自動(dòng)控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院第五章線性系統(tǒng)的頻域分析5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制5.4Nyquist穩(wěn)定判據(jù)和系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性5.5閉環(huán)系統(tǒng)的頻域性能指標(biāo)5.6Matlab在系統(tǒng)頻域分析中的應(yīng)用5.1頻率特性式中，τ=RC。圖5-1RC電路頻率特性的基本概念

對(duì)于圖5-1所示的RC電路，其傳遞函數(shù)為所以有設(shè)輸入電壓為正弦信號(hào)，其時(shí)域和復(fù)域描述為將其進(jìn)行拉氏反變換，得結(jié)論：當(dāng)電路輸入為正弦信號(hào)時(shí)，其輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)（頻率響應(yīng)）也是一個(gè)正弦信號(hào)，其頻率和輸入信號(hào)相同，但幅值和相角發(fā)生了變化，其變化取決于ω。uo(t)表達(dá)式中第一項(xiàng)是暫態(tài)分量，第二項(xiàng)是穩(wěn)態(tài)分量。顯然上述RC電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：在傳遞函數(shù)中，取s=jω，則有式中頻率特性G(jω)：上述電路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入正弦信號(hào)的復(fù)數(shù)比，且G(jω)=G(s)|s=jω

。幅頻特性A(ω)：輸出信號(hào)幅值與輸入信號(hào)幅值之比。相頻特性

(ω)：輸出信號(hào)的相角與輸入信號(hào)的相角之差。設(shè)輸入正弦信號(hào)為2.控制系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出

對(duì)于n階線性系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)其中p1，p2，…，pn為n個(gè)互異的閉環(huán)特征根。因此有，ct(t)和cs(t)分別為系統(tǒng)的暫態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量。拉氏反變換得對(duì)于穩(wěn)定的系統(tǒng)，其極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部，有，則系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)輸出為：因?yàn)镚(s)是實(shí)系數(shù)有理函數(shù)，則有其中，從而有式中，穩(wěn)態(tài)輸出的振幅和相位分別為:由此可見，線性系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出的穩(wěn)態(tài)值是和輸入同頻率的正弦信號(hào)。輸出振幅是輸入振幅的|G(jω)|倍，輸出相位與輸入相位相差∠G(jω)度。幅頻A(ω)和相頻

(ω)統(tǒng)稱幅相頻率特性。3.頻率特性的定義相頻特性：線性系統(tǒng)在正弦輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出相位與輸入相位之差，用

(ω)表示。幅頻特性：線性系統(tǒng)在正弦輸入作用下，穩(wěn)態(tài)輸出振幅與輸入振幅之比，用A(ω)表示。頻率特性：線性系統(tǒng)正弦輸入作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入的復(fù)數(shù)比（也就是幅相頻率特性，簡(jiǎn)稱幅相特性）。頻率特性與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系：可見，將傳遞函數(shù)中s用jω代替即得頻率特性表達(dá)式。頻率特性不只是對(duì)系統(tǒng)而言，其概念對(duì)控制元件、部件等均適用。頻率特性只適用于線性定常模型，否則不能用拉氏變換求解，也不存在這種穩(wěn)態(tài)對(duì)應(yīng)關(guān)系。前面在推導(dǎo)頻率特性時(shí)假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，則動(dòng)態(tài)過(guò)程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)振蕩cs(t)。但理論上推導(dǎo)動(dòng)態(tài)過(guò)程時(shí)，它的穩(wěn)態(tài)分量總可以分離出來(lái)，而且其規(guī)律性不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此將頻率特性的概念擴(kuò)展為線性定常系統(tǒng)正弦輸入作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量和輸入的復(fù)數(shù)比。關(guān)于頻率特性的幾點(diǎn)說(shuō)明：由頻率特性的表達(dá)式G(jω)可知，其包含了系統(tǒng)或元部件的全部結(jié)構(gòu)和參數(shù)。故盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而動(dòng)態(tài)過(guò)程的規(guī)律性必將寓于其中。所以頻域分析法就是運(yùn)用穩(wěn)態(tài)的頻率特性間接研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，從而避免了直接求解高階微分方程的困難。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可由實(shí)驗(yàn)方法確定。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性為輸出信號(hào)的傅氏變換與輸入信號(hào)的傅氏變換之比，這是頻率特性的物理意義。

