江西省上饒市余干縣2025屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合可=卜卜2-6日-7<0},"=53>0},若^=",則實(shí)數(shù)0的取值范圍為（）

A.（-<?,14]B.（-oo,14）C.（-2,+oo）D.（-oo,-2]

A.—1—3iB.—1+3iC.1-3iD.l+3i

22

3.“別>1”是“橢圓C:二+」一=1的焦點(diǎn)在x軸上”的（）

m2-m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)共有13個(gè)樣本匕（力=1,2,3,…,13）,它們依次成公差"=1的等差數(shù)列，若這組

數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)是26,則它們的平均數(shù)為（）

A.25B.23C.21D.19

5.在平行四邊形中，48=4,AD=2,ZA=60°,DM=3MC，則而.麗=（）

3

A.1B.-C.2D.3

2

6.將編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)凹槽中，每個(gè)凹槽放一個(gè)小球,

則至少有1個(gè)凹槽與其放入的小球編號(hào)相同的概率是（）

17517

A.-B.—C.—D.—

424824

22

7.已知雙曲線C:1T-。=1（°>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片,E，點(diǎn)尸在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng)（不

與頂點(diǎn)重合），設(shè)咫與雙曲線的左支交于點(diǎn)。，AP空的內(nèi)切圓與QR相切于點(diǎn)若

閭=2,則雙曲線。的離心率為（）

A.73B.2C.V5D.76

8.利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要目的，同學(xué)們利用我們所學(xué)數(shù)

試卷第1頁(yè)，共4頁(yè)

學(xué)知識(shí)，探究函數(shù)/（x）=x*,xe（O,+8）,下列說(shuō)法正確的是（）

B.[（X）在[of]上單調(diào)遞增

A./（X）有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)

1

C.存在實(shí)數(shù)“40,+⑹，使得D./（尤）有最小值，最小值為下

eee

二、多選題

9.已知直線/:辦+（。+1）了+2=0,圓。：/+必=9,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.存在實(shí)數(shù)〃，使圓。關(guān)于直線/對(duì)稱

B.直線/過(guò)定點(diǎn)（2,-2）

C.對(duì)任意實(shí)數(shù)。，直線/與圓。有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)

D.當(dāng)”=-;時(shí)，直線/被圓。所截弦長(zhǎng)為2

10.已知函數(shù)/（x）=coso尤-sino尤（。＞0）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)0=3時(shí)，/⑺在0,：上單調(diào)遞減

B.若函數(shù)/⑺的圖象向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）=Vasins的圖象，則。

的最小值為5

C.若函數(shù)/（x）|的最小正周期為：，則0=8

D.當(dāng)。=2時(shí)，若關(guān)于x的方程/（x）=l的兩個(gè)不相等實(shí)根為芯，x2,則上一工2上=1

numUULULILU__

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P滿足。尸=彳。。]+〃。4,As[0,1],

[0,1],則下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)a=4時(shí)，BP1.ACX

B.當(dāng)〃=g時(shí)，三棱錐G-P3。的體積為定值

C.當(dāng)九+〃=1時(shí)，PC+PB的最小值為J12+2瓜

D.當(dāng)4=〃=0時(shí)，若點(diǎn)〃■為四邊形431G2（含邊界）內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且加P=2,則

點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為必兀

2

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

三、填空題

12.若[x-：；展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為-160,則實(shí)數(shù)。=.

13.已知函數(shù)〃x)=e2i-+sin[則不等式/(/+2x-3)+/(2-x卜2的

解集為.

14.已知S”為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，％=2,+則｛%｝的通項(xiàng)公式為_(kāi)___；

n2

+1

令2=2~",則6也一4&+…+(-1)"bnb?+1=.

四、解答題

15.已知V/3C的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,6,c,b=2

⑴求A；

(2)若6=3,8c邊上的高為主包，求V4BC的周長(zhǎng).

