B

【詳解】連接08,交尸。于點(diǎn)。，連接AD,過點(diǎn)。作。4于點(diǎn)尸,

VOC=6,BC=8,OB=yJfJC2+BC2=10.

,:BQ〃OP,:?△BDQsAODP,A-^=^J=|^=|：,OD=6.

,:CB〃OA,：.ZDOF=ZOBC.

.,/OC63,BC84

在Rt/A\OBC中，sin/OBC=---=—=—,cosAOBC—---=一=一,

OB105OB105

424318，一2418

.?.OF=OD?cosNO8C=6X1=,DF=OD,5in/OBC=6X工=《,???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（石，工）,

：.AF=OA-OF=12-y=y,AD=>JAF2+DF2=

,：AG^PQ,：.AG<AD=^H,...當(dāng)G與。重合時(shí)AG的最大，最大值為竺好，

55

故選8

8.（2020?山東淄博?一模）如圖，在正方形/BCD中，BC=2,點(diǎn)尸，。均為Z5邊上的動(dòng)點(diǎn)，BESCP,垂足

為E,則。￡>+0￡的最小值為（）

A.2B.3C.710-1D.V13-1

【答案】D

【詳解】解：如圖，05E3CP,國點(diǎn)￡在以8c為直徑的圓上,

作點(diǎn)E關(guān)于45的對稱點(diǎn)孔^QE=QF,^QD+QE=QD+QF,

連接。R當(dāng)。為。尸與交點(diǎn)時(shí)，Q0+QE最小.

作半圓日與以2c為直徑的半圓關(guān)于48對稱，連接。區(qū)交半圓日與戶，此時(shí)。尸=。。+0瓦且為最小值,

此時(shí)CD=2,BH=\,HC=3,在HrVDC”中，DH=+HC?=行+3?=相，DF=^13-1,

故選：D

9.（2020?山東濟(jì)南?二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在一次函數(shù)位于第一象限的圖象上運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)3在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，在右側(cè)以它為邊作矩形/BCD,且/3=26,則。。的最大值

是（）

A.75+73B.4+2C.A/5+2D.272+V3

【答案】B

【詳解】解：回點(diǎn)/在一次函數(shù)丁圖象上,0tanEL4O5=石，

作EL4O2的外接圓明，連接0尸、P4、PB、PD,作尸GEICD,交.AB于H,垂足為G,

回四邊形是矩形，SL4BB1CD,四邊形N//GZ）是矩形，0PGEL4S,GH=AD=1,

^APB=2^AOB,^APH=^^APB,AH=^AB==DG,

AH—

^APH=^\AOB,團(tuán)tan刻尸〃=tan!ZL4O5=百，回詬^=百，眇"=匕

SPG=PH+HG=1+1=2,臚。=7PG2+DG2=個(gè)2?+（后=不，

團(tuán)0尸=以=>JAH2+PH2J（退）2+F—2,

在EIOPD中，0P+PD20D,回。。的最大值為：0P+PD=2川1,

故選：B.

10.（202”山東臨沂?二模）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,3）,尸。取軸于0,M,N分別

為OQ,OP上的動(dòng)點(diǎn)，則QN+MN的最小值為（）

M乜5T

72241296

A.—B.—C.—D.—

255525

【答案】D

【詳解】

八P

E

解：作Q點(diǎn)關(guān)于0P的對稱點(diǎn)E,過E作EF垂直AB交AB于F點(diǎn)，

由題意可得：PQ=4,PQ=3,OP=5

1224

則國OPQ,OP邊上的高為玄，所以EQ=M

又分析題意可得：0EFQ00OPB

54

則空筆—，解得：EF器

故答案為D.

3

11.（2022?四川成都?二模）在AABC中，AB^AC,tanA=-,。為線段A3上的動(dòng)點(diǎn)，連接。C,將。C繞

4

點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到OE,連接CEIE,點(diǎn)F是上一點(diǎn)，連接EF.若AC=5,ZCDE=ZA,則CE+￡F

的最小值是.

