視圖與投影綜合題拓展訓(xùn)練（5考點(diǎn)40題）

目錄與鏈接

考點(diǎn)一、幾何體表面積（體積）的計(jì)算............................................2

考點(diǎn)二、組成幾何題的小立方體..................................................11

考點(diǎn)三、中心投影的綜合應(yīng)用....................................................25

考點(diǎn)四、平行投影的綜合應(yīng)用....................................................40

考點(diǎn)五、盲區(qū)的綜合應(yīng)用........................................................51

考點(diǎn)一、幾何體表面積（體積）的計(jì)算

1.左圖是我國古代南北朝時(shí)期獨(dú)孤信的印章，其俯視圖如右圖所示，該印章有條棱，若棱長

均為1、則表面積等于__________.

【答案】4818+2石

【分析】本題考查了組合幾何體的三視圖，根據(jù)俯視圖可以得出，從上往下看、從下往上看以及中間一圈

對應(yīng)的棱，已經(jīng)對應(yīng)的圖形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：從上往下看共有20條棱，從下往上看也有20條棱，中間一圈還有8條棱，

故共有：20+20+8=48條棱；

從上往下看，幾何體有5個(gè)正方形和4個(gè)正三角形，

從下往上看，幾何體有5個(gè)正方形和4個(gè)正三角形，

中間一圈還有8個(gè)正方形，

故該幾何體由18個(gè)正方形和8個(gè)正三角形圍成，

棱長均為1的正方形的面積為1,

如圖：A48c是正三角形，AB=AC=BC=1,AELBC,

A

：.AE=y/AB2-BE2=

棱長均為1的正三角形的面積為Lxlx"="

224

故幾何體的表面積為18xl+8x3=18+2退.

4

故答案為：48；18+2省.

2.如圖為一機(jī)器零件的三視圖，它的俯視圖為正三角形，根據(jù)圖中所標(biāo)的尺寸，計(jì)算這個(gè)幾何體的表面積

是.（結(jié)果保留根號）

【分析】根據(jù)三視圖可得機(jī)器零件為正三棱柱，三棱柱的上下底是高為46的等邊三角形，三棱柱高為4,

求出等邊三角形邊長，求出表面積即可.

【詳解】解：由三視圖得機(jī)器零件為正三棱柱，

作CDLAB于D,

：△NBC是正三角形，

CD

在Rtz\BCD中，BC=-----=8

sin/B

??§表面積=2S底而積+=2x—x8x4A/3+3X8X4=3273+96.

故答案為：32省+96

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖還原幾何體，并求其表面積.根據(jù)三視圖得到幾何體是正三棱柱，并根據(jù)

三視圖原貝產(chǎn)長對正，高平齊，寬相等”確定相關(guān)數(shù)據(jù)時(shí)解題關(guān)鍵.

3.如圖所示是一種棱長分別為3cm,4cm,6cm的長方體積木，現(xiàn)要用若干塊這樣的積木來搭建大長方體:

如果用3塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是—cm2,

如果用4塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是—cm2,

如果用24塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是—cm2.

【答案】228264912

【分析】如果用3塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是長3'3=9cm,寬4cm,高6cm的長方體的表

面積，根據(jù)長方體的表面積公式即可求解；

如果用4塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是長4x2=8cm,寬3x2=6cm,高6cm的長方體的表面積,

根據(jù)長方體的表面積公式即可求解；

如果用24塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是長6x2=12cm,寬4x2=8cm,高3x6=18cm的長方體

的表面積，根據(jù)長方體的表面積公式即可求解.

【詳解】解：長3*3=9cm,寬4cm,高6cm,

(9x4+9x6+4x6)x2

=(36+54+24)x2

=114x2

=228(cm2).

答：如果用3塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是228cm2.

長4x2=8cm,寬3x2=6cm,高6cm,

(8*6+8*6+6乂6)x2

=(48+48+36)x2

=132x2

=264(cm2).

答：如果用4塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是264cm2.

長6x2=12cm,寬4x2=8cm,高3x6=18cm,

(12x8+18x8+12x18)乂2

=(96+144+216)x2

=456x2

=912(cm2).

答:如果用24塊來搭，那么搭成的大長方體表面積最小是912cm2.

故答案為:228；264；912.

【點(diǎn)睛】考查了幾何體的表面積，關(guān)鍵是熟練掌握長方體的表面積公式，難點(diǎn)是得到搭成的大長方體的長

寬高.

4.(1)一個(gè)由小正方體擺成的幾何體，無論從正面，還是從左面都可以看到如圖所示的圖形，那么，最多

可以用_個(gè)小正方體，最少可以用一個(gè)小正方體.

(2)一個(gè)正方體截去一角后，剩下的幾何體有一條棱，_個(gè)面，一個(gè)頂點(diǎn).(說明：截去部分的邊長都不超過

正方體的邊長.)

(3)如圖1,一個(gè)邊長為2大正方體上截去一個(gè)小正方體后，可得到圖2的幾何體.

①所得幾何體的表面積為

②如果圖1中大正方體各棱的長度之和比圖2中幾何體各棱的長度之和少3,那么，所得幾何體的體積是

【答案】(1)13,5；(2)15,7,10；(3)①24；②三

O

【分析】本題主要考查了三視圖、認(rèn)識幾何體等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

(1)觀察圖形，可知該幾何體是三行三列兩層，其中中間一列、一行都是一層；要使擺成幾何體的小正方

體最少，則第一層最少3個(gè)小正方體，第二層最少2個(gè)：要使擺成幾何體的小正方體最多，則第一層最多9

個(gè)小正方體，第二層最多4個(gè)，據(jù)此即可獲得答案；

（2）一個(gè)正方體截去一角后，剩下的幾何體增加1個(gè)面、3條棱和2個(gè)頂點(diǎn)，據(jù)此即可獲得答案；

（3）①②結(jié)合圖形可知，圖2中幾何體的各棱的長度之和比圖1中幾何體的各棱的長度之和多出6條小正

方體的棱長的和，進(jìn)而求得被截去的小正方體的棱長，然后利用大正方體的體積減去小正方體的體積，即

可獲得答案.

