專題。2探索相似三角形的判定的條件（五大類型）

【題型1平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用】

【題型2相似三角形的概念】

【題型3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似】

【題型4兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似】

【題型5兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似】

【題型1平行線分線段成比例定理及其推論基本應(yīng)用】

（2023秋?松江區(qū)期中）

1.已知在。5C中，點M、N分別在邊48、ZC上，那么下列條件中不能夠判斷

的是（）

AM_ANAM_ANBM_CNAN_MN

~AB~~ACBM~CN~AB~^C~AC~^C

（2023秋?高新區(qū)校級期中）

2.如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點4,B,

C都在橫線上.若線段5。=6cm,則線段ZC的長是（）

A.7cmB.8cmC.9cmD.10cm

（2023秋?青龍縣期中）

3.如圖，在ABC中，點。在邊上，點￡在邊ZC上，DE//BC,若AD=2,AB=5,

A

A

2i3

A.-B.-C.-D.1

525

（2023秋?沙坪壩區(qū)校級期中）

4.如圖，正方形/BCD的邊長為4,E為邊中點，G為邊上一點，連接ZE,DG,

相交于點F.若D冬F(xiàn)=4g，則/方的長度是（）

r（jr5

BGC

A2A/5口2A/3j_4

rD.-

9727

（2023秋?順義區(qū)校級期中）

5.如圖，4〃/2〃4,根據(jù)“平行線分線段成比例定理'\下列比例式中不IE酸的是（）

C\D2

vA/3

CD一AFBE

A2匹B絲=空C9=----D.-......

DFCE'BCCE'CDEF--------------------ADBC

（2023秋?臨湘市期中）

AD1

6.如圖，點。，E,b分別在。的邊上，——=—,DE//BC,EF〃AB,點、M是EF

BD3

的中點，連接9并延長交/C于點N,則下的值是（）

（2023秋?永春縣期中）

7.如圖，在AABC中，AD=DE=EF=FB,AG=GH=HI=IC,已知BC=2。，則。G+EH+H

的長是（）

22

（2023秋?商水縣期中）

8.如圖，AB//CD//EF,AD:DF=3:4,BE=14,那么8C的長為（）

（2023秋?南安市期中）

9.如圖，AB//CD//EF,若/。=3,DF=5,BC=4,則BE的長為（）

~-33

（2022秋?平陸縣期末）

10.如圖，直線a〃6,直線/C,相交于點若48=1,BC=2,DE=1.8,則4D

【題型2相似三角形的概念】

（2022秋?定遠(yuǎn)縣校級月考）

II.已知在。6c中，44=60。，AB=4,AC=6,下列陰影部分三角形與原三角形不一

定相似的是（）

D.

60°

（2023?長春模擬）

12.在A/BC中，ZACB=9Q°,用直尺和圓規(guī)在上確定點D,使“CDSACBD,根據(jù)

作圖痕跡判斷，正確的是

（）

A

A―星X

C1B

aX

二A

CB

CB

（2022秋?建平縣期末）

13.如圖，中，//=76。，48=8,/C=6.將沿圖示中的虛線剪開，剪下的

陰影三角形與原三角形不相似的是（）

C

二工

C

cp3\

A'----------------

C

A5B

（2022秋?承德縣期末）

14.如圖所示，網(wǎng)格中相似的兩個三角形是（）

A.①與②B.①與③C.③與④D.②與③

（2023?深圳模擬）

15.下列說法中錯誤的是（）

A.同角或等角的補(bǔ)角相等B.圓周角等于圓心角的一半

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形D.兩邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相

似

（2023春?寧陽縣期末）

16.如圖，在三角形紙片/2C中，AB=9AC=6,BC=n,沿虛線剪下的涂色部分的

三角形與△N8C相似的是（）

（2023?金華模擬）

17.下列條件中的兩個等腰三角形不一定相似的是（）

A.都含有60。角B.都含有45。的角

C.都含有90。的角D.都含有120。的角

【題型3三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似】

（2021秋?華州區(qū)期末）

18.如圖，己。是△ABC內(nèi)一點,D、E、F分別是OA、OB、OC的中點.求證：△ABCs/XDEF.

