大題01數(shù)與式及方程（組）中的計(jì)算問(wèn)題（8大題型）

考情分析?直擊中考

數(shù)與式及方程（組）中的計(jì)算問(wèn)題是中考的必考內(nèi)容，該部分內(nèi)容涉及知識(shí)點(diǎn)較多，但是考題相對(duì)簡(jiǎn)

單，所以需要學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，扎實(shí)掌握好基礎(chǔ)，在書寫計(jì)算步驟時(shí)注意細(xì)節(jié)，避免因?yàn)榇中亩?/p>

丟分.

琢題突破?保分必拿

解一元一次不等式組

根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式綜合應(yīng)用

新定義問(wèn)題

比較大小問(wèn)題

題型一：實(shí)數(shù)與根式的計(jì)算

1.（2023,湖南張家界,中考真題）計(jì)算：V5]—（4-TT）°-2sin60。+（J.

2.（2023?湖北宜昌?一模）已知實(shí)數(shù)Q,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.

⑴若|a|=|力|,則a+匕=,-=

(2)化簡(jiǎn)：+^/(a+b)3-\c-b\.

1）a°=l（aWO）,a-n=4（aK0,n為正整數(shù)）

an

2）①|(zhì)a-b|=a-bV>a>b②|a-b|=OU>a=b③|a-b|=b-aU>a<b

3）特殊的三角函數(shù)要記牢.

4）在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：

①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào).

1.(2022?湖南婁底?中考真題)計(jì)算：(2022-7r)°+(1)-1+|1-V3|-2sin60°.

2.（2023?湖北宜昌?一模）已知a,b滿足Va+1+2一1|=0,求（^必+辦2。23一4油的平方根.

3.（23-24九年級(jí)上?四川眉山?階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：后-|a+c|+

J（c-6）2—-a）2.

________I_______I_____I_____________I_______

ca0b

題型二：代數(shù)式的混合計(jì)算

1.（2023?青海西寧?中考真題）計(jì)算：（2a-3）2-（a+5）（a-5）.

2.（2023,湖北襄陽(yáng),中考真題）化簡(jiǎn)：（1—

3.（2024?黑龍江大慶?一模）如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等于這兩個(gè)整式下方箭頭共同指向的整式.

⑴求整式p.

⑵將整式P因式分解.

⑶P的最小值為

1）帚的運(yùn)算

易的玩■公式樸克說(shuō)明

a”,尸「.逆用公式：ft

同庭敷格幅秉1A**-fl*?

(m.

2,【獷，】，—'一?廣?《■?n.??*￡**）

1負(fù)號(hào)在指號(hào)內(nèi)時(shí)儡次力結(jié)祟為正奇次方為負(fù)負(fù)號(hào)在括號(hào)外結(jié)

果邳為負(fù)

帚的柬方

(m.2發(fā)用公式，aE=（fjn

3【￥星】&F-L-MiM）

(ab)n=aV1.漁用公式，aTb^tsbr

積的11方

(nAl*)

(KWJ[abc]r=a'bV

1關(guān).看區(qū)依是否用同招做幅減是出港K的搔

『.丘廠式的指故

同底收界幅除

(?".m.n.為Mt)

2逆用公式‘?--"=?一+『（?fO.m.MB是正，數(shù)）.

2）乘法公式

餐送公式叟形

平方裝公式缶+b)(a-b)?iT-bz

1.通過(guò)稱事變形

(￡)(aM>)**2nb第211b?(0?b尸-(n)bU

用注,已Sf.?!>、/汨中的西旗求其一項(xiàng)的值(如.<-).

Z.a”與aft)”化

?(a*b)**?(A*b)*?lab②(.■(>)'-腦*b)*=4ab

3)(aH>)**(a*b)*—lab④(a*b)**(a~b)*

(■+b)'=*4+2?b+br用法i己如???n-b中的溝鵬求為■網(wǎng)的假(加.求,).

.特嫌飾構(gòu)

文金平方公式口iA首平方,尾平方.3

二倍集枳放中央?(?>1)JJI，2?白②

*1*t**

領(lǐng)(*與x'?2+±(3Dx'~白

Kr*r1r

i.riR

[1；(?±b>'=<■'±3n、+3ab‘士『

②(a*b*c),=az4-b*+c24-2Bb-F2?c4-2bc

3)因式分解

**

發(fā)公因式法■mb+acma(a+b+c)

方法

?運(yùn)HI學(xué)力*公式i/一b'=(?+b)(a-b).

公式法

②垢用完全4f方公式g『±2nb+bt,Gi±b尸

(p*q)M*pq-(a*p)(a?q)

迸階

【II快】白尾分解,上叉相乘,實(shí)艙啼墻.求抑修中.

力法十字的我法

【特鞅1崗大分［Bax*bi*c

①若》b，cP.則必有因式x1②若iMcf.購(gòu)必有因式"1

分蛔分解漆t(yī)ic*ad*bc*cd-a(c?<1)?b(c*d)=(a*b)(c*d)

如!B多項(xiàng)大中某IB分代數(shù)式底復(fù)出現(xiàn),那么可將這部分代數(shù)式用另一個(gè)字母代瞥.

