重難點(diǎn)09立體幾何的軌跡和截面問題

明考情-知方向

三年考情分析2025年考向預(yù)測(cè)

2022年，第9題，考察立體幾何的軌跡估計(jì)將延續(xù)“動(dòng)態(tài)分析+空間建?！钡膭?chuàng)新導(dǎo)向，試題

可能以動(dòng)態(tài)軌跡（如動(dòng)點(diǎn)軌跡、翻折旋轉(zhuǎn)路徑）和復(fù)

該題型常以動(dòng)態(tài)情境考查空間想象與邏輯推理能力，強(qiáng)調(diào)

雜截面作圖（如圓錐曲線、多面體交線）為核心。預(yù)

幾何性質(zhì)與代數(shù)運(yùn)算結(jié)合，需通過線面位置關(guān)系或空間向

計(jì)題型將融入開放情境，如科技模型或生活案例，強(qiáng)

量轉(zhuǎn)化解決。

化幾何與代數(shù)的交叉應(yīng)用（如利用向量坐標(biāo)求軌跡方

程或截面周長(zhǎng)）

重難點(diǎn)題型解讀

題型1平行關(guān)系求軌跡

一般將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行可得軌跡

II

1.,2024產(chǎn)茶祠”?二覆莪口甌征冠工另2前正方荏醯3-彳》?石市,E為菠BC而市酉,尸為辰商ABCD

內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界）.若。///平面AEG，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.73B.y/5C.2A/2D.y/2

2.（2023高二?全國(guó)?專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體AB=AD^2,M=4,M是8月的中點(diǎn)，

點(diǎn)P滿足麗=4團(tuán)+"甌，其中/Le[0,l],且MP〃平面4耳口，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所形成的軌跡

長(zhǎng)度是.

3.（2021-22高二上?山東棗莊?期末）如圖，已知正方體ABCD-481G2的棱長(zhǎng)為2,E、F分別是棱M,人。的

中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面四邊形ABCD內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線2P與平面BE尸無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P在四

邊形ABC。內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成軌跡的長(zhǎng)度為.

4.（2023?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，已知正方體ABCD-A片G2的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)瓦產(chǎn)分別是棱的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界）.若RP〃平面BEF,則下列說法正確的有（）

B.三棱錐P-3EF的體積不是定值

c.0耳的取值范圍是冬;

D.直線。/與跳■所成角的余弦值的最小值為當(dāng)

5.（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四面體A3CD的每條棱長(zhǎng)都等于2,M,G,N分別是棱AB,BC,CD

的中點(diǎn)，O,E,斤分別為面BCD,面4BC,面ACD的重心.

A

（1）求證：面0￡尸〃面AB￡）；

⑵求平面OEF與平面ABN的夾角的余弦值；

（3）保持點(diǎn)E,產(chǎn)位置不變，在△BCD內(nèi)（包括邊界）拖動(dòng)點(diǎn)。，使直線與平面平行，求點(diǎn)。軌跡

長(zhǎng)度；

題型2垂直關(guān)系求軌跡

i玄7

可用以下兩種方法：①轉(zhuǎn)化為面面垂直彳導(dǎo)交線求軌跡；②將垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為平行關(guān)系求軌跡

通該:荃盲港戚就5茬三修箍下二Q'?幣:百如歹ABC與前而蕩莫逅礴’了痂t三鬲形;反三%,D

為側(cè)棱R4的中點(diǎn)，E為三棱錐P-ABC的外接球。表面上一動(dòng)點(diǎn)，若異面直線AB,上始終保持垂直，

則動(dòng)點(diǎn)E的軌跡圍成圖形的周長(zhǎng)為.

2.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）已知正方體ABCD-AMG2的棱長(zhǎng)為2,"是棱CG的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)尸滿足

DPYBM,且。尸=1,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.好B.3C.2兀D.

55

3.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體ABCD中，VABC和AACD均是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，DB=9,

則四面體ABCD外接球的表面積為；點(diǎn)E是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在四面體ABCD的外接球上運(yùn)動(dòng)，

且始終保持EF1AC,則點(diǎn)F的軌跡的長(zhǎng)度為.

A

4.（2024?山西?二模）已知正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為6,體積為18君，動(dòng)點(diǎn)M在棱錐側(cè)面尸AC上運(yùn)

動(dòng)，并且總保持則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度為.

