專題07一元二次方程及應用過關檢測

（考試時間：90分鐘，試卷滿分：100分）

一.選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。

1.用公式法解方程2久2+3%=1,把原方程化為一般式，則a,b,c依次是（）

A.2,—3,1B.2,3,—1C.—2,3,1D.2,—3,—1

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，先把原式移項得2/+3x-1=0,再結合一元二次方程的

一般式的特征進行作答即可

【詳解】解：,?,2/+3%=1,

；.2久2+3x—1=0,

■■.a,b,c依次是2,3,-1,

故選：B

2.方程x（x—2）=4（久—2）的根是（）

A.x=2B.x=4C.=-2,久i=—2D.久1=2,%2=4

【答案】D

【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解.

【詳解】解：,??X（X—2）=4（X—2）,

久—2）—4（%—2）=。，

?1?（%—2）（x—4）=0,

.■-x-2=0,x—4=0,

解得：q-2,x2-4,

故選：D.

3.一元二次方程/+4x+2=0的根的情況是（）

A.有兩個相等的實數根B.有兩個不相等的實數根

C.沒有實數根D.無法確定

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程以2+版+。=0（aKO,a,b,c為常數）的根的判別式A=/―4ac,

理解根的判別式對應的根的三種情況是解題的關鍵.當A>0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=（）

時，方程有兩個相等的實數根；當A<0時，方程沒有實數根.

【詳解】M："x2+4x+2=0,

■■■a=l,b=4,c=2,

,?,A=b2-4ac-16—8=8>0,

原方程有兩個不相等的實數根

故選：B.

4.用配方法解方程-—6%-7=0,下列變形正確的是()

A.(久+6)2=43B.(x-6)2=43C.(%+3)2=16D.(%-3)2=16

【答案】D

【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，先移項，得#-6%=7,再配方，即久2

-6x+9=7+9=16,即可作答.

【詳解】解：r/一6%-7=0,

移項，得三一6久=7,

則配方，得――6x+9=7+9=16,

即(x-3)2=16,

故選：D.

5.如圖，有一個面積為72cm2的矩形，一邊剪短3cm,另一邊剪短4cm,恰好變成一個正方形，則這個正

方形的邊長為多少？設正方形邊長為xcm,可列方程為()

4cm

A.(久+3)(%+4)=72B.(x-3)(久-4)=72

C.Q+3)(%—4)=72D.(x—3)(%+4)=72

【答案】A

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，設正方形的邊長為xcm,則長方形的長為(％+4)cm,

寬為Q+3)cm,再根據"一個長方形的面積為72"列出方程即可得出答案，理解題意，找準等量關系是

解此題的關鍵.

【詳解】解：設正方形的邊長為xcm,則長方形的長為Q+4)cm,寬為(x+3)cm,

由題意可得：(久+3)(久+4)=72.

故選：A.

6.已知加，〃是一元二次方程K2-2%-4=0的兩個實數根，則nm=()

A.-4B.-2C.2D.4

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，注意兩根之積等于?根據根與系數的關系可得出

mn=-4,此題得解.

【詳解】解：?.?加，〃是方程%2-2%-4=0的兩個實數根，

■?■mn=—4.

故選：A.

7.某人患了流感，經過兩輪傳染后共有36人患了流感.設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則可得到

方程()

A.1+x+x(l+%)=36B.x(l+x)=36

C.2(1+K)=36D.1+x+x2=36

【答案】A

【分析】本題主要考查了根據實際問題列一元二次方程，患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病,

包括在總數中，設每一輪傳染中平均每人傳染了x人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是

(x+1)人，則傳染支(%+1)人，依題意列方程：l+x+x(l+W=36即可，找到關鍵描述語，找到等量

關系準確地列出方程是解決此問題的關鍵.

【詳解】解：由題意得：1+x+X(1+X)=36,

故選：A.

8.賓館有60間房供游客居住，當每間房每天定價為170元時，賓館會住滿；當每間房每天的定價每增加

10元時，就會空閑一間房，如果有游客居住，賓館需對居住的每間房每天支出15元的費用，當房價定

為多少元時，賓館當天的利潤為10890元？設房價定為x元.則有()

A.(%-15)(60-^4r￡)=10890B.(170+x-15)(60-=10890

C.460—^^)—60x15=10890D.(x+170)(60-^)-60x15=10890

【答案】A

【分析】本題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程，根據利潤=房價的凈利潤x入住的房間數即

可得解，解題的關鍵是理解題意找到題目蘊含的相等關系.