挨無(wú)法例：因式分*(*15**2)(/*5燈3)-12.改x>5x，2=l

(fl)-12=(t-3)<i*4)=(x*2)(x,3)(i:*5x-l>

1)如果多項(xiàng)式占用由公因式.應(yīng)先提取公因其；

2)如里？frJ?沒(méi)"公因就.可以會(huì)試使用公式法：①為兩璃時(shí).老班平方適公式：

n②為三項(xiàng)M.考位金平木公式t

步?③為四項(xiàng)時(shí).％必利則分蛆的方法進(jìn)打分

3)檜直分”因大足否拘底.必須分新到觸一個(gè)U項(xiàng)式"不能再分”為止.

以上步,可以概括為“一燙、二集、檢**r.

1.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))計(jì)算:

(l)((z+2b)(d-2b)+(a—b)2

2.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知整式力=4/+4%-24.

⑴將整式4分解因式；

⑵求證：若支取整數(shù)，貝必能被4整除.

題型三：化簡(jiǎn)求值

1.（2023?山東淄博?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（%-2y）2+x（5y-x）-4y2,其中久=等，y=^~.

2.（2。23?遼寧丹東?中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：（田-與）+六，其中久=（曠+（-3）。.

化簡(jiǎn)求值常見方法匯總：

1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代數(shù)式計(jì)算求值.

2.間接代入法：將已知的代數(shù)式化簡(jiǎn)后，再將已知字母的值代入化簡(jiǎn)后的代數(shù)式中計(jì)算求值.

3.整體代入法：①觀察已知代數(shù)式和所求代數(shù)式的關(guān)系.

②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數(shù)式和所求代數(shù)式進(jìn)行變形，使它

們成倍分關(guān)系.

③把已知代數(shù)式看成一個(gè)整式代入所求代數(shù)式中計(jì)算求值.

4.賦值求值法：指代數(shù)式中的字母的取值由答題者自己確定，然后求出所提供的代數(shù)式的值的一種方法.這

是一種開放型題目，答案不唯一.在賦值時(shí)，要注意取值范圍，選擇合適的代數(shù)式的值.

5.隱含條件求值法：先通過(guò)隱含條件求出字母值，然后化簡(jiǎn)再求值.

例如：①若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0,則每個(gè)非負(fù)數(shù)的值均為0

②已知兩個(gè)單項(xiàng)式為同類項(xiàng)，通過(guò)求次數(shù)中未知數(shù)的值，進(jìn)而帶入到代數(shù)式中計(jì)算求值.

6.利用“無(wú)關(guān)”求值：

①若一個(gè)代數(shù)式的值與某個(gè)字母的取值無(wú)關(guān)時(shí)需先對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)，則可得出該無(wú)關(guān)字母的系數(shù)為0；

②若給定字母寫錯(cuò)得出正確答案，則該代數(shù)式的值與該字母無(wú)關(guān).

7.配方法：若已知條件含有完全平方式，則可通過(guò)配方，把條件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)平方和的形式，再利用非負(fù)數(shù)

的性質(zhì)來(lái)確定字母的值，從而求得結(jié)果.

8.平方法：在直接求值比較困難時(shí)，有時(shí)也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后結(jié)果的

符號(hào).

9.特殊值法：有些試題，用常規(guī)方法直接求解比較困難，若根據(jù)答案中所提供的信息，選擇某些特殊情況

進(jìn)行分析，或選擇某些特殊值進(jìn)行計(jì)算，把一般形式變?yōu)樘厥庑问竭M(jìn)行判斷，這時(shí)常常會(huì)使題目變得十分

簡(jiǎn)單.

10.設(shè)參法：遇到比值的情況，可對(duì)比值整體設(shè)參數(shù)，把每個(gè)字母用參數(shù)表示，然后代入計(jì)算即可.

11.利用根與系數(shù)的關(guān)系求解：如果代數(shù)式可以看作某兩個(gè)“字母”的輪換對(duì)稱式，而這兩個(gè)“字母”又可

能看作某個(gè)一元二次方程的根，可以先用根與系數(shù)的關(guān)系求得其和、積式，再整體代入求值.

12.利用消元法求值：若已知條件以比值的形式出現(xiàn)，則可利用比例的性質(zhì)設(shè)比值為一個(gè)參數(shù)，或利用一

個(gè)字母來(lái)表示另一個(gè)字母.

13.利用倒數(shù)法求值：將已知條件或待求的代數(shù)式作倒數(shù)變形，從而求出代數(shù)式的值.

1.(2024?廣西桂林?一模)先化簡(jiǎn)，再求值：(a2b—2ab2—b3)+b—(a+b)(a—b),其中a=—|,b=2.