7

16.如圖，在正三棱柱/3C-4耳G中，N8=/4=8,N是44的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，。分別是8C，

4N的中點(diǎn)，與平面CP。相交于點(diǎn)

(2)求二面角片-C"-P的正弦值.

17.已知函數(shù)/(x)=31--?R).

⑴若曲線了=/(x)在(1,/。))處的切線的斜率為求。的值;

(2)若x=0是/(尤)的極小值點(diǎn)，求。的取值范圍.

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

18.已知點(diǎn)A是直線x=T上的動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線/,過(guò)點(diǎn)。作直

線。/的垂線交直線/于點(diǎn)8,記點(diǎn)B的軌跡為曲線C.

⑴求C的方程；

⑵過(guò)曲線C上一點(diǎn)尸化2)的直線乙,4分別交C于兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P),設(shè)乙4的斜率分別

為匕他.

4

(I)若上芯=-§，求證：直線跖V過(guò)定點(diǎn)；

(II)若尢+后2=。，且的縱坐標(biāo)均不大于0,求APAW的面積的最大值.

19.2024年7月26日至8月H日在法國(guó)巴黎舉行了夏季奧運(yùn)會(huì).為了普及奧運(yùn)知識(shí)，M大

學(xué)舉辦了一次奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽與決賽，初賽通過(guò)后才能參加決賽.

(1)初賽從6道題中任選2題作答，2題均答對(duì)則進(jìn)入決賽.已知這6道題中小王能答對(duì)其中

4道題，求小王在已經(jīng)答對(duì)一題的前提下，仍未進(jìn)入決賽的概率；

(2)M大學(xué)為鼓勵(lì)大學(xué)生踴躍參賽并取得佳績(jī)，決定對(duì)進(jìn)入決賽的參賽大學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)

勵(lì).獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)則如下：對(duì)于進(jìn)入決賽的每名大學(xué)生允許連續(xù)抽獎(jiǎng)3次，中獎(jiǎng)1次獎(jiǎng)勵(lì)120元，

中獎(jiǎng)2次獎(jiǎng)勵(lì)180元，中獎(jiǎng)3次獎(jiǎng)勵(lì)360元，若3次均未中獎(jiǎng)，則只獎(jiǎng)勵(lì)60元，假定每次

中獎(jiǎng)的概率均為且每次是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立.

(I)記一名進(jìn)入決賽的大學(xué)生恰好中獎(jiǎng)1次的概率為/(P),求/'(P)的極大值；

(IDM大學(xué)數(shù)學(xué)系共有9名大學(xué)生進(jìn)入了決賽，若這9名大學(xué)生獲得的總獎(jiǎng)金的期望值不

小于1120元，試求此時(shí)P的取值范圍.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《江西省上饒市余干縣2025屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案DABADCCDBCDAB

題號(hào)11

答案ABD

1.D

【分析】解不等式求得集合〃，N,由M=可得求解即可.

【詳解】由/-6x-7＜0,得(x-7)(x+l)＜0,解得一l＜x＜7,所以M=(-l,7),

N={x|2x＞a}=卜|x＞3,

由M=所以白-l,解得aW-2,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為(-*-2].

故選：D.

2.A

【分析】先根據(jù)虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)分母，再對(duì)z進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定

義求出

【詳解】“，3；：+1=2=3i-1,其共輾復(fù)數(shù)彳=-1-3i.

1+1+11-1+1-1-1

故選：A.

3.B

【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可求解焦點(diǎn)在％軸時(shí)1(加＜2,即可根據(jù)必要充分條件的定義

求解.

22

【詳解】橢圓。：二+上一=1的焦點(diǎn)在工軸上，則加＞2-加＞0,解得1＜相＜2,

m2-m

22

故'加＞1”是“橢圓C:土+3^=1的焦點(diǎn)在X軸上”的必要不充分條件，

m2-m

故選：B

4.A

【分析】先根據(jù)百分位數(shù)的概念確定為的值，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求其平均數(shù).

