專題09與圓有關(guān)的位置關(guān)系

點與圓之間的位置關(guān)系

題型歸納

直線與圓有關(guān)的位置關(guān)系

點與圓的位置關(guān)系

1.在平面直角坐標(biāo)xOy中，。。的半徑為5,以下各點在。。內(nèi)的是()

A.(-2,3)B.(3,-4)C.(-4,—5)D.(5,6)

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理求出各點到。的距離，再與。。的半徑5相比較即可.

【詳解】解：A、點(-2,3)到。的距離為萬屈＜后=5,則點(-2,3)在。。內(nèi)，本選項符合

題意；

B、點(3,-4)到。的距離為次仔=5,則點3-4)在。。上，本選項不符合題意；

C、點(-4,-5)到。的距離為"亨=標(biāo)＞后=5,則點(T，-5)在。。外，本選項不符合題意；

D、點(5,6)到。的距離為序兩=鬧＞后=5,則點(5,6)在QO外，本選項不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.

2.如圖中AABC外接圓的圓心坐標(biāo)是()

C.(5,2)D.(5,3)

【答案】C

【分析】三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點，分別作垂直平分線，交點為外心，再

過外心分別向x軸，y軸的垂線，確定坐標(biāo).

【詳解】解：融。外接圓圓心的坐標(biāo)為(5,2).

【點睛】本題考查三角形的外接圓的定義.本題解題的關(guān)鍵是作圖找出三角形的外心.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過格點A,B,C作一圓弧，則該弧的圓心的坐標(biāo)為()

C.(2.5,0)D.(2.5,1)

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，可以作弦4?和BC的垂直平分線，交點

即為圓心.

【詳解】解：根據(jù)垂徑定理的推論：弦的垂直平分線必過圓心，

可以作弦和的垂直平分線，交點即為圓心.

如圖所示，則圓心是。(2,0).

故選：B.

【點睛】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知垂徑定理，即“垂直于弦的直徑平分弦”.

4.如圖，OO是等邊三角形ABC的外接圓，若。。的半徑為廣，則AASC的面積為()

【答案】D

【分析】連接0B,延長交于根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出BD=CD=-BC,

2

NO%>=30。，求出OD,根據(jù)勾股定理求出B。，即可求出BC,根據(jù)三角形的面積公式求出即可.

【詳解】連接。8,OA,延長AO交BC于

???等邊三角形A3C是OO,

AADIBC,BD=CD=-BC,ZOBD=-AABC=30°,

22

??.OD=-OB=-r,

22

13

AD=AO+OD=r+—r=—r

22

由勾股定理得：BD=^OB2-OD2=—r,

2

BC=2BD=y[3r

則的面積是

S.?=-BCxAD=—x-J3rx—r=2,

“BCr2224r

故選：D.

【點睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓，三角形的面積

等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是能正確作輔助線后求出80的長，題目具有一定的代表性，主要考查學(xué)生

運用定理進行推理和計算的能力.

5.如圖，。為AABC的外心，為正三角形，。尸與AC相交于。點，連接。4.若ZB4c=70。，

AB^AC,則EMDP為（）

A.110°B.90°C.85°D.80°

【答案】C

【分析】由三角形的外心可知Q4=OC,結(jié)合AB=AC,Zfi4c=70。先求出NACO,再利用△OCP

是正三角形以及外角的性質(zhì)即可求解D4D尸的度數(shù).

【詳解】解：是AABC的外心，AB=AC

:.OA^OC,Z.BAO=ZCAO=ZACO

ZBAC=70°

:.ZCAO^ZACO=35°

???△OCP是正三角形

:.NPCO=ZP=60。

"PCD=APCO-AACO=25°

..ZADP=/PCD+ZP=25°+60°=85°

故選C.

【點睛】本題主要考查外心的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及三角形外角性質(zhì)，熟練掌握外心的性質(zhì)及

外角的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

6.已知（30的半徑是8,點P到圓心0的距離d為方程*-4%-5=0的一個根，則點尸在（）

A.的內(nèi)部B.的外部

C.上或。。的內(nèi)部D.上或。O的外部

【答案】A

【分析】解一元二次方程根據(jù)點與圓的關(guān)系直接判定即可得到答案.

【詳解】解：解方程可得，%=5,二=-1，

?.?點尸到圓心。的距離d為方程d-4x-5=0的一個根,

d=5<8,

點尸在。。的內(nèi)部，

故選A.