【詳解】???房價定為尤元，賓館需對居住的每間房每天支出15元的費用，

.海間房的利潤為（久-15）元，

???當每間房每天的定價每增加10元時，就會空閑一間房，

二可?。?0-m）間房，

???賓館當天的利潤為10890元，

二（久-15）（60-審）=10890.

故選：A.

9.已知叼，過是方程/-乂-2024=0的兩個實數根，則代數式巧2-2024+冷的值是（）

A.2024B.-2024C.-1D.1

【答案】D

【分析】本題考查了方程的根的定義，一元二次方程根與系數的關系；由根與系數的關系得/+和=1，

（?__b

由方程的根的定義得/2_巧_2024=0,即可求解；掌握根與系數的關系：:二;[是解題的關

I比1”2a

鍵.

【詳解】解：由題意得巧+亞=1，%I2-%I-2024=0,

2

???xt-2024=x1,

???久I2-2024+久2

=久1+久2

=1,

故選：D.

對于〃個多項式222我

10.Mi=/+%+1,M2=x+2%+3,M3=X+3%+5,Mn=x+nx+2n—1,

們將任意k（2<k<九且人九均為整數）個多項式進行求和，計算出結果，稱為項求和操作〃.比如:

當71=3,/c=2時，在Mi、M2>M3中任意選取2項求和，得到MI+M2=/+%+1+/+2%+3=2公

+3%+4,M]+M3=汽？+%+1++3%+5=2%2+4%+6,+M3=+2%+3+%2+3%+5=2

%2+5%+8.下列說法正確的個數是（）

①若幾=4,進行〃2項求和操作〃的結果有5種；②若對這〃個多項式進行〃4項求和操作〃的結果恰好

有81種，則九=25；③若對這幾個多項式進行〃3項求和操作〃，存在三項MQ、Mb、Mc，使+Me

=0這一方程有實數根，貝MN9

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】本題主要考查了整式的加減，一元二次方程根的判別式，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

對比題中后項求和操作計算可得①②，對③進行3項求和操作，根據根的判別式化簡可得

(a+b+c-6)2>0,進而根據a、b、c為正整數，JLa<b<c,可得a=l,b=2,c=3,故nNc=3即可

判斷③，從而選出正確答案.

2222

【詳解】解：①當n=4時，M1=x+x+1,M2=x+2x+3,M3=x+3x+5,M4=%+4%+7,

22

二進行2項求和操作的結果有Mi+M2=2久2+3x+4,Mi+M3=2%+4x+6,M1+M4=2%+5%+8,

222共種，

M2+M3=2X+5X+8,M2+M4=2X+6X+10,M3+M4=2x+7x+12,5

故①正確；

②對這ri個多項式進行4項求和操作的結果有竺R言竺及=81種，

解得71=25,

故②正確；

③對這幾個多項式進行3項求和操作，結果為Ma+Mb+Me=3/+(a+6+c)x+

(3+2a+2b+2c-3)，

令3/+(q+。+c)%+(3+2a+2b+2c-3)=0,

2

則4=(。+b+c)-12(2a+2b+2c-3)，

=(a+b+C)2-24Q+力+C)+36,

=(a+b+c-6)2>0,

當。+力+。-6=0時，方程有實數根，此時a+b+c=6,

又，:a、b、c為正整數，且aWbWc,

/.a=l,b=2,c=3,

此時ri>c=3,

故③錯誤.

綜上所述，正確的個數是2個.

故選B.

二.填空題(本題共6題，每小題2分，共12分)

11.一元二次方程/-2久=0的根是.

【答案】尤1=0,町=2

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法及步驟是解題的關鍵.

根據因式分解法法求解即可.

【詳解】解：：X2-2X=0,

??-XQ—2)=0,

x=0或尤—2=0,

二巧=0,次=2；

故答案為：%1=0,%2=2.

12.若巧和*2是方程％2-4x—3=0的兩個根，則x1x2—x1—x2=.

【答案】-7

【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，根據根與系數的關系對所求代數式進行恒等變形是

解決問題的關鍵.

根據一元二次方程根與系數的關系得出巧+亞=%X1-X2=-3,然后整體代入求解即可.