(ω)大于零時(shí)稱為相角超前，小于零時(shí)稱為相角滯后?？刂葡到y(tǒng)微分方程傳遞函數(shù)頻率特性s=ps=jωjω=p頻率特性、傳遞函數(shù)和微分方程三種系統(tǒng)描述之間的關(guān)系頻率特性與微分方程和傳遞函數(shù)一樣，也表征了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，成為系統(tǒng)頻域分析的理論依據(jù)。4.頻率特性的幾何表示法(1)幅頻特性、相頻特性、幅相特性幅頻特性曲線以頻率ω為橫坐標(biāo)，以幅頻A(ω)為縱坐標(biāo)，畫出A(ω)隨頻率ω變化的曲線。相頻特性曲線以頻率ω為橫坐標(biāo)，以幅頻

(ω)為縱坐標(biāo)，畫出

(ω)隨頻率ω變化的曲線。圖5-2RC電路的幅頻和相頻特性ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20

(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90幅相特性曲線——Nyquist圖幅相特性曲線是將頻率ω作為參變量，將幅頻與相頻特性同時(shí)表示在復(fù)數(shù)平面上。圖上實(shí)軸正方向?yàn)橄嘟橇愣染€，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。將G(jω)分為實(shí)部和虛部(代數(shù)表示)，即X(ω)和Y(ω)分別稱為實(shí)頻特性和虛頻特性。取橫坐標(biāo)X(ω)，縱坐標(biāo)表示Y(ω)，也可得到系統(tǒng)的幅相曲線。圖5-3RC電路的乃氏圖ω01/2τ1/τ2/τ3/τ4/τ5/τ∞A(ω)10.890.7070.450.320.240.20

(ω)°0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-90(2)對(duì)數(shù)頻率特性——Bode圖在工程實(shí)際中，常常將頻率特性畫成對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖形式，這種對(duì)數(shù)頻率特性曲線又稱Bode圖，由對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性組成。Bode圖的橫坐標(biāo)按lgω分度（10為底的常用對(duì)數(shù)），即對(duì)數(shù)分度，單位為弧度/秒（rad/s）對(duì)數(shù)幅頻曲線的縱坐標(biāo)按線性分度，單位是分貝（dB）。對(duì)數(shù)相頻曲線縱坐標(biāo)按

(ω)線性分度，單位是度。由此構(gòu)成的坐標(biāo)系稱為半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系。對(duì)數(shù)分度和線性分度

圖5-4

對(duì)數(shù)分度和線性分度兩點(diǎn)說(shuō)明：對(duì)數(shù)頻率特性采用ω的對(duì)數(shù)分度實(shí)現(xiàn)了橫坐標(biāo)的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。對(duì)數(shù)幅頻特性則將幅值的乘除運(yùn)算化為加減運(yùn)算，可以簡(jiǎn)化曲線的繪制過(guò)程。令τ=1，則用MATLAB畫出上述RC電路的伯德圖如圖5-5所示

bode([1],[11])圖5-5RC電路的Bode圖5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性用頻域分析法研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)，是根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性進(jìn)行的，而控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性通常是由若干典型環(huán)節(jié)的頻率特性組成的。本節(jié)介紹七種常用的典型環(huán)節(jié)。顯然，它與頻率無(wú)關(guān)。相應(yīng)的幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為：

比例環(huán)節(jié)的頻率特性為一、比例環(huán)節(jié)

圖5-6比例環(huán)節(jié)的Nyquist圖圖5-7比例環(huán)節(jié)的Bode圖積分環(huán)節(jié)的頻率特性為：圖5-8積分環(huán)節(jié)的Nyquist圖其幅頻特性和相頻特性為：幅頻特性與角頻率ω成反比，相頻特性恒為－90°。二、積分環(huán)節(jié)