5.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱ABC-中，45=4。=然=3,3。=30,后是側(cè)面441。夕

內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），。為BC的中點(diǎn)，BxEX.\D.

（1）求證：點(diǎn)E的軌跡為線段AG;

⑵求平面AOE與平面A3c夾角的大小.

題型3角度關(guān)系求軌跡

------------------------------------------------------h

00與百

若動(dòng)直線與面或定直線成定角，軌跡可能是圓錐側(cè)面

77五成荃畝二贏麗孤而鼠五標(biāo)總?cè)f菽i葭底蓊近匚4麗0：市:百而應(yīng):舊方各別是核［方：怒:靛’

的中點(diǎn)，則平面麗截正方體所得的截面面積為，若。為平面座上的動(dòng)點(diǎn),且直線。片與直線。耳

的夾角為30°,則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為.

2.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-ABG，中，己知M,N,P分別是棱CQ,

A4,BC的中點(diǎn)，。為平面麗上的動(dòng)點(diǎn)，且直線。片與直線。耳的夾角為30。，則點(diǎn)。的軌跡長(zhǎng)度為（）

C.2兀D.3兀

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐尸—ABCD的體積為逑，底面ABC。的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過球心的截

3

TT

面圓上，頂點(diǎn)尸在球。的球面上，點(diǎn)E為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，PE與PO所成角為:，則點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度

6

為（）

A.缶B.4島C.手D.半兀

4.（2024?福建莆田?二模）在正方體A2CD-A片G2中，點(diǎn)M在平面ACR上（M異于點(diǎn)C）,則不正確的

是（）

A.直線與。與Q0垂直.

B.存在點(diǎn)使得CM〃BB]

C.三棱錐的體積為定值

1T

D.滿足直線CM和4G所成的角為!■的點(diǎn)M的軌跡是雙曲線

5.（2024?湖南益陽(yáng)?三模）如圖，點(diǎn)尸是棱長(zhǎng)為2的正方體A8C。-ABCiR的表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列

A.當(dāng)點(diǎn)尸在平面BCG月上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐尸-A4QQ的體積不變

7T7T

B.當(dāng)點(diǎn)尸在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，尸與AG所成角的取值范圍為J,-

C.使直線AP與平面ABCD所成角為45。的動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為兀+4a

D.若B是44的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸在底面ABC。上運(yùn)動(dòng)，且滿足尸尸〃平面瓦。2時(shí)，尸尸長(zhǎng)度的最小值為6

題型4定長(zhǎng)或長(zhǎng)度關(guān)系求軌跡

\‘運(yùn)’

：00日?

I可轉(zhuǎn)化為在一個(gè)平面內(nèi)的距離關(guān)系，借助球和圓的定義等知識(shí)求解軌跡

二:7而式甚篙三工行去萋而新葭翳5-舌第福藪孽豪荷菠期新夏甌”播E由旃兔版N方舟市禽芝正'

為常數(shù)4（4>0,4力1）的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線A5上的圓，該圓被稱為阿氏圓.如圖，在長(zhǎng)方體

ABC。-A8|G2中，4B=2AZ）=2A4t=12,點(diǎn)￡■在棱48上，BE=2AE,動(dòng)點(diǎn)、P滿足BP=6PE,若點(diǎn)P

在平面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的軌跡的面積是；尸為GA的中點(diǎn)，則三棱錐尸一&C尸體

積的最小值為.

2.（2024?四川宜賓?三模）在直三棱柱ABC-4耳￡中，AB=BC=BBi,AB_LBC,點(diǎn)尸在四邊形朋瓦臺(tái)內(nèi)

（含邊界）運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。/=辰。］時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為兀，則該三棱柱的表面積為（）

A.4B.10+40C.12+40D.16+40

7T

3.（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）在直四棱柱ABCD-ABC1R中，/胡。=g,AB=AD=AAl=2,點(diǎn)。在側(cè)面

ZJCG2內(nèi)，且AQ=S，則點(diǎn)。軌跡的長(zhǎng)度為（）

兀e兀-2?！?兀

A.—B.-C.—D.—

6333

4.（2024?河南?二模）已知四面體ABCD的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且。1=CB=2AB=4.設(shè)E為空

間內(nèi)一點(diǎn)，且A,8,C,2E五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若AE=2框,則點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.無(wú)B.2無(wú)C.3無(wú)D.47t