A

【題型4兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似】

（2023?廬陽區(qū)一模）

19.如圖所示，在4x4的正方形方格中，AABC和AD￡尸的頂點都在邊長為1的小正方形的

頂點上.

（1）填空：NABC=,BC=；

⑵判斷“BC與REF是否相似？并證明你的結(jié)論.

（2022秋?銅仁市期末）

20.如圖，D,E分別為AB,/C邊上兩點，且/D=5,BD=3,AE=4,CE=6.求證:

/\ADEs八4cB.

（2023?瀘縣校級模擬）

21.已知如圖，分別是“3C的邊/BZC上的點，40=3,48=8,AE=\/C=6.求

證：AADEs^acB.

A

（2022?鼓樓區(qū)校級模擬）

22.如圖，點。為“3C邊A8上一點，AD=2,BD=6,ZC=4.求證：A4CDsA4BC.

23.如圖，在AABC中，AB=2AA，AC=46，點D在AC上，且AD=：AB,

（1）用尺規(guī)作圖作出點D（保留作圖痕跡，不必寫作法）；

（2）連接BD,并證明：△ABDs/iACB.

（2022秋?射陽縣月考）

24.如圖，矩形48CD中，4D=2,AB=5,P為CD邊上的動點，當(dāng)與A8C尸相似時,

（2022春?豐城市校級期末）

25.如圖，已知NB=NE=9Qo,4B=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25.求證:

/\ABCS/\DEF.

（2022秋?邢江區(qū)校級期末）

26.如圖，中心4=55。，/8=45。，點。、E分別在的邊48、AC±,且

ZADE=80°.

（1）求證：4AEDS&4BC.

（2）如果40=4,BD—6,AE—5,求CE的長.

【題型5兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似】

（2022秋?廣州校級期末）

27.如圖，。是/C上一點，DE〃4B,NB=NDAE.求證：YABCsVDAE.

（2022秋?西安期末）

28.如圖，ABLBD于點、B,ED_L2。于點。，點C為3。上一點，連接/C,CE,若4c1CE,

求證：AABCs^CDE.

（2022秋?射洪市期中）

29.如圖，在"3C和VNOE中，ZBAD=ZCAE,ZABD=ZACE.求證:

(1)AB-AE=AC-AD；

□△ADEs—BC.

參考答案：

1.D

【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理，對各選項進(jìn)行判斷即可.

.、4e、eAMAN

【詳解】由牛：A、———=——-，Z.A=Z.A，

ABAC

AMNs“BC,

：.MN//BC,

故選項不符合題意，

..AMAN

B、?-------，

BMCN

.AM_AN

??萬一元’

又???4=4,

???AAMNs小ABC,

：.MN//BC,

故選項不符合題意，

..BMCN

C、?一9

ABAC

.AM_AN

??萬一元’

又???4=4,

???AAMNs“BC,

：.MN//BC,

故選項不符合題意，

ANMN

D、下二=7,但不是對應(yīng)邊的夾角，不能判定故選項符合題意，

ACJDC

故選：D.

2.C

【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

過點/作平行橫線的垂線，交點2所在的平行橫線于。，交點。所在的平行橫線于E,根

據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式計算即可.

【詳解】解：如圖：過點/作平行橫線的垂線，交點3所在的平行橫線于。，交點C所在

的平行橫線于E,

???4C=3+6=9cm.

故選：C.

3.A

【分析】直接運用平行線分線段成比例定理得出比例式求解即可.本題主要考查了平行線分

線段成比例定理，熟記平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：4D=2,AB=5,

.AEAD_2

故選：A.

4.A

【分析】本題考查了平行線分線段成比例，正方形的性質(zhì)，掌握平行線分線段成比例是解題

的關(guān)鍵.作EH/BC交。于則3DH號DF=4/根據(jù)E為。。邊中點，得HF笠二1，再根

HCFG5ED9

據(jù)FH〃4D,得看=黑=〈，根據(jù)勾股定理得NE=26,所以尸后=羋.

AEDE99

【詳解】解：如圖，作FH〃BC交CD于H,

DHDF4

貝nt［lJ==—,

HCFG5

???￡為。。邊中點,

?HE_1

,ED9

???FH//AD,

?FEHE_1

…~AE~^E~99

???AE=V42+22=275，

“275

FE=-----.