【點睛】本題考查解一元二次方程及點與圓的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確解方程及掌握點到圓心距離

與圓半徑關(guān)系判斷點與圓的關(guān)系.

7.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,3c=14,點。在邊上，CD=6,以點。為圓

心作0。，其半徑長為廣，要使點A恰在。。外，點8在內(nèi)，則廠的取值范圍是（）

B.6<r<8C.6<r<10D.2<r<14

【答案】A

【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長，進而得出8。的長，由點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】解：在RtaABC中，ZC=90°,AC=8,CD=6,

則以）=3C-CD=14-6=8,AD=^AC2+CD2=A/82+62=10-

?點A恰在。。外，點B在。。內(nèi),

.,.8<r<10

故選:A.

【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系、勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握點與圓的三種位置關(guān)系，

如設(shè)。。的半徑為廠，點尸到圓心的距離OP=d,則有：①點尸在圓外②點尸在圓上

od=r；③點尸在圓內(nèi)

8.如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B,C,D,E,F,O均在格點上.下列三角形中，外

心不是點。的是（）

A.AABCB.ZXABDC.&ABED.Z\ABF

【答案】C

【分析】設(shè)小正方形邊長為1，再通過勾股定理求出。到所有頂點長度，不相等的就是外心不在的

三角形.

【詳解】解：設(shè)小正方形邊長為1,

貝人（M=j22+F=E=OB=OC=OD=OF，

OE=2,

根據(jù)三角形外心到各頂點距離相等可以判斷：

點。是三個三角形的外心；

不是△ABE的外心，

故選：C.

【點睛】本題考查外心的定義，掌握勾股定理求出外心到各頂點距離是關(guān)鍵.

9.如圖所示，AABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（T,3）、3（-2,-2）、C（4,-2）,則㈤?C外接圓半

徑的長為（）.

A.3亞B.2A/3C.710D.屈

【答案】D

【分析】三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，設(shè)AASC的外心為由8,C的坐標(biāo)可知M必

在直線x=l上，由圖可知線段AC的垂直平分線經(jīng)過點。,0）,由此可得Af（LO）,過點M作MD_LBC

于點。，連接"8,由勾股定理求出"8的長即可.

—2+4

【詳解】解：設(shè)“LBC的外心為VB（-2,-2）,C（4,-2）,必在直線尤=-y-=l上，

由圖可知，線段AC的垂直平分線經(jīng)過點。,0）,.1"（I,。），

如圖，過點加作地＞，8c于點。，連接MB,

RtAJWBD中，MD=2,BD=3,

由勾股定理得：MB=y1MD2+BD2=A/22+32=V13）即A/RC外接圓半徑的長為.故選D.

10.如圖，是“LBC的外接圓，BC=2,NB4c=30。，則。。的直徑等于.

A

【分析】連接3。并延長交。。于D連接8,得到/3CD=90。，根據(jù)圓周角定理得到

ZD=ZBAC=30°,根據(jù)含30。角直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：連接8。并延長交于連接8,

ABAC=30°,

：.ZD=ZBAC=30°,

'：BC=2,

：.BD=2BC=4,

故答案為:4.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)

造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，AA6C是OO的內(nèi)接三角形，ZA=30°,BCg，把AABC繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。

得到ABED,則對應(yīng)點C、。之間的距離為.

D

【答案】2

【分析】連接OC、OB、OD,根據(jù)圓周角定理求出N3OC=2NA=60。，得到AOCB是等邊三角形,

求出OC=O8=BC=及，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NCOD=90。，根據(jù)勾股定理計算即可.

由圓周角定理得，ZBOC=2ZA=60°,

是等邊三角形，

OC=OB=BC=y/2,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，ZCOD=90°,

:.CD=y/oc2+OB2=2，

故答案為：2.

【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心的概念和性質(zhì)，掌握圓周角定理、勾股定理、等邊三

角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，AABC為圓。的內(nèi)接三角形，AB^AC,連接AO并延長交BC于點

(2)若BC=6,AB=3A/10,求的半徑.

【答案】(1)見解析(2)5

【分析】(1)證明是線段2C的垂直平分線，即可證明

(2)連接OB,根據(jù)垂徑定理得到即/=<3。=3,根據(jù)勾股定理得到AM=9,設(shè)OB=Q4=r,則

OM=9-r,根據(jù)勾股定理建立方程求解即可.

