參照秘密級(jí)管理★啟用前試卷類型：A

日照市2025屆高三下學(xué)期校際聯(lián)合考試

數(shù)學(xué)

2025.2

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合/={xlx〉l},8={x[—2<x<2},貝（）

A.（-0）,2）B.（l,2]C.（-2,l）D.（-2,l]

2.己知等差數(shù)列{%}中，a2+a4=6,則%+%+%=（）

A.15B.9C.3^6D.5癡

3.“。=1”是“復(fù)數(shù)S（aeR）為純虛數(shù)”的（）

1-1

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

4.已知a是第一象限角，且5也￡+（：05。=3（：05（/12111,則sin[a+的值為（）

D.竽

A石R275「亞

A.------D.--------------C.----------

555

12

5.點(diǎn)幺（2,1）在直線/:加x+町=1上,且加〃>0,則—I■—的最小值為（）

mn

A.4B.6C.8D.10

6.定義在R上的函數(shù)了=/（x）滿足以下條件：①/（-x）-/（x）=0；②對(duì)任意再,々e[0,+"）,當(dāng)

工尸馬時(shí)都有用上/應(yīng)〉0.則/（一^），/（兀），/（一3）的大小關(guān)系是（）

X]一/'/

A./(TT)>/(-3)>/(-V5)B./W>/(-V5)>/(-3)

C./(TT)</(-3)</(-V5)D./(TI)</(-V5)</(-3)

7.高考入場(chǎng)安檢時(shí)，某學(xué)校在校門口并排設(shè)立三個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，進(jìn)入考場(chǎng)的學(xué)生只需要在任意一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)安檢

即可進(jìn)入.現(xiàn)有三男三女六位學(xué)生需要安檢，則每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)通過(guò)的男生和女生人數(shù)相等的可能情況有

(

A.66種B.93種C.195種D.273種

8.已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和4,高為3百.若該圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)球，則該球的表面積的最大

值為()

八64兀C27兀D.吟

A.9兀B.------

3

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sin2x+；,則下列說(shuō)法中正確的有()

A./(x)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱

6

B./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C./(x)在［-上單調(diào)遞增

D.若/(石)—/(%)=2，貝1」年一馬|的最小值為］

10.下列說(shuō)法正確的是()

A.已知扇B為非零向量，若忖+,〉卜—可，則璃B的夾角為銳角

B.［x—展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-20

223

C.若方程一一+「=1表示橢圓，則根〉一

2m-3m+12

D.點(diǎn)尸在直線x-y-l=Q上運(yùn)動(dòng)，Z(2,3),3(2,0),|尸國(guó)—|尸耳的最大值是亞

11.已知點(diǎn)集C={(xj)l(x—cos。/+(y—sin8)2=4,0W8W。},其部分圖形如圖中陰影所示，圖形將

平面剩余部分分成內(nèi)外兩部分（空白區(qū)域），下列說(shuō)法正確的是（

A.圖形內(nèi)部空白區(qū)域的面積最小值為兀

B.圖形上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離為注

2

C.當(dāng)°=萬(wàn)時(shí)，圖形關(guān)于歹=一》對(duì)稱

D.當(dāng)。=兀時(shí)，圖形內(nèi)外邊界的長(zhǎng)度和為8兀

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知函數(shù)/（x）='y]l°xg<3（1x+8）,H'則/⑴+〃-1）=------------?

13.已知函數(shù)/（力=反，的圖象關(guān)于點(diǎn)尸對(duì)稱，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

14.設(shè)片，片分別為雙曲線C：=-￡=1（。>0力〉0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)用且斜率為-姮的直線/與C

ab5

的右支交于點(diǎn)與C的左支交于點(diǎn)8,點(diǎn)。滿足麗=；詼，麗?1萬(wàn)=0,則雙曲線C的漸近線方程

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）

c

在V48C中，角4民。的對(duì)邊分別為“c,J.V3CSIIL4=2ocos2—.