C

25

【詳解】解：如圖所示，作點(diǎn)C關(guān)于直線3E的對稱點(diǎn)/,連接但，^IE=CE,

0CE+EF=IE+EF,要使CE+￡F最小，則EF+/E最小，

回當(dāng)/、E、/三點(diǎn)共線，且"13BC時(shí)，EF+IE最小,此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)J重合，

連接引，過點(diǎn)。作C血8于區(qū)

“CH3…3…

0tanA=----=—,0CH-—AH,

AH44

,9,

^CH2+AH2AC2,OAH2+—AH-=25,EIAW=4,I3CH=3,

16

^AB=AC=5,05/7=1,0BC=A/12+32=V1O-回由軸對稱的性質(zhì)可得8/=5C=9，

SAC=AB,DC=DE,0——=——=1,

ABDE

「CECD

又I2HC￡>￡=I3/,^ABC^DCE,0EWC5=0Z）C￡,一=一mACD=^BCE,

CBCA

0EL4CD00SCE,,團(tuán)團(tuán)。3￡=蜘，

CJ3

00SC/+0CS￡,=9O°,13a/+ELBC7=90°,00CZ/=0CB￡,=EL4,HtanZCZ/=—=-,

IJ4

設(shè)Z7=x,則CJ=2x,BJ=BC-CJ=y/T5--x,

44

BIJ2+BJ2=BI2,0x2+|^VTo-1^=10,解得尤=2%^或x=0（舍去），

SCE+EF的最小值為馬叵，

25

24M

故答案為:

25

12.（2。21?浙江紹興?一模）如圖,已知正方形的邊長為2,點(diǎn)P在射線3C上,則記的最小值為

【詳解】解：如圖，在4尸上取點(diǎn)￡連接。￡,^ADE=^APD,

ADDEPD_DE

^\ADE^\APD,回一=麗‘回至=茄'

AP

PD

陰0=2,血最小時(shí)，記的值最小,

作A/BE的外接圓回。，連接OD,OE,貝I]O￡=O/=O8=l,

在中，2222亞，行-

RMAODOD=A/OA+AD=Vl+2=^DE>OD-0E=1,

0Z)￡的最小值為6-1,

非-1

故答案為:

2

13.（2021?河南?鄭州楓楊外國語學(xué)校三模）如圖，等腰三角形N8C中，皿C=120。，/8=3,點(diǎn)。在C4

的延長線上，DEMB于E,。距8c于尸，連接EF則E尸的最小值為.

【詳解】解：連接斯、BD,延長DE交2C于G,如圖所示:

005^C=12O°,EL48c是等腰三角形，00C=3O°.

^iDF^BC,EEBAD=60°,0Ao尸=60°.

當(dāng)BOEL4c時(shí)，AD最小，則0Z38G=60。,

SiDE^AB,EEADE=30°,SBBGD^SC+SADE^60°^^DBG,

EE50G是等邊三角形，MG=BD,

0DR38C,SBF=GF.

在H/EEEG中，EF=^BG=GF,EEEFG是等邊三角形，EB￡FG=60°=M>2G,SEF//BD,

^EF^AC,止匕時(shí)E/最小=工宛=」初.

22

團(tuán)&42。=90。-60°=30°,在EUaD中，AD=-AB=-,BD=也AD=—,

222

位的最小值為L劭=速.

24

故答案為：巫.