【詳解】（1）證明：為圓。的內(nèi)接三角形，.?.點。在線段BC的垂直平分線上,

=.,.點A在線段BC的垂直平分線上，

，是線段BC的垂直平分線，，AM_L5C；

（2）解：如圖所示，連接08,-.-AMLBC,:.BM=；BC=3,

-.-AB=3y/10,AM=y/AB2-BM2=9>

^OB=OA=r,貝i1OM=9-r,■-OB1=BM2+OM1,/.r2=32+(9-r)2,解得r=5,

???。。的半徑為5.

【點睛】本題考查了三角形的外接圓的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理等等，正確地作出輔助線是解題

的關(guān)鍵.

!產(chǎn)型02]垂徑定理

13.如圖，A3是。。的直徑，點E,C在。。上，點A是EC的中點，過點A畫。。的切線，交BC

的延長線于點。，連接EC.若/4D3=58.5。，則NACE的度數(shù)為（）

A.29.5。B.31.5°C.58.5°D.63°

【答案】B

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出-3,根據(jù)圓周角定理得到

ZACE=90°,進而求出/A4C,根據(jù)垂徑定理得到班，EC,進而得出答案.

【詳解】解：?.?小>是。。的切線，

BALAD,

..ZADB=58.5°,

ZB=90°-ZADB=31.5°f

?「AB是。。的直徑，

..ZACB=90。,

ABAC=90°-ZB=58.5°,

,點A是EC的中點，

s.BALEC,

：.AD//EC

,\ZDAC=ZACE

:.ZACE=ZDAC=900-ABAC=31.5°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑

是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，點A是。。上的定點，點5是。O上的動點（不與A重合），過點5作的切線5C,

BC=-OA,連接OA,OC,AC,當(dāng)AQ4c是直角三角形時，其斜邊長為10,則。。的半徑為.

2

.依生、20,2

【答案】y/6-

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到/O3C=90。，由2C=：OA,得出OC=6BC；再根據(jù)勾股定理得

到AC=V<M2+OC2求得OA即可.

【詳解】解：???5C是。。的切線，

JZOBC=90°,

??,BC=-OA

2f

：.OB=OA=2BC,

/.OC=y/OB2+BC2=y/OB2+BC2=>Jo^+BC2=^2BC)2+BC2=芯BC；

當(dāng)AQ4C是直角三角形時，即：ZAOC=90°,

?*-AC=A/0A2+0C2=10，

AOA2+OC2=100,BP4BC2+5BC2=100,解得:SC=^

OA=2BC=—

3

20

故答案為：—.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)、勾股定理等知識點，正確的理解切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，PA,尸8分別切。。于點A2,點E是。。上一點，且/尸=100。，則/E的度數(shù)為

【答案】40°

【分析】連接Q4、OB,由切線性質(zhì)、/尸=100。及四邊形內(nèi)角和為360。得到4403=80。，再根據(jù)

圓周角定理即可得到/E=；/AO8=40。.

【詳解】解：連接。4、OB,如圖所示：

???PA、尸3分別切O。于點A：.OAA.PA,OBA.PB,ZPAO=ZPBO=90°,

-：ZP=100°,

由四邊形內(nèi)角和為360°得到ZAOB=360°-90°-90°-100°=80°,

48=48，，/E=；/A°B=40。，

故答案為：40°.

【點睛】本題考查圓中求角度，涉及切線性質(zhì)、四邊形內(nèi)角和、圓周角定理等知識，熟記相關(guān)性質(zhì)

是解決問題的關(guān)鍵.

16.如圖，。為。。的直徑，點A為。。上一點，連接。4、AC,過點A作O。的切線A3,連接

08交AC于點P,OB1CD.

c

B

⑴求證：BA=BP；

(2)若03=40P,CP=8,求。。的直徑CO的長.

【答案】(1)見解析；(2)45/14

【分析】(1)由A3為。。的切線，A為切點，可得OAL4B,即N0R=9O。，ZOAC+ABAC^90°,

由NBOC=90。，可得NOC4+NOPC=90。，由。1=OC,可得NQ4C=NOCA,即

ABAC=ZOPC=ZBPA,進而可得54=3尸.

(2)設(shè)OP=x，則=B尸=3x,OB=4x,在RtA0LB中，OA=^OB2-AB2=7(4%)2-(3x)2=y/lx,

在RtAW中，PC=yloP2+OC2，即8=6+7/=花工，解得x=2應(yīng)，則。4=2舊，即。。的半

徑為2舊，進而可求直徑8的長.