【詳解】rxi和外是方程一一4X—3=。的兩個根，

-'-x1+x2=4,xr-x2=-3

■■■x1x2-x1~x2-x1x2~(x1+x2)=-3-4=-7.

故答案為：-7.

13.關于x的一元二次方程X2-3%+機=0的一個根為一2,則另一個根為

【答案】5

【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根與系數

的關系是解題的關鍵；

根據韋達定理得巧+利=3,進而求解即可；

【詳解】解：設乂1、犯是關于久的一元二次方程3%+爪=0的兩個根，

???由韋達定理，得尤1+亞=3，即—2+亞=3,

解得*2=5.

故另一個根為5；

故答案為：5

14.如果方程6/+2%+1=。有兩個不相等的實數根，那么m的取值范圍是.

【答案】m<1且m*0

【分析】本題主要考查根的判別式及一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的根與判別式間的

關系是解題的關鍵.

由方程有兩個不相等的實數根即A=b2-4ac>0且mH0,從而得出關于m的不等式組，解之可得.

【詳解】解：???關于x的方程m/+2%+1=0有兩個不相等的實數根，

△>0且mH0,

???4—4m>0且znH0,

???m<1且znW0,

故答案為：血〈1且6。0.

15.如圖，某小區(qū)要在長為8m,寬為6m的矩形空地上建造一個花壇，使花壇四周小路的寬度相等，且花壇

所占面積為矩形空地面積的一半，設小路的寬為、m,根據題意可列方程為.

Tn

噩花壇

【答案】(8-2x)(6-2x)=；x8x6

【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題

的關鍵.根據小路的寬度，可得出矩形花壇的長為(8-2x)m,寬為(6-2幻m,結合矩形花壇所占面積

為空地面積的一半，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：，.,小路的寬度為無m,

二矩形花園的長為(8-2x)m,寬為(6-2%)m.

1

根據題意得：(8-2x)(6-2x)=-x8x6,

故答案為：(8-2x)(6-2x)=|x8x6.

16.若a是方程比之—久—1=0的一個根，則a'—a?—a+2024的值為.

【答案】2024

【分析】本題考查一元二次方程的解，代數式求值，根據題意，得到。2-。-1=0,進而得到a?

=a+l,利用整體代入法，進行計算即可.

【詳解】解：:a是方程1=0的一個根，

a—1=0,

?'a?=a+1

??.a3-a2-a+2024

=CL,(ci+1)—a2—a+2024

=公+。一層—。+2024

=2024；

故答案為：2024

三.解答題(本題共7題，共58分)。

17.(8分)計算：

⑴2%2-4%-5=0(2)(%—3)2+2%(x—3)=0

【答案】(1氏=空42=寧

(2)久1=3,久2=1

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法和公式法是解題

的關鍵.

(1)利用公式法即可求解；

(2)利用因式分解法求解.

2

【詳解】(1)解:2X-4X-5=0

a=2,b=—4,c=-5,

△=(-4)2-4X2X(-5)=56,

v_4±V56_4±2V14_2±V14

2x242

._2+V14_2-V14

?.%1---

(2)解：(*—3)2+2x(x—3)=0

(%—3)(%—3+2%)=0

(%—3)(3x-3)=0

%—3=0或3久—3=0

解得：巧=3,%2=L

18.(8分)已知關于％的一元二次方程2-+(2々+1)久+k=0.

⑴求證：方程總有兩個實數根；

(2)若方程有一個小于1的正根，求土的取值范圍.

【答案】⑴見解析

(2)-1<fc<0

【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法，一元一次不等式的解法，掌握以

上知識點是解答本題的關鍵.

(1)根據根的判別式即可求出答案；

(2)根據因式分解法求出方程的兩根，然后列出不等式即可求出答案.

【詳解】(1)證明：A=(2k+1)2-4x2xfc=4k2_4k+1=(2/c-l)2>0,

方程總有兩個實數根；

(2)解：方程化為(2x+l)(x+k)=0，

二久1=-2，乂2=一卜，

???方程有一個小于1的正根，

0<—kV1,

k的取值范圍為一1<k<0.

19.(8分)某休閑廣場準備用長為100米的籬笆修建一個矩形花圃4BCD,如圖，花圃的一邊靠著一面墻

MN,墻MN的最大可用長度是50米，要使矩形花圃力BCD的面積為1200平方米，求矩形花圃BC邊的

長.