圖5-9

積分環(huán)節(jié)的Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性為一條斜率為－20dB/dec的直線，此線通過(guò)L(ω)=0，ω=1的點(diǎn)。其對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為：微分環(huán)節(jié)的頻率特性為：其幅頻特性和相頻特性為：圖5-10

微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖微分環(huán)節(jié)的幅頻特性等于角頻率ω，而相頻特性恒為90°。三、微分環(huán)節(jié)圖5-11

微分環(huán)節(jié)的Bode圖對(duì)數(shù)幅頻特性為一條斜率為20dB/dec的直線，它與0dB線交于ω=1點(diǎn)。對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為：慣性環(huán)節(jié)的頻率特性寫成實(shí)部和虛部形式，即幅頻特性和相頻特性慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖是圓心在（0.5，0），半徑為0.5的半圓。

四、慣性環(huán)節(jié)

圖5-12

慣性環(huán)節(jié)的Nyquist圖對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為：慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線為圖5-13的漸近線。ω＝1/T是兩條漸近線的交點(diǎn)，稱為交接頻率，或叫轉(zhuǎn)折頻率、轉(zhuǎn)角頻率。(這是一個(gè)很重要的概念！)。高頻段：低頻段：圖5-13

慣性環(huán)節(jié)的Bode圖0.10.20.512510－0.04－0.17－0.97－3.01－0.97－0.17－0.04兩點(diǎn)說(shuō)明：慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差

圖5-14

慣性環(huán)節(jié)的誤差曲線

(ω)是關(guān)于ω＝1/T,

(ω)=-45°點(diǎn)中心對(duì)稱的。0.10.130.20.250.330.51-6-7-11-14-18-27-452345810-63-72-76-79-83-84幅頻特性和相頻特性和對(duì)數(shù)幅頻特性和相頻特性為:五、一階微分環(huán)節(jié)

頻率特性:一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖（如圖5-16所示）與慣性環(huán)節(jié)的Bode圖（如圖5-13所示）關(guān)于橫軸對(duì)稱。

圖5-15一階微分環(huán)節(jié)的Nyquist圖圖5-16

一階微分環(huán)節(jié)的Bode圖幅頻特性和相頻特性：六、二階振蕩環(huán)節(jié)

頻率特性：圖5-17

二階振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist圖頻率特性的端點(diǎn)取值：為分析A(ω)的變化，求A(ω)的極值，即令

得諧振頻率

求得諧振峰值

可見ωr，Mr均為阻尼比ζ的減函數(shù)。

當(dāng)

因?yàn)?/p>

時(shí)，Mr=1。

當(dāng)

時(shí)，且ω∈(0,ωr)時(shí)，A(ω)

單調(diào)增；ω∈(ωr，∞)時(shí)，A(ω)

單調(diào)減。當(dāng)

時(shí)，A(ω)

單調(diào)減。二階振蕩環(huán)節(jié)Bode圖可用上述低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示（如圖5-18所示）。二階振蕩環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性可作如下簡(jiǎn)化：高頻段：低頻段：圖5-18二階振蕩環(huán)節(jié)的Bode圖說(shuō)明：低頻段和高頻段的兩條直線相交處的交接頻率為ω=1/T，稱為振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率。在交接頻率附近，對(duì)數(shù)幅頻特性與漸近線存在一定的誤差，其值取決于阻尼比ζ的值，阻尼比越小，則誤差越大。z

wT0.10.20.40.60.811.251.662.55100.10.0860.3481.483.7288.09413.988.0943.7281.480.3480.0860.20.080.3251.363.3056.3457.966.3453.3051.360.3250.080.30.0710.2921.1792.6814.4394.4394.4392.6811.1790.2920.0710.50.0440.170.6271.1371.1370.001.1371.1370.6270.170.0440.70.0010.000.08-0.47-1.41-2.92-1.41-0.470.080.000.0011-0.086-0.34-1.29-2.76-4.30-6.20-4.30-2.76-1.29-0.34-0.086二階振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線漸近線和精確曲線的誤差（dB）5-19

振蕩環(huán)節(jié)的誤差修正曲線

二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：

其頻率特性為：

幅頻特性為：

相頻特性為：七、二階微分環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性為：