【詳解】(1)證明：：A3為。。的切線，A為切點，

OA±AB,即NQ4B=90°,

Z(MC+ZBAC=90°,

■:ZBOC=90°,

：.ZOCA+ZOPC=90°,

?：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ABAC=ZOPC=Z.BPA,

：.BA=BP.

(2)解：設(shè)。P=x,則BA=3P=3x,OB=4x.

在RtAtMB中，OA=JOB?_"2=J(4x)2_(3x)2=不x,

在RbW中，pc=y/op2+OC2,即8=&+7彳2=瓜x，解得x=2應(yīng)，

OA=2A/14，即GO的半徑為2萬，

OO的直徑CD的長為4m.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理.解題的關(guān)鍵在于對知識的

熟練掌握與靈活運用.

17.如圖，Rt^ABC中，ZA=90°,以AB為直徑的。。交8C于點。，點E在。。上CE=C4,AB,

CE的延長線交于點?

⑴求證：CE與。O相切；

（2）若。。的半徑為3,EF=4,求CE的長.

【答案】（1）見解析；（2）6

【分析】（1）連接OE、AE,則OE=Q4,所以NOE4=NQ4E,由CE=C4,得NCEA=NCAE,

所以NCEO=NCE4+NOE4=NC4E+NQ4E=90。，即可證明CE與O。相切；

(2)由切線的性質(zhì)得NEEO=90。，OE=Q4=3,EF=4,得OF=+EF?=5,則

AF=OF+（M=8,即可根據(jù)勾股定理列方程CE2+82=（4+CE）2,求解即可.

則OE=Q4,

:.ZOEA=ZOAE,

-.-CE^CA,/C4O=90。，

:.ZCEA^ZCAE,

:.ZCEO=ZCEA+ZOEA=ZCAE+ZOAE=ZCAO=90P,

?.?CE經(jīng)過QO的半徑OE的外端，且CELOE,

;.CE與OO相切.

(2)解：由(1)知CE與。。相切，

?./FEO=90。

'：OE=OA=3,EF=4,

:.0F=ylOE2+EF2=A/32+42=5，

.-.AF=OF+OA=S,

---ZC4F=90°

/.CA2+AF2=CF2,

VCA=CE,CF=4+CE,

.-.CE2+82=(4+CE)2,

:.CE=6,

：.CE的長為6.

【點睛】此題重點考查等腰三角形的性質(zhì)、圓的切線的判定、勾股定理等知識，正確地作出所需要

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AB為直徑作。。，在上取一點。，使CO=BC，

過點C作EF工AD,交AD的延長線于點E,交AB的延長線于點E

(1)求證：直線所是。。的切線；

(2)若AB=10,AD=6,求AC的長.

【答案】(1)見解析；(2)AC=46

【分析】(1)連接OC，由CD=8C得到NE4C=NC4B，根據(jù)跖工">得到N￡AC+NACE=90。，

由OC=Q4得至l]NC4B=NOC4,則NE4C=NOG4,即可得到NACO+NACE=NOCE=90。，貝U

OCLEF,即可得證；

(2)連接8。，交OC于點G,證明￡>G=8G=g8。，四邊形DECG是矩形，得到0G為△鈿￡>中

位線，則0G=3G=CE,DE=CG,OG=^AD=3,得到GC=2,則DE=CG=2,,由勾股定理

得到BG=4,則DG=5G=CE=4,即可得到AE=8,在RtZXAEC中，利用勾股定理即可得到AC

的長.

【詳解】(1)證明：連接0C,如圖，

,**CD=BC，

：.ZEAC=ZCAB,

:EFJ.AD,

：.ZEAC+ZACE=90°,

*：OC=OAf

：.ZCAB=ZOCA,

：.ZEAC=ZOCA,

：.ZACO+ZACE=ZOCE=90°,

:.OCLEF,

*/OC是。。的半徑，

???EF是的切線；

(2)解：連接5。，交OC于點G,如圖,

VAE±EF9OC.LEF,

：.AE//OC,

AB是OO的直徑，

AZADB=90°,AO=BO=-AB=5

2f

：.ZAEC=ZADB=90°f

???BD//EF,

：.OCLBD,

：.DG=BG=-BD,四邊形。ECG是矩形,

???0G為△AB。中位線，DG=BG=CE,DE=CG,

：.OG=-AD=3

2f

.??GC=OC-OG=-AB-OG=5-3=2,

2

?*-BG=y/OB2-OG2=4^DE=CG=Z,

：.DG=BG=CE=4,

：.AE=AD+O￡=6+2=8,

???在RtaAEC中，AC=1AE2+EC2=,8?+42=4石?