2.（2024?山東濱州?一模）先化簡(jiǎn)再求值：（三一三）+三，其中x=（V3-l）°+（|）-1+

3.（2。24?四川廣元二模）先化簡(jiǎn)，再求值：爵+（x+l-等），其中X是不等式組

<%+2,的整數(shù)解

(2%+4>1—%

4.（2。24?黑龍江哈爾濱?一模）先化簡(jiǎn)，再求代數(shù)式（惡-鼻）+急的值，其中

x=2(tan45°—cos30°).

題型四：解方程（組）相關(guān)計(jì)算

1.解關(guān)于X的一元一次方程：等一1=等.

2.（2023?江蘇連云港?中考真題）解方程組丹光=9

（zx—y=/

3.（2023?江蘇連玄港■中考真題）解方程：——-=3X—3.

x-2x-2

4.（2023?廣東廣州?中考真題）解方程：x2-6x+5=0.

1）解方程的一般步驟：去分母-移項(xiàng)-合并同類項(xiàng)-系數(shù)化為1;

2）一元二次方程ax，bx+c=0（a#0）的解法選擇：

①當(dāng)a=l,b為偶數(shù)，c#0時(shí)，首選配方法；

②當(dāng)b=0時(shí)，首選直接開平方法；

③當(dāng)c=0時(shí)，可選因式分解法或配方法;

④當(dāng)a=l,bWO,cWO時(shí)，可選配方法或因式分解法;

⑤當(dāng)aWl,bWO,c=0時(shí)，可選公式法或因式分解法.

3）解分式方程時(shí)易錯(cuò)點(diǎn)：

①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng).

②分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡(jiǎn)公分母中，只有最簡(jiǎn)公分母不是零的解才是原方程的解.

③分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的

根.

④解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無(wú)意義的根，檢驗(yàn)是解分式方程的必要步驟.

⑤分式方程有增根與無(wú)解并非是同一個(gè)概念.分式方程無(wú)解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去

分母后的整式方程無(wú)解.

1.（2023?浙江?一模）解方程：3—1=早

36

2.（2023?陜西西安?二模）解方程組：P32

4x—y=8.②

3.（2023?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）解下列方程：

（1）—=1；

x-22-x

（2）%2—4%+3=0.

題型五：解一元一次不等式組

4x—840,

（2023?江蘇?中考真題）解不等式組山＜久+1,把解集在數(shù)軸上表示出來(lái),并寫出整數(shù)解.

-2-10

1）不等式的性質(zhì)

基本性質(zhì)1若a>b,貝！|a土c>b±c

若a<b,則a土c<b±c

基本性質(zhì)2若a>b,c>0,則ac>bc（或/>|）

基本性質(zhì)3若a>b,c<0,則ac<bc（或;<g）

2）不等式組解集的確定有兩種方法：

①數(shù)軸法：在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組的解集.

②口訣法：大大取大，小小取小，大小、小大中間找，大大、小小取不了.

3）解一元一次不等式組的一般步驟：

①求出不等式組中各不等式的解集.

②將各不等式的解決在數(shù)軸上表示出來(lái).

③在數(shù)軸上找出各不等式解集的公共部分，這個(gè)公共部分就是不等式組的解集.

（2（%+2）>x+3①

1.（2023?山東濟(jì)南?中考真題）解不等式組:xx+2小，并寫出它的所有整數(shù)解.

13（丁5⑷

題型六：根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式綜合應(yīng)用

1.（2023?湖北襄陽(yáng)?中考真題）關(guān)于元的一元二次方程/+2x+3-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

⑴求k的取值范圍；

⑵若方程的兩個(gè)根為打，，,且憶2=a6+3匕求k的值.

2.（2023?四川南充?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程％2—（2m—1）%—3m12+m=0

⑴求證：無(wú)論機(jī)為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）若打，％2是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且言+￡=一|，求"的值?

1）根的判別式

①求根公式的使用條件：aWO且△》（）.

②使用一元二次方程根的判別式，應(yīng)先將方程整理成一般形式，再確定a,b,c的值.

③利用判別式可以判斷方程的根的情況，反之，當(dāng)方程：1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，A>0;

2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，A=0;

3）沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，A<0.

④一元二次方程有解分兩種情況：1）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

2）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

①如果方程x2+px+q=O的兩個(gè)根為Xi,X2,那么比1+%2=-「，x1?x2=q.

②以兩個(gè)數(shù)Xi,X2為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是x2-（/+乂2）X+%1.%2=0.

③一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a#0且△》（）.

④用根與系數(shù)的關(guān)系求值時(shí)的常見轉(zhuǎn)化：

已知一元二次方程ax，bx+c=0（a/0）的兩個(gè)根Xi,x?

=xx2—

1）平方和+%2（i+2）2xtx2

2）倒數(shù)和工+工具及

X1X2X1X2

X-X2X+X24XX

3）差的絕對(duì)值IXi-X2|=V（12）=V（12）-12

X1.x_%l2+%22_（%1+%2）2-2%1%2

----1----2------------=------------------

%2

5）（久1+1）（久2+1）=無(wú)1尤2+（%1+久2）+1

1.（2023?湖北襄陽(yáng)?一模）已知關(guān)于無(wú)的方程k/+（2k+1）*+2=0.

