江蘇省泰州市2025屆高三下學期開學調(diào)研測試數(shù)學試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知向量荏=(x,2),BC=(2,1)若同〃而，則|荔|=

A.4B.2在C.5D.3"

2.已知集合4={X\X2-2X-8<0},B=付冷>o},則?A)nB=()

A.[4,5]B.(-2-1]

C.(-1,4)D.(-00,-2]U(5,+00)

3.已知復數(shù)z滿足為虛數(shù)單位)，則z的虛部為

1177

A.0B.gC.giD.g

4.已知隨機變量f服從二項分布B屋).若。(3f+2)=36,則n=

A.144B.48C.24D.16

1TC\27r

(產(chǎn)一§),則"xo=2/m+京，k€Z"是"f(X)的圖像關于點(久o,O)對稱”的

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.在平面直角坐標系中，直線/與拋物線/=2py(p>0),單位圓。分別相切于4,5兩點，當|4B|

最小時，p-

A.2^/3B.2^/2C.鄧D.他

7.對一排8個相鄰的格子進行染色.每個格子均可從紅、藍兩種顏色中選擇一種，要求不能有相鄰的格子

都染紅色，則滿足要求的染色方法共有

A.89種B.55種C.54種D.34種

Q%+]

8.已知a^-1,函數(shù)f(%)=In,則

A.當a>0時，函數(shù)/(%)在其定義域上單調(diào)遞減

B.當a<。時，函數(shù)f(x)在其定義域上單調(diào)遞增

C.存在實數(shù)a,使函數(shù)/(久)的圖像是軸對稱圖形

D.當a豐0時，函數(shù)/(幻的圖像恒為中心對稱圖形

第1頁，共16頁

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6

分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知正數(shù)x,y滿足i+q=1,則下列選項中正確的是

A.xy<3B.yjx2+y2>y-

C.(久+4)y的最大值為12D.8"+16,的最小值為128

10.假設某種細胞分裂和死亡的概率相同，每次分裂都是一個細胞分裂成兩個.如果一個種群從這樣一個

細胞開始變化，假設/為種群滅絕事件，S為第一個細胞成功分裂事件，尸為第一個細胞分裂失敗事

件.若P(4)=p,則

1

A.P(S)=P(F)=2B.PQ4|F)豐1

C.P(4|S)=p2D”1

11.若球C在四棱錐的內(nèi)部，且與四棱錐的四個側面和底面均相切，則稱球C為四棱錐的“?！鼻?在四

棱錐P—28CD中，AB=a,四邊形/8CD為矩形，△PAD是邊長為1的正三角形.若二面角P—A。—B的大

小為60°,則

A.當a變化時，平面P4B與平面尸4D的夾角不變

B.當a變化時，PB與平面PAD所成角的最大值為60°

C.當a=1時，四棱錐P-4BCD不存在“0”球

D.存在a,使得四棱錐P-4BCD有半徑為的“Q”球

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

an4-1

12.已知數(shù)列｛即｝為等差數(shù)列，的=10,公差d=-3.若品=二丁，則”的最小值為______.

un

13.己知3>0,函數(shù)/'(X)=cos(2s:+目在區(qū)間幅］上單調(diào)遞減，則3的最大值為.

14.已知。為坐標原點，點B,C為橢圓1+y2=I上三個不同的點(4B,C依次逆時針排列).若

N40B=Z.BOC=^COA=120°,貝口。4|2+|0B|2+葛|0C|2的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△4BC中，角4,B,C所對的邊分別是a,b,c.若點。在邊8c上，4ADB=2B,吧黑@+當=L

(1)求角/的大小;

第2頁，共16頁

(2)若tanC=2,c=2,

①求cosB的值；

(ii)求NO的長.

16.(本小題15分)

在三棱錐P—ABC中，△48C與△P4C都是邊長為6的等邊三角形，PB=9.點。為總的中點，點￡在線

段N8上，BE=2EA.

(1)求證：PB_L4C；

(2)求DE的長

(3)求直線DE與平面P/C所成角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知aCK,/(%)=In(x+1),g(x)=ax.

(1)若a=-2,曲線y=f(x)上一點尸處的切線與直線y=g(x)垂直，求點尸坐標；

(2)若g(x)>/(%)恒成立，求。的值.

18.(本小題17分)

在平面直角坐標系中，點M到定點尸(4,0)的距離與點M到直線/：%=1的距離之比為2,點M的軌跡為曲

線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)己知點P(l,m),m^O,A,5為曲線C的左、右頂點.若直線尸N,尸2與曲線C的右支分別交于點

D,E.

①求實數(shù)爪2的取值范圍；

同求牖的最大任

19.(本小題17分)

2

設數(shù)列｛斯｝的前〃項和為Sn,2Sn=n+5n.