【詳解】解：（1）分別畫出最多和最少正方體時(shí)從上面看到的形狀圖，如圖所示（其中小正方形中的數(shù)字

代表該位置上的小正方體的數(shù)目），

由所畫的圖形可以作出判斷，

最多可以用2x4+1x5=13（塊），最少可以用2x2+l=5（塊）.

故答案為：13,5；

（2）一個(gè)正方體截去一角后，剩下的幾何體有15條棱，7個(gè)面，10個(gè)頂點(diǎn).

故答案為：15,7,10；

（3）①一個(gè)邊長為2大正方體上截去一個(gè)小正方體后，可得到圖2的幾何體，

所得幾何體的表面積與原幾何體的表面積相同，

所以，此時(shí)所得幾何體的表面積為：2x2x6=24；

②結(jié)合圖形可知，圖2中幾何體的各棱的長度之和比圖1中幾何體的各棱的長度之和多出6條小正方體的

棱長的和，

則被截去的小正方體的棱長為3+6=；,

所以，所得幾何體的體積是2X2X2-：X：X:=^.

故答案為：①24；②方.

o

5.由若干個(gè)棱長為1c機(jī)的小正方體構(gòu)成的幾何體，無論從正面看還是從左面看，得到的視圖都如圖所

（1）該幾何體最多有個(gè)小正方體，最少有個(gè)小正方體;

（2）按實(shí)際的大小，用直尺畫出正方體個(gè)數(shù)最少的一種俯視圖，并標(biāo)出每個(gè)位置小正方體的個(gè)數(shù).

【答案】（1）13,5；（2）畫圖見解析

【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)立方體三視圖的性質(zhì)，通過空間想象，即可得到答案；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，畫出俯視圖，并標(biāo)出每個(gè)位置小正方體的個(gè)數(shù)，即可完成解題.

【詳解】（1）結(jié)合題意，這個(gè)幾何體最多有13個(gè)小正方體，其中下層有9個(gè)小正方體，上層有4個(gè)正方體;

最少有5個(gè)小正方體，其中下層有3個(gè)小正方體，上層有2個(gè)正方體；

故答案為：13,5；

（2）俯視圖如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用三視圖的性質(zhì)判斷小正方體的個(gè)數(shù)，從而

完成求解.

6.用棱長為2cm的若干小正方體按如所示的規(guī)律在地面上搭建若干個(gè)幾何體.圖中每個(gè)幾何體自上而下分

別叫第一層、第二層，…，第〃層（”為正整數(shù)）

從正面看從正面看從正面看

①②③

（1）搭建第④個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)為

（2）分別求出第②、③個(gè)幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積.

（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂1c療需要油漆0.2克，求噴涂第

20個(gè)幾何體，共需要多少克油漆？

【答案】（1）30；（2）第②個(gè)幾何體露出部分（不含底面）面積為64c加2,第③個(gè)幾何體露出部分（不含

底面）面積為132c為;（3）992克.

【分析】（1）歸納出前3個(gè)幾何體的規(guī)律即可得；

（2）分別畫出兩個(gè)幾何體的三視圖，再根據(jù)四個(gè)側(cè)面和向上的面的小正方形的個(gè)數(shù)即可得；

（3）先根據(jù)（1）的方法得出第20個(gè)幾何體每一層小立方體的個(gè)數(shù)，再根據(jù)（2）的方法得出第20個(gè)幾何

體的所有露出部分(不含底面)的面積，然后乘以0.2即可得.

【詳解】(1)搭建第①個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)為1,

搭建第②個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)為1+4=1+2?,

搭建第③個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)為1+4+9=1+22+32,

歸納類推得：搭建第④個(gè)幾何體的小立方體的個(gè)數(shù)為1+2?+3?+4?=1+4+9+16=30,

故答案為：30；

則第②個(gè)幾何體的所有露出部分(不含底面)面積為(3X2+3X2+4)X4=64("?)；

第③個(gè)幾何體的三視圖如下：

則第③個(gè)幾何體的所有露出部分(不含底面)面積為(6X2+6X2+9)X4=132("?)；

(3)第20個(gè)幾何體從第1層到第20層小立方體的個(gè)數(shù)依次為1,22,…,202,

則第20個(gè)幾何體的所有露出部分(不含底面)面積為

[2x(l+2+---+20)+2x(l+2+---+20)+202]x4=4960(cm2),

因此，共需要油漆的克數(shù)為4960x0.2=992(克)，

答：共需要992克油漆.

【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖、幾何體的表面積、圖形變化的規(guī)律型問題，依據(jù)題意，正確歸納類推出規(guī)律

是解題關(guān)鍵.

7.小明是魔方愛好者，他擅長玩各種魔方，從二階魔方到九階魔方，他都能成功復(fù)原.有一天，小明突然

想到一個(gè)問題，在九階魔方中，到底含有多少個(gè)長方體呢？為此，我們先來解決這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：如圖，

圖1是一個(gè)長、寬、高分別為a,b,c（近2,b>2,c>2,且a,b,c是正整數(shù)）的長方體，被分成了a^b^c

個(gè)棱長為1的小立方體.這個(gè)幾何體中一共包含多少個(gè)長方體（包括正方體）？（參考公式：1+2+3…+"

問題探究：為探究規(guī)律，我們采用一般問題特殊化的策略，先從最簡單的情形入手，再逐次遞進(jìn)，最后得

出一般性的結(jié)論.

