專題08塞函數(shù)與二次函數(shù)

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

1.幕函數(shù)的定義

一般地，y=x"(aeR)(a為有理數(shù))的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，募為因變量，指數(shù)為常數(shù)的函數(shù)稱為

累函數(shù).

2.累函數(shù)的特征：同時(shí)滿足一下三個(gè)條件才是暴函數(shù)

①r的系數(shù)為1；②/的底數(shù)是自變量；③指數(shù)為常數(shù).

(3)基函數(shù)的圖象和性質(zhì)

3.常見(jiàn)的募函數(shù)圖像及性質(zhì):

y=x￡

23

函數(shù)y=xy=xy=x^y=1」

yy

圖象/V

/O4-X0x

定義域RRR{x|x>0}{x\x^0]

值域R{yly>0）R3”0}{y|"0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

在R在(-以0)上單在(—CO,0)和

在R上單在［0,+8)上

單調(diào)性上單調(diào)遞調(diào)遞減，在(。，+°°)(0,+s)上單調(diào)遞

調(diào)遞增單調(diào)遞增

增上單調(diào)遞增減

公共點(diǎn)（1，1）

4.二次函數(shù)解析式的三種形式

(1)一般式：/(x)=ax2+bx+c(a0)；

(2)頂點(diǎn)式：/(x)=?(x-m)2+n(a*0)；其中，為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，x=機(jī)為對(duì)稱軸方程.

(3)零點(diǎn)式：/(x)=?(x-x1)(x-x2)(a*0),其中，為9是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

5.二次函數(shù)的圖像

二次函數(shù)/。)=取2+"+式。/0)的圖像是一條拋物線，對(duì)稱軸方程為X=-3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為

2a

b4-ac-b2

(i)單調(diào)性與最值

bb

①當(dāng)〃>0時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向上，函數(shù)在(-8,——］上遞減，在［———,+8)上遞增，當(dāng)

2a2a

X=—2時(shí)，/(x),J。。-J②當(dāng)a＜0時(shí)，如圖所示，拋物線開(kāi)口向下，函數(shù)在(—00,—2］上遞

2a4。2a

工.—b、?“bq”、4ac-b2

培，在［----,+00)上遞減，當(dāng)％=----時(shí)，；/(%)max=?

2a4a

當(dāng)A=Z?2一4ac＞。時(shí)，二次函數(shù)/(x)=g?+bx+c(aw0)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)”］(Xi，0)和

M、(x9,0),IMyMr,|=|玉—1=J(無(wú)］+%)2-4%］%2=———.

"-\a\

6.二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值的取得一定是在區(qū)間端點(diǎn)或頂點(diǎn)處.

對(duì)二次函數(shù)/(》)=奴2+法+c(qwO),當(dāng)。＞0時(shí)，/(%)在區(qū)間［p,4］上的最大值是拉，最小值是

m,令/=，?：

b

(1)右一~Wp,則機(jī)=/(p),M=/(q)；

2a

bb

(2)右p＜一二＜%o，則冽=/(一二),M=/(q)；

2a2a

bb

(3)若％o4一丁＜夕，則加=/(一丁),"=/(〃)；

2a2a

b

(4)右-＜則wi=/(4),/=/(p).

2a

【方法技巧與總結(jié)】

1晶函數(shù)y=x"(ae&在第一象限內(nèi)圖象的畫法如下：

①當(dāng)a＜0時(shí)，其圖象可類似y=x-畫出；

②當(dāng)0＜"1時(shí)，其圖象可類y似-x畫出；

③當(dāng)時(shí)，其圖象可類似y=Y畫出.

2.實(shí)系數(shù)一元二次方程以2+6%+。=0(4彳0)的實(shí)根符號(hào)與系數(shù)之間的關(guān)系

A=Z?2-4ac>0

(1)方程有兩個(gè)不等正根%,4ob_

%/=--〉U

a

c

XjX=—>0

2a

A=b2-4ac>0

(2)方程有兩個(gè)不等負(fù)根為4b八

%+/=--<。

a

xx=—>0

{2a

方程有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩根為XpMO=—<0

a

3.一元二次方程以2+6x+c=0（。w0）的根的分布問(wèn)題

一般情況下需要從以下4個(gè)方面考慮：

b

（1）開(kāi)口方向；（2）判別式；（3）對(duì)稱軸光=——與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系；（4）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù).