第3頁，共16頁

(1)求｛斯｝的通項公式;

(Sn+4)

(2)設0=n-2”,求數(shù)列后廠的前n項和八

Iunun)

13

(3)設c九=r-——求證：Ci+。2+。3+..?+”>2yJn--

第4頁，共16頁

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：因為屈〃或，屈=(須2),阮=(2,1)

所以比=4,

所以尼=AB+BC=(4,2)+(2,1)=(6,3),

\AC\=&+32=3位

故選。.

2.【答案】A

【解析】解："A={X\X2-2X-8<0}={x|-2<x<4},B=^7^7>oj={x|-l<%<5},

???CRA={x\x<-2或%>4],(CRA)CB={x|4<x<5}.

故選4

3.【答案】B

【解析】解：已知?^=i,等式兩邊同時乘以3z-4,

可得z—2=i(3z—4)

整理得z-3iz=2-4i,得z(l-3i)=2-4。

2-4t(2-40(1+3014+2i71

所以z====g+

則Z的虛部為中

故選B.

4.【答案】D

1

【解析】解：因為fsB(幾2),

所以D(f)=?!?：?(1—；)=》1,

1

D(3f+2)=9?=36,

.?.71=16,

故選D

5.【答案】A

第5頁，共16頁

【解析1解:f(x)=tan(|x-1),

17ikn27r

令產(chǎn)一可=萬，即％=^+^71,kCZ,

27r

即/(x)的對稱中心Q~+k兀,。)，kez,

27r

.?."x0=2fc7r+T，keZ"是"/(x)的圖象關于點Qo,O)對稱的”充分不必要條件,

故選A

6.【答案】C

【解析】解：令4(久°,次)),則|4B|=J端+=Jy/+2py()-l,

y=^＞y'=2，則k=?切線為y—yo=7(%-%0)即2xoX-2py一端=0,

XQ2y0

直線又與單位圓相切，則/7T=1即印=二,

J4除+4pZyo-l

則|4B1=:戴+^--1=Jyo-1+^；+4＞。4+4=2展

當且僅當正—1=即必=3，即＞0=4，p=4時取"=%

故選C.

7.【答案】B

【解析】解：8個格子涂色，相鄰都不涂紅色，包含的情形如下:

1°,8個格子都涂藍色，共1個結果；

2°,8個格子有7個格子涂藍色有點=8個結果;

3°,8個格子有6個格子涂藍色，2個涂紅色,紅色不相鄰，插空&=21個結果;

4°,8個格子有5個格子涂藍色,3個涂紅色，紅色不相鄰，插空德=20個結果;

5°,8個格子有4個格子涂藍色，4個涂紅色,紅色不相鄰，插空重=5個結果.

所以1+8+21+20+5=55.

故選B.

8.【答案】D

【解析】解：

a(2m—x)+1ax+1(2am-ax4-l)(ax+1)—a2%2+2a2mx+2am4-1

f(2M—久)4-/(%)=In2m+歷==In?…_%2+2mx_2m+1

當緩乙I.L=a?,即m乙(X時，f(2m-x)+/(x)為定值Inc^,則/(久)關于乙CC(gj,Ina)對稱.

故選D

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9.【答案】ABD

【解析】解：1=；+卜2g^l>^3>xy,I對;

+/表示直線:+1-1=0上的點與原點的距離,

112,

則距離的最小值￡/=ii1=年§對;

（%+（護5

4444

%+”=4,%=4-評，（％+4）y=（8-”）y=-可產(chǎn)+8y,當y=3時，（%+4）y取最大值12,此時％=0矛

盾，C錯;

，汽=2

88+16y22依?24y=2123x+4y=2&=128,當且僅當,3x+4y=12二I時，等號成立，。對.

3x=4y即

故選4BD.

10.【答案】AC

【解析】解：對于4顯然正確.

1

PCAF^2

對于8,P(4|F)=?M=E=1,或由第一個細胞分裂失敗，后面不會有新的細胞產(chǎn)生，故必然種族滅

2

絕，B錯.

對于。，一個種群由一個細胞開始，最終滅絕的概率為0,則從一個細胞開始，它有。的概率分裂成兩個細

胞，

11

在這兩個細胞中每個細胞滅絕的概率均為P，P=]+開2np2-2。+1=o,p=1,D錯.

12

,丁P(AS)罰一右

對于C,尸⑷S)=尸(S)=丁=『9,C正確.

2

故選：AC.