4

14.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測）如圖在此/8C中，aB/C=90。，AB=AC=10,等腰直角三角形4DE繞點(diǎn)N

旋轉(zhuǎn)，皿4￡=90。，AD=AE=4,連接DC,點(diǎn)、M、P、N分別為DE、DC、3c的中點(diǎn)，連接上0、PN、MN,

則"%W面積的最小值是

9

【答案】j

【詳解】放.，/§。中，團(tuán)24090。，AB=AC=10f/.ABC為等腰直角三角形，

又一配ME=90。，AD=AE=4,，ADE為等腰直角三角形，

/.ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,

ZBAD=ZCAE,

ADB=AEC(SAS),

:.DB=EC,NABD=ACE,

丁點(diǎn)M、P、N分別為DE、DC、5c的中點(diǎn)，

/.MPHEC,MP=-EC,NP/IBD,NP=-BD,

22

MP=NP,ZDPM=ZDCE,/PNC=NDBC,

設(shè)/ACE=x°,ZACD=y°,

/.ABD=x0,ZDBC=45°-x0=/PNC,ZDCB=45°-y。，

ZDPN=ZDCB+/PNC=90°-x°-y。，

ZDPM=ZDCE=x0+y。，

/./MPN=ZDPM+ZDPN=90°,

.?.△MW是等腰直角三角形，.?.SpMV=!/W2=：8D2,.?.當(dāng)5D最小時(shí)，的面積最小，

28

Q。是以/為圓心，/。二4為半徑的圓上的點(diǎn)，.?.點(diǎn)。在45上時(shí)，BD最小,

11oQ

BD=AB-AD=10-4=6,S=-BD2=-x62=—,「?[ZIPAW面積的最小值是一.

PMN8822

Q

故答案為：j.

15.(2021?廣東?廣州市第二中學(xué)三模)如圖所示，在RtAABC和Rt^ADE中，ZBAC=ZDAE=90°,

AC=AD=3,AB=AE=5,連接8。、CE,將_ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)NDBA最大

【答案】6

【詳解】解：如圖，將JlflE繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)一周，。的軌跡為以點(diǎn)/圓心，40為半徑的圓，過/作AD垂線

交8。延長線于〃，

???當(dāng)NDBA最大時(shí)，4H最大,

在旋轉(zhuǎn)過程中，AD>AH

:.AH<3

即時(shí)，48取得最大值3

此時(shí)直角三角形中，BD=>jAB2-AD2=4

△ABZ）的面積為工x3x4=6,

2

如圖，取取8。中點(diǎn)G,連接4G并延長至憶使得bG/G,

BG=DG,/BGF=/DGA,FG=AG

:「BFG=DAG(SAS),AD=BF=AC,ZF=Z2fSBFG=S

ZBAC=ZDAE=9Q°,Z1+Z2+ZC4E=180°

NF+Nl+NAB尸=180。，ZCAE=ZABF

QAE=AB,CAE=itFBA(SAS)

?q—v=q=Q-i-v=q

一0,CAE一°FBA一°BFG二0BAG~°BFG丁0DAG~°BAD

?**SCM——x3x4=6

故答案為：6.

16.（2022?山東濟(jì)南?模擬預(yù)測）如圖，在矩形N8CD中，E是邊3C上一點(diǎn)，連接NE,過點(diǎn)8作8小￡于

點(diǎn)G,交直線CD于點(diǎn)尸.以和區(qū)F為鄰邊作平行四邊形3瓦/尸，M是8〃的中點(diǎn)，連接GM,若48=3,

BC=2,則GM的最小值為.

【答案］巫

13

【詳解】連接跖

團(tuán)四邊形AEHF是平行四邊形，^EM=FMf

團(tuán)魴G廠二90°,^\GM=^EF,回要GM最小，即防最小,

^AB=3,BC=2,

設(shè)BE=x,則CE=2-x,

團(tuán)四邊形45CD為矩形，配L45C=90°,即回A4E+EL4防=90°,

^AE^BF,團(tuán)回CB尸電4E5=90°,^\CBF^\BAE,

又回酎8外姐CF=90°,^\ABE^\BCF,

ABBE3x回Y

團(tuán)——=——即Hn一=——

BCCF2CF

^\EF=VCE2+CF2=/—X2-4X+4=J—(x-—)2+—,曲的最小值為生叵,

V9v9131313

故GW的最小值為名叵.故答案為名叵.