2

（1）求角C；

n

（2）若。為邊ZC上一點(diǎn)，且BD=BC=4AB=1，求4D的值.

3

16.（15分）

近期根據(jù)中國(guó)消費(fèi)者信息研究報(bào)告顯示，超過(guò)40%的消費(fèi)者更加頻繁地使用網(wǎng)上購(gòu)物，某網(wǎng)購(gòu)專營(yíng)店統(tǒng)

計(jì)了2025年1月5日到9日這5天到該專營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)歹和時(shí)間第X天間的數(shù)據(jù)，列表如下:

X12345

y75849398100

（1）由表中給出的數(shù)據(jù)判斷是否可以用線性回歸模型擬合人數(shù)》和時(shí)間第X天之間的關(guān)系？若可用，估

計(jì)1月10日到該專營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)；若不可用，請(qǐng)說(shuō)明理由（人數(shù)用四舍五入法取整數(shù)，若相關(guān)系數(shù)

網(wǎng)＞0.75,則線性相關(guān)程度很高，可以用線性回歸模型擬合，廠精確到0.01）；

（2）該專營(yíng)店為了吸引顧客，推出兩種促銷方案.方案一：購(gòu)物金額每滿100元可減5元；方案二：一次

性購(gòu)物金額超過(guò)800元可抽獎(jiǎng)三次，每次中獎(jiǎng)的概率均為1,且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次打9折，中

4

獎(jiǎng)兩次打8折，中獎(jiǎng)三次打6折.某顧客計(jì)劃在此專營(yíng)店購(gòu)買1000元的商品，請(qǐng)從實(shí)際付款金額的數(shù)學(xué)期

望的角度分析選哪種方案更優(yōu)惠.

參考數(shù)據(jù)：74340?65.88.

附：相關(guān)系數(shù).二］日"，b=上，-------------,a=bx.

作（xT）E（B一寸石―寸

VZ=1z=l1=1

17.（15分）

已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，且滿足的,=2%+l（〃eN+）.

（1）若q=1,求數(shù)列］」一的前〃項(xiàng)和S”；

（2）若數(shù)列也"｝滿足24+%=姑2,且數(shù)列｛%。｝的前及項(xiàng)和1=（3〃-4）2+1+8,求數(shù)列｛4｝的

通項(xiàng)公式.

18.（17分）

已知函數(shù)/（x）=axlnx.

（1）當(dāng)a＞0時(shí)，討論函數(shù)/（x）的單調(diào)性；

（2）當(dāng)0＜。＜2時(shí)，若曲線/（x）上的動(dòng)點(diǎn)尸到直線2x—歹―lle=0距離的最小值為2石e（e為自然

對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

①求實(shí)數(shù)。的值；

②求證：/（x）＜eA+cosx-2.

19.（17分）

已知在四面體產(chǎn)一/BC中，g（:1,2,3,…,6）分別為所在棱的中點(diǎn)，如圖所示.

（1）證明：￡]/〃平面P5C；

（2）若用E2，E3E4，E5E6兩兩垂直，則稱四面體尸-48C為“斜垂四面體”.

①在斜垂四面體尸-4BC中，若￡]￡2=1，￡3￡4=2,￡5紇=3,求直線產(chǎn)/與平面所成角的正弦

值；

②在空間直角坐標(biāo)系。-xyz中，X。平面內(nèi)有橢圓。：乙+一=1,直線歹=依-1與。交于2,8兩點(diǎn).

2

尸為空間中一點(diǎn)，若尸-480為斜垂四面體，求其外接球表面積S的最小值，并求出此時(shí)的直線方程.