11.【答案】ACD

【解析】解：取4D中點為E,2c中點為尸，連接PE、EF、PF,

貝IJEF〃他EF1AD,

因為△P2D是等邊三角形，所以PE14D,

貝ikPEF即為二面角P-AD-B的平面角，NPEF=60°,

以點E為坐標原點，直線ERED分別為x、y軸建立如圖所示空間直角坐標系，

第7頁，共16頁

p

1111

0,-2,01,B\a,—^,0j,C(a，2,01,Dl0,^,01,P

2,2-2

13

布=(a,0,0),AD=BC=(0,1,0),而=停排而=停-a-2-4

設平面PAB的法向量為Tii=

，——?邪13

?4P=彳%1+2yl+4^1=0

則

九i?AB=axi=0

可取Z1=2,則久1=0,yi=-3,m=(0,-3,2),

設平面PAD的法向量為712=（X2,y2,z2）,

，——>013

n-AP=彳12+2y2+4Z2=0

則2

九2?4。=丫2=0

可取Z2=l,則、2=。，％2=-8，元=(一4,0,1),

/一一\^11^22履

COS(九1，九2)==7T37I=行，

可知平面PAB與平面PAD的夾角的余弦值不變，為尋

則當a變化時，平面P/8與平面P/D的夾角不變，故/正確;

設PB與平面PAD所成角為仇

\n2,pa

貝ain6=\cos{n2,BP]\=

pa

2Ja2--ya+1

則當:=乎時'sin。取得最大值孝x亮》號,

顯然8的最大值大于60。，故8錯誤;

若四棱錐P—4BCD存在“?！鼻?，設球心為H,

可知平面PAB與平面PCD關于平面PE尸對稱,

第8頁，共16頁

根據(jù)對稱性，球心”在平面PEF內(nèi)，

因為2D1平面PER4。u平面尸40,ADcABCD,

所以平面PEF1平面PND,平面PEF1平面N8CD,

又平面PEFn平面PAD=PE,平面PEFn平面48CD=EF,

則點〃到直線PE、P尸的距離即為點”到平面尸平面48。的距離,

可知點”在NPEF的角平分線上，又NP￡T=60°,則NHEx=30°,

設//（V^rnQjn）,m>0,BH=（平m_Q，2，??2）,

設平面PBC的法向量為元=（久3/3/3）,

fc-BP=信-a卜3+張+3=0

-BC=y3=0

可取冷=3,則>3=0,Z3=4a-逆，a=（3,0,4a-8），

則點〃到平面功。和平面ABCD的距離為m,球的半徑也為m,

點”到平面PAB的距離為心=雪翠=上

\2yl3m—3a+4am|

點打到平面的距離為電=

^9+(4a—2

解得m=2（舍負）,

\2yl^m—3a+4am|

由d2=

、9+（4a-同

可得（8m—3）a=487n（2m—1）（*）,

顯然a=1和m=這匚不同時滿足等式（*）,

即當a=l時，四棱錐P—ABCD不存在“?！鼻?，故C正確；

而當TH=J：2時,8n1—3<0,2m—1<0,

o

1Tll473m（2m-l）

則a=8時3>°,

即當爪=3|二時，存在正實數(shù)。滿足等式（*）,

故存在。，使得四棱錐尸-4BCD有半徑為衛(wèi)!匚的“0”球，故。正確.

6

12.【答案】—2

第9頁，共16頁

【解析】解：由已知，得即=1。+(九一1)(—3)=—3九+13,

-3(n+1)+13-3n+10

—3?i+13—3?1+13'

Ci>0,。2>0，。3>°，Q=—2,當7125時，Cn>0,

,?lcn7min一乙，

故答案為：-2.

13.【答案】1

■入「，一.八「一，冗—,2710)一一一71712710)71

【解析】解：已知久6［0同，6)>0,那么2a)%C［0廠7］,所以2a%+%C［彳廠7+%］.

因為函數(shù)y=cost在［0,兀］上單調(diào)遞減,

而函數(shù)/(%)=cos(23%+》在嗚］上單調(diào)遞減，所以年要十卷U［。閉.

(271371

由此可得不等式組，」,

孱。

可得手WL0即寫飛得，兩邊同時除以與

，一，57r35~,5

得到34不義石=取所以34不

則3的最大值為)

故答案為：I

144

14.【答案】而

【解析】解：設|0A|=pi,\0B\=p29|OC|=p3,

A{picos0,pisin0),B(p2cos(0+120°),p2sin(0+120°)),

C(p3cos(0+24O°),p3sin(0+24O°)),

?P1COS20

+pisin20=1

2

p犯OS2(6+120。)

+pisin2(0+12O°)=l,

2

p|cos2(0+240°)

+p3sin2(0+240°)=1

i2

cos20+cos2(0+120°)+cos2(0+240°)