探究一：如圖2,該幾何體有1個(gè)小立方體組成，顯然，該幾何體共有1個(gè)長方體.如圖3,該幾何體有2

個(gè)小立方體組成，那么它一共包含1+2=3個(gè)長方體.如圖4,該幾何體有3個(gè)小立方體組成，那么它一共

包含個(gè)長方體.如圖5,該幾何體-共包含210個(gè)長方體，那么該幾何體共有個(gè)小立方體組成.

探究二：如圖6,該幾何體有4個(gè)小立方體組成，那么它一共包含（1+2）x（1+2）=9個(gè)長方體.如圖7,

該幾何體有6個(gè)小立方體組成，那么它一共包含個(gè)長方體.如圖8,該幾何體共有2加個(gè)小立方體組

成，那么該幾何體一共有個(gè)長方體.

探究三：如圖1,該幾何體共有個(gè)。義分。小立方體組成，那么該幾何體共有個(gè)長方體.

探究四：我們現(xiàn)在可以解決小明開始的問題了.在九階魔方（即。=b=c=9）中，含有個(gè)長方體.

探究五：聰明的小明在學(xué)習(xí)了三種視圖后，又提出一個(gè)新的問題：在圖1中，若。=6,6=4,c=5,如果

拿走一些小立方體后，剩下幾何體的三種視圖與原圖1的三種視圖完全一樣，那么最多可以拿走個(gè)小

立方體；此時(shí)，剩下的幾何體的表面積是.

【答案】探究一：6,20；探究二：18；探究三：四（"1）（"1）（0+1）；探究四：91125；探究五：72,

8

124或142或158或164

【分析】探究一：先輸出圖4的長方體個(gè)數(shù)，然后得出規(guī)律有〃小正方體組成的幾何體有山辿個(gè)長方體，

2

由此求解即可；

探究二：由探究一可知圖6中長一共有1+2=3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段，那么它一共包

含（1+2）x（1+2）xl=9個(gè)長方體，圖7中長一共有1+2+3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段,

圖7中它一共包含（1+2+3）x（1+2）xl=18個(gè)長方體，

探究三：該幾何體共有個(gè)。x6xc小立方體組成，該幾何體有長有幽土D條線段，寬有處±11條線段，寬

22

有運(yùn)土D條線段，由此求解即可；

2

探究四：由探究三可知，在九階魔方（即。=6=c=9）中，含有9x9x9（9+1）（9+1）（9+1）=91125個(gè)長方

8

體；

探究五：拿走前后的三視圖需要一樣，只需要保留三視圖三個(gè)面的幾何體圖形一樣即可如圖所示求解即

可.保留底層24個(gè)正方體不變，再將每4個(gè)一組共6組正方體的擺放順序進(jìn)行變化，分類討論即可.

【詳解】解：探究一：由題意得圖4一共有：1+2+3=6個(gè)長方體，

???有1個(gè)小正方體組成的幾何體有子=1個(gè)長方體，有2個(gè)小正方體組成的幾何體有年=3個(gè)長方體，

有3個(gè)小正方體組成的幾何體有寸=6個(gè)長方體……

.??可以得出規(guī)律有“小正方體組成的幾何體有業(yè)士D個(gè)長方體，

2

n（n+l）,

——^=210,即/+〃一420=0,

2

解得〃=20或〃=-21（舍去），

故答案為：6,20；

探究二：圖6中長一共有1+2=3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段，

.?.那么它一共包含（1+2）x（1+2）xl=9個(gè)長方體，

圖7中長一共有1+2+3條線段，寬有1+2=3條線段，高有1條線段，

.?.圖7中它一共包含（1+2+3）x（1+2）xl=18個(gè)長方體，

故答案為：18；

探究三：:該幾何體共有個(gè)axbxc小立方體組成，

.??該幾何體有長有幽土D條線段，寬有4D條線段，寬有塵土D條線段，

222

?圖]中一廿包含+="，。（-+1）（，+1）（。+1）個(gè)長方體

222-8'

故答案為：族（。+1）他+1）（。+1）;

8

探究四：由探究三可知，在九階魔方（即a=6=c=9）中，含有9x9x9（9+.（9+l）（9+l）=9H25個(gè)長方

8

體；

探究五：???拿走前后的三視圖需要一樣,

???只需要保留三視圖三個(gè)面的幾何體圖形一樣即可，如圖小方格內(nèi)的數(shù)字表示此處一共有多少個(gè)小正方體,

此時(shí)一共有48個(gè)小正方體，即為所求，

.,.一共最多可以拿走6x5x4-48=72個(gè)小正方體，

①當(dāng)剩下正方體按如下俯視圖擺放時(shí)，

111111

111111

111111

555555

表面積為:6x5x2+(3+5)><2+6x4x2=124

②當(dāng)正方體如圖擺放時(shí)，

111111

111111

151111

515555

相對于①，此時(shí)面積增加16,表面積為124+16=142

③同理，當(dāng)正方體如圖擺放時(shí)，

111111

111111

151511

515155

相對于①，此時(shí)面積增加32,表面積為124+32=158

④當(dāng)正方體如圖擺放時(shí)，

111111

111111

151515

515151

相對于①，此時(shí)面積增加40,表面積為124+40=164

故答案為：124或142或158或164

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形類的規(guī)律，幾何體的表面積等等，解題的關(guān)鍵在于能夠準(zhǔn)確讀懂題意.

8.如圖，一透明的敞口正方體容器/BCD—4夕。)中裝有一些液體，棱N8始終在水平桌面上，容器底部

的傾斜角為a(/C8￡=a).

探究：如圖①，液面剛好過棱CD,并與棱交于點(diǎn)Q,此時(shí)液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如

圖②所示.

解決問題:

(1)C0與BE的位置關(guān)系是,BQ的長是dm；

(2)求液體的體積(提示：P破=5屎。乂高4B)；

33

(3)求液面到桌面的高度和傾斜角a的度數(shù)rsin37°?-,tan370=->.