【詳解】因?yàn)閿?shù)列{%}為公差為1的等差數(shù)列，且13x0.6=7.8,

所以該組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為x8,由/=占+7=26=＞國(guó)=19.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，它們的平均數(shù)為上手=19+4+12=25.

22

答案第1頁(yè)，共16頁(yè)

故選：A

5.D

【分析】以｛甌而｝為基底,表示痂，兩，結(jié)合向量數(shù)量積的概念和運(yùn)算律可求而?瓦7

的值.

【詳解】如圖:

以｛/優(yōu)/。｝為基底，則存2=]6，而2=4，28.2D=4X2COS60°=4.

且AM=AD+DM=a4B+力。，BM=BC+CM=——AB+AD,

所以

(3—?——A(1—?——A3--21—?-231

AMBM=—AB+AD?——AB+AD=-----AB+—AB-AD+AD=-----xl6+—x4+4

(4八4)162162

=3.

故選：D

6.C

【分析】利用排列組合，先求出將編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)

凹槽中的放法數(shù)，再求出4個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)互不相同的放法數(shù)，再利用對(duì)立事件的

概率公式，即可求出結(jié)果.

【詳解】將編號(hào)為123,4的4個(gè)小球隨機(jī)放入編號(hào)為123,4的4個(gè)凹槽中，共有A：=24種

放法，

4個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)互不相同的有C；?C；=9種放法，

95

所以至少有1個(gè)凹槽與其放入小球編號(hào)相同的概率是尸=1-5=].

248

故選：C.

7.C

【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)與雙曲線的定義，列式化簡(jiǎn)求解可得。=1,進(jìn)而求得離心率.

【詳解】

答案第2頁(yè)，共16頁(yè)

=2a

設(shè)尸耳，尸石分別切內(nèi)切圓于43,則由雙曲線的定義可得，即

。周一也可=2a

「四+闡|+以卜附一|陷|=2a

'\QM\+\MF2\-\QF,\=2a

根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)可得|，訓(xùn)=|尸卻,\QA\=\QM\,\P^\=\PB\,

〕/0|+|。甲-|8￡|=2a

故八二八！c，兩式相加化簡(jiǎn)可得21?！?=4%即|。河|=2。=2,故4=1.

\^QM\+\MF2\^QF\=2a

故雙曲線的離心率為e=￡=、=VL

a'I14

故選：C

8.D

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)恒等式將函數(shù)/(x)=xX變形轉(zhuǎn)化為〃x)=eHn工，利用導(dǎo)函數(shù)研究

g(x)=xlnx的單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得“X)單調(diào)性、極值與最值，再分別判斷選項(xiàng)

即可.

【詳解】由尤>0,貝I］/(無(wú))=工工=9匠=eM*xe(O,+e),

令g(x)=xln尤，尤>0,貝ljg'(x)=l+lnx,令g'(x)=0,解得x=」，

e

當(dāng)0<x<：時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(0,J上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，g'(x)>0,g(x)在(：,+e］上單調(diào)遞增；

/(x)由函數(shù)y=e"與〃=g(x)復(fù)合而成，而y=e"在(-雙+8)上單調(diào)遞增；

故"X)在(0,；］上單調(diào)遞減，在g,+x］上單調(diào)遞增；

所以/(X)在X=工處取極小值/(-)=ee=F,且無(wú)極大值，

ee-

答案第3頁(yè)，共16頁(yè)

又/（x）1nHi=/（，]=￡>e-=：,故不存在實(shí)數(shù)ae（O,+8）,使得了（“）=：.

故ABC錯(cuò)誤，D正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)/（x）=eHn，是解題關(guān)鍵.

9.BCD

【分析】根據(jù)直線是否過(guò)圓心判斷A的真假；把點(diǎn)代入方程判斷B的真假；根據(jù)B的結(jié)論

可判斷C的真假；利用幾何法求弦長(zhǎng)可判斷D的真假.