⑴求證：無(wú)論左取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根.

（2）是否存在實(shí)數(shù)上使方程兩根的倒數(shù)和為2?若存在，請(qǐng)求出左的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2.（2023?江西新余,一'模）關(guān)于x的方程/—（2k+l）x+fc12=0.

⑴如果方程有實(shí)數(shù)根，求上的取值范圍；

（2）設(shè)%1和%2是方程的兩根,且就+后=6+%1%2,求k的值.

題型七：新定義問(wèn)題

（2023?山東棗莊?中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b,定義一種新運(yùn)算：a^b=[3b夕￥3例如:

（.a+0-6（a<2b）

3X1=3—1=2,5X4=5+4—6=3.根據(jù)上面的材料，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：

（1）4X3=,（―1）※（—3）=；

（2）若（3久+2）※（久一1）=5,求無(wú)的值.

新定義問(wèn)題是在問(wèn)題中定義了初中數(shù)學(xué)中沒(méi)有學(xué)過(guò)的一些新概念、新運(yùn)算、新符號(hào)，要求學(xué)生讀懂題意并

結(jié)合已有知識(shí)進(jìn)行理解，而后根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算、推理、遷移的一種題型.

一般有三種類型問(wèn)題：（1）定義新運(yùn)算；（2）定義初、高中知識(shí)銜接新知識(shí)；（3）定義新概念.這類試

題考查考生對(duì)新定義的理解和認(rèn)識(shí)，以及靈活運(yùn)用知識(shí)的能力，解題時(shí)需要將新定義的知識(shí)與己學(xué)知識(shí)聯(lián)

系起來(lái)，利用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決問(wèn)題.

1.（2023?河北滄州?模擬預(yù)測(cè)）定義一種新的運(yùn)算※，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a和b,規(guī)定a沏=ab?+&人+口，例

如：2^5=2X52+2x5+2=62.

⑴求5※（一2）的值.

（2）若（小一企）※2>14,求小的取值范圍.

2.（2023?江蘇鹽城?一模）定義：若兩個(gè)分式的和為"（w為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為"N十分式

例如.分式三與盧互為"三十分式

x+l1+X

⑴分式翳與____互為"六十分式"；

3+2x

(2)若分式T與七互為"一十分式"(其中a，b為正數(shù))，求岫的值;

a+4bzaz+2b

⑶若正數(shù)X,y互為倒數(shù)，求證：分式以與J土互為"五十分式

3.(2023?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))定義新運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)根、w都有m☆Ti=nrn-3n,例如4+2=4義2-

3x2=8-6=2,請(qǐng)根據(jù)上述知識(shí)解決下列問(wèn)題.

(1)%^2>4,求尤取值范圍；

(2)若;<:☆(-￡)=3,求x的值；

⑶若方程“☆□=%—6,口中是一個(gè)常數(shù)，且此方程的一個(gè)解為X=1,求口中的常數(shù).

4.(22-23九年級(jí)上?河北石家莊?期末)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義新運(yùn)算其規(guī)則為：aA6=a2-ab,根據(jù)

這個(gè)規(guī)則，解決下列問(wèn)題：

⑴求(%+2)△5=0中比的值；

(2)證明：(x+rn)A5=0中，無(wú)論機(jī)為何值，x總有兩個(gè)不同的值.

題型八：比較大小

(2023?江蘇鹽城?中考真題)課堂上，老師提出了下面的問(wèn)題:

已知3a>b>0,M=2,N=—,試比較M與N的大小.

bb+3

小華：整式的大小比較可采用"作差法".

老師：比較/+1與2久-1的大小.

小華：'/(x2+1)—(2%-1)=x2+1—2%+1=(%—I)2+1>0,

Ax2+1>2%—1.

老師：分式的大小比較能用"作差法"嗎？

⑴請(qǐng)用"作差法"完成老師提出的問(wèn)題.

⑵比較大?。?_________冬(填"或"<")

6865

1)實(shí)數(shù)比較大小的6種基礎(chǔ)方法：

1.數(shù)軸比較法：將兩個(gè)數(shù)表示在同一條數(shù)軸上，右邊的點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大.

2.類別比較法：正數(shù)大于零；負(fù)數(shù)小于零；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小.

3.作差比較法：若a,b是任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，則

①a-b>0<=>a>b；②a-b=0<=>a=b；③a-b〈0aa〈b

4.平方比較法：①對(duì)任意正實(shí)數(shù)a,b,若『Ab'OGb

②對(duì)任意負(fù)實(shí)數(shù)a,b,若a'l/OaCb

5.倒數(shù)比較法：若l/a>l/b,ab>0,則a<b

6.作商比較法：1)任意實(shí)數(shù)a,b,a/b=lOa=b

2)任意正實(shí)數(shù)a,b,a/b>l<=>a>b,a/b<l<=>a>b

3)任意負(fù)實(shí)數(shù)a,b,a/b>l<=>a<b,a/b<l<=>a>b

1.（2023,浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）觀察下面的等式：|—=g：-|=3；9=白，22=白

326431Z54z（J6530

⑴按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）.