【答案】⑴平行，3

3

(2)K<=24(dm).

(3)a~37°.

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)水面與水平面平行可以得到C0、BE的位置關(guān)系，利用勾股定理結(jié)合三視圖即

可求得2。的長.

(2)液體正好是一個(gè)以△BCQ為底面的直棱柱，據(jù)此即可求得液體的體積.

⑶在RtaBC。中易得/8c0的正切值，結(jié)合已知即可求解.

試題解析：(1)平行，3.

(2)/.=1x3x4x4=24(dm3).

(3)過點(diǎn)3作AFLC。，垂足為尸.

111212

?；S0CQ=}*3x4=石x5xBF,：.BF=—dm,...液面到桌面的高度是飛"dm.

\?在RtZiBC。中，tanZ5C0=^=|,:./BCQ^T.

由(1)可知C0〃8E,；.a=ZBCQ=37°.

點(diǎn)睛：本題主要考查三視圖、棱柱的體積以及三角函數(shù)等知識，熟練掌握并靈活運(yùn)用這些知識是解題的關(guān)

考點(diǎn)二、組成幾何題的小立方體

9.如圖，某幾何體的主視圖和它的左視圖，則搭建這樣的幾何體最少需要的小正方體為()

主視圖左視圖

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)主視圖和左視圖分析即可.

【詳解】解：???主視圖有4個(gè)小正方體組成，左視圖有3個(gè)小正方體組成，

，幾何體的底層最少3個(gè)小正方體，第二層最少有1個(gè)小正方體，

因此組成這個(gè)幾何體的小正方體的個(gè)數(shù)為1+3=4個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查由幾何體判斷三視圖，考查了對三視圖的熟練掌握程度，也體現(xiàn)了對空間想象能力的考

查，解題的關(guān)鍵是掌握“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就容易得到答案.

10.如圖，用棱長為1的27個(gè)小正方體堆成一個(gè)棱長為3的正方體，它的主視圖、俯視圖、左視圖均為一

個(gè)3x3的正方形.現(xiàn)從中拿走若干個(gè)小正方體，但不改變圖形的三視圖，那么最多能拿走個(gè)

小正方體.

【答案】12

【分析】考查組合幾何體的三視圖知識；主視圖，左視圖，俯視圖分別是從幾何體的正面，左面，上面看

得到的平面圖形.

【詳解】解：如圖，方格中的數(shù)字表示該處的小正方體個(gè)數(shù)，27-15=12.

故答案為：12.

11.用若干大小相同的小立方塊搭一個(gè)幾何體，使得從左面和從上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖如圖所

示.請從A,B兩題中任選一題作答.我選擇題.答案是

B.根據(jù)所給的兩個(gè)形狀圖，要畫出從正面看到的形狀圖，最多能畫出種不同的圖形.

【答案】67

【分析】選擇A：從左視圖和俯視圖出發(fā)確定每一列或每一層正方體最少的個(gè)數(shù)即可得到答案;

選擇B：將不同的搭建方式，從不同的俯視圖看到的圖形標(biāo)注出來，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：選擇A：從左面看，左邊第1列最少有1個(gè)小正方體，中間一列最少有1個(gè)小正方體，最右

邊一列最少有2個(gè)小正方形，

從上面看，最上面一層，最少有1個(gè)小正方體，中間一層最少有一個(gè)小正方體，最下面一層最少有3個(gè)正

方體，最多有6個(gè)小正方體,

，搭成該幾何體的小立方塊最少有6個(gè)小正方體，最多有8個(gè)小正方體;

故答案為：6；

選擇B：將不同的搭建方式，從不同的俯視圖看到的圖形上標(biāo)注如下:

第弼伙上面石'第6種從上面行新種從上面看

，一共可以畫7種不同的圖形,

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了小正方體組成的幾何體的三視圖，正確理解題意讀懂三視圖是解題的關(guān)鍵.

12.如圖1,是一個(gè)由53個(gè)大小相同的小正方體堆成的立體圖形，從正面觀察這個(gè)立體圖形得到的平面圖

形如圖2所示.

(1)請?jiān)趫D3、圖4中依次畫出從左面、上面觀察這個(gè)立體圖形得到的平面圖形

（2）保持這個(gè)立體圖形中最底層的小正方體不動，從其余部分中取走k個(gè)小正方體，得到一個(gè)新的立體圖

形.如果依次從正面、左面、上面觀察新的立體圖形，所得到的平面圖形分別與圖2、圖3、圖4是一樣的,

那么k的最大值為

【答案】（1）見解析；（2）16

【分析】（1）從左面看共4列,從左向右依次為5,5,3,2個(gè)小正方形,從上面看共6列,從左向右依次為4,4,4,3,2,1

個(gè)小正方形；

（2）由已知條件從主視圖的列數(shù)與俯視圖的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列小正方形數(shù)字

中的最大數(shù)字，左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字

中的最大數(shù)字，據(jù)此即可求解.

【詳解】（1）如圖：

圖3（從左面看）

圖4（從上面行）

（2）k的最大值為：4+5+3+3+1=16,

故答案為：16.

【點(diǎn)睛】此題考查幾何體的三視圖，能正確理解三視圖的對應(yīng)的關(guān)系，確定每列中的最大個(gè)數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

13.用6個(gè)相同的小正方體擺成如圖所示的幾何體.

(1)畫出該幾何體從正面、左面和上面看到的形狀圖；

(2)如果每個(gè)小正方體棱長為1,則該幾何體的表面積是一；

(3)在這個(gè)幾何體上再添加一些相同的小正方體，如果從左面和從上面看到的形狀圖不變，那么最多可以再

添加個(gè)小正方體.