【詳解】對(duì)A：因?yàn)閳A。的圓心為（0,0）,因?yàn)閍x0+（a+l）x0+2=2w0,所以不存在“,

使得直線/經(jīng)過(guò)圓心，即不存在實(shí)數(shù)。，使圓。關(guān)于直線/對(duì)稱.故A錯(cuò)誤；

對(duì)B：因?yàn)?a-2（a+l）+2=0恒成立，所以直線/過(guò)定點(diǎn)（2,-2）,故B正確；

2

對(duì)C：因?yàn)?2+（-2『=8<9,所以點(diǎn)（2,-2）在圓。：%+/=9^^，又直線/過(guò)定點(diǎn)（2,-2）,

所以直線/與圓。必有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，故C正確；

對(duì)D：當(dāng)a=時(shí)，直線/：_§x+[_]++2=0即x—y—4=0.

圓心O到直線/的距離為："=七=2后，所以弦長(zhǎng)為：2曲彳=25亞=2,故D正

確.

故選：BCD

10.AB

【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)/（X）=后cos（ox+3（o>0）,即可根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性判

〃，冗jr37r

斷A,根據(jù)平移的性質(zhì)，可得,+r=求出。即可判斷B,根據(jù)周期公式即

442

JT

可求判斷C,由題可求得方程的根石=-1+左兀/2=七兀，左WZ計(jì)算可判斷D.

兀

【詳解】由/(x)=cosGx—sin@x(0>0)可得/(x)二后cosCOXH-----0>0),

4

對(duì)于A,當(dāng)①=3時(shí)，/(x)=V2cosl3%+^-當(dāng)0,—時(shí)，3%+—G—,7TC[0,7ll,

444-LJ

故f（x）在0,；上單調(diào)遞減，A正確；

對(duì)于B,將函數(shù)y（x）的圖象向左平移5得（x+：|=0cos15+竽+：3>0）,

答案第4頁(yè)，共16頁(yè)

rr.IT（con兀）一r,口口兀兀3?！?/p>

則V2sincox=?\/2coscoxH---1—,可*4W---1—=F2kn,kE.Z,

I44j442

解得0=5+8左4eZ,故。的最小值為5,B正確；

對(duì)于C,|/（X）|的最小正周期為；X腎，故;X*=：,解得①二4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,當(dāng)①=2時(shí)，/（x）=V^cos[2x+：）,由后cos[2x+：）=l可得cos（2x+：]二三,

.,_7171__7171_77r-y

ftx2/+—=——+274]兀,2/+——~+2742兀，左1,左2￡/，

則&=-彳+左71戶2=勾匹左,&eZ,故卜-引=，及eZ,因止匕卜-司面。=：，故D錯(cuò)

誤.

故選：AB

11.ABD

【分析】當(dāng)4=〃時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡為線段證明平面4夕。即可判斷選項(xiàng)A正確；

當(dāng)〃=；時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段E尸，由斯//平面25℃，得出三棱錐G-Pqc的體積為

定值，所以選項(xiàng)B正確；

當(dāng)X+〃=l時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡為線段/口，將三角形C/2旋轉(zhuǎn)至平面D/8G內(nèi)，由余弦定理

可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)力=；,〃=0時(shí)，點(diǎn)P為。2的中點(diǎn)，由用=2,可得點(diǎn)”的軌跡為以。為圓心，厲為

半徑的;圓，所以選項(xiàng)D正確.

【詳解】對(duì)于A,如圖所示，當(dāng)4="時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡為線段，連接/C、3D,可得/C」3D,

C,C1BD,

所以8。1平面/CG，所以同理可證得/C|_L4B,所以平面48。，所

以NG^BP，所以選項(xiàng)A正確；

答案第5頁(yè)，共16頁(yè)

對(duì)于B,如圖所示，取49的中點(diǎn)￡、F,當(dāng)〃=：時(shí)，

點(diǎn)尸的軌跡為線段跖，“口心=%菖即=36久即/，5C,S1C=1^C1-CC1=1X2X2=2,

因?yàn)轷?/平面80GC,所以尸到平面BgC的距離h=2G，

所以三棱錐G-Pqc的體積為定值，所以選項(xiàng)B正確;

可知尸C+P323C,

由余弦定理可得

BC=yjAC2+AB2-2AC-ABcosABAC=^（272）2+22-2x2A/2x2x一9=yJl2+4s/6,

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

答案第6頁(yè)，共16頁(yè)

對(duì)于D,如圖所示，當(dāng)2=；,〃=。時(shí)，點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，PR=1,MP=2,

所以0M=石，即點(diǎn)”的軌跡為以口為圓心，百為半徑的;圓，所以點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為

所以選項(xiàng)D正確.