2a

設(shè)看,%為實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c^0（?>0）的兩根，則一元二次ax2+bx+c^0（。>0）的根的分布

與其限定條件如表所示.

A>0

b

V----<m

2a

x<x<m

12J工/(m)>0

y

A<0

mnx

八y

A=0

Z\L

xl=x2<m

或X]=x2>m

I0m?X

二A>0

b

<-----<m

\2a

在區(qū)間(m,n)f(m)>0

內(nèi)

沒(méi)有實(shí)根

yA>0

b

----->n

\\/:2a

/W>0

\iy?

4mn;x

7(m)<0

V

/(?)<o

（1）要熟練掌握二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值或值域的求法，特別是含參數(shù)的兩類問(wèn)題一動(dòng)軸定區(qū)間

和定軸動(dòng)區(qū)間，解法是抓住“三點(diǎn)一軸”，三點(diǎn)指的是區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和區(qū)間中點(diǎn)，一軸指對(duì)稱軸.即注意對(duì)對(duì)

稱軸與區(qū)間的不同位置關(guān)系加以分類討論，往往分成：①軸處在區(qū)間的左側(cè)；②軸處在區(qū)間的右側(cè)；③軸

穿過(guò)區(qū)間內(nèi)部（部分題目還需討論軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系），從而對(duì)參數(shù)值的范圍進(jìn)行討論.

（2）對(duì)于二次方程實(shí)根分布問(wèn)題，要抓住四點(diǎn)，即開(kāi)口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值

正負(fù).

【題型歸納目錄】

題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像

題型二：塞函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

題型三：二次方程以2+為：+。=0（0/0）的實(shí)根分布及條件

題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題

【典例例題】

題型一：幕函數(shù)的定義及其圖像

例1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）幕函數(shù)〃。=（*-2加+1）/2在（0,+句上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)加的值為

（）

A.-2B.0或2C.0D.2

例2.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知嘉函數(shù)J（p,q￡Z且p,q互質(zhì)）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖

y-x

所示，貝!I（）

A.p,q均為奇數(shù)，且2＞0

B.q為偶數(shù),p為奇數(shù)，且“＜。

q

c.g為奇數(shù)，P為偶數(shù)，且￡＞。

q

D.q為奇數(shù)，p為偶數(shù),且/＜。

例3.（2022?海南?文昌中學(xué)高三階段練習(xí)）已知幕函數(shù)/（x）=x"（aeR）過(guò)點(diǎn)4（4,2）,則/（：）=.

例4.（2022?黑龍江?哈九中高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知事函數(shù)〃尤）的圖象過(guò)點(diǎn)（-8,-2）,且〃a+l）4-”4-3）,

則a的取值范圍是.

例5.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖是募函數(shù)y=B（況＞0,=1,2,3,4,5）在第一象限內(nèi)的圖象,

其中aj=3,a2=2,oo=l,%=1，%=!，已知它們具有性質(zhì)：

23

①都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）和（1,1）；②在第一象限都是增函數(shù).

請(qǐng)你根據(jù)圖象寫出它們?cè)冢?,+oo）上的另外一個(gè)共同性質(zhì)：.

例6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知塞函數(shù)y=/（x）=x4*3（加€2）在（0,+s）是嚴(yán)格減函數(shù)，且為偶

函數(shù).

（1）求>=/（尤）的解析式;

（2）討論函數(shù)目=歹（無(wú)）+（。-2）上./0）的奇偶性,并說(shuō)明理由.

【方法技巧與總結(jié)】

確定幕函數(shù)y=x"的定義域，當(dāng)Q為分?jǐn)?shù)時(shí)，可轉(zhuǎn)化為根式考慮，是否為偶次根式，或?yàn)閯t被開(kāi)方式

非負(fù).當(dāng)。<0時(shí)，底數(shù)是非零的.

題型二：暮函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

例7.（2022?河北石家莊?高三期末）已知實(shí)數(shù)°,6滿足a3+e“=e-"+l,b3+eb=eb-l,貝3+6=（）

A.-2B.0C.1D.2

例8.（2022?四川眉山.三模（文））下列結(jié)論正確的是（）

A.2百〈（石『B.2屈C.2"<log20D.2點(diǎn)<log&2

[2%>2

例9.（2022.廣西.高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)/（x）=x'",若關(guān)于x的方程〃力=上有兩個(gè)不

（X-1）3,X<2

同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

A.（0,1）

B.