【答案】(1)見解析

(2)26

(3)2

【分析】(1)根據(jù)三視圖的概念作圖即可得；

(2)三視圖面積相加后乘以2,再加上中間凹進(jìn)去部分左右兩側(cè)2個(gè)面的面積即可；

(3)保持這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1個(gè)小正方體.

【詳解】(1)解：該幾何體的三視圖如下：

(2)解：該幾何體的表面積為2x(4+3+5)+2=26,

故答案為：26；

(3)解：保持這個(gè)幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再在后面一行第1和2列各添加1個(gè)小正

方體，

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖，理解三視圖的概念是解題的關(guān)鍵.

14.用若干大小相同的小正方體搭一個(gè)幾何體，使得從正面和從上面看到的這個(gè)幾何體的形狀如圖所示完

成下列問題：

(1)搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體最多需要一個(gè)小正方體，請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出用最多小正方體

搭成的幾何體的左視圖；

(2)搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體最少需要一個(gè)小正方體，用最少小正方體搭成的幾何體共

有一種不同形狀.

(3)用8塊小正方體搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體一共有多少種不同形狀？

【答案】⑴10,圖見解析

(2)7,6

(3)9

【分析】(1)在俯視圖中，寫出最多時(shí)，小正方體的個(gè)數(shù)，可得結(jié)論；

(2)利用俯視圖，結(jié)合主視圖的特征，解決問題即可；

(3)根據(jù)題意判斷即可.

【詳解】(1)解：搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體最多需要：2+2+2+2+2=10(個(gè))，左視圖如

圖所示.

故答案為：10；

(2)搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體最少需要3個(gè)小正方體，用最少小正方體搭成的幾何體共

有6種不同形狀.

故答案為:7,6；

主視圖俯視圖

（3）:從俯視圖可知下層有5塊小正方體，

.??上層有3個(gè)小正方體，

當(dāng)右側(cè)放2個(gè)小正方體時(shí)，有3種形狀，

當(dāng)右側(cè)放1塊小正方體時(shí)，有2x3=6種形狀，

.?.用8塊小正方體搭成滿足如圖所示主視圖和俯視圖的幾何體一共有9種不同形狀.

【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖判斷幾何體，解題的關(guān)鍵是理解三視圖的定義，屬于中考?？碱}型.

15.（1）一個(gè)幾何體由一些大小相同的小正方體搭成，如圖是從上面看這個(gè)幾何體的形狀圖，小正方形中

的數(shù)字表示在該位置的小正方體的個(gè)數(shù)，請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的幾何體的形狀圖.

從上面看從正面看從左面看

（2）用小立方塊搭一幾何體，使它從正面看，從左面看，從上面看得到的圖形如圖所示.請?jiān)趶纳厦婵吹?/p>

的圖形的小正方形中填入相應(yīng)的數(shù)字，使得小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個(gè)數(shù).其中，圖1

填入的數(shù)字表示最多組成該幾何體的小立方塊的個(gè)數(shù)，圖2填入的數(shù)字表示最少組成該幾何體的小立方塊

的個(gè)數(shù).

圖1圖2

從正面看從左面看從上面看

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據(jù)俯視圖中小正方體的個(gè)數(shù)結(jié)合主視圖，主視圖是從前面向后看得到的圖形，從正面看分

左中右三列，左邊列有2個(gè)正方形，中間列有3個(gè)正方形，右邊列有4個(gè)正方形畫出圖形，根據(jù)俯視圖中

小正方體的個(gè)數(shù)結(jié)合左視圖，左視圖是從左邊向右看得到的圖形，從左邊看分左中右三列，左邊列1個(gè)正

方形，中間列4個(gè)正方形，右邊列2個(gè)正方形畫出圖形即可；

(2)根據(jù)俯視圖的圖形兩行三列，中間列一行，從正面看分左中右三例，左邊列3個(gè)正方形，中間列1個(gè)

正方形，右邊列2個(gè)正方形，從左面看，分兩行，前行后行，前行2個(gè)正方形，后行3個(gè)正方形，左列前

行可以是1個(gè)正方體或2個(gè)正方體，左列后行3個(gè)正方體，中間列只有前行1個(gè)正方體，右邊列前行2個(gè)

正方體，右邊列后行可以1個(gè)或2個(gè)正方體，最多10個(gè)正方體如圖1,最少8個(gè)正方體如圖2在俯視圖中

標(biāo)出個(gè)數(shù)即可.

【詳解】解：(1)從正面看分左中右三列，左邊列有2個(gè)正方形，中間列有3個(gè)正方形，右邊列有4個(gè)正

方形，如圖

從左邊看分左中右三列，左邊列1個(gè)正方形，中間列4個(gè)正方形，右邊列2個(gè)正方形，

如圖所示：

從正面看從左面看

(2)從正面看分左中右三例，左邊列3個(gè)正方形，中間列1個(gè)正方形，右邊列2個(gè)正方形，

從左面看，分兩行，前行后行，前行2個(gè)正方形，后行3個(gè)正方形，

左列前行可以是1個(gè)正方體或兩個(gè)正方體，，左列后行3個(gè)正方體，中間列只有前行1個(gè)正方體，右邊列前

行2個(gè)正方體，后列可以1個(gè)或2個(gè)正方體，最多10個(gè)正方體如圖1,最少8個(gè)正方體如圖2.

根據(jù)題意，填圖如下：

圖1圖2

從上面看

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)俯視圖畫主視圖與左視圖，根據(jù)主視圖與左視圖確定組成圖形的正方體的個(gè)數(shù)，從

立體圖形到平面圖形的轉(zhuǎn)化三視圖，由平面圖形三視圖到立體圖形還原幾何體空間想象能力，本題難度較

大，培養(yǎng)空間想象力，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

16.在平整的地面上，由若干個(gè)完全相同的棱長為10cm的小正方體堆成一個(gè)幾何體，如圖①所示.