一50m一

BC

【答案】40m

【分析】設4B=x米，根據題意，得BC=100-24B=(ioo—2%)米，根據面積公式列出方程即可.

本題考查了一元二次方程的應用，因式分解方法解方程，轉化思想，熟練掌握解方程，是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：設力B=x米，則此=100-248=(100一2；0米，

根據題意，得x(100-2%)=1200,

.1?%2—50%+600=0,

?■?(%-20)(%-30)=0.

解得巧=20,%2=30,

???墻的長度不超過50m,

,-,0<100-2x<50

■■-25<x<50,

-'-x1=20舍去，

■■■x=30,

??.BC的長為100-2%=40(m)，

答：矩形花圃BC邊的長為40米.

20.(8分)今年深圳“讀書月"期間，某書店將每本成本為30元的一批圖書，以40元的單價出售時，每天

的銷售量是300本.已知在每本漲價幅度不超過10元的情況下，若每本漲價1元，則每天就會少售出

10本，設每本書上漲了x元.請解答以下問題：

⑴填空：每天可售出書一本(用含x的代數式表示)；

⑵若書店想通過售出這批圖書每天獲得3750元的利潤，應漲價多少元？

【答案】⑴(300T0X)

(2)5

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用(營銷問題)，列代數式等知識點，讀懂題意，根據題中

的數量關系正確列出方程是解題的關鍵.

(1)設每本書上漲了x元，根據題意即可表示出每天的銷售量；

(2)根據"每本書的利潤X每天的銷售量=總利潤”列出方程，解方程即可求解.

【詳解】(1)解：?.?每本書上漲了萬元，

每天可售出書(300-10久)本，

故答案為：(300-10為；

(2)解：設每本書上漲了x元(%<10),

根據題意可得：(40-30+x)(300-10x)=3750,

整理，得：%2-20%+75=0,

解得：巧=5,犯=15(不合題意，故舍去)，

答：若書店想每天獲得3750元的利潤，每本書應漲價5元.

21.(8分)【問題背景】

如圖，在RtZkTIBC中，ZB=9O°,AB=5cm,8c=7cm,點P從點/開始沿邊4B向點B以lcm/s

的速度運動，點0同時從點3開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度運動，設運動時間為ts.

Q

-------"B

【構建聯(lián)系】

(1)點。，尸出發(fā)幾秒后，△PBQ的面積等于6cm2?

(2)ZiPBQ的面積能否等于8cm2?請說明理由.

【深入探究】

(3)當:為何值時，/-PQB=30°?

【答案】(1)2s或3s；(2)不能，理由見解析；(3)10百-15

【分析】本題考查了一元二次方程的應用，勾股定理以及根的判別式，找準等量關系，正確列出一元

二次方程是解題的關鍵.

(1)根據題意得PB=(5-t)cm,BO=2tcm,根據三角形面積公式列方程求解即可；

(2)根據(1)的方法列出方程，再判斷出方程是否有解即可；

(3)根據勾股定理列出方程，求解即可.

【詳解】解：依題意，得P8=(5—t)cm,BO=2tcm,則SPDQX(5-t)X2ts6,

整理，得t2-5t+6=0,

解得=2,t2=3.

即2s或3s后，aPBQ的面積等于6cm2；

(2)不能，理由如下：

由(1)得SPBQ=^X(5-t)x2t=8,

整理，得產—5t+8=0,

???△=(-5)2-4x1X8=-7<0,

該方程無實數根，即APBQ的面積不能等于8cm2；

(3)在RtZiPBQ中，?"QB=30。，

;.PQ—2PB—2(5—t)cm,

由勾股定理，得(5-1)2+(2()2=[2(5—1)]2,

整理，得，t2+30t-75=0,

解得t=10百-15或t=-10b-15(舍去).

即當f為10百一15時，NPQB=30°.

22.(10分)某賓館有50個房間供游客居住.當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住滿；當每

個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑.(不考慮其他因素)

⑴若賓館某一天利潤9870元，則每個房間的定價為多少元？

(2)求每個房間的定價為多少元時，賓館這一天的利潤最大？

【答案】⑴房價定為470元或210元

(2)房價定為340元時，賓館這一天的利潤最大

【分析】本題考查一元二次方程的應用和二次函數的實際應用，解題的關鍵是理解題意找到題目蘊含

的相