（2）請(qǐng)運(yùn)用分式的有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的.

⑶請(qǐng)用以上規(guī)律比較鬣-翳與黑-髭的大小.

2.（22-23九年級(jí)下?河北保定?階段練習(xí)）觀察以下10個(gè)乘積，回答下列問(wèn)題.

11x29；12x28；13x27；14x26；15x25；16x24；17x23；18x22；19x21；20x20.

探究：經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)以上各乘積均可以寫成平方差的形式.

例如：11x29=/-*=（*+_y）,列出方程組，解x,y的值即可.

按照以上思路寫出"將11X29寫成平方差的形式”的完整過(guò)程；

探究：觀察以上10個(gè)乘積，當(dāng)a+6=40時(shí)，ab202；（比較大小）

拓展：當(dāng)a+6=zn時(shí)，比較ab與（J?的大小，并說(shuō)明理由.

莪流》模擬_

1.（2024?黑龍江齊齊哈爾?一模）（1）計(jì)算：（-：）?+百一2|+4sin6（T+戰(zhàn)

（2）分解因式：—2a/+i2a——i8ax.

（2%+1<3①

2.（2024?江蘇揚(yáng)州?一模）解不等式組：8i-3x，工，并求出它的所有整數(shù)解的和.

/二W1②

3.（2024?江西吉安?一模）先化簡(jiǎn)：（金+匕）十三,再?gòu)?2,-L。，1,2中選

一個(gè)合適的數(shù)作為。值代入求值.

4.（2024?陜西西安?二模）解方程：生|=1-2.

Q2—9.CL—3

（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）（1）化簡(jiǎn):

a2+6a+9a

(2)解方程：x(2x—5)=5—2x.

6.（2023?貴州遵義?模擬預(yù)測(cè)）對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)根，如果m等于兩個(gè)正整數(shù)的平方和，那么稱這個(gè)兩位數(shù)

小為“平方和數(shù)"，若m=a2+b2（a、b為正整數(shù)），記a（ni）=a6.例如：29=22+52,29就是一個(gè)“平

方和數(shù)"，貝必（29）=2X5=10.

⑴判斷13是否是"平方和數(shù)"，若是，請(qǐng)計(jì)算4（13）的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若k是一個(gè)"平方和數(shù)"，

①設(shè)k=x2+y2,則4（k）=；

②當(dāng)4（k）=?-18,求k的值.

7.（2024?四川南充?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的方程為無(wú)2-2（爪+2）%+租2+4=0.

⑴若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為右，尤2,求丫=瑤+環(huán)的最小值.

8.(2024?貴州遵義?一模)作差法是一種比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式大小的常用方法.

作差：首先計(jì)算兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的差，即4-B.

變形：對(duì)得到的差式進(jìn)行變形，常用的方法包括配方、因式分解、有理化等，目的是將差式轉(zhuǎn)換為更容易

判斷的形式.

定號(hào)：根據(jù)差式的符號(hào)確定被比較數(shù)或代數(shù)式的大小關(guān)系，若差式為正數(shù)，則原數(shù)A大于8；若差式為負(fù)數(shù),

則原數(shù)A小于2;若差式為零，則A等于艮

結(jié)論：根據(jù)變形和定號(hào)的結(jié)果得出結(jié)論，即4〉B或4<B.

例：比較久2+1與2%-1的大小.

0(x2+1)—(2x—1)=%2+1—2x+1=(x—l)2+1>0,

0x2+1>2x—1

(1)已知26>3a>0,M=*,N=震，試比較M與N的大小.

⑵比較大?。骸?填"或"<")

118------------115

9.(23-24九年級(jí)上?四川宜賓?期末)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示.

---?--------1---1---1--->

a-101

(1)化簡(jiǎn)：J(a+1)2=；aJ—:.

(2)若最簡(jiǎn)二次根式荷F與3傷是同類二次根式，求a的值.

1.（2023,內(nèi)蒙古,中考真題）計(jì)算：|—21+（兀—2023）°+（―巳）—2cos60°.

2.(2。23?青海西寧?中考真題)先化簡(jiǎn),再求值：(言一熹)一占,其中a,b是方程

%2+%-6=0的兩個(gè)根.

3.(2023?內(nèi)蒙古?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：(2x+y)2+(x-y)(x+y)-5x(x-y),

其中刀=傷-1,y=V6+1.

4.(2023?廣東廣州?中考真題)已知a>3,代數(shù)式：A=2a2-8,B=3a2+6a,C=a3-4a2+4a.

