平面向量的概念【四大題型】

【題型歸納目錄】

題型一：向量的基本概念

題型二：向量的表示方法

題型三：利用向量相等或共線進(jìn)行證明

題型四：向量知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

【思維導(dǎo)圖】

平面向■的概念

楂?零向■'單位向北

平行向■

相等向■

相等向■與共線向量

共線向n

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)一：向量的概念

1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2、數(shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）本書所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意平移.

（2）看一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素.

（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小.

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題型一：向量的基本概念

［例1］下列關(guān)于向量的說(shuō)法正確的是（）

A.物理學(xué)中的摩擦力、重力都是向量B.平面直角坐標(biāo)系上的X軸、了軸都是向量

C.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量D.身高是一個(gè)向量

【變式1-1】下列各量中是向量的為（）

A.海拔B.壓強(qiáng)C.重力D.溫度

【變式1-2】下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的

有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【變式1-3】下列量中是向量的為（)

A.頻率B.拉力C.體積D.距離

知識(shí)點(diǎn)二：向量的表示法

1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.

2、向量的表示方法：

（1）字母表示法：如a1,c,…等.

（2）幾何表示法：以N為始點(diǎn)，8為終點(diǎn)作有向線段方（注意始點(diǎn)一定要寫在終點(diǎn)的前面）.如果用

一條有向線段篇表示向量，通常我們就說(shuō)向量益.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）用字母表示向量便于向量運(yùn)算；

（2）用有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性.應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不是說(shuō)向

量就是有向線段.由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)的位置無(wú)關(guān),

即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量.

題型二：向量的表示方法

【例2】已知飛機(jī)從/地按北偏東30。的方向飛行2000km到達(dá)8地，再?gòu)?地按南偏東30。的方向飛行2000km

到達(dá)C地，再?gòu)腃地按西南方向飛行1000亞km到達(dá)。地.

（1）作出向量右，~BC，CD-~DA：

（2）問(wèn)。地在/地的什么方向？。地距/地多遠(yuǎn)？

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【變式2-1］在方格紙(每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1)中，畫出下列向量.

(l)|o3|=2,點(diǎn)A在點(diǎn)0的正東方向；

(2)|礪|=2收，點(diǎn)8在點(diǎn)。的北偏東45。方向;

(3)求出網(wǎng)的值.

【變式2-2］如圖，某人從點(diǎn)/出發(fā)，向西走了200m后到達(dá)3點(diǎn)，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某

方向行走了2006m到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東走了200m到達(dá)。點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)。點(diǎn)在3點(diǎn)的正北方.

北八

廠丁一廠一「―「4一廠］

I____J_____1_____I____I_________I_____J

：：：3

IIIIIII

ii~i。ii

Iiii?Z??

iiiiiii

i----1-----T-----1------i------------1

1A

—|-----1----1-------1-----1---1----1_A本

一5-4;-3-2-1012爾

I-----L----4-----1-----1-----------I---4

；一1

I_____J____1_____I_____I___________I___J

-2

⑴作出羽、BC>CD(圖中1個(gè)單位長(zhǎng)度表示100m)；

(2)求方的模.

【變式2-3］在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知0=5,次與x軸的正方向所成的角為30。，與y軸的正方

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向所成的角為120。，試作出04.

知識(shí)點(diǎn)三：向量的有關(guān)概念

1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng)度）.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）向量a的模|a|>0.

（2）向量不能比較大小，但|力是實(shí)數(shù)，可以比較大小.

2、零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.記作6,它的方向是任意的.

3、單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

（1）在畫單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可以根據(jù)需要任意設(shè)定；

（2）將一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同.

（3）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等.

知識(shí)點(diǎn)四：向量的共線或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）.

規(guī)定：6與任一向量共線.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

1、零向量的方向是任意的，注意6與o的含義與書寫區(qū)別.

2、平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在

同一直線上的線段的位置關(guān)系.

3、共線向量與相等向量的關(guān)系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量.

題型三：利用向量相等或共線進(jìn)行證明

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【例3】如圖所示，在平行四邊形438中，E,9分別是C。，48的中點(diǎn).

⑴寫出與向量定共線的向量;

(2)求證：~BE=~FD-

【變式3-1］如圖，四邊形N2CD是平行四邊形，四邊形N3DE是矩形.

⑴找出與血相等的向量;

⑵找出與方共線的向量.

【變式3-2】設(shè)。是正六邊形/3CDEF的中心，寫出滿足條件的向量.