C.（0,1]

D.（0,+e）

例10.（2022?浙江.模擬預(yù)測(cè)）已知。>0,函數(shù)〃*）=￡-"（*>0）的圖象不可能是（）

例11.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）不等式（爐_1『"+/。。2+2元2_：14（）的解集為：.

例12.（2022.上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三階段練習(xí)）若函數(shù)〃x）=（7"+3）x"（加aeR）是基函數(shù)，且其圖象過(guò)點(diǎn)

（2,應(yīng)），則函數(shù)g（x）=log”（x2+/nx-3）的單調(diào)遞增區(qū)間為.

-1

feklv＞o

例13.（2020?四川?瀘州老窖天府中學(xué)高二期中（理））已知函數(shù)〃x）=2'，若方程

-X2-2x+l,x＜0

產(chǎn)（無(wú)）+加＞）+2=0有8個(gè)相異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是.

例14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知幕函數(shù)〃尤）=（/-2%-2）/-4z在上單調(diào)遞減.

（1）求m的值并寫出的解析式；

（2）試判斷是否存在。＞0,使得函數(shù)g（x）=（2"T）x-啟+1在（0,2]上的值域?yàn)椋?,11]?若存在，求出a

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【方法技巧與總結(jié)】

緊扣累函數(shù)＞的定義、圖像、性質(zhì)，特別注意它的單調(diào)性在不等式中的作用，這里注意a為奇數(shù)

時(shí)，X。為奇函數(shù)，a為偶數(shù)時(shí)，f為偶函數(shù).

題型三：二次方程以2+加：+。=0（0/0）的實(shí)根分布及條件

例15.（2022.河南.焦作市第一中學(xué)高二期中（文））設(shè)P：二次函數(shù)/（力=依2+依+i（awo）的圖象恒在x

軸的上方，q：關(guān)于x的方程f-2分+/一1=。的兩根都大于一1,則。是q的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

例16.（2022.重慶.模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y=f-4x+a的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間。,收）內(nèi)，則。的取值范圍

是（）

A.（^?,4）B.（3,-Ko）C.（3,4）D.（-oo,3）

例17.（2022.江西省豐城中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)〃力=3,且〃a+2）=18,函數(shù)g（x）=3儂-4,.

⑴求g（元）的解析式；

⑵若關(guān)于x的方程g（x）-m8=0在區(qū)間［-2,2］上有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

例18.（2022?湖北?高一期末）已知函數(shù)〃x）=|2sinx-1|,尤€［0,刈.

（1）求了（X）的最大值及一（X）取最大值時(shí)X的值；

（2）設(shè)實(shí)數(shù)aeR,求方程3［/（x）］2-24（x）+1=0存在8個(gè)不等的實(shí)數(shù)根時(shí)。的取值范圍.

【方法技巧與總結(jié)】

結(jié)合二次函數(shù)/（x）=?%2+6x+c的圖像分析實(shí)根分布，得到其限定條件，列出關(guān)于參數(shù)的不等式，

從而解不等式求參數(shù)的范圍.

題型四：二次函數(shù)“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”問(wèn)題

例19.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知/。）=加+bx+c（a>0）,g（x）=/（/（功，若g（x）的值域?yàn)椋?,+助,

/（X）的值域?yàn)椴罚?8）,則實(shí)數(shù)%的最大值為（）

A.0B.1

C.2D.4

例20.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))己知值域?yàn)椋?1,內(nèi))的二次函數(shù)/5)滿足，(-1+彳)=/(-1-尤)，且方程

f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根士,三滿足卜-引=2.

⑴求了(尤)的表達(dá)式；

⑵函數(shù)g(x)=f(x)-丘在區(qū)間［-2,2］上的最大值為/(2),最小值為了(-2),求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

例21.(2022?貴州畢節(jié)?高一期末)已知函數(shù)/(x)=f—2or(a>0).

⑴當(dāng)。=3時(shí)，解關(guān)于尤的不等式-5</(尤)<7；

⑵函數(shù)y=/(x)在上J+2］上的最大值為0,最小值是T,求實(shí)數(shù)。和f的值.

例22.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))問(wèn)題：是否存在二次函數(shù)/(x)=ox2+bx+c(awO,6,ceR)同時(shí)滿足下列

條件：

/(0)=3,/*)的最大值為4,—?若存在，求出Ax)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.在①

〃l+x)=/(l-x)對(duì)任意xeR都成立，②函數(shù)y=/(x+2)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，③函數(shù)/⑴的單調(diào)遞減

區(qū)間是這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問(wèn)題中作答.