9

故選：A.

5.C

【分析】平行線分線段成比例定理進(jìn)行求解即可：三條平行線截兩條直線,對應(yīng)線段成比例.?

【詳解】解：???/]〃（〃4,

.AD_BCAD_BCAF_BE

??DF-CE'DF-CE'AD~BC"

.ADDF

??正一布’

根據(jù)“平行線分線段成比例定理”不能推出會=*，

CDEF

???四個選項中，只有C選項符合題意，

故選C.

【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握該定理是解題的關(guān)鍵.

6.A

ApAF）1

【分析】過點尸作尸G〃BN交4C于點G,可證EN=GN.同理，TO—

ECDB3

EC=3AE,-=—=-；由FG〃BN,得吧=怛=工，于是GC=3NG；沒EN=NG=a，

ECFC3FCGC3

micec20-h,口EN3

則GC=3〃，EC=5a,AC=—a,從而行---——.

3AC20

【詳解】解：過點尸作bG〃5N交4C于點G,

.EN_EMx

：.EN=GN.

DE//BC,

.AEAD

??耘一礪一“

???EC=3AE.

EF//AB,

.AEBF

**FC-3,

FG//BN,

.BFNG_\

"FC-GC_3,

GC=3NG.

設(shè)EN=NG=a,貝I]GC=3Q,

EC=EN+NG+GC=5a

：.EC=3AE=5a.

A.E=—ci.

3

520

AC=AE+EC=—a+5a=—a.

33

EN_a3

：.^4C~20-20.

—u

3

故選：A

【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

7.C

【詳解】試題解析：?：AD=DE=EF=FB,AG=GH=HI=IC,

DG\\EH\\FI；

*""那

13

同理可得：EH=—BC,FI=—BC；

.24

1133

/.DG+EH+FI=-BC+-BC+-BC=-BC=3的

4242

故選C.

8.C

【分析】本題考查的是平行線分線段成比例，由N3〃CD〃EF可得線=當(dāng)，再代入數(shù)

BEAF

據(jù)進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：*：AB//CD//EF,BE=14,

.BCADBC3

..——=——,即nn——=---,

BEAF143+4

???BC=6.

故選：C.

9.D

【分析】本題考查平行線所截線段對應(yīng)成比例，根據(jù)CD〃跖得到對應(yīng)線段成比例即

可得到答案；

【詳解】解：防，

.AB_AG_BGCD_CG_DGAB_AG_BG

"EF~GF~EG'~EF~~GE~FG，~CD一而一CG，

*/AD=3,DF=5,BC=4,

32

BE=—,

3

故選：D；

10.A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案.

【詳解】解：'：a//b,AB=1,BC=2,DE=1.8,

.ABAD1AD

..—=——,即nn一=—,

BCDE21.8

解得：AD=0.9,

故選：A.

【點睛】此題考查了平行線分線段成比例定理的運用，熟練利用平行線分線段成比例定理是

解題關(guān)鍵.

11.A

【分析】利用相似三角形的判定方法依次判斷可求解.

【詳解】解：A、不能證明陰影部分的三角形與原“3C相似，故選項A符合題意；

B、由兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，故選項B不符合題意；

C、由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選

項C不符合題意；

D、由有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，可證陰影部分的三角形與原相似，故選

項D不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵.

12.C

【分析】要使A/CDSACAD,則=即可推出N4DC=/CD8=90。，則CD

是邊的垂線即可，由此求解即可.

【詳解】解：當(dāng)C。是48的垂線時，AACDS"BD.

,?CDVAB,

：.NCDA=NBDC=90°,

"?NACB=90°,

：.//+ZACD=ZACD+ZBCD=90°,

NA=ZBCD,

AACDSACBD.

根據(jù)作圖痕跡可知，

A選項中，CD是/ACS的角平分線，不符合題意；

B選項中，CD不與垂直，不符合題意；

C選項中，CD是48的垂線，符合題意；

D選項中，CD不與48垂直，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，作垂線，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相似三

角形的判定條件.