⑴因式分解A；

(2)在A,B,C中任選兩個(gè)代數(shù)式，分別作為分子、分母，組成一個(gè)分式，并化簡(jiǎn)該分式.

5.(2023?浙江衢州?中考真題)小紅在解方程?=等+1時(shí)，第一步出現(xiàn)了錯(cuò)誤:

36

解：2x7x=(4x-l)+l,

⑴請(qǐng)?jiān)谙鄳?yīng)的方框內(nèi)用橫線劃出小紅的錯(cuò)誤處.

(2)寫出你的解答過(guò)程.

6.(2023?青海?中考真題)為豐富學(xué)生課余生活，提高學(xué)生運(yùn)算能力，數(shù)學(xué)小組設(shè)計(jì)了如下的解題接力游

戲:

⑴解不等式組:氏

⑵當(dāng)加取(1)的一個(gè)整數(shù)解時(shí)，解方程好一2%-m=0.

7.(2023?江蘇徐州?中考真題)(1)解方程組，

(zx—5y=8

14%—5<3

(2)解不等式組卜T<2X+1

I35

8.（2023?湖北荊州?中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程k/-（2k+4）x+k-6=。有兩個(gè)不相等的實(shí)

數(shù)根.

⑴求k的取值范圍；

（2）當(dāng)k=1時(shí)，用配方港解方程.

9.（2023?湖北黃石?中考真題）關(guān)于x的一元二次方程/+加工一1=0,當(dāng)爪=1時(shí)，該方程的正根稱為黃

金分割數(shù).寬與長(zhǎng)的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù).

⑴求黃金分割數(shù)；

（2）已知實(shí)數(shù)a,b滿足：a2+ma=l,b2—2mb=4,且bK—2a,求ab的值；

⑶已知兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)p,q滿足：p2+np-1-q,q2+nq-1=p,求pq-n的值.

大題01數(shù)與式及方程（組）中的計(jì)算問(wèn)題（8大題型）

考情分析?直擊中考

數(shù)與式及方程（組）中的計(jì)算問(wèn)題是中考的必考內(nèi)容，該部分內(nèi)容涉及知識(shí)點(diǎn)較多，但是考題相對(duì)簡(jiǎn)

單，所以需要學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，扎實(shí)掌握好基礎(chǔ)，在書寫計(jì)算步驟時(shí)注意細(xì)節(jié)，避免因?yàn)榇中亩?/p>

丟分.

琢題突破?保分必拿

解一元一次不等式組

根與系數(shù)關(guān)系和根的判別式綜合應(yīng)用

新定義問(wèn)題

比較大小問(wèn)題

題型一：實(shí)數(shù)與根式的計(jì)算

1.（2023,湖南張家界,中考真題）計(jì)算：|-—（4-兀）°-2sin60。+（，.

【答案】4

【分析】先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，零次塞及特殊角的三角函數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，然后計(jì)算加減法即可.

【詳解】解：原式=y—1—2x^+5

=4.

【點(diǎn)睛】題目主要考查絕對(duì)值，零次幕及特殊角的三角函數(shù)、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕，熟練掌握各個(gè)運(yùn)算法則是解

題關(guān)鍵.

2.（2023?湖北宜昌?一模）已知實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示.

b0

⑴若|a|=|bI，則a+b=,-=.

⑵化簡(jiǎn)：+#(a+b>—|c-h|.

【答案】(1)0,-1

(2)-b

【分析】(1)根據(jù)a,b異號(hào)且絕對(duì)值相等，可得a,b互為相反數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果；

(2)根據(jù)數(shù)軸上a,b,c的位置和大小關(guān)系，再由絕對(duì)值的性質(zhì)去掉絕對(duì)值符號(hào)，進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(1)由數(shù)軸可知,c<b<0<a,\a\=\b\,

???a+b=0,-=—1.

b

(2)vc<b<0<a,\a\=\b\,

???Vc^+“a+b)3—|c—

=—c+0—(h—c)

=—c+0—b+c

=-b.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸的意義，絕對(duì)值的性質(zhì)，熟練掌握數(shù)軸的特點(diǎn)和絕對(duì)值的性質(zhì)是解本題的關(guān)

鍵.

1)a0=l(aWO)，a-n=4(aWO,n為正整數(shù))

an

2)①|(zhì)a-b|=a-bU>a>b②|a-b|=OM>a=b③|a-b|=b-aU>a<b

3)特殊的三角函數(shù)要記牢.

4)在實(shí)數(shù)混合運(yùn)算中不注意運(yùn)算順序?qū)е陆Y(jié)果錯(cuò)誤，所以要牢記運(yùn)算順序避免出錯(cuò)：

①先算乘方，再算乘除，最后算加減；

②有括號(hào)先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；先算小括號(hào)，再算中括號(hào)，最后算大括號(hào).

1.(2022?湖南婁底?中考真題)計(jì)算：(2022-TT)°+(^1+|1-V3|-2sin60°.