例23.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知二次函數(shù)/(尤)滿足/(-1)=/(3)=3,/(1)=-1.

(1)求/⑺的解析式；

(2)若Ax)在匕-1,“+1］上有最小值-1,最大值/(a+D,求a的取值范圍.

例24.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(；0=如2+法+1(a,beR),滿足/(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)尤均

有f(x)20.

⑴求的解析式；

⑵當(dāng)xe時(shí)，若g(x)=/(x)-時(shí)是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

【方法技巧與總結(jié)】

“動(dòng)軸定區(qū)間”、“定軸動(dòng)區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：

(1)根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時(shí)需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函

數(shù)值進(jìn)行分析；

(3)將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.(2022?全國(guó)?高三階段練習(xí))已知函數(shù)=其中〃>0,/(0)<0,〃+}+c=0,貝！J()

A.Vxe(O,l),都有〃")>0B.Vxe(O,l),都有〃x)vO

C.3xoe(O,l),使得〃光。)=。D.Hxoe(O,l),使得/?)>O

2.（2022?北京?二模）下列函數(shù)中，與函數(shù)y=J的奇偶性相同，且在（O,+8）上有相同單調(diào)性的是（）

A.yB.y=lnx

C.y=sinxD.>=x\x\

3.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知塞函數(shù)/何=（〃2+2〃-2卜'（/1€2）在（0,+8）上是減函數(shù)，貝心的值為

（）

A.1或-3B.1C.-1D.-3

4.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））設(shè)ce1-L,g,l,2,31,則使函數(shù)y=x"的定義域?yàn)镽,且該函數(shù)為奇函

數(shù)的a值為（）

A.1或3B.—1或1C.—1或3D.—1、1或3

5.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)（理））已知幕函數(shù)/（x）=x。的圖像過(guò)點(diǎn)（8.4）,則/■（xQx"的值域是（）

A.（-8,0）B.（-℃,0）5°，4<30）

C.（O,+8）D.[O,人）

6.（2022?北京.高三專題練習(xí)）設(shè)XeR,口]表示不超過(guò)％的最大整數(shù).若存在實(shí)數(shù)，，使得⑺=1"4=2,一，

[〃]=〃同時(shí)成立，則正整數(shù)”的最大值是

A.3B.4C.5D.6

、_m

7.（2022?全國(guó)-IWJ三專題練習(xí)）若塞函數(shù)/⑶=/（m,幾￡N*,m,〃互質(zhì)）的圖像如圖所示，貝U（）

A.m,〃是奇數(shù)，且%<1

n

B.加是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且%>1

n

rii

C.機(jī)是偶數(shù)，〃是奇數(shù)，且一<1

n

D.機(jī)是奇數(shù)，”是偶數(shù)，且%>1

n

二X0

8.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知了。）=儼’",若關(guān)于x的方程2/2。）_左"（勸-1=。有5個(gè)不

3x—x3,x<0

同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍為（）

72727272

A.一一e）B.一—e]C.（-oo,--）|J（一一e,+8）D.U（一一4+②）

2e2e2e2e

二、多選題

9.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)y=x，4x-4的定義域?yàn)椋?,a）,值域?yàn)椋?8，T，則正整數(shù)，的值可

能是（

A.2B.3C.4D.5

10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=32x-2.3'+2,定義域?yàn)槭眨涤驗(yàn)榭冖?，則下列說(shuō)法中

一定正確的是（）

A.A/=[0,log32]B.Mc（^o,log32]

C.log32GMD.OeM

11.（2022?廣東揭陽(yáng)?高三期末）已知函數(shù)/（*）=/+工，實(shí)數(shù)加，〃滿足不等式〃2〃z—3〃）+/（〃-2）>0,則

）

n〃+l

A.e>eB.—>——

mm+1

c.In（m-n）>0D.m2021<n2021

12.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)（x，?）滿足（3x+y）5+%5+4x+y=0.則點(diǎn)（x,y）（

A.只有有限個(gè)B.有無(wú)限多個(gè)

C.位于同一條直線上D.位于同一條拋物線上

三、填空題

13.（2022?內(nèi)蒙古赤峰?模擬預(yù)測(cè)（文））寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/（x）=.

①/（-X）=/（%）;

②當(dāng)xe（O，+°°）時(shí)，/（A-）>0；

③/。2）=/㈤,/㈤；

14.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)（文））已知6（6，-2,-1,-3。1,2,31.若基函數(shù)於