(1)請你在方格紙中分別畫出這個(gè)幾何體的主視圖和左視圖；

(2)若現(xiàn)在手頭還有一些相同的小正方體，如果保持這個(gè)幾何體的主視圖和俯視圖不變，

I.在圖①所示幾何體上最多可以添加一個(gè)小正方體；

n.在圖①所示幾何體上最多可以拿走_(dá)個(gè)小正方體；

in.在題n的情況下，把這個(gè)幾何體放置在墻角，使得幾何體的左面和后面靠墻，其俯視圖如圖②所示，若給

該幾何體露在外面的面噴上紅漆，則需要噴漆的面積最少是多少平方厘米？

【答案】（1）見解析；（2）1.2個(gè)小正方體；H.2個(gè)小正方體；HL1900平方厘米.

【分析】（1）根據(jù)幾何體可知主視圖為3歹!],第一列是三個(gè)小正方形，第二列是1個(gè)小正方形，第三列是2

個(gè)小正方形；左視圖是三列，第一列是3個(gè)正方形，第二列是3個(gè)正方形，第三列是1個(gè)正方形；

（2）I.可在正面第一列的最前面添加2個(gè)小正方體，

故答案為：2

IL可以拿走最左側(cè)第2排兩個(gè)，也可以拿走最左側(cè)3排兩個(gè)，

故答案為：2

III.若拿走最左側(cè)第2排兩個(gè)，能噴漆的面有19個(gè)，若拿走最左側(cè)第3排兩個(gè)，能噴漆的面有21個(gè)，根據(jù)

面積公式計(jì)算即可.

【詳解】⑴畫圖

主視圖左視圖

（2）1.可在正面第一列的最前面添加2個(gè)小正方體；

II,可以拿走最左側(cè)第2排兩個(gè)，也可以拿走最左側(cè)3排兩個(gè)；

2個(gè)小正方體；

III.若拿走最左側(cè)第2排兩個(gè)，噴涂面積為19x102=1900平方厘米；

若拿走最左側(cè)第3排兩個(gè)，噴涂面積為21x102=2100平方厘米；

綜上所述，需要噴漆的面積最少是1900平方厘米.

【點(diǎn)睛】此題考查幾何體的三視圖，能正確觀察幾何體得到不同方位的視圖是解題的關(guān)鍵，根據(jù)三視圖對

應(yīng)添加或是減少時(shí)注意保證某些視圖的正確性，需具有很好的空間想象能力.

17.如圖是一些棱長為1cm的小立方塊組成的幾何體.

(1)請畫出從正面看，從左面看，從上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖.

(2)該幾何體的表面積是_c加.

(3)如果把它拼成一個(gè)無空隙的正方體，則至少還需要同樣的小立方塊—塊.

(4)如果保持從正面和上面看到的形狀不變，最多可以再添加一個(gè)小立方塊.

【答案】(1)如圖所示，見解析；(2)該幾何體的表面積是34cm2；(3)還需要19塊；(4)最多可以再添

加3個(gè)小立方塊.

【分析】(1)分別畫出該幾何體的三視圖即可；(2)由三視圖得到的正方形個(gè)數(shù)乘以2,即可得到表面積；

(3)拼成無空隙正方體至少棱長為3,總共27個(gè)小正方體，減掉目前8個(gè)小正方體，即可得出結(jié)果；(4)

以主視圖和俯視圖不變的原則進(jìn)行添加，可得到結(jié)果.

(2)該幾何體的表面積是：6x2+6x2+5x2=34(cw2)；故答為:34；

(3)最少可以拼成一個(gè)棱長為3的正方體.故還需要27-8=19塊.

(4)保持主視圖和俯視圖不變，主視圖看列，左列最高處有3個(gè)小立方塊，中列最高處有1個(gè)小立方

塊，右列最高處有2個(gè)小立方塊，所以左列最多為“3+3”，中列最多為力”，右列最多為“2+2”，總共最多

為6+1+4=11個(gè)小立方塊，現(xiàn)在有8個(gè)，所以最多可以再添加3個(gè)小立方塊.

【點(diǎn)睛】本題考查小立方塊組成的幾何體的三視圖畫法，從不同方向觀察幾何體作圖，鍛煉了空間想象力和

抽象思維能力.

18.用小立方塊搭一個(gè)幾何體，使它從正面和上面看到的形狀如下圖所示，從上面看到形狀中小正方形中

的字母表示在該位置上小立方塊的個(gè)數(shù)，請問：

(1)俯視圖中b=,a=.

(2)這個(gè)幾何體最少由個(gè)小立方塊搭成.

(3)能搭出滿足條件的幾何體共種情況，請?jiān)谒o網(wǎng)格圖中畫出小立方塊最多時(shí)幾何體的左視

圖.(為便于觀察，請將視圖中的小方格用斜線陰影標(biāo)注，示例：■).

aS

主視圖俯視圖左視圖

【答案】(1)1；3(2)9(3)7

【詳解】試題分析：(1)由主視圖可知，第2列小正方體個(gè)數(shù)都為1,所以6=1,,第三列小正方體個(gè)數(shù)為

3,所以a=3；(2)正方體個(gè)數(shù)最少時(shí)，第一列正方體個(gè)數(shù)為：1+1+2=4個(gè)，第2列正方體個(gè)數(shù)為：1+1=2

個(gè)，第3列正方體個(gè)數(shù)為：3個(gè)，一共有：4+2+3=9個(gè)；(3)第2列正方體個(gè)數(shù)確定為：1+1=2個(gè)，第3列

正方體個(gè)數(shù)確定為：3個(gè)，第1列正方體情況可能為：①d=l,e=l,戶2；②d=l,e=2,戶1；③d=2,e=l,

戶1；@d=2,e=2,/=1；⑤d=2,e=l,f=2；⑥d=l,e=2,f=2；⑦d=2,e=2,f=2,共7種情況，當(dāng)d=2,

e=2,戶2時(shí)小立方塊最多，左視圖如圖所示.