13.C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定逐項進(jìn)行分析即可.此題考查了相似三角形的判定，熟練掌

握判定三角形相似的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個角對應(yīng)相等，故兩三角形相似，

故本選項不符合題意；

B、陰影三角形與原三角形有兩個角對應(yīng)相等，故兩三角形相似，

故本選項不符合題意；

C、兩三角形的兩對應(yīng)邊成比例，但夾角不相等，故兩三角形不相似，

故本選項符合題意；

D、陰影三角形中，//的兩邊分別為6-2=4,8-5=3,則兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相

等，故兩三角形相似，

故本選項不符合題意.

故選：C.

14.B

【分析】分別根據(jù)網(wǎng)格的特點求得各三角形三邊的長，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例判斷兩三角形相

似即可.

【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格的特點，①號三角形的三邊長分別為：行,2,M,

②號三角形的三邊長分別為：行,也,3,

③號三角形的三邊長分別為：2,2及，2君，

④號三角形的三邊長分別為：收,3,后,

..0_2_麗—逝

,2-2A/2-2A/52，

①與③相似，故B選項正確，符合題意；其他選項不正確

故選：B.

【點睛】本題考查了網(wǎng)格中判斷相似三角形，分別求得各三角形的邊長是解題的關(guān)鍵.

15.B

【分析】根據(jù)補(bǔ)角的定義，圓周角定理，平行四邊形的判定，相似三角形的判定定理逐項分

析判斷即可求解.

【詳解】解：A.同角或等角的補(bǔ)角相等，故該選項正確，不符合題意；

B.在同圓或等圓中，同一條弧所對的圓周角等于圓心角的一半，故該選項不正確，符合題

息；

C.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故該選項正確，不符合題意；

D.兩邊成比例及其夾角相等的兩個三角形相似，故該選項正確，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了補(bǔ)角的定義，圓周角定理，平行四邊形的判定，相似三角形的判定定理,

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

16.B

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定分別進(jìn)行判斷即可得出答案即可.

【詳解】解：在三角形紙片N2C中，AB=9,AC=6,BC=12.

A.因為二=二=:,對應(yīng)邊段=3=：,1^2,故沿虛線剪下的涂色部分的三角

BC122BC12424

形與ZUBC不相似，故此選項錯誤；

B.因為4下=：4=：2,對應(yīng)邊AC片=6：=?；,又/A=/A,故沿虛線剪下的涂色部分的三角

AC63AB93

形與4/臺。相似，故此選項正確;

44AR9a4a

c.因為,對應(yīng)邊初=w=1,即：故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與

AB9BC12494

△48C不相似，故此選項錯誤；

4761?1

D、因為,對應(yīng)邊痣===（，］片：，故沿虛線剪下的涂色部分的三角形與△N3C

63BC12232

不相似，故此選項錯誤；

故選：B.

【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定，正確利用相似三角形兩邊比值相等切夾角相等

的兩三角形相似是解題關(guān)鍵.

17.B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定及等腰三角形的性質(zhì)對各個選項進(jìn)行分析，從而得到答案.

【詳解】解：A、有一個角是60。的兩個等腰三角形的三組角分別對應(yīng)相等，所以這兩個三

角形相似，不符合題意；

B、當(dāng)一個等腰三角形的底角為45。，而另一個等腰三角形的頂角是45。時，這兩個等腰三角

形不相似，符合題意；

C、有一個角是90。的兩個等腰三角形的三組角分別對應(yīng)相等，所以這兩個三角形相似，不

符合題意；

D、有一個角是120。的兩個等腰三角形的三組角分別對應(yīng)相等，所以這兩個三角形相似，不

符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對相似三角形的

判定定理的掌握.

18.見解析.

【分析】先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到EF=gBC,DF=/c,則可利用三組

222

對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似得到結(jié)論.

【詳解】?:D、E、F分別是CM、OB、OC的中點，

ADE=-AB,EF=-BC,DF=-AC,

222

nnDEEFDF

ABBCAC

:.ABCs^DEF.

【點睛】本題根據(jù)三角形中位線定理得到三角形三條對應(yīng)邊的比相等，確立兩三角形相似的

條件是解題關(guān)鍵.