【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面關(guān)系、體積、軌跡等知識(shí)，考查空間想象能力與運(yùn)算求

解能力，考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

12.1

【分析】求得二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，結(jié)合通項(xiàng)求得『的值，代入列出方程即可求解.

【詳解】由二項(xiàng)式(2龍-(I展開(kāi)式的通項(xiàng)為=C[(2x)j(-(丫=(-426一()63,

令6-2廠=0,可得r=3,

代入通項(xiàng)公式可得4=(-。)323《=-160/=一160,解得a=l.

故答案為：1.

13.[-2,1]

【分析】先證明函數(shù)的對(duì)稱中心，即/(x)+/(l-x)=2,化簡(jiǎn)不等式得到

/(X2+2X-3)</(X-1),然后由導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，然后由單調(diào)性得到不等式，就不

等式即可.

【詳解】/(l-x)=e1-^-e2-1-sin(不一j+1,

則〃x)+〃lr)=2,即〃1一力=2-/(x),

.-.2-/(2-x)=/(x-l),

答案第7頁(yè)，共16頁(yè)

V/(X2+2X-3)+/(2-X)<2,

/./(X2+2X-3)<2-/(2-X)=/(X-1),

：尸(x)=2尸+2e~+工cos區(qū)-映2也門+2產(chǎn)_芻o,

v'2U4)22

即函數(shù)/(無(wú))在R上單調(diào)遞增，

x2+2x-3<x-1,即/+x-240,(x+2)(x-l)V0,

即-2<x<1.

故答案為：卜2,1].

【分析】根據(jù)S”,巴的關(guān)系即可求解｛%｝為等差數(shù)列，即可求解空1,根據(jù)等比數(shù)列的求和

公式即可求解.

【詳解】由，=%+?可得

當(dāng)“22時(shí)，S,T,

,,(\-n\n/、(2—力(〃一1)

故4=nan+------------(附T%-----------，

化簡(jiǎn)可得("22),

故｛%｝為等差數(shù)列，且公差為1,故。"=2+(〃-1)=〃+1,

3

故｛(-1廣'她，+1｝為等比數(shù)列且公比為首項(xiàng)為

答案第8頁(yè)，共16頁(yè)

71

15.(D-

(2)5+>/7

【分析】(1)根據(jù)正弦定理結(jié)合二倍角公式求角A.

(2)根據(jù)6sinC=坦，可求sinC,根據(jù)正弦定理三二三可得的數(shù)量關(guān)系，再

7sinAsinC

結(jié)合余弦定理Q2=〃+C2—2ACOSZ,可求〃，。的值，進(jìn)而可求V/BC的周長(zhǎng).

=b=bcos--A+1-asinB,

【詳解】⑴由6=2(6J

所以bcos[W_4j=〃sin5.

由正弦定理可得：sinBcos(E—4]=sin4sinB,因?yàn)閟inBwO,所以cos(E—4]=sinZ.

所以tan/=g,又/e(O,兀)，所以/=1.

(2)因?yàn)閎=3,8c邊上的高為之⑵

7

所以2貫=苧—心理.

根據(jù)正弦定理：士

sm/

由余弦定理：a2=b2+c2-2bccosAna2=9+c2-3c，

7

所以^。2=9+/-3。=，=2或。=一6(舍去)，所以°=行.

所以V/2C的周長(zhǎng)為：°+6+c=5+3+2=5+".

16.(1)!

⑵?