5.（2025?吉林?二模）如圖，在三棱錐S-ABC中，平面S4B_L平面ABC,NSAB=120。，AC=AB=BC=SA=2,

點(diǎn)E在棱AC上，且CE=3AE,側(cè)面S4B內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸滿足C尸=2尸E,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為；直線

CP與直線A5所成角的余弦值的取值范圍為.

s

題型5求截面的周長(zhǎng)或面積

截面的作法乂乍交線的方法有如下兩種:①利用基本事實(shí)3作直線；

II

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線。

7石益j：產(chǎn)茶產(chǎn)河港SS而汨高至防線血二誦E兀舒庭可7：耘二裾滓氤詢％而,

當(dāng)平面a截此正方體所得截面邊數(shù)最多時(shí)，記此時(shí)的截面的面積為S,周長(zhǎng)為/,則（）

A.S不為定值，/為定值B.S為定值，/不為定值

C.S與/均為定值D.S與/均不為定值

2.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，M,N分別為棱AO,8C的中點(diǎn)，

。為線段的中點(diǎn)，球。的表面與線段AD相切于點(diǎn)則球。被正四面體ABC。表面截得的截面周長(zhǎng)

為.

3.（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱A3CZ）-中，凡=2A3=4，點(diǎn)瓦尸,G分別是9,4與，B?

的中點(diǎn)，則過點(diǎn)瓦尸,G的平面截正四棱柱ABCD-A與所得截面多邊形的周長(zhǎng)為（）

A.272+373B.20+36C.2a+4百D.2叵+4也

4.（2023?甘肅定西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐P—ABCD中，平面A8C。，底面A8CD是矩形，AB=3,

AO=E4=4,￡是棱BC上一點(diǎn)，則當(dāng)截面尸DE的周長(zhǎng)最短時(shí)，尸￡與A2所成角的余弦值等于.

5.（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P—ABC中，AC=BC=PC=2,且AC_L3cpe_L平面ABC,過點(diǎn)

尸作截面分別交AC5C于點(diǎn)E,尸，且二面角P-EF-C的平面角為60。，則所得截面時(shí)的面積最小值為

（）

48

A.B.D.1

限時(shí)提升練

（建議用時(shí)：60分鐘）

1.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體ABC。-A片G2的棱長(zhǎng)為3,點(diǎn)P是平面ACg內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，M,N分

別為C。，的中點(diǎn)，若直線BP與所成的角為。，且sin9=好，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所圍成的圖形的

5

面積為（）

4

A

A.

2.（202425高二上?福建廈門?階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為。的正方體A8CD-A與G2中，M,N分別為8c的

中點(diǎn)，點(diǎn)p在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度是（）.

A.（2+A/^）”B.^3+\[3^aC.+D.4a

3.（2024-25高三上?天津?期中）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-4用^2中，點(diǎn)尸是側(cè)面正方形CDRG內(nèi)的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)。是正方形A3與A的中心，且P。與平面CDAG所成角的正弦值是勺叵，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡圖形的

17

面積為（）

A.彳B.無(wú)C.20D.y/2

4.（2024?福建廈門?三模）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A用G3中，已知WN,尸分別是棱CQ,AA，BC

的中點(diǎn)，則平面冏的截正方體所得的截面面積為，若。為平面心W上的動(dòng)點(diǎn),且直線QB,與直線DB]

5.（2023高二?全國(guó)?專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體ABCD-ASG2,AB=AD^2,A4（=4,M是8月的中點(diǎn)，

點(diǎn)P滿足而=4就+〃甌，其中丸e[0,l],且MP〃平面ABQ,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所形成的軌跡

長(zhǎng)度是.

6.（20202L22高二上?山東棗莊?期末）如圖，已知正方體-43c的棱長(zhǎng)為2,改廠分別是棱

的中點(diǎn)，點(diǎn)P為底面四邊形A3CD內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面時(shí)無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)尸在

四邊形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)所形成軌跡的長(zhǎng)度為.

7.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，M,N分別為棱AD,3C的中點(diǎn)，

。為線段的中點(diǎn)，球。的表面與線段AD相切于點(diǎn)則球。被正四面體ABCD表面截得的截面周長(zhǎng)

為.

8.（2023?甘肅定西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四棱錐尸一ABC。中，PAL平面ABC。，底面AB