【點睛】本題考查了切線的判定、三角形中位線定理、勾股定理、矩形的判定和性質(zhì)、圓周角定理

等知識，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

優(yōu)選提升題

19.如圖，PA,PB,8分別切。。于點A,B,E,ZAPS=54°,則NCOD的度數(shù)為（）

A.261B.36°C.46°D.63°

【答案】D

【分析】連接。4,OB,OE,可求44。8=180。一/4收=126。，R/OAC絲RSOEC,從而可得

NCOE=ZAOC,可證NCOE=-ZAOE,ZDOE=-ZBOE,即可求解.

22

【詳解】解：如圖，連接。4,OB,OE,

A

VPA,PB,8分別切oo于點A,B,E,

：.OA=OB=OE,OALPA,OB±PB,OEA.CD,

ZOAC=ZOEC=ZOBD=90°,

ZAOB=180。—ZAPB=126°,

在RtAOAC和RtAOEC中

[OA=OE

\OC=OC，

「?RtAft4C^RtAOEC(HL),

:.ZCOE=ZAOC,

NCOE=L/AOE,

2

同理可證：ZDOE=-ZBOE

2

:.NCOE+NDOE

^-ZAOE+-ZBOE

22

^-ZAOB

2

=ixl26°=63°；

2

故選：D.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.矩形ABCD中，A3=3,AD=9,將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點8落在點E處,若NADE

是直角三角形，則點E到直線3C的距離是.

【答案】6或3+2忘或3-2夜

【分析】由折疊的性質(zhì)可得點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，延長54交。A的另一

側(cè)于點E,則此時VADE是直角三角形，易得點E到直線2C的距離；當(dāng)過點。的直線與圓相切于

點E時，VADE是直角三角形，分兩種情況討論即可求解.

【詳解】解：由題意矩形ABC。沿過點A的直線折疊，使點B落在點E處,

可知點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，

如圖，延長胡交。A的另一側(cè)于點E,則此時VADE是直角三角形，

點E到直線BC的距離為BE的長度，即BE=2AB=6,

當(dāng)過點。的直線與圓相切與點E時，VADE是直角三角形，分兩種情況,

①如圖，過點E作人5c交BC于點”，交AD于點G,

EGLAD,

.??四邊形ABHG是矩形，GH=AB=3

'：AE=AB=3,AELDE,AD=9,

由勾股定理可得￡比=,92-32=6及，

??,5A￡O=1AE-DE=|AD.EG,

EG=2y/2,

E到直線BC的距離EH=EG+GH=3+20，

②如圖，過點E作印，BC交2c于點N,交AD于點

?..四邊形ABC。是矩形,

J.NM1AD,

二四邊形ABMW是矩形，MN=AB=3

VAE=AB=3,AELDE,AD=9,

由勾股定理可得DE=492-32=6>/2，

■：S^ED=^AE-DE=^AD-EM,

■■EM=2V2，

E到直線BC的距離EN=MN-GN=3-2亞，

綜上，6或3+2近或3-20，

故答案為：6或3+2g或3-2血.

【點睛】本題考查了矩形的折疊問題切線的應(yīng)用，以及勾股定理，找到點E的運動軌跡是解題的關(guān)

鍵.

21.如圖，已知。、E分別在等邊金。的邊AC、BC±,連結(jié)OE,4DE的平分線恰好經(jīng)過“BC

的外心。，交于點孔連結(jié)所，若ACDE的周長為18,則44SC的周長為.

【分析】作OGLAC于點G,OHLDE于點、H,OML3c于點連接OE,GM,OA,0C,

根據(jù)￡（尸平分NADE,得到OG=OH,根據(jù)HL推出RtADGgRtADHO,得到OG=￡>“，易得

。為AASC的內(nèi)心，得到OG=OM,推出OH=OM.根據(jù)HL推出RSCGO絲R3CMO,得到

CG=CM,根據(jù)ZACB=60°,得到△CGM為等邊三角形，得到CG=CM=MG,根據(jù)。為正^ABC

的外心，得到CG=AG=：AC,根據(jù)HL推出RtA￡HgRtA￡MO,得到EH=EM,推出

CD+DE+CE=AC,根據(jù)ACDE的周長為18,得到&4BC的周長為54.