3

=cos2^+cos2(^—60°)+cos2(0+60°)=2J

3

sin20+sin2(6>+120°)+sin2(6>+240。)=彳

第10頁，共16頁

111339l2I2(7)2(I+I+7)2

芝+房+歹/2=廣溫+房+題，+遙+黠，

7216?3244144

今Pl+P2+砂3之行Xg=可

1616144

|0川2Q+|0B|2Q+-|0C|2Q=Q+p名Q+西房Q2布,

4

117

當且僅當辰=浜=/時取“=”

%P2潁因

o

即周=送=亍房=2時取可取

144

應填：五尸

15.【答案】解：(1)由條件得=l=>sin(Z—B)+也sinB=sin(Z+B),

y/2sinB=2coSi4sinB,vsinB>0,cosA=A=g；

(2)(i)vtanC=2,sinC=cosC=

717275722-V5VW

???cosB=—cos(i4+C)=—cos(x+C)=—xx—^—)=

…、上ell一,一tj3A/10J103

(譏)如圖所小：由已知，sinZ-ADB=sin2B=2sin8cos8=2X-]"x《y=不

在△力BD中，由正弦定理=仁條加）=①.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

第11頁，共16頁

16.【答案】解：(1)(1)取NC中點連接用0,PM,

■：PC=PA,BC=BA,

■■.AC1PM,ACIBM,

XPM(\BM=M,PM、BMcPBM,

：.AC1平面PBM,

■■PBu平面PBM,

■■.AC1PB,即PB1AC.

(2)PM=BM=3?

■：PB=9,ZPMS=120°,

如圖建立空間直角坐標系.

二P(-孚o1)，B(A/3,0,0),

二0(￥，0,3,E(居2,0),

(3)X(0,3,0),C(0,-3,0),

.■.PA=(^,3-^),XC=(0-6,0),DE=(1,2,-R,

設平面尸/C的一個法向量n=(x,y,z),

(3p9

T+3y_產(chǎn)=o===(73,0,1),

—6y=0

設直線DE與平面上4c所成角為仇

第12頁，共16頁

39

\DE-n\3M

???sin。=

|函?同74,

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

1

17.【答案】解：(1)因為/(久)==，設點PQoJnQo+l))，

則點P處切線的斜率k=占，

%0十，

因為a=-2,

1

由曲線y=/(%)上一點尸處的切線與直線y=g(%)垂直，得x(-2)=-1,

所以孫=1,

即點尸坐標為(ljn2)；

(2)設h(%)=g(%)—f(%)=ax-ln(x+1),x>—1,

因為g(%)之/(%)恒成立，

所以h(%)20恒成立，%>-1,且h(0)=0,

1

因為"(%)=。一不百，

若a<0,則"(%)<0,故h(%)在區(qū)間(一L+8)上單調(diào)遞減,

當％e(0,+8)時,h(x)<h(0)=0,與九(%)>0恒成立矛盾,

+1)

若則"(%)=

a>0,%+1

1

令"(%)=0得％=--1,

11

所以僅久)在區(qū)間(-1,￡-1)上單調(diào)遞減，旗切在區(qū)間(￡-1,+8)上單調(diào)遞增,

1

當￡一1<0,即a>l時，

第13頁，共16頁

當久G(1-1,0)時，/i(x)</i(0)=0,與/i(%)>0恒成立矛盾，

當］-1>0,即0<。<1時，當％時，/i(x)</i(0)=0,與九(%)20恒成立矛盾,

當］-1=0,即。=1時，h(%)min=h。-1)=h(0)=0，

所以九(%)N。恒成立,%>-1,即g(%)之/(%)恒成立，

綜上所述：a=l.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

18.【答案】解：(1)設M(v,y),由題意知J(%-4)2+y2=2|%-1|,

化簡得C方程為《―4=1.

41Z

3

(2)(2)設直線PA方程為％=ty-2,t=~,

(x—ty—212t

桂2_y2=12=例9T)y9-⑵，==聲p

在右支上，

12mt36

???yp'yo>o=-9—>o=^>0=0<9<27

3,~2-1-1，

1

設PB方程為％=ziy+2,n=——?

(x=ny+2,、、？-12n

(3%2-y2=12n(3建一1萬+"政=°今年=才，

???E在右支上，

—12mn

???yP-yE<0今一----<0

3-1

m

12°

----<0=>m2o>3=3<m2<27.

m

\PA\\PB\mm

而||國一八-油

3

12?一

m36m

力=29=27—癡

3?--1

771

第14頁，共16頁

1

T2?(一元)12m

yE=----------—

3—m2

3—1

m

mm

I36mI

原式=~L2

I:----m---

27-mz3-mz

27-m23—m2

9+m2',

m2+9

4m2+9=A,12<2<36,

(36-4)(4-12)

?,?上式=

A2