【答案】2

【分析】分別計(jì)算零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)累、絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值，然后按照去括號(hào)、先乘除后

加減的順序依次計(jì)算即可得出答案.

【詳解】解：(2022-兀)°+(I)-1+|1-V3|-2sin60°

lV3

=l+2-(l-V3)-2x—

=l+2-l+V3-V3

=2.

【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，包含零指數(shù)幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)事、絕對(duì)值和特殊角的三角函數(shù)值.熟練

掌握相關(guān)運(yùn)算的運(yùn)算法則以及整體的運(yùn)算順序是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

2.(2023?湖北宜昌?一模)已知a,b滿足Va+1+g-1|=0,求a?。?？+。2023一4尤的平方根.

【答案】土戈

【分析】根據(jù)GT+\b-l\=0,可得a=—1,6=1,再求解。2。22+〃023一4ab的值，結(jié)合平方根的

含義可得答案.

【詳解】解：不1+伎一1|=0，

a+1=0,b—1=0,

a=-1,b=1,

：.a2022+b2023+4=l+l+4=6,

2022

：.a+02023_4a6的平方根為±乃.

【點(diǎn)睛】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根的含義，平方根的含義，熟練的求解a=-l,b=l是解

本題的關(guān)鍵.

3.(23-24九年級(jí)上?四川眉山?階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：后-|a+c|+

J(c-6)2—J(6-a)2.

_________III_______________I__________

c___a__0b

【答案】化簡(jiǎn)得〃

【分析】本題主要考查了數(shù)軸，二次根式的性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，利用數(shù)軸確定出見。+。,。-仇5-。的符

號(hào)，再利用絕對(duì)值的意義化簡(jiǎn)運(yùn)算即可，利用數(shù)軸確定出Q,a+c,c-b,b-a的符號(hào)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】由題意得：c<a<0<b,

-'-a+c<0,c—b<0,b—a>0,

—|a+c|+J(c—b)2——a)2

=-a+a+c+b—c—(b—CL)

=-CL+a+c+Z?-c—力+Q

=a.

題型二：代數(shù)式的混合計(jì)算

1.(2023?青海西寧,中考真題)計(jì)算:(2a-3)2-(a+5)(a-5).

【答案】3a2-12a+34

【分析】運(yùn)用完全平方公式，平方差公式及整式的加減運(yùn)算法則處理；

【詳解】解：原式=(4a2-12a+9)-(a2-25)

=4a之-12a+9—a?+25

=3a2-12a+34.

【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，掌握乘法公式以簡(jiǎn)化運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?湖北襄陽(yáng)?中考真題)化簡(jiǎn)：。—看￡)一二.

【答案】-

a

【分析】先根據(jù)同分母分式相加減法則計(jì)算，再利用提公因式和平方差公式分解因式，把除法換成乘法，

即可求解；

【詳解】解：原式=(篝-言為

1a+1

=----------

a+1a

_i

a,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合計(jì)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?黑龍江大慶?一模)如圖，約定：上方相鄰兩整式之和等于這兩個(gè)整式下方箭頭共同指向的整式.

⑴求整式P.

(2)將整式P因式分解.

⑶P的最小值為

【答案】(1)4/—16

(2)4(x+2)(x-2)

⑶T6

【分析】本題考查多項(xiàng)式的加減、因式分解和最小值的計(jì)算，熟練掌握多項(xiàng)式的加減運(yùn)算規(guī)則和因式分解

的方法是解決本題的關(guān)鍵.

(1)直接求和即可；

(2)根據(jù)平方差公式分解因式；

(3)由自＞。即可判斷P的最小值為-16.

【詳解】(1)解：。=3刀2一4乂一20+(%+2)2

=3x2—4%—20+%2+4%+4

=4%2—16.

(2)4%2—16—4(x2—4)=4(x+2)(x—2)

(3)P=4x2-16,

x2＞0,

.?.當(dāng)x=0時(shí)，P的最小值為—16

1)累的運(yùn)算

幕的近＞(公式補(bǔ)充說(shuō)明

1,逆用公式3■?*0-?????

同庵敷將例榮

(m.n<**l*J

2.1獷發(fā)%PBMJE**)

1負(fù)號(hào)在揖號(hào)內(nèi)時(shí)■次力培累為正奇次方為負(fù)負(fù)號(hào)在相號(hào)外結(jié)

但T’.0果郁為負(fù).

累的柬方

(m.

2地用公大；ai=(『T

3KF*]gF"L(a.n.

(abf=aV1.漁用公式，anbn=(abr

積的果方

(n-

V1；][abc]=ab'U

1關(guān).看底敷是否綱同幅微幅。是指It除K的指cut去除

/一.一「「式的指斂

同庭敷累相毆

(a^O.m.n郁為整數(shù))

2愛用公式，?="="=+*■(a*0.m.n?lS正整效).

1KFIKl(?0O.a.a.