【詳解】解：過點。作OGLAC于點G,OHLDE于點、H,0ML3C于點M,連接OE,GM,

OA,OC,如圖，

c

???。方是一AD石的平分線，0G1AC,OHIDE,

：.OG=OH.

在RMOGO和RtADHO中，

[DO=DO

[OG=OH9

：.RtADGO^RtADHO(HL),

???DG=DH,

???AABC是等邊三角形，。是△ABC的外心，

???O為AABC的內(nèi)心，

???8平分NAC5,

VOG1AC,OM1BC,

：.OG=OM,

：.OH=OM.

在RtZXCGO和RtACMO中，

foc=oc

[OG=OM'

RtACGO^RtACMO(HL),

???CG=CM.

AABC是等邊三角形，

???ZACB=6Q°,

：./XCGM為等邊三角形，

：.CG=CM=MG.

為"RC的外心，

OA=OC,

CG=AG=-AC,

2

在Rt^EHO和Rt^EMO中,

[OE=OE

\OH^OM'

：.RtA￡HC^RtA￡MO(HL),

：.EH=EM,

ACDE的周長=CD+DE+CE=CD+DH+EH+CE=CD+DG+EM+CE

=CG+CM^2CG=AC.

：.AABC的周長=AB+AC+BC=3AC=3ACDE的周長，

「△a汨的周長為18,

...AABC的周長為18x3=54.

故答案為：54.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形，角平分線，全等三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三

角形的判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形外心與內(nèi)心的性質(zhì)，直角三角形全等的判定和性質(zhì).

22.(1)如圖1,0A的半徑為2,AB=5,點P為?A上任意一點，則3P的最小值為.

(2)如圖2,已知矩形ABCD,點E為AB上方一點，連接AE,BE,作EFLAB于點F,點P是ABEF

的內(nèi)心，求的度數(shù).

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AP,CP,若矩形的邊長AB=6,BC=4,BE=BA,求此

時CP的最小值.

【答案】(1)3；(2)135。；(3)A/58-3A/2

【分析】(1)當(dāng)點P在線段A3上時，3尸有最小值，即可求解;

(2)由角平分線的性質(zhì)可得NPES=《NEEB,NPBE=-PBE,由三角形內(nèi)角和定理可求解；

22

(3)先作出AAB尸的外接圓，進而求出外接圓的半徑，進而判斷出CP最小時，點P的位置，最后

構(gòu)造直角三角形，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：(1)當(dāng)點P在線段A3上時，3尸有最小值為AB-AP=5-2=3,

故答案為：3；

(2)VEF±AB,

：.NEFB=9伊,

：./FEB+NFBE=90。,

:點尸是△BEF的內(nèi)心，

:.BP平分NABE,PE平分乙FEB,

ZPEB=-/FEB,ZABP=ZPBE=-NPBE,

22

ZBPE=180°-ZPEB-ZPBE=180°-1(/FEB+ZPBE)=135°；

(3)VAB=EB,ZABPZEBP,BP=BP,

：.AABP^AEBP(SAS),

：.ZAPB=NBPE=135。,

如圖3,作“IB尸的外接圓，圓心記作點。，連接。4OB,在優(yōu)弧A3上取一點Q,連接42,BQ,

：.ZAQB=180°-NBPA=45°,

.?.ZAOB=2ZAQB=90°,

***OA=OB=受A人包x6=30,即AAC?是等腰直角三角形，

22

連接OC,與。。相交于點P,此時根據(jù)(1)的結(jié)論可知，CP是CP的最小值，

過點。作鉆于ONLCB,交CB的延長線于N,則四邊形OMBN是正方形,

ON=BN=BM=-AB=-x6=3,

22

CN=BC+BN=1,

在RtZXONC中，OC=NON2+CN?=仃+乎=底，

???C&小值=CP=OC-OP'=458-3^/2.

【點睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，內(nèi)心，構(gòu)造出圓是

解本題的關(guān)鍵.

23.課本再現(xiàn)

(1)在圓周角和圓心角的學(xué)習(xí)中，我們知道了：圓內(nèi)接四邊形的對角互補.課