44

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，求平面CP。的法向量。利用a7,［可確定M點(diǎn)的

答案第9頁(yè)，共16頁(yè)

位置，確定三m的值.

MB

(2)利用空間向量求二面角的余弦，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求二面角的正弦.

【詳解】(1)取8c中點(diǎn)。，連接。4,OP,因?yàn)槿庵?8C-4耳G為正三棱柱，所以。4,

OB,O尸兩兩垂直.

故可以。為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)槿庵鵄BC-4耳。為正三棱柱，且=/4=8,

所以C（一4,0,0）,P（0,8,0）,修（4,8,0）,N（0,4,46）,N（0,0,46）,5（4,0,0）

因?yàn)?。為用N的中點(diǎn)，所以0（2,6,2■

所以岳=（4,8,0）,西=（6,6,2石）.

設(shè)平面CP。的法向量為五=（西,必,向），

[cPln[（x1,y1,z1）.（4,8,0）=014%+8%=0

貝U_=><Z廠、=>vL，

[CQVn（西,M,4>（6,6,23）=016芭+6%+273^=0

取為=（2,_1-6）,

設(shè)M（Xo,O,Zo）,AM=AAB,即卜。，。丹-46）=2（4,0,-4/），

所以“（440,4同1一2））,屈=（4（2+1）,0,460-孫.

因?yàn)辄c(diǎn)M在平面。尸0內(nèi)，所以a7,.=>（4（2+1）,0,46（1-2）>（2,-1,-6）=0,

所以8（2+1）-12（1-2）=0=

maAM1

所以---

MB4

（4___?（2416、?

（2）由（1）得：M不0,差，所以彳，°，十，又。⑸=（8,8,0）.

155JI55J

答案第10頁(yè)，共16頁(yè)

設(shè)平面耳CM的法向量為玩=優(yōu),%,Z2),

(74)作。，警>。=/+2屬=0,取應(yīng)二卜2,2,可

mlCM

則—.n<

所1cBi(x2,y2,z2)-(8,8,0)=0民+%=0

八\m-n\1-4-2-319亞

設(shè)二面角B.-CM-P的平面角為。，則由圖cos6=方貸=?L

\m\-\n\Vllx^/844

所以sin0=31i

44

⑴-！

⑵si

【分析】(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)值可求得結(jié)果;

(2)求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)極小值點(diǎn)得到原函數(shù)為先增后減，導(dǎo)函數(shù)值為零，則導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)

函數(shù)大于零，據(jù)此可求得取值.

QX+Q-X(f、

【詳解】(1)已知〃X)=F--。1+*QeR)，

根據(jù)求導(dǎo)公式(e)=4,(b)'=_尸,(x")'=wx"T，

可得/，⑴=-----ax,

因?yàn)榍€y=/(x)在(1J。))處的切線的斜率為］,

_-11

所以"1)=1--a=?解得。=七;

(2)由(1)可得----ax,令g(x)=f(x)=-----ax

則/(加汨-，

若x=0是/(x)的極小值點(diǎn)，則r(o)=dJ-axO=O,

則/'(X)在x=0左側(cè)附近小于0,在x=0右側(cè)附近大于0,

這意味著/'3在x=0處的導(dǎo)數(shù)g'(x)>0,

0-0

把'=0代入g'(x)得g，(x)=——----a=l-a>0,解得。<1；

當(dāng)a<1時(shí)，

答案第11頁(yè)，共16頁(yè)

因?yàn)閑'+eT22Ve^e1=2，當(dāng)且僅當(dāng)爐=片3即x=0時(shí)，等號(hào)成立，

所以g，(x)=W二一“>0恒成立，則/'(X)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<o時(shí)，r(x)<r(o)=o,y(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)尤>0時(shí)，r(x)>/,(0)=0-y(x)單調(diào)遞增，所以x=o是“尤)的極小值點(diǎn)；