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FE

⑴與刀相等的向量;

(2)與礪相等的向量;

⑶與反的模相等且平行的向量(除反外).

【變式3-3］在平行四邊形/BCD中，E、尸分別是CD、N8的中點(diǎn)，如圖所示.

(1)寫出與向量尸C平行的向量;

(2)求證：BE=FD.

題型四：向量知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

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【例4】如圖，某船從點(diǎn)。出發(fā)沿北偏東30。的方向行駛至點(diǎn)/處，求該船航行向量方的長(zhǎng)度（單位：n

mile）.

【變式4-1】已知飛機(jī)從A地按北偏東30。方向飛行2000批到達(dá)8地，再?gòu)腂地按南偏東30。方向飛行

2000幻〃到達(dá)C地，再?gòu)腃地按西南方向飛行1000打燈〃到達(dá)。地.畫圖表示向量在，就，而，并指出向量

N萬(wàn)的模和方向.

【變式4-2】飛機(jī)從/地按北偏西15。的方向飛行1400km到達(dá)8地，再?gòu)?地按南偏東75。的方向飛行1400km

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到達(dá)C地，那么C地在/地什么方向上？C地距/地多遠(yuǎn)?

【變式4-3】一名模型賽車手遙控一輛賽車，稱先前進(jìn)1m,然后原地逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)a角為一次操作.

(1)當(dāng)a=45。時(shí)，至少需要幾次操作，賽車才可以回到出發(fā)點(diǎn)？按照適當(dāng)?shù)谋壤鲌D加以說(shuō)明.

(2)如果0。<&<180。，且按此操作，賽車能夠回到出發(fā)點(diǎn)，那么a應(yīng)該滿足什么條件？

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【強(qiáng)化訓(xùn)練】

1.已知48,c,。是平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)，貝IJ“方//皮”是“四邊形/BCD為平行四邊形”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知四邊形/BCD,下列說(shuō)法正確的是（）

A.若在=反，則四邊形N3CD為平行四邊形

B.若|就|=|而則四邊形4BCD為矩形

C.若15〃前,且|就|=|而則四邊形/BCD為矩形

D.若|萬(wàn)|=|函且五5〃前，則四邊形ABC。為梯形

3.如圖，等腰梯形/BCD中，對(duì)角線/C與8。交于點(diǎn)尸，點(diǎn)￡、尸分別在兩腰40、3c上，EF過(guò)點(diǎn)、P,

4.下列命題中，正確的是（）

A.若q//5，bile>則a//c

B.若a=3,h=c，貝！Ja=c

C.若兩個(gè)單位向量互相平行，則這兩個(gè)單位向量相等

D.若￡//否，則d與5方向相同或相反

5.如圖，在矩形/BCD中，AB=2AD,M,N分別為與CD的中點(diǎn)，則在以4,B,C,D,M,N為起

點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，相等向量的對(duì)數(shù)為（）

D.------------X-----------.C

A.9B.11

C.18D.24

6.下列說(shuō)法:

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①若兩個(gè)空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同;

―>—>

②若向量向，滿足且?guī)着cch同向，則石>cb；

③若兩個(gè)非零向量幾與滿足嬴+,則a，ci>為相反向量；

④幾=cb的充要條件是/與c重合，3與。重合?

其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

7.（多選題）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)可能不同

B.若非零向量與與而是共線向量，則42,c,。四點(diǎn)共線

c.若非零向量4與B共線，則a=B

D.^a=b，則同明

8.（多選題）如圖，在菱形488中，若/D48=120。，則以下說(shuō)法中正確的是（）

B.而的模恰為方模的百倍

C.與簫的模相等的向量有9個(gè)（不含萬(wàn)）

D,與石相等的向量只有一個(gè)（不含刀）

9.（多選題）如圖，在菱形4BC。中，N24D=120。，則以下說(shuō)法正確的是（）

A.與方相等的向量只有1個(gè)（不含萬(wàn)）

B.與刀的模相等的向量有9個(gè)（不含方）

C.麗的模恰為方3的模的百倍

D.每與53不相等

10.下列說(shuō)法正確的是.（填序號(hào)）

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①若萬(wàn)〃B,則萬(wàn)=B；

②若同=忖，則@=B；

③若1=貝與B共線；

④若貝鼠一定不與B共線.

11.在下列判斷中，真命題的是.

①長(zhǎng)度為0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；