2)乘法公式

餐送公式叟形

平方裝公式缶+b)(a-b)?iT-bz

1.通過(guò)稱事變形

(￡)(aM>)**2nb第211b?(0?b尸-(n)bU

用注,已Sf.?!>、/汨中的西旗求其一項(xiàng)的值(如.<-).

Z.a”與aft)”化

?(a*b)**?(A*b)*?lab②(.■(>)'-腦*b)*=4ab

3)(aH>)**(a*b)*—lab④(a*b)**(a~b)*

用法己如中的溝鵬求為■網(wǎng)的假(加.求,).

(■+b)'=*4+2?b+bri???n-b

.特嫌飾構(gòu)

文金平方公式口iA首平方,尾平方.3

二倍集枳放中央?(?>1)JJI，2?白②

*1*t**

領(lǐng)(*與x'?2+±(3Dx'~白

Kr*r1r

i.riR

[1；(?±b>'=<■'±3n、+3ab‘士『

②(a*b*c),=az4-b*+c24-2Bb-F2?c4-2bc

3)因式分解

**

發(fā)公因式法■mb+acma(a+b+c)

方法

?運(yùn)HI學(xué)力*公式i/一b'=(?+b)(a-b).

公式法

②垢用完全4f方公式g『±2nb+bt,Gi±b尸

(p*q)M*pq-(a*p)(a?q)

迸階

【II快】白尾分解,上叉相乘,實(shí)艙啼墻.求抑修中.

力法十字的我法

【特鞅1崗大分［Bax*bi*c

①若》b，cP.則必有因式x1②若iMcf.購(gòu)必有因式"1

分蛔分解漆t(yī)ic*ad*bc*cd-a(c?<1)?b(c*d)=(a*b)(c*d)

如!B多項(xiàng)大中某IB分代數(shù)式底復(fù)出現(xiàn),那么可將這部分代數(shù)式用另一個(gè)字母代瞥.

挨無(wú)法例：因式分*(*15**2)(/*5燈3)-12.改x>5x，2=l

(fl)-12=(t-3)<i*4)=(x*2)(x,3)(i:*5x-l>

1)如果多項(xiàng)式占用由公因式.應(yīng)先提取公因其；

2)如里？frJ?沒(méi)"公因就.可以會(huì)試使用公式法：①為兩璃時(shí).老班平方適公式：

n②為三項(xiàng)M.考位金平木公式t

步?③為四項(xiàng)時(shí).％必利則分蛆的方法進(jìn)打分

3)檜直分”因大足否拘底.必須分新到觸一個(gè)U項(xiàng)式"不能再分”為止.

以上步,可以概括為“一燙、二集、檢**r.

1.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))計(jì)算:

(l)((z+2b)(a-2b)+(a—b)2

【答案】（l）2a2—2ab—3b?

【分析】本題考查了分式的加減乘除混合運(yùn)算，乘法公式.

(1)根據(jù)乘法公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；

(2)原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果

即可.

【詳解】(1)解：(a+26)(a—2b)+(a—b)2

=a*2-4b2+a2—2ab+b2

=2a2—2ab—3b2；

⑵解：(-I-京)+中

_Zx2-13\(x-2)2

\%+1%+1/%+1

(%+2)(%—2)%+1

%4-1(x—2)2

_x+2

x—2

2.(2024?湖南,模擬預(yù)測(cè))已知整式4=4/+4X-24.

⑴將整式4分解因式；

(2)求證：若x取整數(shù)，則4能被4整除.

【答案】⑴4。+3)(x-2)；

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用配方法把4/+鈕配成一個(gè)完全平方式，再利用平方差公式因式分解即可;

(2)利用(1)的結(jié)果即可求證；

本題考查了因式分解及其應(yīng)用，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(])解：A=(4x2+4%+1)-25

=(2x+l)2-52,

=[(2x+l)+5][(2x+l)-5],

=4(%+3)(%-2)；

(2)證明：:X取整數(shù)，

x+3和久一2均為整數(shù),

又由(1)可知，A-4(x+3)(x-2),

???4能被4整除.

題型三：化簡(jiǎn)求值

22

1.(2023?山東淄博?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：(x-2y)+x(5y-x)-4y,其中久=等，y=號(hào).

【答案】%y；1

【分析】直接利用整式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)進(jìn)而合并得出答案.

【詳解】原式=x2+4y2—4xy—x2+5xy—4y2

=xy,

當(dāng)x=等,y=與時(shí)，

原式=xy=X=1=1.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了整式的混合運(yùn)算二次根式的運(yùn)算，正確合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵.

2.(2023?遼寧丹東?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：(第一一二;)十三，其中％=0尸+(—3)。.

\x2-2x+lx-1/x-1\2/

【答案W，1

【分析】

先將分子分母因式分解，除法改寫為乘法，括號(hào)里面通分計(jì)算，再根據(jù)分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則和運(yùn)算順

序進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)負(fù)整數(shù)幕和。次幕的運(yùn)算法則，求出X的值，最后將尤的值代入計(jì)算即可.

【詳解】解：