2022級(jí)高三校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)答案

2025.2

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1-4DBCD5-8CABB

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.BCD10.BD11.ACD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

15.【解】（1）依題意，\Z3csirU=2acos2—,由正弦定理可得GsinCsirU=2sirk4cos之2，

22

因?yàn)?＜兀，所以sirUwO,所以J^sinC=2cos2￡,

2

ccc（JC

法一：即2V3sin-cos一=2cos之一,所以JJsin—=cos一，

22222

因?yàn)?。＜。＜兀，所以o＜C〈工，

22

lpc=

所吟吟r

法二：即V3sinC-cosC=1，

所以2sin[c—"=l,即sin[c-"=g

TTTTSjT

因?yàn)?<。<兀，所以—<c—<—，

666

J[7T兀

所以C__=—，即C=_

663

I-.J[

(2)因?yàn)?C=1,48=G，又因?yàn)锽D=8C,C=§,

所以V8CQ為等邊三角形，

2兀

AD?+BD?-AB?

由余弦定理得cos/405=

2AD-BD2

所以4D?+4D—2=0,解得40=1或2。=—2（舍去）,故Z￡）=l.

16.【解】(1)由表中數(shù)據(jù)可得元=3,歹=90,

555

Z&-可之=10,Z5-力2=434,Z（%-可他-力=64,

Z=1Z=1Z=1

E（x/-^）（z-y）

64

所以/=IJ“?0.97>0,75,

t（X,一元）2t（%一歹『4340

V/=i1=1

所以可用線性回歸模型擬合人數(shù)》與天數(shù)x之間的關(guān)系.

-￡（%-可5-刃64

而6=J----------------=正=6.4,

210

Z（x;-x）

i=l

則6=歹—加=90—6.4x3=70.8所以9=6.4X+70.8,

令x=6,可得/=109.2,所以1月10日到該專營(yíng)店購(gòu)物的人數(shù)約為109.

(2)若選方案一、需付款1000-50=950元.

若選方案二、設(shè)需付款X元，則X的取值可能為600,800,900,1000,

〉P（X=800）=C；xj3__9_

貝UP（X=600）=C；7X4-64

2727

產(chǎn)（X=900）=C；x：W，P（X=1000）=C：

64

19272759100

所以E(X)=600x—+800x—+900x—+1000x—<950,

6464646464

因此選擇方案二更劃算.

17.【解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，由。2〃=2%+1,

則%=2%+1,由q=1,則%=3,

所以等差數(shù)列｛%｝的公差為?一%=2，所以%=1+(〃-1>2=2〃-1,

11一1（1______

故一

（2M-1）（2?+1）2（2〃-12n+l）

故數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S"=萬(wàn)11—I"1—n

2〃+1

4

（2）當(dāng)〃=1時(shí)，Q/I=7]=（3-4）x2?+8=4,可得乙二1，

當(dāng)〃》2時(shí)，a也盟一心=[（3”4）-2用+8]—[（3〃一7）2+8]

=3n-2,,+1-2"+3—3小2"+7?2"=2"（6〃—8-3〃+7）=2"（3〃一1）,

將〃=1代入上式，則％a=2x（3-l）=4=7],

綜上所述，anbn=2"（3"-1）,〃eN*.

,,z、,20

a2b2=2"x（3x2—1）=20,可得打=—

,20

又因?yàn)?=2%+1，則仇=中

21

由方程26]+仇=6也，可得■^■(2。]+1)+a。]=1,解得q=2,

由a2=241+1=5,則等差數(shù)列｛%｝的公差為3,所以%=3〃-1,

由%a二2"(3〃—l),〃eN+，則〃=2〃.

18.【解】(1)函數(shù)/("的定義域?yàn)?0,+。)J'(x)=a(lnx+1),

因?yàn)镼>0,令/'(x)〉0,得：x>-,令/'(x)<0,得：0<工<,，

ee

所以函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為I：,+勿)，單調(diào)遞減區(qū)間為

2±_i

a

(2)①由(1)知：/'(X)=a(lnx+l).由/'(工。)=2n“Inxo+1)=2n1叫=—1x0=e,

2T,2、A(A

又/(%o)=QXolm：o=〃守x——1=(2—4)/.所以切點(diǎn)e<(2-a)e。,

I"JI)

由(1)可知，切點(diǎn)在直線2x—歹―lle=0的上方，

22

所以—2e“+(2—a)e"+lle=2辰，整理得=q,

7F7T

222」

設(shè)—l=x,則。=---0<6/<2,x>0,(也可構(gòu)造//(〃)=ae。)

x

2YP^Op

設(shè)〃(x)=A，X〉0,則〃'(x)=冒尸〉0在(0,+")上恒成立.所以〃⑴=鼻在(0,+”)單調(diào)

遞增.