19.(1)135°；272

(2)AABCs^EF,理由見解析

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合網(wǎng)格可以求出N/3C的度數(shù)，利用勾股定理即可求出線

段3C的長；

(2)根據(jù)相似三角形的判定定理，夾角相等，對應(yīng)邊成比例即可證明28c與9跖相似.

【詳解】(1)解：N/3C=90°+45°=135°,

BC=V22+22=272；

故答案為135。；272;

(2)解：A.ABC:A.DEF.

證明：???在4x4的正方形方格中，

/ABC=135°,ZDEF=90°+45°=135°,

/ABC=ZDEF.

■-AB=2,BC=2V2，EF=2,DE=-Ji

.任一2_一行BC_2y[2_r-

??DE—亞一“2，五一丁72.

.ABBC

''DE~EF

/\ABC:八DEF.

【點睛】此題主要考查學(xué)生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵

是認(rèn)真觀察圖形，得出兩個三角形角和角，邊和邊的關(guān)系.

20.見解析

【分析】根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例，且夾角伯=/即可證明相似.

【詳解】證明：QAD=5,BD=3,AE=4,CE=6,

\AB=AD+BD=S,/C=/￡+C￡=10,

AE4AD51

、~AB~82'~AC~W~2'

_AEAD

,?南一就‘

又彳訶=A,

:.^ADE4cB.

【點睛】本題考查了三角形相似的證明，掌握相似三角形判定方法是解題關(guān)鍵.

21.證明見解析

【分析】本題考查相似三角形的判定.

ADAp1

先利用已知數(shù)據(jù)得到大二不二彳，結(jié)合/DAE=/CAB,運用判定定理“兩邊對應(yīng)成比例

ACAB2

且夾角相等的兩個三角形相似”，即可得證結(jié)論.

【詳解】AD=3,AB=84E=4AC=6,

?AP_AE

'：ADAE=NCAB,

AADEs^acB.

22.見解答過程

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，掌握“如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，

并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似”是解題關(guān)鍵.

根據(jù)“如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似”

即可證明結(jié)論.

【詳解】解：BD=6,

：.AB=8,

?四二」AC-4-1

,,就一75，8-2,

.ADAC

*'AC-AB；

又?:N4=N4,

AACDs/\ABC.

23.（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）先尺規(guī)作線段AB的垂直平分線，再以點A為圓心，以AB的一半作弧，與

AC的交點即為點D的位置；

（2）根據(jù)兩邊成比例且夾角相等證明即可.

【詳解】解：（1）點D的位置如圖所示：

*B

AC

'D

AB273

:一，且NA=NA，

2V3AC~4^32

AAABD^AACB.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和相似三角形的判定，熟練掌握上述知識是

解題的關(guān)鍵.

24.之或1或4

2

【分析】設(shè)。尸=x,禾!J用矩形的性質(zhì)得到BC=4D=2,CD=AB=5,Z￡>=ZC=90°,則根據(jù)相

r)Ar)P9yr)Ar)p

似三角形的判定方法，當(dāng)胃時，ADAPSACBP,1=/」；當(dāng)胃=蕓時，

CBCr25-XCr

2x

△DAPsMPB,即7—=：,然后分別解方程即可.

5—x2

【詳解】解：設(shè)

??,四邊形力BCD為矩形，

:.BC=AD=2,CD=AB=5,ZD=ZC=90°,

/.PC=5-x,

???/D=/C,

力APSKBP,

即：=六，解得x=

25-x2

當(dāng)生=里時，

CPCB

ADAPSACFB,

即2丹解x得

5-x2

X]=LX2=4,

綜上所述，DP的長為1或1或4.

2

【點睛】本題考查了相似三角形的判定：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.也

考查了矩形的性質(zhì).分類討論是解題的關(guān)鍵.

25.KABC^KDEF

【分析】利用三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，即可得到A/BCSADEF；

【詳解】證明：；ZB=90°,AB=6,BF=3,CF=5,

BC=BF+FC=3+5=8JC=V62+82=10

在AA8C中，，26:比：AC=6:8:10=3:4:5

VZE=90°,DE=15,DF=25,

EF=yjDF2-DE2=>/252-