試題解析：

(1)b=l,a=3；

(2)1+1+2+1+1+3=9個(gè)；

(3)共7種情況，當(dāng)d=2,e=2,戶2時(shí)小立方塊最多.

此時(shí)，左視圖為：

點(diǎn)睛：掌握三視圖的畫法，并會根據(jù)三視圖判斷對應(yīng)的正方體的個(gè)數(shù).

19.在桌面上，有6個(gè)完全相同的小正方體對成的一個(gè)幾何體，如圖所示.

(1)請畫出這個(gè)幾何體的三視圖.

(2)若將此幾何A的表面噴上紅漆(放在桌面上的一面不噴)，則三個(gè)面上是紅色的小正方體有一個(gè).

(3)若另一個(gè)幾何體B與幾何體A的主視圖和左視圖相同，而小正方體個(gè)數(shù)則比幾何體A多1個(gè)，則共

有種添法.請?jiān)趫D2中畫出幾何體B的俯視圖可能的兩種不同情形.

（4）若現(xiàn)在你的手頭還有一些相同的小正方體可添放在幾何體A上，要保持主視圖和左視圖不變，則最多

可以添個(gè).

【答案】（1）詳見解析；（2）2個(gè)；（3）4種；（4）4個(gè).

【分析】見詳解.

（2）三個(gè)面是紅色的有2個(gè)，為從上往下數(shù)第二行第一列的那兩個(gè).

（4）由圖可知該幾何體最多有10個(gè)正方體,幾何體A只有6個(gè)小正方體，

10-6=4,所以最多可以添加4個(gè)正方體.

【點(diǎn)睛】本題考查了物體的三視圖，中等難度，培養(yǎng)看圖能力、空間感是解題關(guān)鍵.

20.空間任意選定一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為端點(diǎn)作三條互相垂直的射線Ox,Oy,Oz.這三條互相垂直的射線分

別稱作x軸、了軸、z軸，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的方向分別為Ox（水平向前），Oy（水平向右），Oz（豎

直向上）方向，這樣的坐標(biāo)系稱為空間直角坐標(biāo)系.將相鄰三個(gè)面的面積記為幾$2,M，且岳<$2<￡的小

長方體稱為單位長方體，現(xiàn)將若干個(gè)單位長方體在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)進(jìn)行碼放，要求碼放時(shí)將單位長方體E

所在的面與x軸垂直，S2所在的面與y軸垂直，M所在的面與z軸垂直，如圖1所示.若將x軸方向表示的

量稱為幾何體碼放的排數(shù)，了軸方向表示的量稱為幾何體碼放的列數(shù)，z軸方向表示的量稱為幾何體碼放的

層數(shù)；如圖2是由若干個(gè)單位長方體在空間直角坐標(biāo)內(nèi)碼放的一個(gè)幾何體，其中這個(gè)幾何體共碼放了1排2

列6層，用有序數(shù)組記作（1,2,6）,如圖3的幾何體碼放了2排3列4層，用有序數(shù)組記作（2,3,4）.這

樣我們就可用每一個(gè)有序數(shù)組（x,%z）表示一種幾何體的碼放方式.

(1)有序數(shù)組(3,2,4)所對應(yīng)的碼放的幾何體是.

y(列)

(2)圖4是由若干個(gè)單位長方體碼放的一個(gè)幾何體的三視圖，則這種碼放方式的有序數(shù)組為(—,

.),組成這個(gè)幾何體的單位長方體的個(gè)數(shù)為一個(gè);

左視圖

(3)為了進(jìn)一步探究有序數(shù)組(xj,z)的幾何體的表面積公式,某同學(xué)針對若干個(gè)單位長方體進(jìn)行碼

放，制作了下列表格：

單位長

幾何體表面上面積表面上面積表面上面積

方體的表面積

育濟(jì)數(shù)組為$的個(gè)數(shù)為s?的個(gè)數(shù)為$的個(gè)數(shù)

個(gè)數(shù)

。，1,1)12222SI+2S2+2S3

(1,2,1)24244s產(chǎn)s22XS3

。，1,1)326625r652+6S5

(2,1,2)448441超+41

(1,5,1)5102101051+252+10S3

(1,2,3)6126412S?+652+4占

(1,1,7)714142145,+14S;+2Sj

(2,2,2)88888?5|+852+853

????????????…???

根據(jù)以上規(guī)律，請直接寫出有序數(shù)組（陽-Z）的幾何體表面積13肉的計(jì)算公式；（用X,%Z,H,$2,$3表示）

（4）當(dāng)E=2,$2=3,S3=4時(shí)，對由12個(gè)單位長方體碼放的幾何體進(jìn)行打包，為了節(jié)約外包裝材料，我

們可以對12個(gè)單位長方體碼放的幾何體表面積最小的規(guī)律進(jìn)行探究，請你根據(jù)自己探究的結(jié)果直接寫出使

幾何體表面積最小的有序數(shù)組，這個(gè)有序數(shù)組為（_,—，—）,此時(shí)求出的這個(gè)幾何體表面積的大小為

.（縫隙不計(jì)）

【答案】（1）B；（2）2；3；2；12：（3）S（xy：z）=1yzSx+2xzS2+2xyS3=2（yzSx+xzS2+xyS3）:（4）2；

2；3；92.