2

又?.?H(l)=e,又?.?「—：!=1,;.a=1,方程四不21=e只有1解：。=上

②依題意：要證xlwc<e"+cosx-2，

當(dāng)0<%<1時(shí)，xlnx<0,令加(x)=e"+cosx—2,0<xWl,

??,加'(x)=e"-sinx>0,?.加(x)在(0,1］上單調(diào)遞增

/.m(x)>m(O)=l+l-2=O,所以不等式成立；

當(dāng)%>1時(shí)，要證xlnx<e"+cosx—2，即xlnx—e"—cosx+2<0.

設(shè)/z(x)=xlnx-ex-cosx+2,x>1,貝"/z'(x)=lnx-ex+sinx+l,x>1.

設(shè)0(x)=Inx-e"+sinx+1,x>1.則0’(x)=，-e"+cosx,x>l.

x

當(dāng)x>l時(shí)，e>e?—<l,cosx<l,所以。'(x)=1-e"+cosxcO,x>l.

xx

所以°(x)在(1,+。)上單調(diào)遞減.

所以°(x)<夕⑴=l-e+sinl<0..即<0,x>1.所以〃(%)在(1,+a?)上單調(diào)遞減，所以

〈〃⑴=2-e-cosl<0,即當(dāng)x>l時(shí)，xlnx<e*+cosx-2成立.

綜上：當(dāng)a=l時(shí)，/(x)<eX+cosx-2在(0,+。)上恒成立.

19.【解】(1)如圖，連接號(hào)刈，

因?yàn)橛?罵，是棱的中點(diǎn)，所以〃PB,

又片區(qū)必平面PBC,PBu平面PBC

(2)由(1)可知，C4平行且等于;尸民生鳥平行且等于上尸8

所以四邊形E1E3E2E4為平行四邊形，

又1EE,則四邊形E1E3E2E4為菱形，

EXE234

所以后再3=后再4,顯然PB=2后否3,4C=2后34,故尸8=ZC,

同理可得尸幺=8C,PC=45,

如圖，將該三棱錐補(bǔ)全為一個(gè)長(zhǎng)方體，并建立空間直角坐標(biāo)系8-肛z,

因?yàn)镋]E2=1，E3E4=2,其紇=3

所以有/（2,3,0）,8（0,0,0）,C（0,3,1）,尸（2,0,1）,

PZ=（O,3,—1）,84=（2,3,0）,8C=（0,3,1）

設(shè)平面48。的一個(gè)法向量為拓=（x,y,z）

BA?萬(wàn)=012x+3y=0一/、

易知〈一.=>1.八令>二一2,解得x=3/=6,所以力=（3,-2,6）

BC-n=0[3y+z=0

\PA-n\126V10

直線PA與平面ABC所成角的正弦值為_?,

叫向710x74935

（3）由（2）易知將尸-480補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)寬高分別設(shè)為mc,

則外接球半徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)的一半即：R=-sla2+b2+c2,

2

則：S=4nR2=7i（a2+b2+c2）,

顯然ZB?=。2+/,8。2=/+。2,4。2=/+。2,所以5=；（282+8。2+4。2）兀,

在工勿平面內(nèi)設(shè)2（苞,月）,8（%2，%）

2金=]

聯(lián)立彳2一,得（2+左2卜2-2丘—1=0,顯然A〉0恒成立,

y=Ax-1

2k[4

M+X?=----7…=2+公

由韋達(dá)定理可知，（