當(dāng)a=l時(shí)，此時(shí)g'⑼=0,令力(x)=g1x)=±1,

則/卜)=三匚，此時(shí)〃(0)=0,

因?yàn)椤?%)=-----1>-----1=0，

當(dāng)且僅當(dāng)e'e,即x=0時(shí)，等號(hào)成立，所以g'(x"o恒成立，

則/'(X)在R上單調(diào)遞增，

當(dāng)x<o時(shí)，r(x)<r(o)=o,〃x)單調(diào)遞減;當(dāng)x>o時(shí)，r(x)>r(o)=o；

所以x=0是f(x)的極小值點(diǎn)；

當(dāng)Q>1時(shí)，

令g'(x)=0,即h等一0=0,設(shè)e'=(>0),

!

貝/十?一小整理得〃一2m+1=0,

2

由一元二次方程求根公式t=2?！?/-4=°土,

2

因?yàn)椤?gt;1，所以v+J/-l>l，0<a-V?2-l<l>

存在％70(%=In。，使得在遍附近，當(dāng)x在七到o之間或0到%之間時(shí)，g<x)<0,f'(x)

單調(diào)遞減，

此時(shí)/'(x)在x=0兩側(cè)不滿足左負(fù)右正，則x=0不是/⑺的極小值點(diǎn)；

綜上。的取值范圍是(-叫1].

18.(1)/=4尤

(2)(I)證明見(jiàn)解析，(II)6

【分析】(1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解，

答案第12頁(yè)，共16頁(yè)

（2）聯(lián)立直線與拋物線方程可得韋達(dá)定理，進(jìn)而根據(jù)斜率公式，化簡(jiǎn)即可求解（I）,根據(jù)

斜率關(guān)系可得加=-1,進(jìn)而根據(jù)弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離得面積的表達(dá)式，即可根據(jù)導(dǎo)

數(shù)，求解函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】⑴設(shè)5(x,y),則/(一4/),

根據(jù)04_L02可得。/=(-4,y)(x,y)=-4x+y、0,故j?=4x,

聯(lián)立x=+"與j?=4x可得r_4,盯_4"=0,

JI+%=4機(jī)

則，M%=-4〃，

A=16m2+16〃>0

22

故項(xiàng)+%=加（必+%）+勿=斬2+3?丙々二""=n2'

16

將尸億2）代入拋物線方程中可得?（1,2）,

rn蘭…__4川~左=%—2%—2二%8一2（/+%）+4——4〃—8加+4.4

12-3’、12再一]%_]匹馬_（再+%）+]/_卜加2+2〃）+13，

化簡(jiǎn)可得—4m2-5n-6m+4=0,

故（〃一2〃7—4）（"+2加-1）=0,故"+2加-1=0或"一2%-4=0,

當(dāng)〃+2加-1=0時(shí)，直線的方程為x=%y+l-2加，故x-l=〃z（y-2）,此時(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

（1,2）,不符合題意，故舍去，

當(dāng)〃一24—4=0時(shí)，直線AGV的方程為x=my+2加+4,故工一4=機(jī)（了+2）,此時(shí)直線經(jīng)過(guò)

點(diǎn)（4,-2）,故直線過(guò)定點(diǎn)（4,-2）；

答案第13頁(yè)，共16頁(yè)

%%=-4月20

(II)由于W,N的縱坐標(biāo)均不大于0,則

A=16加2+16〃>0

由左+3o,則+鋁二也乎用

一/一1x2-1XxX2-+x2J+1

故(必一2)卜2-1)+(%-2)(占-1)=0,

則5-2)(叩2+〃-1)+3-2)(町+M-l)=0,

故2加》為+(〃-1)(必+%)-4(〃-1)-2加?+%)=0,

貝(j-8mH+(w-l)(4m)-4(H-l)-2m(4m)=0,

可得一〃(加+1)=2m2+m-l,故(加+1)(2冽+〃-1)=0,

由(I)知〃+2加一1，0,故加=一1,

yy=-4n>0

12故一1<〃W0,

A=16+16〃>0

故=J1+/+弘)2—4j]