【分析】（1）根據(jù)有序數(shù)組（x,%z）中x、y和z表示的實(shí)際意義即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)三視圖的定義和有序數(shù)組（x,y,z）中x、y和z表示的實(shí)際意義即可得出結(jié)論；

（3）根據(jù)題意，分別從不同方向找出面積為H、邑和邑的長方形，用含x、y、z的式子表示出它們的個(gè)數(shù)，

然后根據(jù)表面積公式計(jì)算即可；

（4）由題意可知：xyz=12,而12=1x1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3,然后分類討論，根據(jù)（3）的公式分別求

出在每一種情況下的最小值，最后通過比較找出最小的即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）有序數(shù)組（3,2,4）表示3排2列4層，故B選項(xiàng)符合

故選：B.

（2）由左視圖和俯視圖可知：該幾何體共碼放了2排，由主視圖和俯視圖可知：該幾何體共碼放了3歹U,

由主視圖和左視圖可知：該幾何體共碼放了2層，

故這種碼放方式的有序數(shù)組為（2,3,2）；

組成這個(gè)幾何體的單位長方體的個(gè)數(shù)為2*3x2=12；

故答案為：2；3；2；12；

（3）根據(jù)題意可知：從幾何體的前面和后面看：面積為W的長方形共有2yz個(gè)，從幾何體的左面和右面看：

面積為邑的長方形共有2xz個(gè)，從幾何體的上面和下面看：面積為邑的長方形共有2xy個(gè)，

，幾何體表面積*,3）=2yzS]+2XZS2+2xyS}=2[yzS[+xzS2+xyS3）

（4）由題意可知：xyz=12,而12=1x1x12=1x2x6=1x3x4=2x2x3

①當(dāng)xyz=1x1x12時(shí)

：S3=4>$2=3>H=2

根據(jù)（3）中公式可知，此時(shí)當(dāng)x=l,y=l,z=12時(shí)，幾何體表面積最小

止匕時(shí)S(u12)=2x(1x12x2+1x12x3+1x1x4)=108；

②當(dāng)xyz=1x2x6時(shí)

S3=4>52=3>^=2

根據(jù)(3)中公式可知，此時(shí)當(dāng)x=l,y=2,z=6時(shí)，幾何體表面積最小

此時(shí)Sq2,6)=2X(2X6X2+1X6X3+1X2X4)=100；

③當(dāng)xyz=lx3x4時(shí)

*.*53=4>52=3>^=2

根據(jù)(3)中公式可知，此時(shí)當(dāng)x=l,y=3,z=4時(shí)，幾何體表面積最小

止匕時(shí)I1,3,旬=2x(3x4x2+1x4x3+1x3x4)=96；

④當(dāng)xyz=2x2x3時(shí)

?.?S3=4>邑=3>H=2

根據(jù)(3)中公式可知，此時(shí)當(dāng)x=2,y=2,z=3時(shí)，幾何體表面積最小

止匕時(shí)S(2,2,3)=2X(2X3X2+2X3X3+2X2X4)=92；

,*,S(2,2,3)<S(I,3,4)<S(l,2,6)<^(1,1,12)

???這個(gè)有序數(shù)組為(2,2,3),最小面積為%2.3)=92.

故答案為：2；2；3；92.

【點(diǎn)睛】此題考查的是新定義類問題，讀懂材料、并歸納總結(jié)公式和掌握三視圖的概念和表面積的求法和

分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決此題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)三、中心投影的綜合應(yīng)用

21.在平面直角坐標(biāo)系工帆中，對于點(diǎn)尸和圖形河，以點(diǎn)尸為圓心，1為半徑作。尸，圖形M上的每一個(gè)

點(diǎn)。(不是原點(diǎn))，都能使得直線。。與。尸有公共點(diǎn)，那么稱圖形〃和點(diǎn)尸關(guān)聯(lián).

(1)點(diǎn)下列圖形中與點(diǎn)P關(guān)聯(lián)的圖形是;

①y軸;

②直線x=；；

③半徑為1的OO；

④線段HK,其中H(O,-1)其(-L-1).

(2)點(diǎn)P在直線y=l上，點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)8在第一象限，已知△0/8為等邊三角形，若△0/8與點(diǎn)尸關(guān)聯(lián),

求點(diǎn)尸橫坐標(biāo)才的取值范圍；

⑶平面上一點(diǎn)C滿足OC=2近，將點(diǎn)C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)C,連接CC',點(diǎn)P在線段CC'上.點(diǎn)

E在以。為中心，邊長為8的正方形上，OE與點(diǎn)尸關(guān)聯(lián)，直接寫出OE的半徑『的取值范圍.

【答案】(1)①④

⑵出石

(3)^+^<r<V3+V7

【分析】(1)根據(jù)新定義畫出圖形，即可求解；

(2)根據(jù)新定義，作。尸使得與直線。C和x軸的相切，過點(diǎn)P作。氏CM的垂線，得出0D=6PD=C,

結(jié)合新定義可得當(dāng),2。。時(shí)，△0/3與點(diǎn)尸關(guān)聯(lián)，即可求解；

(3)當(dāng)E在CC'的垂直平分線上時(shí)，E到的距離相等，根據(jù)中心投影的性質(zhì)可得，當(dāng)￡離。最近

時(shí)，，最小，離。最遠(yuǎn)時(shí)，「最大，

當(dāng)E在(4,0)時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)G作于點(diǎn)K,過點(diǎn)石作￡尸，。。于點(diǎn)尸，當(dāng)E在(4,4)時(shí)，QE

的半徑取得最大值，根據(jù)AOGKSAOE尸，求得E尸的長，即可求解.

【詳解】(1)解：如圖所示，

根據(jù)定義可得與點(diǎn)P關(guān)聯(lián)的圖形是①④

(2)解：如圖所示，P在直線了=1上，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)8在第一象限，已知△0/8為等邊三角形,

y

A

l/^Cly\

外力Ax

作OP使得與直線oc和x軸的相切，過點(diǎn)p作OBQA的垂線，

???AO4B是等邊三角形