1313

17.（2020?成都市錦江區(qū)四戶|師大附屬第一學(xué)校模擬預(yù)測）如圖，在RtAABC中，NC=90。，CA=6,CB=8,

點(diǎn)尸為此三角形內(nèi)部（包含三角形的邊）的一點(diǎn)且產(chǎn)到三角形三邊的距離和為7,則CP的最小值為

【答案】yV5

【詳解】如圖所示，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB為X軸正半軸，C4為y軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)尸為過尸作P￡_Lx軸，尸產(chǎn)J_y軸，PD.LAB,

國PE=y,PF=x,連接R4,PC,PB,

回+S^BCP+,

111124—3九一4V

團(tuán)一x6x8=—xxx6+—xyx8+—xlOxPD,解得：PD=----------,

22225

團(tuán)尸到三角形A3c三邊的距離和為7,

SPE+PF+PD=1,即：無+嚴(yán)24_：_4y與,整理得：y=-2x+U,

回點(diǎn)尸在直線y=-2x+ll上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線>=-2尤+11為/,

團(tuán)當(dāng)cq，/交/于點(diǎn)［時(shí)，*最小，skCPi-k,=-l,回%;=g，

又回直線cq過原點(diǎn)C（0,0）,回直線cq為：y=；x,

rf22

聯(lián)立無，解得：:，回點(diǎn)匕為仔,團(tuán)最小值”為c<,

y=-2x+lly=-I?"

18.（2020?河南?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3,E,F分別為AB,CD邊的中點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)E出發(fā)沿EA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)F出發(fā)沿FC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接PQ,過點(diǎn)B作BHmPQ于

點(diǎn)H,連接DH.若點(diǎn)P的速度是點(diǎn)Q的速度的2倍，在點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)A的過程中，線段PQ長度的

最大值為,線段DH長度的最小值為.

【詳解】連接EF交PQ于M,連接BM,取BM的中點(diǎn)0,連接OH,0D,過點(diǎn)。作0N國CD于N.

回四邊形ABCD是矩形，DF=CF,AE=EB,團(tuán)四邊形ADFE是矩形，EIEF=AD=3,

MFFQ

0FQI2PE,aBMFQIEMEP,回----=----

MEPE

團(tuán)PE=2FQ,團(tuán)EM=2MF,回EM=2,FM=1,

當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，PQ的值最大,

止匕時(shí)PM=VAE2+ME2=VF+27=2近，

MQ={FQ?+MF?=正+F=g,回PQ=3五，

0MF0ON0BC,MO=OB,回FN=CN=1,DN=DF+FN=3,0N=1(FM+BC)=2,

0OD=y/DN2+ON2=A/32+22=屈，

0BH0PQ,00BHM=9O",

11,-----------

22

0OM=OB,0OH=-BM=-X72+2=yfl>

0DH>OD-OH,

0DH>V13-V2?由于M和B點(diǎn)都是定點(diǎn)，所以其中點(diǎn)。也是定點(diǎn)，當(dāng)PQ垂直于0D時(shí)，0,H,D共線,

此時(shí)DH最小，回DH的最小值為屈-加,故答案為：3拒，a-及.

19.（2020?重慶市榮昌區(qū)寶城初級中學(xué)模擬預(yù)測）正方形N8CD中，/8=2及，點(diǎn)〃■是8c中點(diǎn)，點(diǎn)尸是

正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接尸c,PM,當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)時(shí)，始終保持MC=45。，連接8尸，點(diǎn)E,尸分別是BP

中點(diǎn)，求3BP+2EF的最小值為.

【答案】2a

【詳解】根據(jù)條件始終保持團(tuán)WPC=45。，所以點(diǎn)P的軌跡為圓弧，設(shè)圓心為。，如圖1:

圖1

回正方形ABCD中AB=2夜，M為中點(diǎn)，EJCM=BM=g,

雕也。。=45。，0